ESME DI STT DI LICE SCIENTIFIC CRS DI RDINMENT Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei quesiti in cui si articola il questionario. PRLEM Siano f e g le funzioni definite, per tutti gli reali da f () 7 e g () sen.. Qual è il periodo della funzione g? Si studino f e g e se ne disegnino i rispettivi grafici G f e G g in un conveniente sistema di riferimento cartesiano.. Si scrivano le equazioni delle rette r e s tangenti, rispettivamente, a G f e G g nel punto di ascissa. Qual è l ampiezza, in gradi e primi sessagesimali, dell angolo acuto formato da r e da s?. Sia R la regione delimitata da G f e da G g. Si calcoli l area di R.. La regione R, ruotando attorno all asse, genera il solido S e, ruotando intorno all asse, il solido T. Si scrivano, spiegandone il perché, ma senza calcolarli, gli integrali definiti che forniscono i volumi di S e di T. PRLEM Nel primo quadrante del sistema di riferimento sono assegnati l arco di circonferenza di centro ed estremi (; ) e (; ) e l arco L della parabola d equazione 9 6 i cui estremi sono il punto e il punto ;.. Sia r la retta tangente in a L. Si calcoli l area di ciascuna delle due parti in cui r divide la regione R racchiusa tra L e l arco.. La regione R è la base di un solido W le cui sezioni, ottenute tagliando W con piani perpendicolari all asse, hanno, per ogni, area S() e 5. Si determini il volume di W.. Si calcoli il volume del solido ottenuto dalla rotazione di R intorno all asse.. Si provi che l arco L è il luogo geometrico descritto dai centri delle circonferenze tangenti internamente all arco e all asse. Infine, tra le circonferenze di cui L è il luogo dei centri, si determini quella che risulta tangente anche all arco di circonferenza di centro e raggio, come nella figura a lato. Figura. Zanichelli Editore,
QUESTINRI 5 6 7 8 9 Cosa rappresenta il limite seguente e qual è il suo valore? 5 h 5 lim h h. Si illustri il significato di asintoto e si fornisca un esempio di funzione f () il cui grafico presenti un asintoto orizzontale e due asintoti verticali. La posizione di una particella è data da s(t) e t t. Qual è la sua accelerazione al tempo t? Qual è la capacità massima, in litri, di un cono di apotema metro? Siano dati nello spazio n punti P, P, P,, P n. Quanti sono i segmenti che li congiungono a due a due? Quanti i triangoli che hanno per vertici questi punti (supposto che nessuna terna sia allineata)? Quanti i tetraedri (supposto che nessuna quaterna sia complanare)? Sia f () 5 sen cos cos sen 5 sen cos 7. Si calcoli f (). È dato un tetraedro regolare di spigolo l e altezza h. Si determini l ampiezza dell angolo formato da l e da h. Qual è il valore medio di f () da a e? Il problema di Erone (matematico alessandrino vissuto probabilmente nella seconda metà del I secolo d.c.) consiste, assegnati nel piano due punti e, situati dalla stessa parte rispetto a una retta r, nel determinare il cammino minimo che congiunge con toccando r. Si risolva il problema nel modo che si preferisce. Quale delle seguenti funzioni è positiva per ogni reale? cos(sen( )) sen(cos( )) C sen(ln( )) D cos(ln( )) Si giustifichi la risposta. Durata massima della prova: 6 ore. È consentito soltanto l uso di calcolatrici non programmabili. Non è consentito lasciare l Istituto prima che siano trascorse ore dalla dettatura del tema. Zanichelli Editore,
SLUZINE DELL PRV D ESME CRS DI RDINMENT PRLEM. La funzione goniometrica g () sen ammette periodo P se risulta g ( P) g (), quindi: sen ( P) sen sen P sen. Tenendo conto che il periodo della funzione seno è, ne consegue che: P P. Studiamo la funzione f () 7, scrivendola in questo modo: f () 7 se 7 se Essa ha dominio R ed è continua e derivabile in tutto il dominio; poiché f ( ) f (), la funzione è pari, pertanto il suo grafico G f è simmetrico rispetto all asse delle ordinate; interseca gli assi nel punto (; ); è non negativa nel proprio dominio. Ricaviamo la derivata prima e il suo segno: 8 f () se se 8 se Risulta allora che f () per, f () per, f () per : la funzione f ha pertanto minimo assoluto nel punto. Studiamo la derivata seconda e il suo segno: 6 se f() = 7 f () se 6 se Ne segue che f () per e il corrispondente grafico ha nel dominio concavità rivolta verso l alto. Nella figura è rappresentato il grafico G f di f (). nalizziamo ora la funzione goniometrica g() sen di periodo. Si tratta di una contrazione orizzontale della funzione seno, del tipo sen m, con m. Ricordando che la funzione seno, sen, si annulla nei punti k, ha massimi assoluti nei punti k, ha minimi assoluti nei punti k, con k Z, si deduce che la funzione g() sen, per k Z: si annulla nei punti k, ha massimi assoluti nei punti k, Figura. Zanichelli Editore,
ha minimi assoluti nei punti k. Nella figura è rappresentato il grafico di sen e della sua contrazione orizzontale g() sen.. Data una funzione generica h(), l equazione della retta tangente al grafico di h nel punto ( ; ), quando la tangente esiste e non è parallela all asse, è: h ( )( ). Determiniamo l equazione della retta r tangente alla funzione f () 7 nel punto, tenendo conto che f e f 8 9: 9 9. Tale retta ha coefficiente angolare m r 9. Consideriamo la funzione g() sen : è noto dal punto del problema che nel punto la funzione è dotata di massimo la cui ordinata vale ; pertanto in tale punto la corrispondente tangente s è orizzontale, ha equazione e coefficiente angolare m s. Determiniamo la tangente goniometrica dell angolo formato dalle rette r e s: mr ms tg tg 9. mrms Ricaviamo il corrispondente angolo in gradi sessagesimali: arctg 9 8,6598 8.. Rappresentiamo in uno stesso piano cartesiano i grafici G f e G g ed evidenziamo la regione R delimitata dalle due curve (figura ). Ricaviamo l ascissa del punto Q, intersezione dei grafici risolvendo il seguente sistema: 7 7 sen La seconda equazione del sistema non è risolvibile algebricamente ma dallo studio dei grafici sappiamo che la soluzione è unica per. Ugualmente è noto dal punto del problema che il punto ; è comune a entrambi i grafici. Per unicità si deduce che Q. Calcoliamo l area della regione R tramite il seguente integrale: (R) 7 sen sen 7 d cos 7 7 8. Figura. 5 Figura. 7 = sen π 8 g() = sen ( π ) G f R Q G g Zanichelli Editore,
. Rappresentiamo in figura 5 il solido S generato dalla rotazione della regione R intorno all asse. sserviamo che il volume del solido S si ottiene dalla differenza tra due volumi: Q il volume V g del solido generato dalla rotazione intorno all asse della parte di piano delimitata dalla funzione g (), G g Gf dalla retta e dall asse positivo delle ascisse; il volume V f del solido generato dalla rotazione intorno all asse della parte di piano delimitata dalla funzione f (), R dalla retta e dall asse positivo delle ascisse. S Risulta allora: V(S) V g V f sen sen 79 6 d. d (7 ) d Figura 5. Rappresentiamo in figura 6 il solido T generato dalla rotazione della regione R intorno all asse. sserviamo che il volume del solido T si ottiene dalla differenza tra due volumi: il volume V f del solido generato dalla rotazione intorno all asse della parte di piano delimitata dalla funzione f (), dalla retta e dall asse positivo delle ordinate; il volume V g del solido generato dalla rotazione intorno all asse della parte di piano delimitata dalla funzione g () arcsen, dalla retta e dall asse positivo delle ordinate. T Figura 6. R Q G g G f Risulta quindi: V(T) V f V g d arcsen d 9 9 arcsen d. 5 Zanichelli Editore,
PRLEM. Consideriamo la parabola di equazione 9 6; la sua forma esplicita è 6, ha vertice V ; e interseca il semiasse positivo delle ascisse nel punto (; ). La retta r tangente alla parabola nel punto per la formula dello sdoppiamento ha equazione: 6. Tale retta interseca l asse nel punto (; ). Rappresentiamo in figura 7 l arco di circonferenza di centro R l origine e di estremi e, l arco L di parabola di estremi e V, la retta tangente r. V R R La parte di piano R, delimitata dai due archi, viene suddivisa L dalla retta r in due parti, R e R. Calcoliamo l area della regione R come differenza tra l area del triangolo e l area della regione V corrispondente alla metà dell area del segmento parabolico Vale quindi: (R ) 6 9. Troviamo l area della regione R come differenza tra l area del settore circolare e l area del triangolo. Risulta allora: (R ) ( ) 9 9.. Considerato il solido W, di base la regione R e le cui sezioni, perpendicolari all asse, hanno area S() e 5, per, tale solido ha volume di valore: V(W) S()d (e e 5 ) e 9. e e 5 d e 5. Consideriamo il solido Q ottenuto dalla rotazione della regione R intorno all asse (figura 8). Il relativo volume V(Q) si ottiene come differenza tra il volume della semisfera di centro e raggio e il volume del solido ottenuto dalla rotazione dell arco di parabola L intorno all asse : V(Q) 6 d ( 9) d 8 6 8 ( 8 8)d 6 8 6 5 6 8 5 Figura 7. 8 6 6 5 8 6 8 8 8 7. 6 5 5 5 Figura 8. V R L Q r 6 Zanichelli Editore,
. Consideriamo il settore circolare e una generica circonferenza di centro C(; ), con e, tangente internamente all arco e all asse (figura 9). Per la condizione di tangenza interna deve valere l uguaglianza: C CT. Poiché CT, allora vale C CT 9 6 9 6 6. Pertanto il luogo dei centri corrisponde all arco di parabola L di partenza. Infine, consideriamo tale luogo, C ; 6 sia anche tangente alla circonferenza centrata in e con raggio uguale a (figura ). Si osserva che gli archi di circonferenza e D sono simme Figura 9. e imponiamo che la circonferenza in esso centrata C(; ) T D trici rispetto all asse mediano, così la circonferenza tangente a entrambi gli archi ha centro su tale asse. Pertanto per risulta: C ; 6 C ; 9 8 con raggio r 9 8. V Figura. C = = + 6 QUESTINRI Data la funzione polinomiale f () 5, il rapporto incrementale di tale funzione nel punto risulta: f h f h 5 h 5. h Per definizione, la derivata di una funzione in un punto è il limite per h del rapporto incrementale di tale funzione in quel punto, pertanto il limite indicato nella consegna rappresenta la derivata della funzione f nel punto : 5 h 5 lim h h f. Calcoliamo il valore del limite sfruttando tale uguaglianza e la regola di derivazione f () : f 5 8. 7 Zanichelli Editore,
Una retta è detta asintoto del grafico di una funzione f () se la distanza di un generico punto del grafico da tale retta tende a quando l ascissa o l ordinata del punto tendono a. In particolare, data una funzione f () di dominio D, se si verifica che: lim f (), c R si dice che la retta c, è asintoto verticale del grafico della funzione; c lim f () q, q R, si dice che la retta q è asintoto orizzontale del grafico della funzione; lim [f () (m q)], m e q R, m, si dice che la retta m q è asintoto obliquo del grafico della funzione. Consideriamo per esempio la funzione. Il dominio è R{}. Calcoliamo il limiti agli estremi del dominio: lim il grafico ha asintoto verticale ; = = + lim lim il grafico ha asintoto verticale ; il grafico ha asintoto orizzontale. = = In figura è riportato il grafico della funzione. Figura. In Meccanica l equazione oraria s(t) e t t rappresenta un moto unidimensionale di un punto materiale. Per definizione di velocità istantanea v(t) e di accelerazione istantanea a(t) risulta: v(t) s (t), a(t) v (t) s (t). Calcoliamo con le regole di derivazione tali derivate: v(t) s (t) e t, a(t) v (t) e t. Ricaviamo il valore dell accelerazione nell istante di tempo t : a() e e. Consideriamo un cono circolare retto (figura ), sia l altezza, r il raggio del cerchio di base e a m l apotema. mettendo l unità di misura, il raggio r e il volume V del cono risultano rispettivamente: r a r, con ; V r ( ) ( ). Consideriamo la funzione: V() ( ), con, e, per determinare il massimo, calcoliamo la sua derivata prima e studiamone il segno nell intervallo dei limiti geometrici: V () Figura. ( ), V () per, V () per, V () per. r a 8 Zanichelli Editore,
Pertanto il volume del cono è massimo per e vale: V ma V. 7 Esprimiamo nuovamente le unità di misura e approssimiamo il valore: V ma m,67 m, 7 poiché m L, risulta: V ma,67 L. 5 6 Un segmento è definito univocamente dai suoi due estremi, indipendentemente dal loro ordine; pertanto i segmenti che congiungono a due a due n punti sono le combinazioni di n estremi, raggruppati a due a due: ). C n, n n(n nalogamente un triangolo è univocamente determinato dai suoi tre vertici, indipendentemente dal loro ordine; il numero di triangoli che si possono formare sono: )(n ). C n, n n(n 6 Un tetredro è univocamente determinato dai suoi quattro vertici, indipendentemente dal loro ordine; il numero di tetraedri che si possono formare sono: C n, n n(n )(n )(n ). Data la funzione f () 5 sen cos cos sen 5 sen cos 7, applichiamo le formule di duplicazione, sen sen cos e cos cos sen, e riscriviamo la funzione: f () 5 sen cos 5 sen cos 7 f () 7. La funzione f () è costante, pertanto la sua derivata è nulla: f () D[ 7] =. 7 Consideriamo il tetraedro regolare di spigolo l e altezza h, sia l angolo formato da l e da h (figura ). Le facce del tetraedro sono triangoli equilateri di lato l e altezza l; l altezza h cade nell ortocentro H del triangolo CD e divide in due parti il segmento K, una doppia dell altra. Risulta allora: H K l l. α h D Consideriamo il triangolo rettangolo H e applichiamo uno dei teoremi trigonometrici dei triangoli rettangoli: l H sen. l Figura. H C k 9 Zanichelli Editore,
Segue allora che l ampiezza in gradi sessagesimali dell angolo vale: arcsen 5,6 5 6. 8 Data la funzione f (), essa è continua nell intervallo [; e]; pertanto vale il teorema della media ovvero esiste almeno un punto z appartenente all intervallo tale che: e f ()d f (z) (e ). Si chiama f (z) il valor medio della funzione nell intervallo e ha valore: e e f ()d d [ln ] e f (z) e. e e e e 9 Consideriamo una retta r, un punto generico P sulla retta e i punti e dalla stessa parte della retta. Rappresentiamo il punto simmetrico ad rispetto alla retta r ; minimizzare il percorso P P equivale a minimizzare il percorso P P. Tracciamo il segmento che interseca la retta r nel punto P (figura ). Dimostriamo che P è il minimo percorso che congiunge Figura. con. Consideriamo il segmento (percorso P P ); per disuguaglianza triangolare vale: P P. Pertanto il minimo percorso che congiunge con è P P e di conseguenza P P è il minimo percorso che congiunge con. Consideriamo le varie alternative di funzioni composte. ) La funzione f () cos(sen( )) ha argomento del coseno compreso tra e ; poiché la funzione coseno è positiva nell intervallo ; e ] ; [ ;, allora la funzione f () cos(sen( )) è sempre positiva in R. ) La funzione f () sen(cos( )) ha argomento del seno compreso tra e ; poiché la funzione seno è positiva nell intervallo ]; [ e negativa in ] ; [, allora la funzione f () sen(cos( )) non è sempre positiva in R. C) La funzione f () sen(ln( )) ha argomento del seno che assume valori in [; [; poiché la funzione seno in tale intervallo assume sia valori positivi che negativi, la funzione non è sempre positiva in R. D) Ugualmente la funzione f () cos(ln( )) ha argomento del coseno che assume valori in [; [; poiché la funzione coseno in tale intervallo assume sia valori positivi che negativi, la funzione non è sempre positiva in R. In conclusione la risposta esatta è la. ' P P' r Zanichelli Editore,