Lezioni 13-14 (26 ottobre 2015) Il passaggio dalle inferenze immediate con gli operatori aristotelici alle inferenze sillogistiche, con due premesse rette dagli stessi operatori Un problema combinatorio: con i quattro operatori ( ogni, qualche, nessun e qualche non ), si hanno solo 8 permutazioni a due posti con due proprietà (rappresentate dai diagrammi Euler/Venn per insiemi), si hanno solo 5 configurazioni ma, aggiungendo una proprietà, ci sono più di quaranta configurazioni che vanno dalla reciproca disgiunzione di tutte e tre (corrispondente a (I)) all identità di tutte e tre (corrispondente a (IV)) totale combinazione di tre enunciate di varia quantità e qualità disposti come premesse e conclusioni: 256 non tutte queste combinazioni sono sillogismi, ma quali? E quali lo sono? Una strategia a tenaglia (una ricostruzione razionale di un colpo di genio da parte di Aristotele) prima mossa: cercare di eliminare coppie di premesse che non portano o (A) a nessuna conclusione; o (B) a conclusioni di una data forma seconda mossa: cercare di derivare tripli che sono sillogismi a partire da un paradigma perfetto (teleois) Eliminazione (A) di coppie assolutamente sterili Esempio di una coppia di premesse che non porta a nessuna conclusione: (EE) Nessuna pietra è un animale Queste due premesse corrispondono a tre insiemi di cui due sono disgiunti tra di loro. anche se tutti gli uomini sono animali, questo fatto non viene annunciato e non si può arrivare alla conclusione tutti gli uomini sono animali, perché non è contenuta nelle premesse: si potrebbe sostituire albero per animale nella seconda premessa (fatto formalmente uguale quello proposto: è vero) ma, per parità di ragionamento, dato che la conclusione tutti gli uomini sono alberi è falsa, allora tutti gli uomini sono animali non consegue dalle premesse Verifica con il diagramma: (EEA) animale pietra uomo Analoghe considerazioni valgono per EEI, EEE e EEO quindi EE è assolutamente sterile altre coppie assolutamente sterili di premesse: EO, OE, II, IO, OI e OO in casi simili, Aristotele dice non c è sillogismo (ouk syllogismos, ad es., a AnPr., I, iv, 26a8, 11-12, 32, e 37, 26b3, 10-11, e 17-18; v, 27a19, 27b3, 13, 23, e 36-7, vi, 28a32, 28b3-
4, 22-3, 32, e 36-7, 29a9). anche se questi sono solo 17 passi, la sterilità assoluta investe totale 112 combinazioni tra premesse e conclusioni 256 112 = 144 Risultato positive da trarre dalla sterilità assoluta: ogni sillogismo contiene almeno una premessa universale (affermativa A o negativa E) e almeno una affermativa (universale A o particolare I) Eliminazione (B) di coppie di premesse sterili relativamente a date conclusioni (B1): sterilità relative alla quantità Esempio di una coppia che non può portare a conclusione universale (AI) Qualche animale è un uomo Tutti gli animali sono mortali (A) non consegue, perché le premesse non escludono animali immortali (fenici?) al massimo, abbiamo un induzione (in buone condizioni, in questo caso) Nessun animale è mortale (E) non consegue, perché contraddetto dalle premesse altre coppie sterili relative a conclusioni universali (A o E): AI, IA, AO, OA, EI, IE queste rappresentano 48 combinazioni 144 48 = 96 Risultato positivo da trarre: ogni sillogismo a conclusione universale contiene entrambe le premesse universali (premesse AA o EE per conclusione A o E) (B2): sterilità relativa alla qualità le coppie affermative AA, AI, IA e II non possono portare a conclusione negative (E o O) le coppie negative EE, EO, OE, e OO non possono portare a conclusione affermativa (A o I) spariscono altre 20 combinazioni 96 20 = 76 Risultato positivo da trarre: almeno una delle premesse di un sillogismo ha la stessa qualità della conclusione Problema rimasto: non tutte le 76 combinazioni rimaste sono sillogismi ma almeno sappiamo dove NON guardare cerchiamo invece di raggruppare le combinazioni imparentate al caso paradigmatico Seconda mossa: la derivazione da un sillogismo trattato come assioma Un sillogismo che convince perché perfetto : (AAA) Tutti i greci sono mortali
Verifica sul diagramma Euler/Venn: mortali uomini greci Generalizzando la forma: Aab (premessa maggiore, con termine medio e termine maggiore) Aca (premessa minore, con termine minore e termine medio) Acb (conclusione, con termine minore e termine maggiore) il termine nella prima posizione, (a nella premessa maggiore, c in quella minore, e c nella conclusione) si chiama soggetto : S il termine nella seconda posizione (b nella premessa maggiore, a in quella minore, e b nella conclusione) si chiama predicato : P queste non sono denominazioni grammaticali, bensì funzionali o (Aristotele stesso parla (per la prima volta a An. Pr, I, iv, 25b32-4) del termine primo, ultimo e medio, pensando ai primi due come i termini estremi (eschata)) Sopprimendo la qualità e la quantità espresse nelle premesse di un sillogismo e rappresentando A, I, E e O con X, sappiamo che la forma generale di una conclusione sarà XSP il termine medio, M, non appare nella conclusione, ma solo nelle premesse quindi abbiamo solo quattro figure (in greco schemata): prima figura seconda figura terza figura quarta figura XMP XPM XMP XPM XSM XSM XMS XMS XSP XSP XSP XSP Sappiamo dal caso AAA che c è almeno un sillogismo nella prima figura, sostituendo A per X nella conclusione e sappiamo dalle considerazioni sulla sterilità che le premesse devono essere entrambe della stessa quantità (universale) e almeno una deve essere della stessa quantità (affermativa) così si esclude, ad esempio, premesse EE ma ci chiediamo: è possibile una premessa universale negativa (EA o AE)? Si vede di no: (EAA) e (AEA) Tutti i greci sono pietre Nessuna pietra è un uomo Tutte le pietre sono mortali
Poi si ripete l operazione sostituendo I per X nella prima figura mentre si vede bene che sono sillogismi: (AAI) e (AII) Qualche greco è un uomo Qualche greco è mortale Qualche greco è mortale si vede altrettanto bene che non c è sillogismo: (AEI) Nessun greco è un uomo Qualche greco è mortale Con questa tecnica, si possono scoprire sei sillogismi della prima figura: AAA, AAI, AII, EAE, EAO e EIO di questi, Aristotele riconosce solo 4, sorvolando AAI e EAO ma quelli riconosciuti sono abbastanza intuitivi: non hanno bisogno di altro per essere riconosciuti cosa che, per come siamo noi, non vale tanto per le altre tre figure Si cerca, dunque, di mettere le combinazioni delle altre figure in rapporto ai sillogismi della prima, utilizzando le inferenze immediate, equivalenze e i rapporti sul quadrato delle opposizioni Esempio della riduzione di un sillogismo della seconda figura: (AOO) Qualche pietra non è mortale Qualche pietra non è un uomo questo non colpisce come valido, forse perché le premesse sono XPM, XSM con premessa maggiore A e stessa quantità e qualità (O) tra premessa minore e conclusione, possiamo essere sicuri che non sia escluso dalle considerazioni sulla sterilità ma non sappiamo ancora quali delle 76 combinazioni rimaste siano sillogismi Una verifica: il contraddittorio della conclusione è incoerente con le premesse? sì, perché Non: qualche pietra non è un uomo è equivalente (sul Quadrato) a Tutte le pietre sono uomini ( Ogni pietra è un uomo ) e la premessa minore è il contraddittorio di Tutte le pietre sono mortali seguendo lo schema AAA, allora si avrebbe Tutte le pietre sono mortali e Non tutte le pietre sono mortali quindi AOO è un sillogismo Un versetto mnemonico (a) diventato canonico (a partire dalle Introductiones in Logicam di Gugliemo di Sherwood [prima metà del 1200]); ma (b) incompleto: Barbara, Celarent, Darii, Ferio-que prioris Cesare, Camestres, Festino, Baroco, secundæ Tertia Darapti, Disamis, Datisi, Felapton Bocardo, Ferison habet. Quarta insuper addit Bramantip, Camenes, Dimaris, Fesapo, Fresison.
Dove B, C, D e F corrispondono ai modi della prima figura a cui ridurre quelli di quelle successive, le vocali interne corrispondono alle quantità e qualità A, I, E, e O e le consonanti interne indicano le operazioni di riduzione richieste sulla premessa ad essa precedente: s per conversione semplice (regole (i)-(iv)) p per conversione per accidens (un applicazione di una regola (i)-iv) più una di esemplificazione (v)-(vi)) m per inversione dell ordine delle premesse maggiore e minore c per dimostrazione per impossibile Una tabella completa dei modi e figure del sillogismo (esposta in forma diversa da J. Lukasiewicz [1951] un opera che rischiava di andare persa nella Seconda guerra mondiale) i modi indicati con * non previsti nella tradizione aristotelica NON da imparare a memoria Prima figura AAA Barbara AAI Barbari* AII Darii EAE Celarent EAO Celaront* EIO Ferio Termine medio nella prima posizione ( S ) nella premessa maggiore e nella seconda ( P) nella minore Tutti i greci sono mortali Qualche greco è mortale Qualche greco è un uomo Qualche greco è mortale Nessun greco è una pietra Qualche greco non è una pietra Qualche greco è un uomo Qualche greco non è una pietra
Seconda figura AEE Camestres AEO Camestros* AOO Baroco EAE Cesare EAO Cesaro* EIO Festino Termine medio nella seconda posizione ( P ) in entrambe le premesse Nessuna pietra è un uomo Qualche pietra non è un uomo Qualche pietra non è mortale Qualche pietra non è un uomo Qualche uomo è mortale Terza figura AAI Darapti* AII Datisi EAO Felapton* EIO Ferison Termine medio nella prima posizione ( S ) in entrambe le premesse Qualche essere mortale è capace di ridere Qualche uomo è capace di ridere Qualche essere mortale è capace di ridere Qualche essere mortale non è una pietra Qualche uomo è mortale Qualche essere mortale non è una pietra
IAI Disamis OAO Bocardo Qualche uomo è mortale Qualche essere mortale è capace di ridere Qualche essere capace di ridere non è una pietra Quarta figura AAI Bramantip* AEE Camenes AEO Camenos* EAO Fesapo* EIO Fresison IAI Dimaris Termine medio nella seconda posizione ( M ) nella premessa maggiore e nella prima ( S ) nella minore Tutti gli esseri capaci di ridere sono mortali Qualche essere mortale è un uomo Nessun essere capace di ridere è una pietra Nessun essere capace di ridere è una pietra Qualche pietra non è un uomo Nessuna pietra è capace di ridere Tutti gli esseri capaci di ridere sono uomini Nessuna pietra è capace di ridere Qualche essere capace di ridere è un uomo Qualche uomo è capace di ridere Tutti gli esseri capaci di ridere sono mortali Qualche essere mortale è un uomo
Lezione 15 (28 ottobre 2015) Una specificazione astrattissima (ma simpatica) delle formule ben formate di un calcolo delle proposizioni (1) se una formula f è una variabile proposizionale (p, q, ecc.), f è una fbf (2) se una formula f è una fbf preceduta (a sinistra) da, f è una fbf (3) se una formula f è una fbf seguita (a destra) da, seguito (a destra) a sua volta da una fbf, f è una fbf (4) se una formula f non è conforme a (1)-(3), f non è una fbf I simboli che si scelgono ai posti di (operatore a un posto) e (operatore a due posti) sono ancora da interpretare