6. I numeri reali e complessi ( R e C ). 6.1 I numeri reali R. Non tratteremo in modo molto approfondito gli ulteriori ampliamenti che dai numeri razionali ci portano a quelli reali, all insieme, e R d infine ai complessi, C. Farlo in modo rigoroso richiede costruzioni piuttosto tecniche, ma vogliamo comunque dare un'idea di come sono fatti questi insiemi numerici e delle loro proprietà. Nel costruire i razionali, abbiamo visto che nella struttura ( Q, +, ), tutte le equazioni polinomiali di primo grado (cioè ove la x appare con esponente 1, come 3x+4=0 ) sono risolubili. Che dire di questa equazione? x2 = 2 Cioè, esiste un numero razionale che moltiplicato per se stesso dia 2? No, non esiste. La dimostrazione è piuttosto semplice. Supponiamo per assurdo che tale numero razionale esista; allora lo si può scrivere come una frazione ridotta ai minimi termini a/b, tale che (a/b) 2 = 2; ciò equivale a dire che a 2 / b 2 = 2 e cioè che a 2 = 2b 2. Notiamo che non possiamo avere che a e b siano entrambi pari perché altrimenti avrebbero un fattore comune, il 2, e la frazione a/b non sarebbe ridotta ai minimi termini. Dall uguaglianza a 2 = 2b 2 si vede anche che a non può essere dispari, in quanto in quel caso anche a 2 lo sarebbe, mentre deve essere uguale a 2b 2, che chiaramente è pari. Quindi a è pari e allora b deve essere dispari, per quanto notato sopra. Se b è dispari anche b 2 è dispari, cosicché 2b 2 contiene il fattore 2 solo una volta. Ma a è pari, quindi contiene il fattore 2 (almeno una volta), ed allora a 2 contiene il fattore 2 almeno due volte! Quindi non si può avere a 2 = 2b 2 e siamo arrivati ad un assurdo perciò l uguaglianza (a/b) 2 = 2 è impossibile. Più in dettaglio: se a è pari si può scriverlo a = 2.a', allora a 2 = 2 2.(a' ) 2, così a 2 contiene il fattore 2 2 e perciò risulta assurdo che a 2 = 2b 2 perché da una parte abbiamo il fattore 2 2 e dall altra solo 2 1. Geometricamente ciò si traduce nel dire che un quadrato (vedi Fig. 6.1) il cui lato AB misura 1, ha una diagonale la cui misura non è esprimibile con un numero razionale, in quanto per il teorema di Pitagora, abbiamo AB 2 + BC 2 = AC 2, e cioè 2 = AC 2 e quindi AC = 2. Fig. 6.1 75
Questo fatto ci dice anche che quando riportiamo i numeri razionali su una retta (come in Fig. 6.2), essi non "la ricoprono", e cioè rimangono dei punti della retta a cui non corrisponde nessun numero razionale, benché essi siano densi sulla retta (nel senso visto in 5.3). Fig 6.2 Riportando sulla retta la lunghezza della diagonale del quadrato di lato 1, essa dovrebbe corrispondere ad un numero razionale il cui quadrato è 2, ma, come abbiamo visto, un tale numero razionale non esiste. Questa volta l'ampliamento di Q,, che vogliamo è quello che ci permetta di "ricoprire la retta": di assegnare ad ogni suo punto un numero. Questa costruzione è piuttosto complessa: si pensi che è stata effettuata solo nella seconda metà dell'800, da vari matematici come Weierstrass, Cantor, Dedekind, anche se l uso dei numeri reali è molto precedente (vedi 1). Per avere un'idea di come sono fatti questi numeri, riprendiamo il problema di trovare un numero che al quadrato faccia 2, e cerchiamo di approssimarlo con dei numeri decimali finiti: se approssimiamo per difetto, avremo numeri come: 1 ; 1,4 ; 1,41 ; 1,414 ; 1,4142 ;... (cioè tutti numeri che al quadrato sono < 2 ); approssimando per eccesso avremo invece: 2 ; 1,5 ; 1,42 ; 1,415 ; 1,4143 ;... (cioè tutti numeri che al quadrato sono >2) Per "riempire il buco" che abbiamo sulla retta in corrispondenza del "numero che al quadrato fa 2", aggiungiamo a Q tutti i decimali infiniti non periodici. Il numero: 1,4142... che sta fra tutti i decimali finiti che al quadrato sono < 2 e tutti quelli che al quadrato sono maggiori di due sarà il numero che stiamo cercando (naturalmente questo decimale non può essere periodico, altrimenti sarebbe un numero razionale): non è troppo difficile mostrare che elevato al quadrato esso non può essere né maggiore né minore di due, quindi deve dare 2! Tali decimali non periodici (quindi non in Q ) si dicono numeri irrazionali. Chiamiamo R, insieme dei numeri reali, l'insieme ottenuto, cioè quello ove abbiamo tutti i possibili decimali finiti ed infiniti, periodici (razionali) o meno (irrazionali). Rappresentano ad esempio dei numeri reali (irrazionali) espressioni come: 3,101001000100001... ; 0,1234567891011121314151617... ; 0,248163264128256..., dove la "legge" con si succedono le cifre è chiara, ma non c'è periodicità. Si possono definire operazioni di somma e prodotto in R che ci danno una struttura ( R, +, ) che estende Q,,, conservando tutte le proprietà che abbiamo visto, cioè in R,, per ogni numero diverso da zero esiste l'inverso rispetto al prodotto (e quindi si può sempre eseguire la 76
divisione per elementi diversi da 0) oltre ovviamente ad avere tutte le solite condizioni sulle operazioni: associatività, commutatività, esistenza degli elementi neutri, distributività. Inoltre si dà anche un ordinamento di R, che estende quello di Q, e tale ordine è denso (come in Q ) e completo (cosa che non avviene in Q ), cioè "non ci sono buchi": comunque faccia una successione crescente e limitata di numeri reali, come per la successione 1 ; 1,4 ; 1,41 ; 1,414 ; 1,4142 ;... che abbiamo visto prima, esiste un numero reale che viene approssimato da questa (per difetto: se prendo un analoga successione decrescente l'approssimazione avverrà per eccesso). In R si ha poi la seguente proprietà, che non si aveva in Q : Ogni equazione del tipo x2 = r, con r R, r 0, ha soluzione in R. Cioè in R è sempre eseguibile l'operazione di radice quadrata dei numeri positivi, dove per "radice quadrata di r ", si intende un numero positivo che moltiplicato per se stesso dia r. Tale numero si indica con r. Anzi, per ogni r > 0, esistono due numeri che elevati al quadrato danno r: e cioè ± r. Esempi: x 2 = 25 x = ±5 ; 3x 2-16 = 0 x 2 = 16/3 x = ± 4 3 x = ± 4 3 3 ; Notiamo nell'ultima scrittura che in presenza di frazioni ove appaia un denominatore irrazionale, si cerca (ove possibile) di scriverle con numeratore irrazionale e denominatore razionale (intero). Questo soprattutto perché nel trovarne il valore approssimato, sarà più semplice avere un decimale al numeratore da dividere per un intero. Nell'esempio in questione, si ha: 4 4 3 4 3 = = 3 3 3 3 Più in generale, per ogni numero naturale n > 0, si definisce l'operazione di radice n-esima di un numero reale r > 0, come quel numero positivo, se esiste, che elevato alla n dà r. In simboli: n r. Se r è un numero positivo, allora n r esiste sempre in R ; inoltre se r è intero, allora o il numero n r è anch'esso intero (ad esempio 3 27 = 3), oppure è irrazionale (si dimostra in modo analogo al caso di 2 ). Non è invece eseguibile in R la radice quadrata dei numeri negativi; infatti ogni numero reale elevato al quadrato risulta sempre positivo: un'espressione come 1 non ha alcun senso in R ; nello stesso modo non esistono le radici pari (quarte, seste, ecc.) dei numeri negativi. 6.2 Cenni sui numeri complessi C. L'ultima "estensione dell insieme dei numeri", a cui accenniamo soltanto, è proprio quella con la quale introduciamo il numero 1, di solito denotato con i e detto "unità immaginaria". I numeri complessi sono formati da espressioni del tipo a+ib, ove a,b R ed i è quella che abbiamo denotato come unità immaginaria. Le operazioni di somma e prodotto si svolgono secondo le regole usuali del calcolo letterale, tenendo conto che i 2 = -1; ad esempio (12+i) + (1+4i) = 13 + 5i ; (2+3i)(1-i) = 2-2i +3i -3i2 = 2+i + 3 = 5 + i ; (2+i)(2-i) = 4 - i2 = 4 - (-1) =5 ; [(1+i)/ 2 ]2 = (1+i)2/2 = (1-1+2i)/2 = i. 77
Nei numeri complessi si ha che ogni equazione polinomiale (di qualsiasi grado) è risolubile. Per rappresentare geometricamente i numeri complessi una retta non basta più; avremo invece bisogno di un piano (vedi Fig. 6.3): Fig. 6.3 I numeri reali si vedono "dentro" i complessi sull'asse orizzontale di Fig. 6.3 (asse reale), mentre sull'asse verticale appariranno i numeri immaginari puri (come i, 2i, 5i, e cioè tutti quelli che sono della forma ai, dove a R ). Naturalmente anche nella struttura C,,, varranno le proprietà delle operazioni che avevamo in R ; quello che però stavolta perdiamo è la struttura di ordine: in C non abbiamo un ordine compatibile con le operazioni. di grado n, come I numeri complessi hanno tante belle proprietà, ad esempio il fatto che ogni equazione polinomiale a n x n +a n-1 x n-1 + +a 1 x+a 0 = 0 ha sempre n soluzioni complesse (magari alcune coincidenti). Per esempio l equazione x 4-1 = 0 ha quattro soluzioni: 1, -1, i, -i., mentre se consideriamo x 3 1 3i 1 3i - 1 = 0, avremo tre soluzioni: 1,,. In generale, si ha che ogni numero 2 2 complesso ha 2 radici quadrate, tre radici terze, quattro radici quarte e così via. 78
7. Calcolo delle Probabilità. 7.1. La logica dell incerto. Il Calcolo delle probabilità si configura come un tentativo di dominare l incerto, cioè di dare delle leggi per regolare le nostre azioni dinanzi a fenomeni il cui andamento non è interamente prevedibile ad esempio, le leggi (espresse con formule matematiche) della fisica ci dicono come si muove la Luna attorno alla Terra, e ci permettono di prevedere le eclissi, ma non ci permettono di prevedere quale sarà il risultato di un lancio di dadi, o di una moneta: il movimento del sistema Terra Luna, pensate come due sfere soggette solo all attrazione di gravità reciproca, è meno complesso di quello di due dadi che ruzzolano su di un tavolo. Il calcolo delle probabilità ci consente di avere delle leggi che ci possono essere da guida in questi casi: non ci darà previsioni esatte, ma ci fornirà degli orientamenti su che cosa aspettarci. Ecco un esempio del tipo di domande a cui vogliamo fornire risposta: Qual è il risultato più probabile da ottenere se lanciamo due dadi? L esperienza mostra che non sempre le risposte ai quesiti che riguardano le probabilità sono quelle intuitivamente immediate, anzi che sono molto diffuse aspettative e considerazioni inesatte o infondate; vediamo alcuni esempi che analizzeremo in seguito: 1) Supponete di andare a giocare al lotto e che vi venga detto che sulla ruota della vostra città i numeri 27 e 45 non escono da più di sei mesi invece la settimana scorsa sono usciti i numeri 2, 23, 43, 65 e 84. Dovendo scegliere fra il giocare l ambo 27; 45 e quello 23; 43, ritenete preferibile il primo ambo rispetto al secondo? 2) Venite a sapere che in media 5 persone su mille sono malate di epatite e molti non lo sanno. Esiste un test per l epatite che offre il 98% di sicurezza (cioè il 98% delle risposte è esatto ed il 2% sbagliato), ed è quindi molto affidabile, tanto che in media ne vengano effettuati 2000 al giorno. Voi vi sottoponete al test e vi viene tristemente comunicato che siete risultati positivi La vostra probabilità di avere l epatite è allora del 98%? 3) Considerate il seguente gioco: da un mazzo di 40 carte il banco ne estrae una. Voi puntate 1 euro e vincete 1 euro sia che venga estratta una carta di coppe sia se viene estratta una figura (di qualsiasi seme), se la carta estrattà non è né coppe, né una figura perdete la vostra puntata. Vi conviene giocare? E se la vincita invece che alla pari fosse di 1,15 euro? 79
7.2 La probabilità: definizione ingenua. Ciò che considereremo adesso è una teoria ingenua della probabilità: daremo una definizione di probabilità definita tramite il linguaggio della teoria degli insiemi e verificheremo che tale definizione soddisfa certe aspettative minime che richiediamo da una tale teoria. Definiamo questa teoria ingenua perché non prenderemo in considerazione tutti i numerosi problemi di fondazione per realizzare una teoria della probabilità per esempio non ci addentreremo in cosa voglia dire che certi eventi hanno la stessa possibilità di verificarsi (ad esempio i possibili risultati del lancio di un dado o di una moneta non truccati); tali concetti sono infatti piuttosto problematici (come si verifica che testa o croce hanno le stesse possibilità di verificarsi?) e diverse scuole danno risposte diverse a questi problemi (per una discussione di ciò, vedi ad esempio [SA] ). Supponiamo di avere un insieme di eventi U, che considereremo come aventi tutti la stessa possibilità di accadere (come i sei risultati del lancio di un dado non truccato, o i risultati Testa e Croce nel lancio di una moneta). Sia A U un sottoinsieme (quindi una particolare classe di eventi), che in genere si indica come l insieme degli eventi favorevoli (pensando per esempio a quelli vincenti in un gioco) mentre U è detto l insieme di tutti gli eventi possibili. Definizione: Si dice probabilità di A, e si indica p(a), il numero razionale n A /n U ove n A è il numero di elementi di A ed n U è il numero di elementi di U. Quindi p(a) è il rapporto fra il numero di eventi favorevoli e il numero di tutti gli eventi possibili. Osserviamo che se il tipo di eventi indicato da A è impossibile, allora A =, e quindi n A = 0 e p(a) = 0; ad esempio se U è dato dai possibili esiti nel lancio di un dado, e considerassimo A = {esito maggiore di 8}, allora avremmo p(a) = 0. Se invece l evento di tipo A è certo, cioè se A = U, allora si ha ovviamente p(a) = 1, poiché n A = n U, e quindi p(a) = n U /n U = 1. Esempi: 1) Qual è la probabilità di ottenere un numero pari lanciando un dado? Se U è dato dai possibili esiti nel lancio di un dado avremo U = {1,2,3,4,5,6}, e se A = {esiti pari}, avremo A ={2,4,6}, cosicché p(a) = 3/6 = 1/2. 2) Qual è la probabilità di ottenere almeno una croce lanciando due monete? Se U è dato dagli esiti del lancio di due monete, avremo U = {TT, TC, CT, CC}, n U = 6, e se A = {esiti in cui esce almeno una croce}, allora p(a)= 3/4, infatti A ={TC, CT, CC}, quindi n A = 3. 3) Qual è la probabilità di vincere alla roulette puntando sul rosso? Se giochiamo in Europa, la roulette ha 37 numeri: dall uno al 36 (i numeri rossi o neri) più lo zero che è verde (negli USA ci sono anche delle roulette con 38 numeri perché hanno anche il doppio zero). Abbiamo quindi n U = 37, mentre se ad esempio A = {numeri rossi}, si ha n A = 18. Quindi la probabilità di vincere è p(a)= 18/37= 0,486 (un po meno di ½). Poiché se vinciamo la puntata viene pagata alla pari, il gioco è a favore del banco per quella piccola differenza fra 0,5 e 18/37. In assenza dello zero il gioco sarebbe perfettamente equo ( equo = ogni giocatore ha la stessa probabilità di vincere). 80
4) Qual è la probabilità di vincere alla roulette puntando sul numero 28? Se puntiamo sul numero 28 (come su ogni altro numero) per quanto visto prima abbiamo un unico evento per noi vincente (l uscita del 28) sui 37 possibili. La probabilità di vincere è quindi di 1/37. Poiché la vincita viene pagata 35 volte la posta giocata, anche in questo caso il gioco sarebbe equo se non ci fosse lo zero: in media giocando 36 volte si vincerebbe una volta, perdendo quindi 35 puntate che però riguadagneremmo con la vincita ma la presenza dello zero fa sì che si vinca in media una volta su 37, e quindi ogni 37 giocate ci si può aspettare di vincere una volta, incassando 35 puntate, ma di perdere 36 volte. Se ad esempio si puntasse un euro ogni volta, in media si perderebbe un euro ogni 37 giocate. Tutti i tipi di puntate che si possono fare alla roulette hanno la stessa caratteristica: sarebbero eque se non ci fosse lo zero che introduce quel trentasettesimo di differenza. Notiamo che comunque la roulette è molto più equa per i giocatori che non i più comuni giochi gestiti dal monopolio di stato quali il lotto, il Superenalotto, i gratta e vinci o la lotteria di capodanno. Spesso nel risolvere un quesito che riguarda la probabilità il primo problema è proprio quello di determinare n U, cioè di capire qual è il numero degli eventi possibili per il fenomeno che stiamo studiando. Ad esempio se ci chiediamo se sia più facile, lanciando due volte una moneta, ottenere due risultati uguali o due risultati diversi potremmo (sbagliando) ragionare così: "si possono avere in tutto 3 casi: o otteniamo 2 teste, oppure 2 croci, oppure una testa ed una croce." Quindi in tutto si avrà n U = 3. Poiché i casi in cui si ottengono due risultati uguali sono due (TT o CC), la probabilità dell evento A = avere due risultati uguali risulterebbe: p(a) = 2/3. Ma il ragionamento è errato, perché gli eventi possibili sono quattro e non tre! Infatti gli eventi sono dati dai risultati dei due lanci, e si ha quindi U = {TT, TC, CT, CC} (vedi Esempio 2), quindi si ha n U = 4 e p(a) = 2/4 = 1/2, e non 2/3! ESEMPIO: Consideriamo il seguente gioco, effettuato con un mazzo di 52 carte: Risposta: Pesca due carte qualsiasi dal mazzo Vinci se peschi due carte di uguale valore. Quante probabilità di vincere hai??? I "casi possibili", n U, sono dati da tutte le possibili coppie di carte in un mazzo di 52 carte; essi sono: 81
52 51 =1326 2 e questo rappresenta il numero degli eventi possibili (le possibili pescate di due carte). Come otteniamo questo numero? Vediamo: Abbiamo 52 possibilità per la prima carta, e poi 51 per la seconda; questo dà 52 51 coppie possibili, ma dobbiamo dividere per due questo numero perché abbiamo contato 2 volte ogni coppia; ad esempio la coppia (3, K ) è stata contata anche come (K, 3 ), mentre non ci interessa distinguere l ordine in cui le due carte sono state pescate. Quante sono invece le coppie di carte dello stesso valore? Consideriamo, ad esempio, gli assi: ci sono quattro assi nel mazzo: A, A, A, A, e con essi si possono formare 6 diverse coppie: (A, A ), (A, A ), (A, A ), (A, A ), (A, A ), (A, A ). Quindi le coppie di carte di uguale valore (e cioè gli eventi favorevoli) sono 6 per ognuno dei 13 possibili valori di una carta {A, 2, 3,,10, J, Q, K}, infatti ci sono 4 carte di ogni valore e quindi 4 3 = 2 6 diverse coppie formate con quelle 4 carte, come abbiamo visto per gli assi; in tutto quindi avremo 6 13 = 78 diverse coppie di carte di uguale valore. 78 La probabilità di vittoria a questo gioco è quindi = 0,058, cioè un po maggiore del 5,8%. 1326 7.3 Proprietà delle probabilità Vediamo adesso quali sono le proprietà fondamentali della probabilità così come l abbiamo definita; premettiamo una ulteriore definizione che useremo nella proprietà 4): siano A,B sottoinsiemi di U (il nostro insieme di tutti gli eventi che consideriamo); indichiamo con p(b A ) la probabilità che si verifichi B una volta che si sia verificato A, cioè quando l universo degli eventi si è ristretto da U ad A. Il valore di tale na B probabilità è quindi dato dalla quantità: n. A Le proprietà fondamentali della funzione di probabilità, p: U, che abbiamo definito, sono: 1) p(u) = 1 ; p( ) = 0 ; 2) A U, se A e A U, allora 0 < p(a) < 1 ; 3) A, B U, p(a B) = p(a) + p(b) - p(a B) ; 4) A, B U, p(a B) = p(a) p(b A ) ; Dimostrazione: Le prime due proprietà sono ovvie dalla definizione di probabilità. Per la terza, si ha: p(a B) = La quarta proprietà è quasi immediata: na B na + nb na B n = U n = p(a) + p(b) - p(a B). U p(a B) = na B n = U na n na B U A n = p(a) p(b A ). 82
Notiamo in particolare che: 5) se A e B si escludono a vicenda (cioè se A B = ), allora in 3) si ha p(a B) = p(a) + p(b) (infatti p(a B)=0). 6) Se A e B sono statisticamente indipendenti (cioè il verificarsi di A è indipendente dal verificarsi di B) allora: p(a B) = p(a) p(b) 7) sia A l insieme complementare di A (cioè l insieme degli elementi di U che non stanno in A). Allora: p(a ) = p(u) - p(a) = 1 - p(a). Cioè, se p(a) è la probabilità che si verifichi l evento A, la probabilità che esso non si verifichi è 1- p(a). Esempi: Consideriamo il seguente gioco: tiriamo un dado e vinciamo se il risultato è dispari oppure un numero primo. Avremo allora: U = {1,2,3,4,5,6}, e se A = {esiti dispari} = {1,3,5}, mentre B = {esiti primi} = {2,3,5}, allora la probabilità di vincita è (dalla 5): 1 p(a B) = p(a) + p(b) - p(a B) = 2 + 1 2-1 3 = 2 3. Infatti A B = {3, 5}, quindi p(a B) = 1 3. Vediamo ancora di vedere la probabilità di A B usando la 4); si ha che p(b A ) è la probabilità che sia uscito un numero primo dato che si è avverato A, cioè è uscito un dispari. I dispari sono {1,3,5} = A, e di essi solo 2 sono primi, cosicché p(b A ) = 2 3 e p(a B) = p(a) p(b A) = 1 2 2 3 = 1 3. 7.4 Elementi di calcolo combinatorio. Abbiamo visto, nell esempio del gioco in cui si pescano due carte, che talvolta il problema è saper valutare il numero degli eventi in considerazione; vediamo adesso alcune considerazioni che ci forniranno degli strumenti a questo scopo. Permutazioni Se abbiamo un insieme con n elementi: A = {a 1, a 2, a 3,, a n}, in quanti modi diversi possiamo ordinarli? Ogni diverso ordine in cui consideriamo gli elementi si dice una permutazione di A. Ad esempio se n=3 si hanno 6 possibili permutazioni: {a 1, a 2, a 3}, {a 1, a 3, a 2}, {a 2, a 1, a 3}, {a 2, a 3, a 1}, {a 3, a 2, a 1}, {a 3, a 1, a 2}. In generale, è facile vedere che si possono avere: n! = n(n-1)(n-2) 3.2.1 permutazioni distinte, infatti abbiamo n scelte per il primo elemento, poi (n-1) scelte per il secondo, (n-2) per il terzo e così via, fino all n-esimo, per cui abbiamo una sola scelta. Usiamo il simbolo n! per indicare questo prodotto di tutti i numeri da n ad 1; avremo 2! = 2, 3! = 6, 4! = 24, 5! = 120, Disposizioni Se adesso consideriamo di nuovo l insieme A = {a 1, a 2, a 3,, a n}, ed un numero k n, possiamo chiederci quante diverse k-uple (cioè sottoinsiemi di k elementi) ordinate possiamo estrarre da A. Chiameremo queste le disposizioni di k oggetti fra gli n dati. Ad esempio, se A = {a 1, a 2, a 3}, le disposizioni di 2 elementi fra i tre dati sono sei: (a 1, a 2), (a 1, a 3), (a 2, a 1), (a 3, a 1), (a 2, a 3), (a 3, a 2). In generale il numero delle disposizioni sarà: n(n-1)(n-2) (n-k+1) 83
infatti abbiamo n scelte per il primo elemento, poi (n-1) scelte per il secondo, (n-2) per il terzo e così via, fino al k-esimo, per cui abbiamo (n-k+1) scelte. Nel caso ora visto avevamo infatti 3.2=6 scelte. Osserviamo che il numero delle disposizioni si può anche scrivere: n! n(n-1)(n-2) (n-k+1) = ( n k )!. Esempio: Se in una corsa corrono 17 atleti, quanti diversi ordini di arrivo per il podio si possono avere? Poiché sul podio ci sono 3 posti, dobbiamo calcolare il numero di disposizioni di 3 oggetti su 17, che sarà: 17.16.15 = 4080. Combinazioni Invece una combinazione di k elementi fra n dati è un sottoinsieme di A = {a 1, a 2, a 3,, a n}, ove non si tiene conto dell ordine degli elementi (come ad esempio nel gioco con l estrazione di due carte che abbiamo visto prima). Se ad esempio consideriamo di nuovo A = {a 1, a 2, a 3}, le combinazioni di 2 elementi di A sono solo 3: {a 1, a 2}, {a 1, a 3}, {a 2, a 3}. In generale il numero delle combinazioni è: n k = n( n 1)...( n k 1) + n! k! = ( n k)! k! n Per cui si usa il simbolo k che si legge n su k. La formula si dimostra osservando che possiamo prima considerare le disposizioni, che sono n(n-1)(n-2) (n-k+1), e poi dividerle per k! che è il numero di volte che compare la stessa disposizione con l ordine permutato. Esempio: Quante sono le possibili estrazione dei 5 numeri del lotto su una ruota? I numeri sono 90, quindi dobbiamo calcolare 90 = 90.89.88.87.86 5.4.3.2 = 43.949.268. 5 Quindi la probabilità di azzeccare una cinquina giocando 5 numeri su una ruota è 1/ 43949268. Vediamo invece le probabilità per un ambo. Supponiamo di giocare l ambo 2 43 sulla ruota di Napoli. Il numero degli eventi possibili è dato da tutte le possibili cinquine estraibili, ed è stato calcolato nell esempio precedente: n U = 43949268. Quante sono invece le cinquine che contengono il nostro ambo? L insieme A degli eventi favorevoli è composto dalle cinquine del tipo: {2,43,a,b,c} (l ordine non conta). Quindi il numero di queste cinquine sarà dato da tutte le possibilità per la terna {a,b,c}, che può variare fra gli 88 numeri diversi da 2 e 43; quindi avremo in tutto: 88 88.87.86 n A = = 3.2 = 109736 3 cinquine vincenti, e quindi la nostra probabilità di vittoria sarà: p(a) = 109736/43949268 = 0,00249 Pari (con una leggera approssimazione) allo 0,25%, cioè a 25/10000 = 1/400. Proviamo adesso a risolvere lo stesso problema per un altra strada: vediamo quante sono le probabilità di non vincere. Non vinciamo se nessuno dei due numeri esce, oppure se ne esce solo uno. Gli eventi in cui non esce nessuno dei due numeri giocati sono dati da tutte le cinquine dove non appaiono né il 2 né il 43. Quanti sono? Saranno tutte le composizioni di 5 elementi su 88 (90-2), e quindi : 84
88 = 88.87.86.85.84 5.4.3.2 = 39175752 5 L altro caso in cui non vinciamo è quello in cui esca il 2 ma non il 43 o viceversa. Quante sono le cinquine che contengono il 2 ma non il 43? Tenendo conto che il 2 è fissato, e che il 43 non ci deve essere, esse sono del tipo: {2,a,b,c,d}, ove a,b,c,d possono variare fra gli 88 numeri diversi da 2 e da 43; avremo quindi in tutto: 88 = 88.87.86.85 4.3.2 = 2331890 4 cinquine che contengono il 2 e non il 43. Naturalmente un calcolo analogo ci darà anche 2331890 cinquine che contengono il 43 e non il 2. Quindi in tutto il numero dei casi sfavorevoli, cioè quelli ove non vinciamo, è: 39175752 + 2331890 + 2331890 = 43839532. Quindi la probabilità di non vincere è: 43839532/43949268 = 0,99750 Allora la probabilità di vincere risulterà, dalla proprietà 7) e con una leggera approssimazione, pari a: 1-0,9975 = 0,0025 in completo accordo con quanto visto prima. 7.5 Risposte ai quesiti iniziali Tutto quanto abbiamo visto ci dà la possibilità di dare una risposta ai quesiti che ci eravamo posti all inizio; vediamoli uno ad uno. - Qual è il risultato più probabile da ottenere se lanciamo due dadi? I risultati possibili del lancio di due dadi sono: 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12. Ma non sono equiprobabili! Essi sono i risultati possibili, ma non gli eventi possibili! Gli eventi in questo caso sono i possibili risultati di un lancio dei due dadi, e cioè le coppie di valori risultanti sulla faccia del primo e su quella del secondo dado sono quindi tutte le possibili coppie ordinate (a,b), con a,b {1,2,3,4,5,6}. Per ognuna delle possibili 6 scelte per a abbiamo 6 possibili scelte per b, e quindi abbiamo in tutto 36 eventi possibili. La seguente tabella mostra tali eventi, riportando direttamente il risultato a + b : Possiamo così notare, ad esempio, che il risultato 8, appare 5 volte su 36, corrispondendo agli eventi: (6,2), (5,3), (4,4), (3,5), (2,6). Il risultato più probabile risulta essere il 7, che può uscire in 6 modi diversi, e quindi la sua probabilità è: 6/36 = 1/6. Invece il 2 ed il 12 sono i risultati meno probabili, avendo entrambi la probabilità 1/36. 85
- Supponete di andare a giocare al lotto e che vi venga detto che sulla ruota della vostra città i numeri 27 e 45 non escono da più di sei mesi invece la settimana scorsa sono usciti i numeri 2, 23, 43, 65 e 84. Dovendo scegliere fra il giocare l ambo 27; 45 e quello 23; 43, ritenete preferibile il primo ambo rispetto al secondo? Per quanto abbiamo visto, per tutti gli ambi la probabilità si calcola allo stesso modo, e non è naturalmente influenzata da cosa sia accaduto nell estrazione precedente! Le palline contenenti i numeri da estrarre non sono più facili da estrarre se il loro numero non esce da un anno Quindi nella domanda sopra si ha che i due ambi sono del tutto equiprobabili, ed è quindi indifferente giocare l uno o l altro. Nonostante queste elementari osservazioni, continuano a prosperare rubriche sui giornali, nelle trasmissioni televisive od altro che tengono nota e consigliano i numeri in ritardo per le giocate del lotto! - Venite a sapere che in media 5 persone su mille sono malate di epatite e molti non lo sanno. Esiste un test per l epatite che offre il 98% di sicurezza (cioè il 98% delle risposte è esatto ed il 2% sbagliato), ed è quindi molto affidabile, tanto che in media ne vengano effettuati 2000 al giorno. Voi vi sottoponete al test e vi viene tristemente comunicato che siete risultati positivi La vostra probabilità di avere l epatite è allora del 98%? No, non è così alta. Come mai? Consideriamo quali sono gli eventi possibili: nel giorno in cui avete fatto il test, ne sono stati fatti 2000; poiché 5 persone su mille hanno l epatite, ci saranno 10 persone fra quelle 2000 che ne sono affetti, e 1990 che non lo sono. Il 98% di queste 1990 persone avrà un risultato negativo dal test, e cioè circa 1950, ma altre 40 persone (il 2%) risulterà positivo per un errore del test. Quindi in tutto si avranno 50 test positivi, ma solo 10 riguarderanno persone effettivamente malate, gli altri saranno errori. Allora se avete avuto un test positivo, la probabilità di essere malato è 10/50 = 1/5, pari al 20% e non al 98%!! La risposta può sembrare strana, per esempio può sembrare che dipenda da quante persone hanno effettuato il test quel giorno, cosa che pare indifferente rispetto al vostro risultato positivo In effetti la risposta non dipende da quanti erano i test quel giorno; il seguente grafico vi mostra la situazione per un qualsiasi numero x di test effettuati: 249 Avrete sempre 10000. x test positivi (tra veri e falsi), fra i quali solo 49 10000. x 1 corrispondono a persone effettivamente malate, e cioè circa, qualsiasi sia x. 5 86
- Considerate il seguente gioco: da un mazzo di 40 carte il banco ne estrae una. Voi puntate 1 euro e vincete 1 euro sia se la carta estratta è una carta di coppe che se è una figura (di qualsiasi seme), altrimenti perdete la vostra puntata. Vi conviene giocare? E se la vincita invece che alla pari fosse di 1,15 euro? Vediamo quante sono le probabilità di vincita. Se A = esce una coppe, e B = esce una figura, allora gli eventi vincenti sono dati da A B. Nel mazzo ci sono 10 carte di coppe, quindi p(a)=10/40; mentre le figure sono 12, quindi p(b) = 12/40. Per la proprietà 3), si ha che p(a B) = p(a) + p(b) - p(a B) ; qui la probabilità di p(a B) è data dalla probabilità che esca una figura di coppe; tale probabilità è 3/40; quindi la probabilità di vincere è: p(a B) = 10/40 + 12/40 3/40 = 19/40. Poiché la probabilità di vincere è minore di ½, il gioco non è equo nella prima ipotesi (vincita e perdita entrambe di un euro): in media ogni 40 giocate vinceremo 19 volte e perderemo 21 volte, rimettendoci 2 euro. Nell ipotesi che la vincita sia pagata invece 1,15 euro, vediamo ancora cosa accade su 40 giocate: in media perderemo 21 volte, perdendo 21 euro, e vinceremo 19 volte, vincendo 19 1,15 = 21,85 euro. Quindi in questa ipotesi il gioco ci risulta vantaggioso, anche se di poco. 87