Probabilità discreta Daniele A. Gewurz 1 Che probabilità c è che succeda...? Una delle applicazioni della combinatoria è nel calcolo di probabilità discrete. Quando abbiamo a che fare con un fenomeno che può avere diversi esiti, alcuni dei quali consideriamo favorevoli e altri sfavorevoli (per esempio un lancio di dado dal quale vogliamo ottenere un certo punteggio), ed è possibile contare questi esiti, allora è anche possibile calcolare la probabilità di ottenere un esito favorevole. Il principio basilare è che la probabilità di ottenere un esito favorevole è uguale al numero di esiti favorevoli diviso per il numero di esiti possibili. (Ricordiamo che nel calcolo delle probabilità, la probabilità di un evento è un numero compreso tra 0 e 1: in prima approssimazione, 0 corrisponde all impossibilità e 1 alla certezza.) Un esempio semplice è dato dal lancio di un dado a sei facce numerate da 1 a 6. Poniamo di considerare favorevole un punteggio di 5 o 6. Allora gli esiti favorevoli sono due, mentre gli esiti possibili sono sei (tutti i possibili risultati che può dare il lancio del dado). Quindi la probabilità di un esito favorevole è pari a /6, cioè 1/3. Chiaramente qui stiamo assumendo che il dado sia bilanciato, cioè che ogni risultato sia ugualmente probabile. Più formalmente, chiamiamo X l insieme di tutti gli esiti possibili, detto anche spazio campione. Qualsiasi sottoinsieme Y X è detto evento; in quello che abbiamo detto finora fissiamo la nostra attenzione su un particolare evento, e consideriamo i suoi elementi come esiti favorevoli. Allora la probabilità P(Y ) che si realizzi un certo evento (cioè che un dato fenomeno abbia esito favorevole) è data da: P(Y ) = Y X. Quindi, in questi casi, il problema di calcolare una probabilità si riconduce a quello di calcolare le cardinalità di due insiemi: quella di tutto lo spazio campione e quella dell evento che ci interessa. E la combinatoria ci dà numerosi strumenti per calcolare le cardinalità di opportuni insiemi. Esempio: Ottenere k teste su n lanci di moneta. Supponiamo di voler tirare per quattro volte di seguito una moneta, e di voler ottenere testa almeno tre 1
volte. Qual è la probabilità che ciò accada? Descriviamo i risultati di una serie di lanci con una stringa di 1 e 0, in cui 1 rappresenta testa e 0 rappresenta croce. Quindi un serie di lanci in cui si ottenga testa-croce-testa-testa verrebbe rappresentata con la stringa 1011. Tutte le possibili serie di quattro lanci (o equivalentemente, tutte le possibili stringhe di lunghezza 4 composte da due simboli) sono 16 = 4 ; il nostro spazio campione X ha quindi cardinalità 16. Quante di queste serie di lanci compongono l evento che ci interessa, quello delle serie con almeno tre teste? Facendo il conto a mano, si vede che o tutti e quattro i lanci hanno devono dare come risultato testa, o ci deve essere un unica croce che può trovarsi in una qualsiasi delle quattro posizioni: quindi gli eventi favorevoli corrispondono alle cinque stringhe 1111, 0111, 1011, 1101 e 1110. Perciò la probabilità di ottenere il risultato richiesto è pari a 5/16. Generalizziamo questa situazione. Qual è la probabilità di ottenere almeno, o esattamente, k teste lanciando una moneta n volte? I possibili esiti di n lanci di una moneta sono n : infatti, ci sono due possibilità per il risultato del primo lancio; ce ne sono di nuovo due per il risultato del secondo, che è indipendente dal primo, e così via. Come detto sopra, stiamo semplicemente contando le stringhe di lunghezza n, o n-ple, composte da due simboli, per esempio 0 e 1. Quindi lo spazio campione X ha cardinalità n. Ricordiamo che queste n-ple, a loro volta, descrivono ognuna un sottoinsieme dell insieme {1,,...,n}: infatti la presenza di un 1 nella i-esima posizione corrisponde a dire che l elemento i appartiene al sottoinsieme. Per esempio, per n = 5, la stringa 01001 corrisponde alla presenza del secondo e quinto elemento, cioè al sottoinsieme {, 5} dell insieme {1,, 3, 4, 5}. Consideriamo prima i lanci in cui testa compare esattamente k volte. Dobbiamo cioè contare le n-ple contenenti esattamente k cifre 1. Per contarle, dobbiamo contare tutti i modi in cui possiamo scegliere esattamente k posizioni tra le n a nostra disposizione. Per definizione di coefficiente binomiale, queste scelte sono esattamente ( n k), che è quindi la cardinalità dell evento Yk che stiamo considerando. Di nuovo, le n-ple con esattamente k cifre 1 corrispondono ai sottoinsieme con esattamente k elementi. Per esempio, le ( 5 ) = 10 stringhe di lunghezza 5 con due cifre 1 corrispondono ai 10 sottoinsiemi di cardinalità di {1,,3,4,5}: la stringa 11000 corrisponde a {1, }, 10100 corrisponde a {1, 3} e così via. Quindi la probabilità di ottenere esattamente k risultati testa su n lanci è pari a Y k / X, cioè a ( n k) / n. E se ci interessa sapere qual è la probabilità di ottenere almeno k teste, basterà considerare come nuovo evento l unione degli eventi Y k, Y k+1,..., Y n : chiamiamo Y questo nuovo evento. Osserviamo che Y k, Y k+1,..., Y n sono disgiunti tra loro (per esempio, se in una serie di lanci si sono
ottenute esattamente 3 teste non se ne sono ottenute anche esattamente 4). Quindi la cardinalità di Y è uguale alla somma delle cardinalità di Y k, Y k+1,..., Y n, cioè: n n ( ) n Y = Y i =. i In conclusione, la probabilità di ottenere almeno k teste in n lanci è: ( n i) i=k P(Y ) = n i=k i=k n. Attenzione, se gli eventi che stiamo studiando non sono disgiunti, cioè se hanno qualche elemento in comune, non è più sufficiente sommare le loro cardinalità: bisogna invece calcolare la cardinalità della loro unione. Per esempio, se in un lancio di dado vogliamo ottenere un numero dispari oppure un numero minore di 4, l evento A che ci interessa è dato dall unione di B = {numeri dispari compresi tra 1 e 6} = {1, 3, 5} e di C = {numeri compresi tra 1 e 6 minori di 4} = {1,,3}. Ora, B ha cardinalità 3, C ha cardinalità 3, ma A = B C non ha cardinalità 3+3 = 6, bensì 4, perché A = {1,,3,5}. Quindi la probabilità di ottenere un risultato favorevole, in questo caso, è pari a 4/6. Vari problemi analoghi a questo si possono affrontare nello stesso modo. In particolare, finché consideriamo problemi sugli esiti di lanci di monete e chiediamo che probabilità ci sia che una serie di n lanci abbia una certa proprietà, la risposta sarà sempre data da una frazione il cui denominatore sarà n e rimarrà solo da calcolare quante successioni di lanci abbiano la proprietà richiesta. Per esempio, la probabilità che, su n lanci, in tutti gli ultimi k si ottenga testa si può ottenere calcolando quante sono le successioni di n cifre 0 e 1 tali che le ultime k siano uguali a 1. Ovviamente, visto che non abbiamo vincoli sulle prime n k cifre mentre le ultime k sono fissate, otteniamo n k possibili successioni. Dividendo per il solito denominatore n, otteniamo una probabilità pari a n k / n, cioè 1/ k. Esempio: Poker. Nel gioco del poker, si distribuiscono le carte da un mazzo in modo che ogni giocatore riceva una mano di cinque carte; deve fare in modo, eventualmente cambiando alcune delle carte in mano, di avere la combinazione di maggior valore possibile. In una delle varianti del poker (negli esercizi verranno prese in considerazione altre varianti), si gioca con tutte e 5 le carte di un mazzo completo di carte francesi (con quattro semi, per ognuno dei quali ci sono 13 carte, di valore crescente dal al 10, più fante, regina, re e asso). Il numero di mani possibili per un giocatore, cioè di possibili 5-sottoinsiemi dell insieme di 5 carte di tutto il mazzo, è naturalmente uguale al coefficiente binomiale ( ) 5 5 = 598 960. Ora calcoleremo la probabilità di ottenere alcune delle combinazioni del poker che, come negli esempi precedenti, si troverà dividendo il 3
numero di mani che realizzano la combinazione voluta per il numero di tutte le mani possibili. (In quello che segue considereremo solo la probabilità di ottenere una data combinazione servita, cioè senza considerare la possibilità di cambiare alcune carte.) Un poker, inteso come combinazione di carte, è composto da quattro carte di uguale valore, più una quinta carta qualsiasi. Quanti sono i poker possibili? Ci sono 13 possibilità per il comune valore di queste quattro carte, e la quinta carta può essere una qualsiasi delle 48 (= 5 4) carte rimanenti. Quindi ci sono 13 48 = 64 poker possibili. La probabilità di ottenere un poker servito, giocando con tutte le 5 carte, è quindi pari a 64/ ( ) 5 5 cioè circa,4 10 4. Un full è composto da tre carte di valore uguale e da due carte che abbiano a loro volta valore uguale (e diverso dal primo!). Per esempio, tre assi e due 7 costituiscono un full. Per contare i possibili full, possiamo fare così: 1. consideriamo i 13 possibili valori per la carta ripetuta tre volte e ne scegliamo uno;. fisstao questo valore, scegliamo i tre semi che compariranno nel full: questo si può fare in ( 4 3), cioè 4, modi possibili; 3. ora rimangono 1 scelte possibili per la carta ripetuta due volte; 4. quali due carte compariranno, tra le quattro con quel valore, si può scegliere in ( 4 ) = 6 modi. Complessivamente, ci sono 13 4 1 6 = 3744 possibili full. Ne segue che la probabilità che una mano scelta a caso sia un full è 3744/ ( ) 5 5, che è dell ordine di grandezza di 1 su 1000. Una doppia coppia, come suggerisce il nome, è costituita da due carte di un certo valore, due carte di un altro valore e una quinta carta di una valore diverso dai primi due. Quindi il numero di possibili doppie coppie si può calcolare facilmente: dobbiamo scegliere un insieme di due valori tra i tredici possibili, quelli delle due carte che compaiono due volte; poi per ognuno dei due valori bisogna scegliere i due semi su quattro; infine si deve scegliere ancora un valore tra gli undici rimanenti e il relativo seme (per la carta spaiata). In tutto ci sono quindi ( ) ( 13 4 ) 11 4 doppie coppie, cioè 13 55. (Si verifica quindi che la probabilità che una mano a caso sia una doppia coppia è dell ordine di grandezza di 1 su 0.) Notiamo che se avessimo scelto per primo la carta il cui valore compare una volta sola, e poi avessimo costruito la doppia coppia considerando solo i 1 valori rimanenti, avremmo ottenuto ovviamente lo stesso risultato, ma espresso diversamente: 5 (1 ) ( 4. ) Senza svolgere esplicitamente i calcoli, possiamo concludere 4
quindi che ( ) 13 ( ) 4 44 = 5 oppure che ( ) 13 11 = 13 ( ) 1 ( ) 1. ( ) 4, Questo tipo di ragionamento, applicato in casi più generali (cioè dipendenti da alcune variabili anziché riferiti a un caso specifico con valori fissati), è alla base del cosiddetto doppio conteggio : calcolando in due modi diversi la cardinalità di un certo insieme otteniamo un uguaglianza tra due numeri o tra due espressioni. Che probabilità c è che succeda più volte o mai...? Consideriamo il seguente problema relativo ad alcuni lanci di un normale dado a sei facce. Abbiamo visto prima che la probabilità di ottenere 5 o 6 in un dato lancio è uguale a 1/3. Qual è la probabilità di ottenere 5 o 6 in ognuno di tre lanci consecutivi? I possibili esiti di tre lanci, cioè le possibili terne (a, b, c) di numeri compresi tra 1 e 6, sono 16 (cioè 6 3 ). Al solito, ora ci basta contare quante di queste terne sono composte solo di 5 e 6: tali terne sono 8 (per ogni posizione abbiamo due scelte). La probabilità cercata è quindi 8/16, cioè 1/7. C è un altro modo per ricavare la stessa probabilità. Ricordiamo che la probabilità che si verifichino vari eventi tra loro indipendenti (cioè, informalmente, i cui esiti non si influenzano a vicenda) è data semplicemente dal prodotto delle probabilità dei singoli eventi. Quindi, visto che la probabilità di ottenere 5 o 6 in un singolo lancio è 1/3, la probabilità di ottenerli in tre lanci consecutivi è (1/3) 3 = 1/7, riottenendo il risultato appena trovato. E che probabilità abbiamo che in almeno un lancio su tre si ottenga un risultato di 5 o 6? Stavolta dobbiamo contare le terne (a, b, c) in cui almeno uno dei tre valori sia pari a 5 o a 6. Il modo più semplice è contare quelle in cui nessuno dei valori è 5 o 6, e sottrare questo numero da 16, il numero di tutte le terne. Se nessun valore deve essere 5 o 6, possiamo prendere in considerazione solo i numeri da 1 a 4, e quindi abbiamo 4 3 = 64 terne; quindi quelle in cui compare almeno una volta un 5 o un 6 sono 16 64 = 15, e la probabilità di ottenere una di queste è quindi 15/16 = 19/7, poco più di 0,7. Come prima, possiamo ottenere questa probabilità complessiva (quella di ottenere almeno un 5 o 6 su tre lanci) a partire dalla probabilità di un singolo lancio; ma non basta ovviamente prenderne la terza potenza, altrimenti riotterremmo il risultato di 1/7. 5
Ricordiamo che se p è la probabilità che un certo evento si verifichi, dove p è un numero compreso tra 0 e 1, allora la probabilità che non si verifichi è uguale a 1 p. Questa semplice considerazione è utile in circostanze in cui ci interessa che si verifichi almeno una tra varie circostanze, come qui. La probabilità di non ottenere mai l esito cercato (nel nostro caso il risultato di 5 o 6) in k lanci è uguale a (1 p) k ; quindi la probabilità di ottenerlo almeno una volta è 1 (1 p) k. Nel nostro caso troviamo 1 (1 1/3) 3 = 1 8/7 = 19/7, come sopra. 3 Esercizi 1. Lanciamo una moneta n volte: ogni volta che otteniamo testa guadagniamo un punto e ogni volta che otteniamo croce ne perdiamo uno. Qual è la probabilità di totalizzare 0 punti? Di totalizzarne uno? Di totalizzarne k?. Qual è la probabilità di lanciare una moneta n volte e ottenere sempre la stessa faccia? E di lanciarla 10 volte e ottenere 8 o più volte la stessa faccia? 3. Considerate tutte le possibili combinazioni del poker e calcolate la probabilità di ottenerle: è vero che il valore stabilito dalle regole del poker è tanto maggiore quanto minore è la loro probabilità? (Chiaramente, considerando la possibilità di cambiare alcune carte e i fattori psicologici del gioco, il valore delle varie combinazioni nella pratica può essere diverso da quello che suggeriscono le sole probabilità.) 4. Nella variante più diffusa in Europa, anziché con tutte le carte si gioca solo con quelle da 11 (numero di giocatori) all asso (per esempio, in cinque si usano le carte dal 6 in poi). Come cambiano le probabilità di ottenere le varie combinazioni? Nel gioco all americana con 5 carte il full ha valore maggiore del colore (cinque carte dello stesso seme), al contrario di quello che accade nel gioco all europea. Che cosa succede per le rispettive probabilità? 5. Qual è la probabilità di ottenere 7 lanciando due dadi a sei facce e sommando i risultati? Qual è la probabilità di ottenere k (k =, 3,..., 1)? 6. Che probabilità c è che k persone prese a caso compiano gli anni tutte il 1 gennaio? (Si consideri ugualmente probabile nascere qualsiasi giorno dell anno e si ignori il 9 febbraio.) E che probabilità c è che k persone compiano gli anni lo stesso giorno, se non fissiamo a priori questa data? 7. In un gruppo di n persone, qual è la probabilità che almeno due siano nate lo stesso giorno dell anno? Ultimo aggiornamento: 0.4.008 6