Parte 4 Modellazione a Parametri Concentrati

Meccanica delle Vibrazioni II modulo 4 1

Modello di un azionamento con controllo di posizione e velocità Nel seguito viene mostrato un esempio di modello di una trasmissione meccanica e del relativo azionamento. L azionamento, mostrato in Fig. E.1, è costituito da un motore elettrico a corrente continua con controllo in loop di corrente (vedi Fig. E.4) che applica una coppia motrice ad un mandrino che, a sua volta, trasmette il moto ad una pinza terminale attraverso un albero intermedio. Il moto viene controllato in posizione ed in velocità confrontando le letture di posizione e velocità fornite da due encoder montati in prossimità del mandrino. In Fig. E.4 è mostrato uno schema del sistema di controllo. MOTORE MANDRINO PINZA θ 1 θ 2 ENCODER θ 3 Fig. E.1 Schema della trasmissione. Meccanica delle Vibrazioni II modulo 4 44

Fig. E.2 Schema dell intero azionamento. Fig. E.3 Legge di moto, regolatore di posizione e di velocità. Fig. E.4 Modello Motore Elettrico con controllo in loop di corrente Meccanica delle Vibrazioni II modulo 4 45

Meccanica delle Vibrazioni II modulo 4 46 Modello Motore Elettrico a Corrente Continua Fig. E.5 Schema del motore elettrico Equazione del circuito d armatura (i q corrente di armatura, v q forza contro-elettromotrice, e q tensione ai capi del circuito di armatura, R resistenza di armatura, L induttanza di armatura): () () () () t e t v t t i L t i R q q q q = + + d d () () () () s E s V s I s L s I R q q q q = + + La forza contro-elettromotrice si può esprimere in funzione della velocità del rotore (K b costante di forza contro-elettromotrice): () () t K t v m b q ϑ = () () s s K s V m b q Θ = La coppia motrice C m è proporzionale alla corrente (K c costante di coppia): () () t i K t C q c m = () () s I K s C q c m = Le due precedenti, sostituite nell equazione del circuito di armatura, forniscono: ( ) () () ) ( s s K s E K s C s L R m b q c m Θ = + () () s L R s s K s E K s C m b q c m + Θ = ) ( Infine, ricordiamo che è: K c = K b. Campo fisso R L e q (t) i q v q (t) θ m (t ) C m (t )

Modello Meccanico Il modello meccanico ha tre gradi di libertà. La prima coordinata è associata all inerzia del motore elettrico. La seconda e la terza sono associate a due inerzie della trasmissione meccanica a valle del motore elettrico. Le equazioni del moto sono le seguenti: J J J ϑ m C k ( ϑ ϑ ) + c ( ϑ ϑ ) m = m + 1 2 m 1 2 ( ϑ ϑ ) c ( ϑ ϑ ) + k ( ϑ ϑ ) + ( ϑ ) 2ϑ2 = k1 2 m 1 2 m 2 3 2 c2 3 ϑ2 ( ϑ ϑ ) ( ϑ ) 3ϑ3 = k2 3 2 c2 3 ϑ2 m I trasduttori di posizione e velocità sono montati in corrispondenza dell inerzia J 2 per cui si ha: ϑ E = ϑ 2 e ϑ ϑ E = 2 Dati numerici Fig. E.6 Schema del modello meccanico Dati del motore elettrico: L = 0.003 [Vs/A] R = 0.4 [Ohm] J m = 0.6 kgm 2 K c = 5 [Nm/A] K b = 5 [Vs/rad] Parametri dei controllori ad azione Proporzionale Integrale 1 G( s) = K p 1 + Ti s Anello di corrente Kp c = 8 [V/A] Ti c = 0.002 [s] Anello di velocità Kp v = 95 [Nm/(rad/s)] Ti v = 0.1 [s] Anello di posizione Kp p = 72 [1/s] Ti p = 1000 [s] (di fatto è un controllo ad azione Proporzionale) Parametri del modello meccanico (Velocità di rotazione = 20 rpm) J 2 = 0.085 kgm 2 J 3 = 0.085 kgm 2 k 1 = 1.15 10 6 Nm/rad k 2 = 1.15 10 5 Nm/rad c 1 = q k 1 c 2 = q k 2 q = 10 5 s Meccanica delle Vibrazioni II modulo 4 47

Risultati 50 Legge teorica - spostamento [deg] Fig. E.7 Schema dell intero modello 40 30 20 10 0 0 100 200 300 [deg] Fig. E.8 Legge teorica (spostamento). 50 Legge teorica - velocita' [deg/s] 0-50 0 100 200 300 [deg] Fig. E.9 Legge teorica (velocità). 4 x Errore meccanico X2-X1 [deg] 10-5 3 2 1 0-1 -2-3 -4 0 100 200 300 [deg] Fig. E.10 Errore meccanico (differenza tra la coordinata 2 e la posizione del motore). Meccanica delle Vibrazioni II modulo 4 49

2 x Errore meccanico X3-X2 [deg] 10-4 1.5 1 0.5 0-0.5-1 -1.5-2 0 100 200 300 [deg] Fig. E.11 Errore meccanico (differenza tra la coordinata 3 e la coordinata 2). Osservazione Il regolatore di posizione è ad azione proporzionale. Ne consegue un moto effettivo ritardato rispetto a quello imposto. Sarebbe improprio considerare come errore la semplice differenza tra la coordinata 2 e il moto imposto (vedi Fig. E.12). E più opportuno considerare l errore a meno del ritardo (Fig. E.13). 0.6 0.4 0.2 Errore del controllo X2-Xrif [deg] 0-0.2-0.4-0.6 0 100 200 300 [deg] Errore del controllo X2-Xrif senza ritardo [deg] 0.02 Fig. E.12 Errore del controllo (differenza tra la coordinata 2 e il moto di riferimento). 0.015 0.01 0.005 0-0.005-0.01-0.015-0.02 0 100 200 300 [deg] Fig. E.13 Errore del controllo (differenza tra la coordinata 2 e il moto di riferimento) a meno del ritardo. Meccanica delle Vibrazioni II modulo 4 50

q q q q q q q Indicazioni Bibliografiche M. P. Koster, 1974, Vibrations in Cam Mechanisms. London: McMillan Press. S. Levy and J. P.Wilkinson, 1976, The Component Element Method in Dynamics. New York: McGraw-Hill. K.L. Johnson, 1985, Contact Mechanics. Cambridge University Press. A. O. Andrisano and G. Dalpiaz, 1990, Atti X Congresso Nazionale AIMETA, Pisa, Italy, 633-638. Un modello a più gradi di libertà per l'analisi dinamica di trasmissioni con croce di Malta. G. Dalpiaz and A. Maggiore, 1992, Mechanical Systems and Signal Processing, 6, 517-534. Monitoring Automatic Machines. T. L. Dresner and R. L. Norton, 1993, Modern Kinematics: Developments in the Last Forty Years, edited by A. Erdman. New York: John Wiley. A. Rivola and G. Dalpiaz, 1993, Pubbl. DIEM, University of Bologna, No. 76. Analisi Dinamica di un Meccanismo per Macchina Automatica. q G. Dalpiaz and A. Rivola, 1995, Proceedings of the Ninth World Congress on the Theory of Machines and Mechanisms, Milano, Italy. Milano: Edizioni Unicopli SpA, Vol. 1, pp. 327-332. AKineto-Elastodynamic Model of amechanism for Automatic Machine. q G. Dalpiaz, A. Rivola and R. Rubini, 1996, Proceedings of the Congress of Technical Diagnostics, KDT 96, Gdansk, Poland, 2, 185-192. Dynamic Modelling of Gear System for Condition Monitoring and Diagnostics. q G. Dalpiaz, A. Rivola and R. Rubini, 1997, Proceedings of International Conference on Mechanical Transmissions and Mechanisms, MTM'97, Tianjin, China, 549-553. AKineto-Elastodynamic Model of a Gear Testing Machine. q G. Dalpiaz, G. Giuliani, A. Rivola, 2000, Proceedings of MATLAB Conference 2000, 8-9 February 2000, Bologna, Italy. Impiego di SIMULINK per la Simulazione del Comportamento Dinamico di Azionamenti Meccanici. q G. Dalpiaz and A. Rivola, 2000, Mechanism and Machine Theory, 35(11), 1551-1562. A Non-Linear Elastodynamic Model of a Desmodromic Valve Train. Modellazione a Parametri Concentrati di Meccanismi Meccanica delle Vibrazioni Modulo II 107 Meccanica delle Vibrazioni II modulo 4 51