V.C. RETTANGOLARE o UNIFORME La v.c. continua RETTANGOLARE o UNIFORME descrive il modello probabilistico dell equiprobabilità. [ a b] X, con densità di probabilità associata: P( x) 1 b a con P(x) costante. Sono soddisfatte le due condizioni affinchè X sia una v.c.; infatti: 1) La funzione di probabilità p(x) è non negativa: p(x) 0; b ) p( x) dx 1 a E( X ) a + b VAR( X ) M ( X ) E ( X ) + ab + b 3 a + b ( b ) a a 1 MODA(X): la distribuzione Uniforme è zeromodale. a + b Med( X )
V.C. NORMALE La v.c. Normale X è una v.c. continua che assume valori nel campo dei numeri reali: < X < + con funzione di densità di probabilità associata: P ( x µ ) 1 ( x) e π Dove µ e rappresentano i due parametri di definizione della v.c. Normale, con < µ < + ; 0 < < + La P(x) ha un andamento campanulare e simmetrico, con asse di simmetria la retta xµ. La P(x) ha come asintoto l asse delle x. La P(x) è crescente nell intervallo (-, µ) e decrescente nell intervallo (µ, + ), ha due punti di flesso, in xµ- e in xµ+, ed è concava verso il basso nell intervallo (µ-, µ+) e convessa altrove. Da tali proprietà della densità di probabilità della v.c. Normale segue che la Moda e la Mediana di X coincidono e sono pari a µ: µ Moda ( x) Med( x) - Media aritmetica della v.c. Normale: E(x)µ - Varianza della v.c. Normale: Var(x) FUNZIONE DI RIPARTIZIONE F(x) della v.c.normale x F ( x) P( X x) p( x) dx La Funzione di ripartizione è rappresentata graficamente dall area sottesa alla curva normale da - a x.
V.C. NORMALE STANDARDIZZATA Sia X una v.c. Normale di media m e s.q.m. : X ~ N(m, ) ; sia Z la corrispondente v.c. standardizzata, data da: X m Z Allora la v.c. Z si distribuisce come una v.c. Normale di media 0 e s.q.m. 1: Z ~ N(0,1) e prende il nome di v.c. Normale Standardizzata: < Z < + con funzione di densità di probabilità associata: P( z) 1 e π z x m Vale la seguente identità: F( x) P( X < x) P( Z < z ) Φ( z) Dove Φ (z) è la Funzione di ripartizione di Z. Per i calcoli si ricorre alle TAVOLE della v.c. Normale Standardizzata (: TAVOLA C. Appendice C, pag. 537 Cicchitelli).
ESERCIZI RIGUARDANTI LA V.C. NORMALE ESERCIZIO Il e l 80 percentile di una variabile casuale Normale X valgono rispettivamente x % 187, e x 80% 08,4. a) Determinare Media e Varianza di X; b) Indicare la densità di probabilità di X; c) Trovare i quartili; Calcolare: d) P[(x<190) (x>04)] e) P[(x<190)U(x>04)] f) P(x>196) SOLUZIONI a) Si imposta il seguente sistema: 187, µ z % z 80% 08,4 µ Sulle tavole di z si trovano i percentili della v.c. normale standardizzata: 187, µ -1,8 +0,84 08,4 µ Si ha quindi un sistema di equazioni nelle incognite µ e, facilmente risolvibile: µ00;. b) La densità di probabilità di tale v.c.normale è la seguente: P ( x 00) 1 ( x) e π ( 00) x 00 0,04e c) Il 1 Quartile coincide con il 5 percentile. Per determinare il 5 percentile della v.c.normale in considerazione, si trova sulle tavole il 5 percentile della v.c.normale Standardizzata e poi si utilizza la formula di standardizzazione:
z 5% -0,67 Q 00 1 da cui Q 1 193,3 Il Quartile, ovvero 50 percentile, ovvero Mediana, trattandosi di una v.c.normale, coincide con la media aritmetica: Q Med(x)E(x)00 Il 3 Quartile, ovvero 75 percentile, si determina in modo analogo a quanto fatto per il 1 Quartile: z 75% +0,67 Q 00 3 da cui Q 3 06,7 Il 4 Quartile è il termine di una distribuzione che lascia prima di sé il 0% della distribuzione. Quindi, poiché la v.c. Normale è definita da + a -, sarà: Q 4 x 0% + d) P[(x<190) (x>04)]0 essendo la probabilità di un evento impossibile: infatti è impossibile che la variabile X possa assumere valori inferiori a 190 e contemporaneamente valori maggiori di 04. e) P[(x<190)U(x>04)] P(x<190)+P(x>04) 190 00 04 00 P( z < 1)+P( z > 0, 4 ) (1-0,8413)+(1-0,6554)0,1587+0,34460,5033 196 00 f) P(x>196) P( z > 0, 4 )P(z<+0,4)0,6554 ESERCIZIO riguardante la trasformazione lineare di una v.c. normale Un azienda negozia un prodotto X che acquista a 1 il kg sostenendo costi fissi mensili per 1500. Sapendo che tale prodotto è poi rivenduto a 0 il kg e che la quantità X di prodotto mensilmente commercializzata è distribuita normalmente con media 50 kg e s.q.m. 5 kg, a) Descrivere la funzione di Costo mensile C, la funzione di Ricavo mensile R e la funzione di Profitto mensile P ( differenza fra ricavo e costo); b) Indicare la distribuzione di probabilità con i rispettivi parametri della funzione di profitto P e rappresentarla graficamente; c) Determinare la quantità minima mensile da vendere per non perdere e la probabilità di non raggiungere tale minimo; d) Determinare l intervallo entro cui si dovrebbe collocare, con pratica certezza, il profitto mensile.
SOLUZIONI a) C costi fissi + costi variabili 1500+1X R0X PR-C 0X-(1500+1X) -1500+8X (: trasformazione lineare di X) b) Essendo la v.c. P trasformazione lineare di X, v.c. Normale di media E(x)50 e (x)5, allora P è una v.c. Normale di media E(P)-1500+8*50500 e V(P)8 *5 40000; da cui (P)8*500. c) la quantità minima mensile da vendere per non perdere si ha quando i ricavi uguagliano i costi: R C quindi PR-C0: -1500+8X0 da cui x187,5 kg 187,5 50 P(x<187,5)P( z < )P(z<-,5)1-P(z<+,5)0,006 5 d) 99,74%P(µ-3<P< µ+3)p(500-3*00<p<500+3*00)p(-0<p<10) ESERCIZIO riguardante la somma di v.c. Normali Il peso X delle confezioni di caffè di una certa ditta si distribuisce normalmente con media µ00g. e g. Per la distribuzione queste confezioni vengono imballate in colli di 0 pezzi ciascuno. Se indichiamo con Y il peso di ciascun collo e sappiamo che i pesi delle confezioni sono indipendenti fra loro, determinare: a) Il peso medio e la varianza di ogni collo Y; b) La distribuzione di probabilità di Y; c) Il 99 percentile di X e il 5 percentile di Y; d) P(Y<19,8kg); P(Y>1kg). SOLUZIONI a) Y è la somma di 0 v.c. Normali indipendenti X (µ00g; g), quindi Y si distribuisce normalmente con media E(Y)0*000000g0kg (la media della somma è uguale alla somma delle medie) e con V(Y)0* 000 (la varianza della somma è uguale alla somma delle varianze), da cui: (Y)0g. b) 1 P( Y ) e 0 π ( y ) 0000 *000
c) x 99% z x m 00 99% x 99% 99 % + x Da cui: x 99% 00+,33*33,3g. x,33 y 5% z y m 0000 0 5% y 5% 5% y y 1,64 Da cui: y 5% 0000-1,64*019836g. d) P(Y<19,8kg) P(Y<19800g.) 19800 0000 P( z < ) 1-P(z<+)1-0,9770,08 0 P(Y>1kg) P(Y>00g.) 00 0000 P( z > + ) 1-P(z<+)0 0
Utilizzo delle TAVOLE della v.c. t di Student TAVOLA C.4 Appendice C, pag. 539 Cicchitelli La v.c. t assume i valori nel campo reale: t (, + ) Con densità di probabilità P(t).Si tratta di una distribuzione campanulare e simmetrica centrata sullo zero. L unico parametro di definizione di t è νn-1 (ν esprime i Gradi di libertà). E(t)0 ν V ( t) ν t ν ν Quando ν è abbastanza elevato (ν +, ovvero nella pratica quando ν>30) la v.c. t di Student converge alla v.c. Normale Standardizzata.
Utilizzo delle TAVOLE della v.c. chi-quadrato χ [ 0,+ ) TAVOLA C.3 Appendice C, pag. 538 Cicchitelli Con densità di probabilità P(χ ).Si tratta di una distribuzione campanulare asimmetrica. L unico parametro di definizione di χ è νn-1 (ν è un numero intero positivo che esprime i Gradi di libertà). E(χ )ν V ( χ ) ν χ ν MODAν- Quando ν è abbastanza elevato (ν +, ovvero nella pratica quando ν>0) la v.c. χ converge alla v.c. Normale.