Appunti di Finanza Matematica

Appunti di Finanza Matematica Ogni segnalazione di errori e imprecisioni è bene accetta e può essere liberamente inviata all indirizzo qui sotto. Francesco Cordoni <cordoni@mail.dm.unipi.it> 1 ottobre 215

Indice 1 Introduzione: prodotti derivati e arbitraggi 2 1.1 Opzioni.............................. 2 1.1.1 Uso delle opzioni..................... 3 1.2 Arbitraggio............................ 4 2 Modelli a tempi finiti 5 2.1 I teoremi fondamentali...................... 5 3 Modello di Samuelson, Black e Scholes 12 3.1 Introduzione all integrale stocastico............... 12 3.1.1 Prime definizioni..................... 12 3.1.2 Integrale stocastico e processi di Ito........... 14 3.1.3 Variazione quadratica e covarianza quadratica..... 15 3.1.4 Formula di Ito vettoriale................. 17 3.2 Applicazione al modello di Samuelson, Black, Scholes..... 18 3.3 Prime definizioni nel modello continuo............. 19 3.3.1 Teoremi di rappresentazione e teorema di Girsanov.......................... 2 3.3.2 L ipotesi di non arbitraggio, e completezza del mercato 21 4 Modelli a volatilità locale e stocastica 28 4.1 Modelli a volatilità locale..................... 28 4.2 Modelli a volatilità stocastica.................. 3 4.2.1 Processi Wiener d-dimensionali............. 31 4.2.2 Studio del modello.................... 32 5 Cambio di Numéraire 35 6 Tassi di interesse 41 6.1 Prodotti Derivati......................... 44 6.2 Principi di Modellizzazione.................... 46 i

INDICE INDICE 6.2.1 Modello di Vasicek.................... 48 6.2.2 Modello di Cox-Ingersoll-Ross.............. 49 6.2.3 Modelli ATS........................ 49 6.2.4 Modello di Ho-Lee.................... 53 6.2.5 Modello di Hull-White.................. 54 6.2.6 Osservazioni varie..................... 55 6.3 Problemi di completezza-copertura............... 58 6.4 Modellizzazione di HJM..................... 58 6.5 Sul cambio di Numéraire..................... 63 6.6 Modelli con tasso a breve con ATS............... 64 6.7 Modelli di mercato........................ 65 6.7.1 Formula di Black 76................... 65 6.7.2 Libor Market Model (Discrete tenor case)....... 66 7 Misure di rischio 7 7.1 La misura di VaR......................... 7 7.2 Misure coerenti-convesse..................... 72 7.3 Tail conditional expectation................... 77 7.4 Average value-at-risk, Copula e complementi.......... 8 A Richiami di Analisi funzionale 86 B Primo teorema fondamentale (caso generale) 87 C Formulario 89 ii

INDICE INDICE Premessa Questi sono gli appunti del corso di Finanza Matematica tenuto nel 214-215. Man mano che abbiamo affrontato un argomento mi sono impegnato a scriverlo e sistemarlo. Sicuramente sono presenti imprecisioni e errori (segnalatemeli), poiché ci devo ancora studiare seriamente e non li ho ancora riletti attentamente. FC 1

Capitolo 1 Introduzione: prodotti derivati e arbitraggi In finanza si parla di prodotti primari ( azioni, bond,...) e di prodotti derivati. Un derivato non è altro che un contratto il cui valore dipende da uno o più beni primari, detti talvolta sottostanti. Introduciamo adesso i più semplici prodotti derivati, ovvero le opzioni. In questo capitolo saremo molto informali e non giustificheremo le formule usate in maniera precisa. 1.1 Opzioni Definizione 1.1. Un opzione è un contratto che dà il diritto ( ma non l obbligo) a chi lo detiene di acquistare o vendere un titolo sottostante a un prezzo prefissato K al tempo T. In particolare si parla di opzione call nel caso essa fornisca il diritto di acquistare, e di put nel caso essa fornisca il diritto di vendere. Quindi quando si parla di una opzione bisogna specificare: 1. Un sottostante. 2. Un prezzo K, detto strike. 3. Una data di scadenza T. Indichiamo con S t il prezzo di un bene al tempo t. Osservazione 1.2 (Variante Americana o Europea). Si parla di opzione Europea se il diritto può essere esercitato solo alla scadenza, è invece di tipo Americana se il diritto può essere esercitato in qualsiasi momento. Noi trattiamo le opzioni di tipo europeo. 2

1.1. Opzioni CAPITOLO 1. Introduzione: prodotti derivati e arbitraggi Esempio 1.3. Supponiamo di avere un opzione Call su una azione con strike 22 euro e con scadenza T =6 mesi. Dopo 6 mesi se il prezzo S T dell azione è salito a 23.5 euro allora si eserciterà il diritto dell opzione. con un rendimento di S T K. Se invece il prezzo è sceso sotto 22 euro allora non si eserciterà il diritto. Osservazione 1.4 (Rendimenti). Il rendimento di una Call è pari a (S t (ω) K) + Il rendimento di una Put è pari a (K S t (ω)) + 1.1.1 Uso delle opzioni Le opzioni possono essere usate per vari scopi: 1. Copertura del rischio 2. Speculazione Esempio 1.5 (Copertura del rischio). Consideriamo un azienda che possiede un titolo azionario, acquistando una Put essa si assicura di poter vendere al prezzo prefissato il titolo, assicurandosi dal crollo della quotazione del titolo. Se invece un industria che importa una materia prima, come il petrolio, acquista una Call su questo bene essa si tutela dall eventuale aumento del prezzo del bene. Esempio 1.6 (Speculazione). Le opzioni possono essere usate anche come leva finanziaria ovvero possono essere usate per amplificare i guadagni e le perdite. Vediamolo con un esempio: supponiamo di avere 2 euro da investire in azioni Fiat che costano 2 euro l una. Una opzione Call, con strike a 21 euro dopo sei mesi, costa 1 euro. Presentiamo due scenari: 1. Compriamo 1 azioni 2. Compriamo 2 Call Se dopo 6 mesi il prezzo delle azioni è cambiato a 24 euro allora si ha Nello scenario 1 si è guadagnato 4 euro. Nello scenario 2 il guadagno è pari a 3 euro. Se invece dopo 6 mesi il prezzo è rimasto invariato allora Nello scenario 1 il guadagno è pari a. Nello scenario 2 si sono persi 2 euro. 3

1.2. Arbitraggio CAPITOLO 1. Introduzione: prodotti derivati e arbitraggi 1.2 Arbitraggio Introduciamo il concetto di arbitraggio: esso non si tratta che altro della possibilità di avere un guadagno certo senza rischi. Per esempio se le azioni IBM alla borsa di NY costano 7 dollari e a Francoforte costano 71.2 dollari è possibile contemporaneamente acquistare a NY e vendere a Francoforte, avendo così un guadagno certo 1. Quindi nasce un problema, ovvero quello di trovare una valutazione giusta dei beni; tale valutazione deve essere fatta in modo che non siano consentiti arbitraggi. Parliamo brevemente dei tassi di interesse. Gli interessi lineari sono del tipo 1 + rt mentre gli interessi continuamente composti sono del tipo e rt in quanto questi interessi vengono pagati sul capitale continuemente rivalutato. Ovvero se il periodo di interesse è un intervallo di tempo [, T ] suddividendo l intervallo in N intervalli si ottiene che se B t è il capitale al tempo t, si ha: B T = B tn 1 (1 + r T N ) = B t N 2 (1 + r T N )2 = = B (1 + r T N )N. e per N abbiamo che b T = B e rt. Osservazione 1.7 (Formula di parità Call-Put). Nelle ipotesi di assenza di arbitraggi, indicando con C t e P t il prezzo al tempo t di una Call e di una Put rispettivamente, si ha che C t P t = S t ke r(t t) (1.1) Osservazione 1.8. Questa formula è valida a prescindere dal modello usato, anche se in realtà si ha una disuguaglianza. Un altra proprietà valida sempre è la convessità dei prezzi del Call e del Put rispetto al prezzo strike K. Se k 1 < k 2 : C t ( k 1 + k 2 ) C t(k 1 ) + C t (k 2 ) 2 2 (S t k 1 + k 2 ) + (S t k 1 ) + + (S t k 2 ) + 2 2 1 Ovviamente stiamo considerando la situazione di mercato ideale, senza costi sulle operazioni. 4

Capitolo 2 Modelli a tempi finiti Adesso iniziamo a formalizzare i concetti visti precedentemente, ponendoci inizialmente nel caso poco reale di tempi finiti T = {, 1, 2,..., N}. Sia (Ω, F, P) uno spazio di probabilità dove abbiamo una filtrazione, cioè F = {, Ω} F 1 F N = F. Un processo stocastico X a tempi finiti non è altro che (X n ) n=,1,...,n, dove X n sono v.a. 2.1 I teoremi fondamentali Diamo due adesso due definizioni interessanti: Definizione 2.1. Il processo stocastico X si dice adattato se n X n è F n -misurabile. X si dice prevedibile se n X n è F n 1 -misurabile. Consideriamo S n un attivo a reddito fisso (bond). Per esempio se r è il tasso di interesse, S n = (1 + r) n. Consideriamo anche degli attivi con rischio (S n ) n=,...,n (stock) 1 Definizione 2.2 (Strategia di portafoglio). Data una coppia Φ = (H n, H n ) n=1,...,n di processi stocastici, una strategia di portafoglio è: V n (Φ) = V n = H ns n + H n S n, con (H n, H n ) n prevedibile, in quanto la decisione di investimento è presa al tempo n 1. 1 Si potrebbe considerare S n a valori in R d, ma limitiamoci per semplicità nel caso reale. 5

2.1. I teoremi fondamentali CAPITOLO 2. Modelli a tempi finiti Abuseremo di notazione confondendo la strategia con il portafoglio. Quindi in un certo senso la definizione precedente significa che al tempo n 1 si decide dove investire il capitale, se nel bond o negli stock. Diamo un altra definizione. Definizione 2.3. La strategia è detta auto-finanziata se vale H ns n + H n S n = H n+1s n + H n+1 S n n. Ovvero la strategia al tempo n + 1 non è altro che il ribilanciamento del capitale investito al tempo n. Sia X n = X n X n 1 allora X n = X + n j=1 X j. Riscriviamo l autofinanziamento: Osservazione 2.4. Il portafoglio è autofinanziato se e solo se V n = H n S n + H n S n Parliamo adesso di attualizzazione rispetto a S : attualizzato S n = S n, Sn S = S = 1 S definiamo il valore Ṽ n = H n + H n Sn per cui se abbiamo autofinanziamento Ṽn = H n S n Proposizione 2.5. Assegnato un capitale iniziale x e un processo prevedibile (H n ) n=1,...,n, allora esiste uno e uno solo H n (prevedibile) tale che la coppia (H n, H n ) sia una strategia prevedibile. Dimostrazione. Ṽ n = Hn + H n Sn = V + n j=1 Ṽj = x + n j=1 H j S j, ma n 1 definisco Hn = x + H j S j H n Sn 1 j=1 } {{ } è F n 1 - misurabile Definizione 2.6 (Arbitraggio). Esso è un portafoglio t.c. V = V N P(V N ) > D ora in avanti indicheremo con Ipotesi NA, l ipotesi in cui non esistono arbitraggi. 2 Richiamiamo adesso una definizione: 2 In realtà gli arbitraggi esistono, ma hanno vita breve, in quanto il mercato tende a eliminarli in poco tempo. 6

2.1. I teoremi fondamentali CAPITOLO 2. Modelli a tempi finiti Definizione 2.7 (Martingala discreta). (M n ) n=,...,n processo stocastico, si dice martingala se è tale che: M n è F n -misurabile e integrabile. E[M n F n 1 ] = M n 1 Nel caso in cui esiste un tempo finale N allora M n = E[M N F n ]. Osservazione 2.8. E[ M n F n 1 ] =, inoltre E[ M n F k ] = M k, k < n N e quindi E[M n ] = E[E[M N F n ]] = E[M N ] = E[M ] (2.1) Definizione 2.9. Una v.a. X F n -misurabile si chiama attivo aleatorio, chiamiamo portafoglio di copertura un portafoglio t.c. V N X. Un portafoglio t.c. V N = X si dice replicante. Richiamiamo il seguente teorema di separazione di convessi in R N. Teorema 2.1. Sia K un convesso e compatto di R N. Sia V un sottospazio vettoriale di R N tale che V K =. Allora esiste un vettore ξ tale che: ξ, x = x V, ξ, x > x K. Enunciamo il primo teorema fondamentale. Teorema 2.11 (1 teorema fondamentale). Nella situazione precedente, sono equivalenti a. Ipotesi NA b. una probabilità, detta di martingala, P P t.c. ( S n ) n=,...,n sia una martingala, inoltre si può scegliere P con dp dp L. Dimostrazione. 7

2.1. I teoremi fondamentali CAPITOLO 2. Modelli a tempi finiti b a. È sempre vera anche nel caso non finito. Iniziamo osservando che se (M n ) n è martingala e (K n ) n prevedibile e limitata, allora R N = (K M) N = M + è ancora una martingala. Infatti N K j M j E[ R n F n 1 ] = E[K n M n F n 1 ] }{{} = K n E[ M n F n 1 ]. K n è prevedibile Adesso vediamo che b implica a. Se per assurdo esiste un arbitraggio j=1 Ṽ =, Ṽ N P(ṼN > ) >, Ṽ N = N j=1 H j S j. Allora se uso la probabilità di martingala E[Ṽn] = E[] = Ṽn =. Discutiamo adesso le ipotesi di integrabilità: le H j S j sono integrabili per P, perchè da P costruisco P con H j S j a quadrato integrabile ed esiste P equivalente a P e basta osservare che la densità di quest ultima rispetto a P è limitata. a b. Mettiamoci nell ipotesi di spazio finito Ω = {ω 1,..., ω k } e quindi vale che per ogni i P(ω i ) >, e ogni probabilità che assumme valori positivi su tutti gli elementi dello spazio è equivalente a P. In particolare le variabili aleatorie non son altro che dei vettori in R k e considero quindi lo spazio (R k, topologia euclidea) con l usuale prodotto scalare. Allora esiste una probabilità P P di martingala, con densità limitata, infatti consideriamo C = { N j=1 H j S j H 1,..., H n prevedibili}, ovvero lo spazio dei valori attualizzati attivi che sono copribili a costo zero. Questo è uno spazio vettoriale, quindi chiuso, e convesso. Considero allora K = {Y v.a. Y (ω i ), Y (ω 1 ) + + Y (ω k ) = 1}, che è chiuso e compatto, allora applicando il teorema di separazione di convessi, essendo per ipotesi C K =, Z v.a. e un numero positivo a t.c. V, Z < a < Z, X X K, V C. 8

cioè se A F j 1 E [I A S j ] =. 2.1. I teoremi fondamentali CAPITOLO 2. Modelli a tempi finiti In particolare essendo C un sottospazio ho che se V C λv C e poichè V, Z < allora V, Z =, V C. Se prendo X = e i (i-esimo vettore della base canonica), ho che Z(ω i ) > i. Quindi definisco P (ω i ) = Z(ω i k j=1 Z(ω j) e P P con E [ k j=1 H j S j ] =, ma questo è possibile se e solo se ( S j ) j è una martingala cioè j E [ S j F j 1 ] =, Infatti, ponendo { H i = i j H j = I A j = i ottengo che E [ k j=1 H j S j ] = se e solo se S j è una martingala. Definizione 2.12 (Mercato completo). Si dice mercato completo, un mercato in cui ogni attivo aleatorio (limitato) è replicabile. Teorema 2.13. Sia X non replicabile e sia Π = E [ X] un prezzo equo di non arbitraggio. Allora esiste Q probabilità di martingala equivalente t.c. E Q [ X] > Π. Dimostrazione. Come nel primo teorema fondamentale usiamo il teorema di separazione di convessi considerando il convesso compatto { X} e come convesso chiuso lo spazio vettoriale {Ṽn = V + j H j S j } = R1 + C +, ovvero le costanti sommate a i valori finali di portafogli a capitale iniziale nullo. Esiste a R e W v.a. tale che V, W < a < W, X V R1 + C + allora W, X > e W, V =, quindi W, 1 = W (ω i ) =. Considero allora Q(ω i ) = P (ω i ) + W (ω i )/c che è positiva per ogni ω i. Allora E Q [H] = E [H] + H, W, c 9

2.1. I teoremi fondamentali CAPITOLO 2. Modelli a tempi finiti ma Q è di martingala poichè E Q [Z] = Z C 3 quindi E Q [ X] = Π + X, W /c. Teorema 2.14 (2 teorema fondamentale). Se vale l ipotesi NA, allora sono equivalenti a. Il mercato è completo b. Esiste una sola probabilità di martingala P Dimostrazione. a b Siano P 1, e P 2 due probabilità di martingala, e X una v.a. limitata: X = V n con un opportuno portafoglio, X = Ṽ N : E P 1 [ X] = E P 1 [Ṽn] = E P 1 [V ] = V = E P 2 [Ṽn] = E P 2 [ X] P 1 = P 2. b a La tesi equivale a dire che se esiste un attivo replicabile allora la probabilità di martingala non è unica, ma questo è quello che si è provato nel teorema 2.13. Osservazione 2.15. Se V n è di copertura per X allora V Π Osservazione 2.16. (Conseguenze su i prezzi equi ). Supponiamo che valga l ipotesi NA e sia X attivo aleatorio commercializzato all istante n a un prezzo Π n F n -misurabile, allora Π N = X e questo sistema di prezzi è equo se aggiungendo al mercato il nuovo attivo, non ci sono arbitraggi. Se scelgo la probabilità di martingala P e si pone Π n = E [ X F n ] = E X [ 1 + r F n] Π n N = E X [ 1 + r F n]. N n Quindi la completezza in un certo senso significa che posso eliminare il rischio. 3 lo spazio dei valori attualizzati che sono copribili a costo zero, Vedi primo teorema fondamentale. 1

2.1. I teoremi fondamentali CAPITOLO 2. Modelli a tempi finiti Osservazione 2.17. Se X è replicabile allora c è un solo prezzo di arbitraggio, X = Y N, qualunque sia la probabilità di martingala Π = E [ X] = E [ṼN] = V Teorema 2.18. Sia P = {Probabilità di martingala equivalenti}. X è copribile a costo zero (esiste un portafoglio di copertura a costo zero) se e solo se E [ X] P P. Dimostrazione. A = {Attivi aleatori copribili a costo zero} = { X j H j S j }, è un cono. Il suo polare è A = {y R k y, X, X A } e il bipolare A di A è l inviluppo convesso chiuso di A. Ma A è chiuso convesso allora A = A. Sia Y A allora Y (ω i ) per ogni i perchè { X(ω) = 1 ω = ωi X(ω) = ω ω i essendo X, Y allora Y. Quindi ho due casi o Y è identicamente nulla, o esiste i t.c. Y (ω i ) > cioè Y si identifica (a meno di costanti) con una probabilità su Ω assolutamente continua rispetto a P. Ovvero A si identifica (a meno di costanti) con P = {Probabilità di martingala assolutamente continue rispetto a P}. Ma allora X è copribile se e solo se E Q [ X] per ogni Q P, ma P è denso in P. Osservazione 2.19. Confrontiamo due punti di vista: Il principio attuariale (Assicurazioni): Il prezzo equo contro un danno aleatorio è una statistica basata su dei dati. In pratica esso non è altro che una speranza. Il principio finanziario: Il prezzo equo di un attivo aleatorio è uno strumento per calcolare dei prezzi, non una statistica. Bisogna anche dire che il prezzo reale non è altro che una somma fra il prezzo equo e una cifra detta caricamento. 11

Capitolo 3 Modello di Samuelson, Black e Scholes Introduciamo adesso un modello a tempo continuo. Rimandiamo a queste dispense 1 per quanto riguarda la teoria preliminare, riportiamo qui sotto solo l essenziale. Sia T = [, T ] e consideriamo due attivi, S = 1, S t = e rt e l attivo con rischio (S t ) t T. Nel modello di Bachelier si ha che: ds t = rs t dt ds t = µs t dt + σdw t con W t processo di Wiener standard. Nel modello di Samuelson-Black-Scholes (S-B-S) si ha che ds t = S t (µdt + σdw t ). nello spazio (Ω, F, P) con la filtrazione (F t ) t generata da W t processo di Wiener. Vogliamo giustificare questa equazione, apriamo quindi una piccola parentesi sull integrale stocastico, fissando così anche la notazione usata successivamente. 3.1 Introduzione all integrale stocastico 3.1.1 Prime definizioni Considero su (Ω, F, P) una filtrazione (F t ) t T, con F t F t, F s F t se s < t e F T = F. 1 http://www.dm.unipi.it/ pratelli/didattica/ito-13.pdf 12

3.1. Introduzione all integrale CAPITOLO stocastico 3. Modello di Samuelson, Black e Scholes Definizione 3.1 (processo di Wiener). Dato (Ω, F, P) si definisce processo di Wiener su [, T ] un processo t.c.: W =. presi t 1 t n T allora (W t1, W t2 W t1,..., W tn W tn 1 ) sono indipendenti. presi s < t (W t W s ) sono di legge N(, t s). Le traiettorie 2 di (W t ) sono continue q.c. Se ogni W t è F t misurabile per ogni t, con (F t ) t filtrazione, il processo si dice adattato; denotiamo con (Ft W ) t la più piccola filtrazione che rende adattato W t, ovvero Ft W = σ(w s, s t). Data una filtrazione (F t ) t si dice che (W t ) è un F t -Wiener se al posto di avere incrementi indipendenti si ha che: W t è F t misurabile. se s < t (W t W s ) è indipendente da F s e di legge Gaussiana N(,t-s). processo stocastico, si dice mar- Definizione 3.2 (Martingala). (X t ) t T tingala se è tale che: X t è F t misurabile e integrabile. presi s < t, E[X t F s ] = X s Un processo stocastico può essere visto come una funzione X : Ω [, T ] R. Definizione 3.3. Un processo di dice: adattato, se per ogni t fissata, X t = X(, t) è F t - misurabile. misurabile se X : Ω [, T ] è misurabile rispetto alla σ- algebra F B[, T ]. progressivamente misurabile se, per ogni t fissato, la restrizione di X a Ω [, t] è misurabile rispetto alla σ-algebra F t B[, t]. 2 t W (ω, t), con ω fissato. 13

3.1. Introduzione all integrale CAPITOLO stocastico 3. Modello di Samuelson, Black e Scholes Ricordiamo che una applicazione τ : Ω [, T ] tale che, per ogni t fissato, {τ t} F t, si dice tempo di arresto. Assegnato un tempo di arresto τ e un processo stocastico (X t ) t T si chiama processo arrestato il processo stocastico X τ t = X(ω, t τ(ω)). 3 Definizione 3.4 (Martingala locale). Un processo adattato (M t ) t T è detto martingala locale se esiste una successione (τ n ) n di tempi di arresto crescente e convergente a T stazionariamente 4, tale che ogni processo arrestato (Mt τn ) t sia una martingala. 3.1.2 Integrale stocastico e processi di Ito Definizione 3.5. Definiamo dunque un primo integrale. Sia M 2 = {H progressivamente misurabili E[ H2 s ds] < + }. Allora definisco per H M 2, l integrale stocastico t H sdw s : ( t H sdw s ) t è una martingala di quadrato integrabile. vale E[( t H sdw s ) 2 ] = E[ H2 s ds]. Osservazione 3.6. Quando H(ω, s) = h(s), cioè nel caso deterministico, allora ( h(s)dw s) ha puntualmente legge gaussiana, cioè N(, h2 (s)ds), infatti vale che H s dw s = lim H τi (W ti+1 W ti ) e se H(ω, s) dipende solo da s, allora passando al limite ottengo una gaussiana. Definizione 3.7. Adesso consideriamo l insieme Λ 2 = {H progressivamente misurabili H2 s (ω)ds < + }, allora si definisce ( t H sdw s ) t che è una martingala locale. Definiamo adesso il processo di Ito. Esso è un processo tale che: X t = X + t H s dw s + t K s ds 3 Arrestare un processo significa restringere tale processo a [, τ], infatti la traiettoria del processo coincide, per τ(ω) < t < T, col numero X(ω, τ(ω)). 4 Cioè che per ogni ω esiste n(ω) tale che se n n(ω) si ha τ n (ω) = T. 14

3.1. Introduzione all integrale CAPITOLO stocastico 3. Modello di Samuelson, Black e Scholes con H e K progressivamente misurabile tali che si abbia H 2 s (ω)ds < + q.c., K s (ω)ds < + 5 q.c. Osservazione 3.8 (Notazione). Scriveremo brevemente dx t = H t dw t + K t dt Allora assegnato un processo di Ito, di decomposizione dx t = H t dw t + K t dt, definisco l integrale stocastico a patto che t L s dx s = L s H s dw s + t L s K s ds L s progressivamente misurabile (L(ω, s)h(ω, s))2 ds < + q.c. e L(ω, s)k(ω, s) ds < + q.c. 3.1.3 Variazione quadratica e covarianza quadratica Parliamo adesso di variazione quadratica. Ricordiamo un risultato sul processo di Wiener. Proposizione 3.9. Fissato l intervallo [, t] e suddividendolo in n intervalli abbiamo che per quasi ogni ω in probabilità. lim n + n (W ti+1 W ti ) 2 t i=1 Definizione 3.1. Dato (X t ) t processo con traiettorie continue, definiamo variazione quadratica fino a t (se esiste) lim n + k n i=1 (X t n i+1 X t n i ) 2 = [X t ] Osservazione 3.11. I processi di Ito hanno variazione quadratica finita e se X t ha traiettorie continue allora [X] t = X t 5 Questo si calcola fissando ω e integrando rispetto alla misura di Lebesgue. 15

3.1. Introduzione all integrale CAPITOLO stocastico 3. Modello di Samuelson, Black e Scholes Viene comoda le seguenti regole mnemoniche 6 : (dw t ) 2 = dt, dw t dt =, (dt) 2 =, d[x] t = (dx t ) 2 e quindi se X è un processo di Ito tale che dx t = H t dw t + K t dt, allora (dx t ) 2 = H 2 t dt e si dimostra che [X] t, la variazione quadratica, è uguale a [X] t = t H 2 s ds. Osservazione 3.12 (Formula di Ito). Evidenziamo la seguente formula che sarà molto utile in seguito. Se X è un processo di Ito e F di classe C 2 allora df (X t ) = F (X t )dx t + 1 2 F (X t )d[x] t (3.1) e per ogni t T, e vale anche la seguente formula di Ito: F (X t ) = F (X ) + t F (X s )dx s + 1 2 t F (X s )d[x] s. (3.2) L integrale t F (X s )d[x] s = t F (X s )Hs 2 ds ha senso e poichè t F (X s )dx s = t F (X s )H s dw s + t F (X s )K s ds non si deve aggiungere ipotesi di integrabilità, basta F C 2 e che H s dw s < +. Parliamo adesso di covarianza quadratica. Dato uno spazio di Hilbert, ricordiamo che il prodotto scalare può essere ottenuto dalla norma con la seguente formula x, y = x + y 2 x 2 y 2 2 e in maniera analoga definisco la covarianza quadratica fra x, y come Cov(x, y) = V ar(x + y) V ar(x) V ar(y). 2 Quindi dati due processi di Ito (X t ) t, (Y ) t si ha: 6 Serve solo per ricordarsi come funzionano le cose, le osservazioni che seguono non sono assolutamente delle dimostrazioni. 16

3.1. Introduzione all integrale CAPITOLO stocastico 3. Modello di Samuelson, Black e Scholes Definizione 3.13 (Covarianza quadratica fra due processi di Ito). allora [X, Y ] t = [X + Y ] t [X] t [Y ] t 2 Anche qui valgono le regole mnemoniche, se e si dimostra che o equivalentemente dx t = H 1 t dw t + K 1 t dt, d[x, Y ] t = dx t dy t [X, Y ] t = t dy t = H 2 t dw t + K 2 t dt, H 1 s H 2 s ds, d[x, Y ] t = H 1 t H 2 t dt. Notiamo che le condizioni di integrabilità sono sempre soddisfatte, perchè T (Hi s) 2 ds è finito q.c. per i = 1, 2. 3.1.4 Formula di Ito vettoriale Estendiamo la (3.2). Se (Xt 1,..., Xt n ) t T sono processi di Ito ed F è di classe C 2 si ha n df (Xt 1,..., Xt n F ) = (Xt 1,..., Xt n )dx x t+ i i e vale + 1 2 n i,j=1 i=1 F (X 1 t,..., X n t ) = (X 1,..., X n ) + 1 2 n i,j t Allora scelta F (x, y) = xy si ottiene 2 F x i x j (X 1 t,..., X n t )d X i, X j t. n i=1 t 2 F x i x j (X 1 S,..., X n s )d[x i, X j ] s F x i (X 1 s,..., X n s )dx i s+ Lemma 3.14 (Formula di integrazione per parti). Dati due processi di Ito abbiamo X t Y t = X Y + t X s dy s + t Y s dx s + X, Y t, (3.3) con X, Y t = t H1 s H 2 s ds e quindi in forma differenziale ottengo d(x t Y t ) = X t dy t + Y t dx t + d[x, Y ] t. (3.4) 17

3.2. Applicazione al modello CAPITOLO di Samuelson, 3. Modello Black, di Samuelson, Scholes Black e Scholes 3.2 Applicazione al modello di Samuelson, Black, Scholes Ritorniamo al modello S-B-S; dati i due attivi uno di tipo bond, e uno con rischio ci mettiamo nel solito spazio (Ω, F, P) con F t = Ft W e F = FT W e quindi ds t = S t (σdw t + µdt) che scritta in forma integrale diventa S t = S + S = S, t S s (σdw s + µds). Ponendo σ = H t e µ = K t, noi vogliamo risolvere l equazione dx t = X t (H t dw t + K t dt) (3.5) dove (H, K) sono progressivamente misurabili e H2 s ds < + q.c. e K s ds < + q.c. Definisco Y t = log X t, con X t soluzione di (3.5), quindi per (3.1) dy t = 1 dx t 1 d[x X t 2Xt 2 t ] = H t dw t + K t dt 1 2 H2 t dt. Allora ottengo che Y t = Y + t (H sdw s ) + t (K s H2 s 2 )ds, e posto X F X t = X exp{ t H s dw s + t (K s H2 s 2 )ds}. Si verifica con la formula di Ito, che questa è una soluzione di (3.5), inoltre questa è l unica soluzione, perchè se X risolve (3.5) considero Z t = exp{ t H s dw s t quindi d(x Z t ) = e X t Z t = X X t = X t. Rimarchiamo il tutto con il seguente teorema. (K s H2 s 2 )ds} Teorema 3.15. Se consideriamo due numeri reali σ, µ e (W t ) t un processo di Wiener, esiste un unico processo di Ito (S t ) t T che soddisfa S t = S + Inoltre questo processo è dato da t S s (σdw s + µds). S t = S exp(σw t + (µ σ2 2 )t) 18

3.3. Prime definizionicapitolo nel modello continuo 3. Modello di Samuelson, Black e Scholes 3.3 Prime definizioni nel modello continuo Riprendiamo le definizioni del caso discreto, e formuliamole per il caso continuo. Nel modello ho che { { dst = rst dt St = e rt ds t = S t (σdw t + µdt) S t = S exp(σw t + (µ σ2 )t) (3.6) 2 questo è detto moto Browniano geometrico 7 Definizione 3.16 (Strategia). Si dice strategia una coppia (H t, H t ) di processi progressivamente misurabili e il valore del portafoglio è V t = H t S t + H t S t Definizione 3.17 (Autofinanziamento). La strategia è detta autofinanziata se dv t = H t ds t + H t ds t cioè se H t S t + H t S t = V + t H s ds s + Osserviamo che gli integrali sopra hanno senso. Lemma 3.18. Sono equivalenti (a) dv t = H t ds t + H t ds t (b) dṽt = H t d S t 8 t H s ds s. (3.7) Dimostrazione. Usiamo solo d(xy ) t = X t dy t + Y t dx t + d[x, Y ] t. (a) implica (b). d(ṽt) = d(e rt V t ) = re rt V t dt + e rt dv t = re rt (H t e rt + H t S t )dt + e rt (H t re rt dt + H t ds t ) = H t ( re rt S t dt + e rt ds t ) = H t d S t. (b) implica (a). Si ripete il ragionamento dal fondo. 7 Perchè suddividendo l intervallo, ottengo che S t è un prodotto di esponenziali e di differenze e prendendo il limite otteniamo l espressione di sopra. 8 Ovviamente con indichiamo il valore atualizzato rispetto a S t. 19

3.3. Prime definizionicapitolo nel modello continuo 3. Modello di Samuelson, Black e Scholes Proposizione 3.19. Assegnato un capitale iniziale V e un processo H i progressivamente misurabile (tale che t H sds s sia ben definito ) esiste uno e uno solo Ht, progressivamente misurabile tale che (Ht, H t ) sia un portafoglio autofinanziato. Dimostrazione. Se esiste H t avrei che H t + H t St = Ṽt = V + t H s d S s. 9 Definisco allora Ht = V + t H sd S s H t St. Si verifica che l integrale ha senso e Ht è progressivamente misurabile. Adesso bisogna affrontare il problema dell ipotesi NA e della completezza del mercato, prima però abbiamo bisogno di alcuni risultati. 3.3.1 Teoremi di rappresentazione e teorema di Girsanov Sia (F t ) t T una generica filtrazione rispetto alla quale (W t ) t T è un processo di Wiener e indichiamo (Ft W ) t T quella generata dal processo (W t ). Teorema 3.2 (Rappresentazione delle martingale). Se F t = Ft W ogni variabile aleatoria X L 2 (Ω, F, P) si rappresenta come allora con H M 2. X = E[X] + H s dw s, H M 2 (3.8) Osservazione 3.21. Ogni (M t ) t T scrive nella forma 1. M t = M + con (H t ) opportuno processo in M 2 martingala di quadrato integrabile si t H s dw s (3.9) Teorema 3.22 (Girsanov). Sia F t Ft W Consideriamo la soluzione dell equazione e H Λ 2 ( H sds < + q.c.). dl t = L t H t dw t, L = 1, (3.1) 9 St = St e rt. 1 Basta ricordare che M t = E[M T F t ] = M + E[ H sdw s F s ]. 2

3.3. Prime definizionicapitolo nel modello continuo 3. Modello di Samuelson, Black e Scholes cioè L t = exp( t H s dw s 1 2 t H 2 s ds). (3.11) Supponiamo che E[L T ] = 1 ( ), considero allora P con densità dp dp allora sotto questa probabilità il processo W t = (W t t H s ds) = L T è un processo di Wiener. Inoltre se F t = Ft W, ogni probabilità equivalente si ottiene in questa forma, cioè se Q è equivalente a P allora la densità di Q rispetto a P si scrive come nella forma di L t per un opportuno H s. Osservazione 3.23 (Ipotesi di Novikov). Commentiamo l ipotesi che E[L T ] = 1. Se L t risolve (3.1) allora L t è una martingala locale a valori positivi e se considero una successione di tempi di arresto che converge a T e tale che L τn t sia una martingala, allora vale che E[L τn T ] = E[L ] = 1 quindi per il lemma di Fatou vale che, passando al limite sotto il segno di integrale E[L T ] 1. Affermare che E[L T ] = 1 equivale a dire che (L t ) t T è una vera martingala. Ci sono solo ipotesi sufficienti su H affinchè E[L T ] = 1, e la più celebre è la condizione di Novikov. E[exp( 1 2 H 2 s ds)] < + (3.12) 3.3.2 L ipotesi di non arbitraggio, e completezza del mercato Ritorniamo al modello di S-B-S: d S t = re rt S t dt + e rt ds t = = S t (σdw t + (µ r)dt) = t S t σd[w t ( r µ σ )dt ] = (3.13) } {{ } W t =Wt t 21 r µ σ )dt

3.3. Prime definizionicapitolo nel modello continuo 3. Modello di Samuelson, Black e Scholes e sotto la probabilità P tale che dp dp = exp(( r µ σ )W t 1( r µ 2 σ )2 t), Wt un processo di Wiener e quindi S t è una martingala 11, allora abbiamo che la (3.13) diventa = S t σdw t, (3.14) e quindi S t = S exp(σwt σ2 t ). (3.15) 2 Osservazione 3.24. Osserviamo che il fattore costante µ può essere dimenticato. La condizione di Novikov è soddisfatta, in quanto se X N(, 1) allora E[e ax ] = e a2 2 )W t ax. ( r µ σ e ponendo a = ( r µ ) t ottengo che in legge vale che σ Osservazione 3.25 (ipotesi NA). Si verifica che le condizioni scritte sopra sono le ipotesi per il non arbitraggio. Discutiamo adesso la completezza del mercato: il mercato è completo se Ft W = F W t coincide con Ft S dove S sono i prezzi, poichè S t = S exp(σw t + (µ σ2 )t) quindi mi ricavo W 2 t in funzione dei prezzi. Allora abbiamo che se X L 2 (Ω, F, P ) X = E[X] + K sdws e formalmente da (3.14): E[X] + ( K s σ S s )d S s, e osservo che S s ha traiettorie continue strettamente positive e quindi 1 σ S s sono limitate. Teorema 3.26. Consideriamo un attivo aleatorio X L 2 (Ω, F, P ), allora! portafoglio autofinanziato replicante, inoltre si ha V t = E [ X er(t t) } {{ } X F t ], V = E [ X] Dimostrazione. Se esiste portafoglio autofinanziato replicante allora per il lemma 3.18 si deve avere che X = ṼT = V + 11 Per il teorema di rappresentazione delle martingale. H s d S s = è 22

3.3. Prime definizionicapitolo nel modello continuo 3. Modello di Samuelson, Black e Scholes dove H è dato dall osservazione precedente, quindi cioè Ṽt è una martingala allora = E [ X] + ( K s σ S s )d S s, e concludo. Ṽ t = E [ṼT F t ] = E X [ e F t] r(t t) Proposizione 3.27. Supponiamo che X = f(s T ) allora V t = F (t, S t ) con F (t, x) = e r(t t) + inoltre se F è C 1 in t e C 2 in x, σ2 (r f(xe y 2 2 )(T t)+σ T ty ) e 2 2π dy e viene detto Delta Hedging. H t = F x (t, S t) Dimostrazione. Osservo che fissati (τ, ω) H t (ω) = F x (t, S t(ω) } {{ } Prezzo al tempo t. Quindi dato il prezzo al tempo t devo possedere questo attivo H t (ω). Considero E F sotto σ-algebra, e X misurabile rispetto a E, Y indipendente da E e E[φ(X, Y ) E ] = F (X) con ) F (x) = E[φ(x, Y )], (3.16) ma e cioè S T = S t exp(σ(wt Wt ) + (r σ2 )(T t)) 2 V t = e r(t t) E [f(s t exp(σ(w T W t ) + (r σ2 2 )(T t))) F t], F (t, x) = e r(t t) E [f(x, exp σ(wt Wt ) + (r σ2 )(T t))], 2 23

3.3. Prime definizionicapitolo nel modello continuo 3. Modello di Samuelson, Black e Scholes e sotto P σ(wt W t ) + (r σ2 )(T t) in legge è uguale a 2 σ T ty + (r σ2 )(T t), Y N(, 1) 2 e usando 3.16 ho la tesi. Passiamo alla seconda parte del teorema. è autofinanziato se V t = H t S t + H s S t dv t = H t re rt dt + H t ds t con H t, H t univocamente determinati, ma se V t = F (t, S t ) applicando la formula di Ito sapendo che V t è un processo di Ito dv t = F t (t, S t)dt + F x (t, S t)ds t + 1 2 F 2 x (t, S t) d[s] 2 t }{{} = ( )dt + F x (t, S t) ds t. } {{ } H t σ 2 S 2 t dt = Osservazione 3.28 (Caso Call-Put). Illustriamo le formule di Black-Scholes nel caso del Call e Put. Caso Call : C T = (S T K) +, allora con Φ(x) = + σ (T t) e C t = C(t, S t ), C(t, x) = xφ(d 1 ) ke r(t t) Φ(d 2 ) e r2 2 2π dt e d 1,2 = log( x γ2 )+(r± )(T t) k 2 σ T t (t, x) = Φ(d 1 )., cioè d 2 = d 1 Caso Put : P t = P (t, S t ) allora P (t, x) = ke r(t t) Φ( d 2 ) xφ( d 1 ), e (t, x) = Φ( d 1 ). 24

3.3. Prime definizionicapitolo nel modello continuo 3. Modello di Samuelson, Black e Scholes Facciamo vedere nel caso call come si raggiungono le formule di sopra. Posto θ = T t, e e C(t, x) = + (xe σ θy σ2 ponendo a zero sotto d 2, quindi C(t, x) = y 2 2 θ ke rθ ) + e 2 xe σ θy σ2 2 θ ke rθ y d 2 + d 2 (xe σ θy σ 2 e spezzando quest ultima nei due addendi allora e il secondo pezzo diventa ke rθ + d 2 2π dy y 2 θ ke rθ ) + e 2 dy 2π y e 2 2 dy = ke rθ Φ(d 2 ) 2π + e y 2 2 +σ θy σ2 2 θ x = xφ(d 1 ). d 2 2π Dove l ultima uguaglianza si raggiunge cambiando di variabile. Quindi C(t, x) = xφ(d 1 ) ke r(t t) Φ(d 2 ), (t, x) = x C(t, x) = Φ(d 1). Concludiamo osservando che il prezzo della call dipende da C(t, x) = C(t, T, x, k, r, σ), con σ la volatilità che è l unico parametro sconosciuto. Quindi in un certo senso il modello di S-B-S afferma che il prezzo dipende dalla incertezza del mercato. Il portafoglio di copertura è V t = H t S t + H t S t. Discutiamo infine di come si possa stimare il valore di σ: 2 25

3.3. Prime definizionicapitolo nel modello continuo 3. Modello di Samuelson, Black e Scholes Volatilità storica: si fa una stima statistica, guardando le variazioni del passato con U i = log( S t i+1 S ti ), le quali sono indipendenti e gaussiane con varianze σ 2 δ. In un certo senso ci siamo ricondotti a un test sulla varianza a media sconosciuta. Questo approccio però è troppo attaccato al passato, e non si tiene conto del fatto che il mercato può evolvere in maniera imprevedibile. Volatilità implicita: si osservano i prezzi del mercato e si deduce σ da i prezzi. Osservazione 3.29. Il call usuale è di solito imposto come (S T k) + I {sup t T S t M} cioè se S t supera una certa soglia l opzione decade, ovviamente una opzione del genere costerà di meno. Poniamoci adesso sotto le due seguenti ipotesi: 1. Esiste un portafoglio replicante V t = F (t, S t ), con F, C 1 in t e C 2 in x. 2. Sotto una misura P, sono martingale. Allora, e rt S t, e rt F (t, S t ) d(e rt F (t, S t )) = e rt ( rf + F t +rx F x + F x (t, S t)σs t dwt + σ2 x 2 2 F 2 x (t, S t)dt) 2 e poichè è una martingala si ha che rf + F t + rx F x + σ2 x 2 2 F 2 x (t, S t)dt = 2 e se esiste una soluzione classica, cioè del tipo F (t, x) di { F x F + rx + σ2 x 2 2 F rf = x 2 x 2 (3.17) F (t, x) = f(x), t [, T ], x R 2 dove f(x) è il valore della opzione, allora F (t, S t ) è il prezzo replicabile e H t = F (t, S x t). Introduciamo adesso la nomenclatura della variazione del Call rispetto ai parametri, le cosiddette lettere greche: Dato C t = (t, T, x, k, r, σ) 26

3.3. Prime definizionicapitolo nel modello continuo 3. Modello di Samuelson, Black e Scholes Delta: Vega: Theta: C T = C x = Φ(d 1) >. C σ = x T tφ (d 1 ) >. σx 2 T t Φ (d 1 ) + ke 2(T t)φ(d 2)>. Gamma 12 : 2 C x = Φ (d 1 ) 2 xσ T t > 12 Questo rappresenta la convessità rispetto a x, mentre la convessità rispetto a k è indipendente dal modello, come già detto. 27

Capitolo 4 Modelli a volatilità locale e stocastica Studiamo per il momento come stimare σ tramite la volatilità implicita. Quello che si nota è che la volatilità cambia col tempo e si verifica un effetto smile intorno allo strike. Una prima generalizzazione è quella di vedere σ e µ dipendenti dal tempo, anche se abbiamo visto che per il teorema di Girsanov µ non interviene. Quindi σ T t t σ 2 (s)ds, ma il cosiddetto effetto smile non si corregge. Introduciamo i modelli a volatilità locale per poi soffermarci su i modelli a volatilità stocastica. 4.1 Modelli a volatilità locale Abbiamo visto che ds t = S t ( µ(t, S t ) dt + σ(t, S t )dw t ) } {{ } Diventa r per Girsanov si trasforma in d S t = σ(t, S t ) S t dw t, e che l ipotesi di NA è soddisfatta, e nel caso in cui Ft W anche completo. = F S t il mercato è 28

4.1. Modelli a volatilitàcapitolo locale 4. Modelli a volatilità locale e stocastica Esempio 4.1. Se l opzione è del tipo f(s t ) allora sono nella situazione di mercato completo poichè dw t = 1 σ(t, S t ) S t d S t e quindi avrei che F W t F W t F S t F W t. Supponiamo di avere X che risolve { dx t = rx t dt + σ(t, X t )X t dw t X = x allora considero l operatore differenziale seguente, A t = rx x + σ2 (t, x) x 2 2 2 x. 2 Lemma 4.2. Sia u, C 1 in t e C 2 in x, allora è una martingala locale. u(t, X t ) t u s + A s(u(s, dx s ))ds Dimostrazione. (Idea) Potrei scrivere du(t, X t ) = ( u t +A tu)(t, X t )dt+ dw t. Allora du(t, X t ) = u t (t, X t)dt + u x (t, X t) + 1 2 ricordando che d[x] t = σ 2 X 2 t dt, 2 u x (t, X t)d[x] 2 t = [ u t + A tu](t, X t )dt + u x (t, X t)σ(t, X t )X t dw t. e sfrutto il teorema di rappresentazione. Lemma 4.3. Sotto le stesse ipotesi di prima e rt u(t, X t ) è una martingala locale. t ( u s + A su ru)(s, X s )ds 29

4.2. Modelli a volatilitàcapitolo stocastica 4. Modelli a volatilità locale e stocastica Corollario 4.4. Sia u(t, x) soluzione classica di { u t + A tu ru = u(t, x) = f(x) allora e rt u(t, x) è una martingala locale. Vogliamo quindi valutare e coprire una opzione f(s t ) Teorema 4.5. Supponiamo di avere una soluzione classica di { F t F + rx + σ2 (t,x)x 2 2 F rf = x 2 x 2, F (t, x) = f(x) t [, T ], x R 2 e supponiamo che e rt F (t, S t ) sia una martingala allora V = F (, S ), V t = F (t, S t ), H t = F x (t, S t) Dimostrazione. Ṽ t = E [e rt f(s T ) } {{ } F t ] = e rt F (t, S t ), ma Ṽt = e rt V t, F (t,x)=f(x) quindi V t = F (t, S t ). 4.2 Modelli a volatilità stocastica Ricordiamo che ds t = S t (µ t dt +σ }{{} t dw t ) rdt e σ t è progressivamente misurabile rispetto a Ft S e W t è di Wiener rispetto a Ft W tale che Ft S Ft W. Cioè σ è adattato a una filtrazione più grande rispetto a quella generata da W t. Osserviamo che se Ft S Ft W, allora non vale il teorema di rappresentazione delle martingale, e quindi in particolare il mercato non è completo. Quindi riassumendo abbiamo che: si può individuare una probabilità di martingala equivalente. il modello non è completo. 3

4.2. Modelli a volatilitàcapitolo stocastica 4. Modelli a volatilità locale e stocastica 4.2.1 Processi Wiener d-dimensionali Introduciamo i processi di Wiener d-dimensionali 1, W t = (Wt 1,..., Wt d ), con Wt i indipendente da W j t per i j, e H t = (Ht 1,..., Ht d ) allora t H s dw s = d t i=1 H i sdw i s, inoltre H M 2 quando la speranza E[ (H s ) 2 ds] = E[ i Possiamo estendere la formula di Ito notando che H s 2 ds] < +. [W i, W j ] t = dt, i = j [W i, W j ] t =, i j cioè dwt i dw j t = δ ij dt, mentre per il teorema di rappresentazione delle martingale abbiamo che se F t = Ft W ogni X L 2 (Ω, F, P) si scrive come X = E[X] + H s dw s. Si estende il teorema di Girsanov nel seguente modo: se ho L che risolve { dl t = L t H t dw t, L = 1 allora L T = exp( H s dw s ) 1 H s 2 ds 2 e E[L T ] = 1. Inoltre sotto la probabilità Q di densità dlt dp W t H s ds, è di Wiener e se F t = F W t allora tutte le probabilità equivalenti sono di quella forma. 1 ovviamente con d > 1 31

4.2. Modelli a volatilitàcapitolo stocastica 4. Modelli a volatilità locale e stocastica 4.2.2 Studio del modello Nei modelli a volatilità stocastica σ risolve { ds t = S t (µ t dt + σ t dw 1 t ) dσ t = a(t, σ t )dt + b(t, σ t )dw 2 t con Wt 1, Wt 2 indipendenti. Soffermiamoci un attimo su come possono essere Wt 1, Wt 2 fra loro: Indipendenti. Parzialmente scorrelati. Se sono indipendenti abbiamo che d[w 1, W 2 ] t = Wt 1, Wt 2 sono indipendenti, mentre se sono parzialmente scorrelati sono tali che d[w 1, W 2 ] t = ρdt con ρ < 1. Vediamo come si può costruire due processi parzialmente scorrelati: Considero Wt 1, e W t 2 processi di Wiener indipendenti e definisco Wt 2 = ρwt 1 + 1 ρ 2 W t 2 e si verifica che è un processo di Wiener, (mostro che ho delle N(, t s) con s =, infatti se calcolo V ar(w 2 t ) = (ρ 2 + 1 ρ 2 )t = t), quindi d[w 1, W 2 ] t = ρdt Esempio 4.6 (Modello di Stein-Stein). { ds t = S t (µdt + σ t dw 1 t ) dσ t = δ(σ t θ)dt + kdw 2 t con Wt 1, Wt 2 indipendenti cioè d[w 1, W 2 ] t =. Esempio 4.7 (Modello di Heston). { ds t = S t (µdt + νdwt 1 ) dν t = k(θ ν t )dt + ξ ν t dwt 2 con Wt 1, Wt 2 parzialmente scorrelate cioè d[w 1, W 2 ] t = ρdt. 32

4.2. Modelli a volatilitàcapitolo stocastica 4. Modelli a volatilità locale e stocastica Ritorniamo al caso generale e suppongo che d[w 1, W 2 ] t = e Ft S F W 1,W 2 t e lavoriamo rispetto a F W 1,W 2 t e costruiamo la probabilità di martingala equivalente: scelgo P P tale che dp dp = exp( K 1 s dw 1 s + Ks 2 dws 2 1 2 [ ((Ks 1 ) 2 + (Ks 2 ) 2 )ds]) con K 1, K 2 che soddisfano le condizioni di Girsanov ovvero E[(Ks 1 ) 2 +(Ks 2 ) 2 ] = 1. Osserviamo che Ks 1 = ( µs r σ s ), in modo che µ s viene eliminato, mentre Ks 2 è libero. Cioè esiste una probabilità di martingala equivalente ma non è necessariamente unica. Rimarchiamo questo fatto: Osservazione 4.8. Scegliere una probabilità è equivalente a scegliere un processo (K 2 s ). Dati gli spazi (Ω 1, Ft 1, P 1 ) in cui è definito (Wt 1 ), e (Ω 2, Ft 2, P 2 ) in cui è definito (Wt 2 ) allora definendo lo spazio prodotto ottengo che sotto la probabilità P = P 1 P 2 abbiamo due processi indipendenti che soddisfano ds t (ω 1, ω 2 ) = S t (ω 1, ω 2 )(rdt + σ(t, ω 2 )dw 1 t (ω 1 )). Esempio 4.9. Dato il prezzo del call all istante t calcoliamolo per t = : C t = e r(t t) E [(S t K) + F t ], C = e rt E [(S T k) + ] quindi C = e Ω rt [ (S T (ω 1, ω 2 ) K) + dp (ω 1 )]dp (ω 2 ) 2 Ω 2 e poichè sono indipendenti i due processi ottengo che P = P 1 P 2, e fissando ω 2 si ottiene e rt Ω 1 (S T (ω 1, ω 2 ) K) + dp 1 (ω) = e quindi per le formule di S-B-S, allora con d 1,2 = log( S 2 Gli svantaggi sono: = S Φ(d 1 (ω 2 )) Ke rt Φ(d 2 (ω 2 )) K )+ (r±σ2 2 (ω 2))ds σ2 2 (ω 2)ds Quindi C è una media dei prezzi di S-B-S C = [S Φ(d 1 (ω 1 )) ke rt Φ(d 2 (ω 2 ))]dp 2(ω 2 ). Ω 2 33

4.2. Modelli a volatilitàcapitolo stocastica 4. Modelli a volatilità locale e stocastica perdo la completezza del mercato, non ho un unica scelta. I vantaggi sono che ho una migliore approssimazione e sotto S-B-S, cerco i rendimenti con R i = log( S t i+1 S ti ) con i t i equidistribuiti. Questi incrementi sono Gaussiani e indipendenti, ma nella realtà i valori si discostano dalla media e sono frequenti fenomeni di asimmetria. I modelli a volatilità stocastica modellizzano meglio questi andamenti, non simmetrici. 34

Capitolo 5 Cambio di Numéraire Consideriamo (St, St 1,..., St d ), con St i processo di Ito (strettamente positivi), e St attivo senza rischio. Fino ad adesso abbiamo attualizzato rispetto a St e questo St si chiama numerario. Definizione 5.1. Si chiama numéraire un processo stocastico (D t ) t T adattato e a valori positivi. Proposizione 5.2. Supponiamo che D t sia un processo di Ito, allora la condizione di autofinanziamento rimane verificata: V t = d HtS i t i dv t = i= d i= H i tds i t d( V t D t ) = d i= H i td( Si t D t ). Vale anche il viceversa. Teorema 5.3. Supponiamo che P sia probabilità di martingala rispetto a St, e supponiamo che ( Dt ) sia P di martingala, posto allora St dp D dp = D T D S T e sotto questa probabilità P D ogni ( Si t D t ) t è una martingala. Osservazione 5.4. Fissiamo la notazione delle speranze E = E P, e E D = E PD e osserviamo che E [ D T ] = D ST, quindi questa P D è una densità. 35

CAPITOLO 5. Cambio di Numéraire Dimostrazione. (Proposizione 5.2) Ricordiamo che d(x, Y ) t = X t dy t + Y t dx t + d[x, Y ] t. ( ) Supponendo che D > allora 1/D è un processo di Ito e quindi abbiamo che d(x 1 D t ) = X t d( 1 D t ) + 1 D t dx t + d[x, 1 D ] t, quindi d(v t 1 D t ) = V t d( 1 D t ) + 1 D t ( i H i ds i t) + H i td[s i, 1 D ] t = = d Ht[S i td( i 1 ) + 1 dst i + d[s i, 1 D t D t D ] t]. } {{ } d(st i 1 ) D t i= ( ) si procede ripercorrendo dal basso verso l alto. Dimostrazione. (Teorema 5.3) Sia Q probabilità equivalente a P considero la sua densità L t = dq dp F t = E P [L T F t ] infatti se prendo X F t misurabile ho che XdQ = XL T dp = E[XL T F t ]dp = XL t dp. Ω Ω Ω Sia (M t ) t T una Q-martingala, che è equivalente a dire che M t L t è una P martingala, infatti vale che A F s, s < t, M t L t dp = M t dq A A M s dq = A M s L s dp. e ottengo la catena di uguaglianze se M t è una martingala o M t L t è una martingala. Quindi noi sappiamo che dpd F dp t = Dt D, e osservando che Si St t D t è una P D martingala se e solo se Si t D t D t D è una P martingala, e questa per St ipotesi lo è essendo D costante, ottengo la tesi 1. A Ω 1 Basta ricordare la definizione di probabilità di martingala equivalente, cioè che ogni processo è di martingala. 36

CAPITOLO 5. Cambio di Numéraire Osservazione 5.5. Vediamo una conseguenza su i prezzi di N.A: Sia X un attivo aleatorio al tempo T π t = E X [ e F t] = e rt E [ X r(t t) e F t] = S rt t E[ X F ST t ]. Cambiamo numerario, allora mi aspetto di ottenere e infatti è così. D t E [ X D T F t ] Dati S t, S 1 t,..., S d t cerco una strategia autofinanziata cercando i H t,..., H d t e attualizzando per S t si è visto che H 1 t,..., H d t determinano H t, questo ragionamento funziona se attualizzo per ogni S i t, quindi non ho bisogno di verificare la condizione di autofinanziamento e di calcolare H i t perchè è determinato dagli altri. Spesso si sceglie un indice, o un paniere di attivi. Osservazione 5.6. Dato S t tale che ds t = S t (H t dt + K t dw t ) allora d( 1 S t ) = 1 S t (( H t + K 2 t )dt K t dw t ), perchè d( 1 ) = 1 ds S t St 2 t + 1 d[s] St 3 t oppure anche perchè noi sappiamo come è fatta S t e quindi S t = S exp( 1 S t = 1 S exp( t t (H s K2 s 2 )ds + ( H s + K2 s 2 )ds + t t K s dw s ) K s dw s ) dove nell ultimo integrale abbiamo sostituito il Wiener W t e vedendo H s + Ks 2 2 = H s K2 s 2 + Ks 2. Osservazione 5.7. Sia X t processo di Ito tale che per (quasi) ogni ω inf s T X s (ω) > allora dx t = X t ( ) (come sopra), perchè sappiamo che dx t = H t dt + K t dw t = X t ( H t X t dt + K t X t dw t ), 37

CAPITOLO 5. Cambio di Numéraire notando che per quasi ogni ω K2 s (ω)ds < +, che implica K 2 s (ω) X 2 s (ω)ds < +. Ossrviamo che non basta dire che X s (ω) >, s, ma è importante l esistenza di c > per cui X s c. Dato un prezzo di non arbitraggio col numéraire D t π t = D t E D [ X D T F t ]. Esempio 5.8 (Il falso paradosso di Siegel sul tasso di cambio). Dati un bond domestico e uno straniero, rispettivamente, B t = e rt, B f t = e r f t, chiamiamo R t il tasso di cambio della moneta straniera con quella domestica,dollaroeuro, allora dr t = R t (µdt + σdw t ), considero allora i soldi impiegati all estero B f t R t e sotto la probabilità di martingala (risk-neutral) con il numéraire B t, (1, Bf t Rt B t ) devono essere martingale, cioè R t e (r r f )t dr t = R t ((r r f )dt + σdwt ) ma se considero il tasso euro-dollaro ottengo d( 1 R t ) = 1 R t ((r f r + σ2 2 )dt + σd W t ), 2 ma bisogna vedere 1 R t dal punto di vista straniero, cioè col numéraire B f t R t. Infatti cambiando di numéraire ottengo che ( Bt, 1) sotto la probabilità Q f B f t Rt B è una martingala, dove t = e (r B f f r)t 1 t Rt R t è una martingala sotto Q f, allora ottengo che rispetto a questa probabilità 3 d( 1 R t ) = 1 R t ((r f r)dt + σdw f t ). Quindi devo considerare R t rispetto al numéraire B t, e 1 R t rispetto al numéraire B f t. Q f. 2 Con W il processo di Wiener W t. 3 Usando Girsanov, cambia il termine solo in dt, mentre cambio il Wiener rispetto a 38

CAPITOLO 5. Cambio di Numéraire Osservazione 5.9 (Un modo alternativo per ottenere le formule di B-S). Vediamo il caso del Call. Sia C(, S ) = E [ (S T K) + ] e considerato l evento e rt A = {S T > K}, posso scrivere (S T K) + = S T I A KI A E [ S T e rt I A] Ke rt P (A), ma P (A) = P (S T > K) e ricordando che S T soddisfa ds t = S t (rdt + dwt ) allora S T > K (r σ2 2 )T + σw T > log S K con σw T = σ T Y con Y N(, 1) allora Y < log( S σ2 ) + (r )T K 2 σ T allora Ke rt P (A) = Ke rt Φ(d 2 ). Valuto il primo termine cambiando numéraire rispetto al processo (S t ) t T e quindi E [ S T e rt I A] = S E S [I A ] = S P S (A) e valutando col nuovo numéraire sotto P S, ( ert S t, 1) sono martingale e d( ert S t ) = ert S t ((r µ + σ 2 )t + σdw S t ) e ottengo l espressione già nota per d 1. Esempio 5.1. Parliamo dell opzione di scambio fra due attivi. con gli attivi che soddisfano: (S 1 t S 2 T ) + ds 1 t = S 1 t (µ 1 dt + σ 1 dw 1 t ) ds 2 t = S 2 t (µ 2 dt + σ 2 dw 2 t ) assumendo i Wiener indipendenti d[w 1, W 2 ] t =, allora dato (e rt, St 1, St 2 ) col numéraire St (1, S1 t, S2 e rt t ) sono martingale. Quindi e rt ds i t = S i t(rdt + σ i d W i t ) 39