Equazione del calore e funzioni trigonometriche.

CAPITOLO 1 Equazione del calore e funzioni trigonometriche. 1.1. Spazi vettoriali trigonometrici Il concetto di spazio vettoriale euclideo dovrebbe essere familiare al lettore di queste note. Per comodità del lettore la definizione(formale ed astratta) è riportata nella tabella 1. Il nocciolo dell idea di vettore è quello di cose che possono essere addizionate e sottratte fra loro e che possono essere allungate o accorciate. Il nocciolo dell idea di vettore euclideo è quello di perpendicolarità(o ortogonalità). Il formalismo astratto è necessario al solo scopo di qualificare in maniera non ambigua e non contraddittoria l idea intuitiva di somma, allungare, accorciare, ortogonale. In particolare, le proprietà del prodotto scalare sono state studiate in modo che, definendo ortogonali due Uninsieme Vèunospaziovettorialereale,edisuoielementisonochiamati vettori, se le proprietà specificate ai punti(1) e(2) sono soddisfatte; se sono anche soddisfatte le proprietà al punto(3) allora V è uno spazio euclideo. (1) Esiste una operazione binaria(chiamata addizione e denotata dal segno +) che associa ogni possibile coppia di vettori ad un singolo vettoreeche, a,b,c V,soddisfaleproprietà (a) a + b = b + a(proprietàcommutativa) (b) a + (b + c) = (a + b) + c(proprietàassociativa) (c) Vtaleche + a = a(esistenzadell elementoneutro ) (d) ā Vtaleche a+ā = (esistenzadell elementoopposto ā = a) (2) Esiste una operazione binaria(chiamata moltiplicazione e denotata dalla giustapposizione dei simboli degli operandi) che associa ogni possibilecoppiaformatadaunnumerorealeedunvettoreadun singolovettoreeche, α, β Re a,b V,soddisfaleseguenti proprietà (a) α(βa) = (αβ) a(proprietà associativa) (b) 1a = a (il numero uno è elemento neutro della moltiplicazione) (c) (α + β)a = αa + βa (proprietà distributiva rispetto all addizione fra numeri reali) (d) α(a, b) = αa + αb (proprietà distributiva rispetto all addizione fra vettori) (3) Esiste una operazione binaria(chiamata prodotto scalare e denotata racchiudendo gli operandi fra parentesi angolari) che associa coppiedivettorianumerirealieche, α, β Re a,b,c V, soddisfa le seguenti proprietà (a) < a,a > ; < a,a >= a = (positività) (b) < a,b >=< b,a >(commutatività) (c) < (αa + βb),c >= α < a,c > +β < b,c >(linearità) TABELLA 1. Definizione assiomatica di spazio vettoriale e di spazio vettoriale euclideo. 1

2 1. EQUAZIONE DEL CALORE E FUNZIONI TRIGONOMETRICHE. vettori aebtaliche < a,b >=,siabbiaunmodellomatematicodelnostro concetto intuitivo di perpendicolarità. L esempio più noto e comunemente incontrato di spazio euclideo è costituitoda R n (icuivettorisonosequenzeordinatedi nnumerireali).inparticolare R 3 èlastrutturamatematicacomunementeutilizzatacomemodelloperdescrivere il consueto spazio fisico tridimensionale nel quale viviamo. Tuttavia, chidovessepensarecheladefinizioneditabella1siasinonimodispazio R n, darebbeprovadiunacertacarenzadiimmaginazione 1. Unavoltacheuna idealizzazione matematica sia stata assiomatizzata, si è liberi di riutilizzare gli assiomi che la definiscono in qualunque contesto nel quale gli assiomi stessi possono essere soddisfatti. E questo porta ad utilizzare l idea di spazio euclideo in contesti molto lontani da quelli della geometria dello spazio fisico. Un semplice esempio di spazio euclideo bidimensionale i cui vettori non sono coppie ordinate di numeri reali è l insieme delle funzioni definite nell intervallo [, 2π] della forma (1.1.1) f(x) = Asin(x) + B cos(x) + C dove A, B, Csononumerirealiarbitrari 2.Denoteremoconilsimbolo T 1 questo insieme. Esso è uno spazio vettoriale reale perché, usando come addizione e moltiplicazione le omonime operazioni algebriche fra numeri reali, è immediatoverificareche,se f, g T 1 e α, β R,allora αf + βg T 1 ;inoltretuttigli assiomi dei punti(1) e(2) della tabella 1 sono soddisfatti. NonècosìimmediatodareaT 1 lastrutturadispazioeuclideo,perchénon esiste una operazione algebrica che possa essere interpretata come prodotto scalare. Per ricoprire questo ruolo è necessario definire una nuova operazione fra funzioni. Un modo molto utile di definire il prodotto scalare fra funzioni è il seguente (1.1.2) < f, g >= f(x)g(x) dx. È lasciato come esercizio al lettore il compito di verificare che la definizione (1.1.2) soddisfa tutte le richieste del punto(3) della tabella 1. L esistenza di un prodotto scalare conduce in modo naturale alla definizione di una norma. Infatti è sufficiente porre f = < f, f >. Inoltre la norma conduce in modo naturale alla definizione di una distanza. Infatti è sufficiente porre d(f, g) = f g ***Ricordare che prodotto scalare e norma implicano disuguaglianza triangolare, disuguaglianza di Schwarz, teorema di Pitagora, definizione dell angolo fra due vettori*** Osserviamo che le funzioni seno e coseno che appaiono nella combinazione lineare(1.1.1) sono vettori fra loro ortogonali. Infatti < sin, cos >= sin(x)cos(x)dx = 1 sin(2x)dx =. 2 1 L affermazioneèdaintendersinelgiustosenso:ognispazioeuclideodidimensione nfinita èisomorfoar n,equindi,inuncertosensosiidentificaconessoinquantonecondividetuttele proprietà algebriche. Quello che può essere profondamente differente è l interpretazione di che cosa sia un vettore. 2 Ovviamentelatriplettaordinata (A, B, C)identificaunivocamenteunvettorediquestospazio,edesisteunisomorfismotraessoeR 3. Maivettoridiquestospaziononsonoletriplette (A, B, C),bensìlefunzionidellaforma1.1.1.

1.1. SPAZI VETTORIALI TRIGONOMETRICI 3 Inoltre, entrambe le funzioni sono ortogonali alla funzione costante 1: < sin, 1 >= < cos, 1 >= sin(x)dx =, cos(x)dx =. Pertanto la tripletta di funzioni {1, sin, cos}costituisce una base ortogonale di T 1.Nonsitratta,peròdiunabaseortonormale,perchéivettoridiquestabase nonhannonormapariauno,infatti 3 < sin, sin >=< cos, cos >= π, < 1, 1 >= 2π.Unabaseortonormaledi T 1 èdatadallatriplettadifunzioni { sin π, cos 1 π, 2π }. Piùingenerale,possiamodefinirelospaziotrigonometrico T n comel insieme delle funzioni della forma (1.1.3) f(x) = A k sin(kx) + B k cos(kx) + C. L indice k è detto numero d onda. Questo è uno spazio euclideo 2n+1-dimensionale, edunasuabaseortogonaleèdatadall insiemedifunzioni {s 1,..., s n, c 1,..., c n, 1}, doveconisimboli s k e c k indichiamolefunzioniicuivalorisono,rispettivamente, sin(kx) e cos(kx). Per mostrare che questo è uno spazio euclideo 2n + 1-dimensionale, in aggiuntaaquantodettoapropositodi T 1,èsufficienteosservare 4 che e sin(kx)cos(lx)dx =, sin(kx)sin(lx)dx =, k, l = 1,...,n k, l = 1,...,n; k l cos(kx)cos(lx)dx =, k, l = 1,..., n; k l. OltreaT n utilizzeremoaltriduespazitrigonometriciinquestoeneiprossimicapitoli. Lichiameremo S n e C n,elefunzionichelicompongonosono definite nell intervallo [, 2π] e hanno la forma ( ) k (1.1.4) f(x) = A k sin 2 x,, f S n, (1.1.5) f(x) = k= ( ) k A k cos 2 x,, f C n. Lospaziodeiseni S n è n dimensionaleedunasuabaseortogonaleèl insieme dellefunzioni {s 1/2, s 1,..., s n/2 };lospaziodeicoseni C n è n + 1 dimensionale edunasuabaseortogonaleè{c, c 1/2,...,c n/2 }(sinotiche c = 1). Èimportanteosservarecheivettoridibaseusatiperdefinire S n e C n nonsonoun sottoinsiemedeivettoridibaseusatiperdefinire T n.in S n e C n abbiamousato anchelesemilunghezzed onda.peresempio s 1/2 / T n,qualunquesial intero n(vedi anche esercizio 1.7). 3 Siricordil identitàtrigonometrica cos(2x) = 1 2sin 2 (x) = 2cos 2 (x) 1. 4 Siusinoleidentità sin(α) cos(β) = (sin(α+β)+sin(α β))/2; sin(α) sin(β) = (cos(α β) cos(α + β))/2; cos(α) cos(β) = (cos(α + β) + cos(α β))/2.

4 1. EQUAZIONE DEL CALORE E FUNZIONI TRIGONOMETRICHE. 1.2. Spazi vettoriali funzionali La definizione(1.1.2) di prodotto scalare fra funzioni è applicabile ad insiemidifunzioniinfinitamentepiùampideglispazi T n, S n o C n. Laclassepiùampiadifunzioniperlaquale(1.1.2)èunabuonadefinizionediprodottoscalareèl insieme L 2 dellefunzionirealidefinitenell intervallo [, 2π] che abbiano la proprietà di essere al quadrato integrabili. Questa proprietà è necessaria affinché esista la norma di ciascuna funzione. Infatti, dire che fèalquadratointegrabilevuoldirecheesisteilnumerorealenonnegativo f = < f, f > = f 2 (x)dx.perdaread L 2 lastrutturadispaziovettorialeeuclideosononecessarieulterioripassi,edalcunesottigliezze 5.Inoltre L 2 risulterà essere uno spazio euclideo di dimensione infinita, il che comporta la necessitàdiulterioriattenzioni 6.Inquestasedenonsvilupperemounateoria deglispazi L 2,macilimiteremoadusarespazifunzionalididimensionefinita, per i quali rimangono validi tutti i teoremi che costituiscono il programma usuale dei corsi di algebra lineare. Anche senza mai usare spazi euclidei di dimensione infinita, ci interessa osservarecheèpossibileutilizzareglispazi T n, S n o C n (edaltrispazidifunzioni a dimensione finita) per approssimare funzioni appartenenti all insieme L 2. Questaaffermazioneèdaintendersicolseguentesignificato: sceltouno spaziodifunzionieuclideo F n (dotatodelprodottoscalare1.1.2)edatauna funzione f L 2,cidomandiamoqualesialafunzione g F n cherendeminimaladistanza d(f, g). Seunatalefunzione gesisteedèunica,alloraessa èlamiglioreapprossimazioneper f chepossiamotrovareall internodi F n. Ovviamente il termine migliore approssimazione va inteso in senso condizionato alla particolare definizione di distanza(e quindi di prodotto scalare) che abbiamo utilizzato. In termini espliciti d(f, g) = (f(x) g(x)) 2 dx quindistiamochiedendocheloscartoquadraticomediotra fe gsiaminimo. Trovarelamiglioreapprossimazionediunafunzione f L 2 all interno diunospazio F n èfacileseènotaunabaseortonormale {e 1,..., e n }di F n. Infatti, in analogia con quanto accade negli spazi euclidei finito-dimensionali, adottiamo la seguente DEFINITION1.2.1.Proiezionedi fin F n.laproiezionedi fin F n,espressa rispettoallabaseortonormale {e 1,..., e n },èlafunzione (1.2.1) f n = c k e k 5 Laprincipaledellequaliènecessariaadaggirareilseguenteproblema:selefunzioni fe f appartegonoal 2 esonougualiovunquesalvocheinunpunto x [, 2π),èimmediatodedurre che d(f, f) =. Maseladistanzafraduevettoriènullaiduevettoridevonoessereidentici, mentre fe fnonlosono,perchédifferiscononelpunto x.nellateoriadeglispazifunzionalitutte le funzioni che hanno distanza nulla fra loro sono rappresentative di un unico vettore dello spazio vettoriale.inaltreparole,ivettoridi L 2 nonsonofunzioni,maclassidiequivalenzafrafunzioni. 6 Peresempio,qualunquesequenzadi nvettoriortogonaliinunospazio ndimensionaleèuna base, ma non tutte le sequenze infinite di vettori ortogonali sono una base di uno spazio euclideo di dimensione infinita. La dimostrazione di questa affermazione è immediata: se da una sequenza infinita di vettori ortogonali che è una base ne eliminiamo uno, rimane una sequenza infinita di vettori ortogonali, ma nessuna combinazione lineare di essi è uguale al vettore eliminato, e quindi ciòcherimanenonèunabase.

1.3. ESERCIZI 5 doveicoefficientireali c k sonodatida (1.2.2) c k =< f, e k >,, k = 1,...,n. Concretamente,perproiettarelafunzione fin F n ènecessariosolosaper eseguiregli nintegralichedefinisconoicoefficienti c k =< f, e k >= f(x)e k (x)dx. Ilpassosuccessivoèquellodiriconoscerechelaproiezione f n èpropriol approssimazione cercata. THEOREM1.2.2. Approssimazioneottimale. Dataunafunzione f L 2 edunospaziodifunzionieuclideo n dimensionale F n,laproiezione f n di f èl elementodi F n chehadistanzaminimada f. Inoltrenonesistonoaltri elementidi F n aventiparidistanzada f. DIMOSTRAZIONE. Sia {e 1,...,e n }unabasedi F n.unaqualunquefunzione g F n puòessereespressacome g = k (c k+d k )e k,dove c k sonoicoefficienti (1.2.2)chedefinisconolaproiezione f n rispettoallabase {e 1,...,e n }.Sihache d 2 (f, g) = f f n d k e k, f f n d k e k = = f f n 2 2 + d k e k 2 f f n, d k e k = = d 2 (f, f n ) + d 2 k 2d k f f n, e k. Ma < f f n, e k >=< f, e k > < f n, e k >= c k c k =,quindi d(f, g) = d(f, fn ) + d 2 k. Èchiarochequestadistanzaèminimaseesolose d k = per k = 1,...,n,e questoimplica g = f n. L unicitàdelminimoègarantitadalfattocheinuno spazioeuclideo,fissataunabase {e 1,...,e n }edeicoefficienti {c 1,..., c n },esiste ununicoelementoesprimibiletramitelacombinazionelineare k c ke k. COROLLARY1.2.3. Se f n èlaproiezionedi f L 2 in F n e f n+1 èlaproiezionedi fin F n+1,allora d(f, f n ) d(f, f n+1 ). DIMOSTRAZIONE. È una conseguenza immediata del teorema(1.2.2). 1.3. Esercizi EXERCISE 1.4. Dimostrate che l elemento neutro di uno spazio vettoriale èunico(proprietà1.c). Dimostratechel oppostodiundatovettore aèunico (proprietà 1.d). SUGGERIMENTO: supponete per assurdo che esistano due elementi neutri, o due opposti, e verificate che questo porta ad una contraddizione con almeno una delle altre proprietà che definiscono uno spazio vettoriale. EXERCISE1.5. Usateleproprietàditabella1perdimostrarecheilprodottoscalareèbilineare, ovverochevaleanchelaproprietà: x, y Re a,b,c V, < a, (xb + yc) >= x < a,b > +y < a,c >. Dimostrateanche cheilvettorenulloèortogonaleatuttiglialtri,cioéche a V, < a, >=.

6 1. EQUAZIONE DEL CALORE E FUNZIONI TRIGONOMETRICHE. EXERCISE1.6. Nell intervallo [, 1]ipolinomi P (x) = 1eP 1 (x) = 1/2 + x sono fra loro ortonormali, rispetto alla definizione(1.1.2) di prodotto scalare. Trovate un polinomio di secondo grado ortonormale ad entrambi. EXERCISE1.7. Dimostrateche sin(kx/2)cos(lx/2)dx se kelsono dispari, pertanto non ha senso usare anche le semilunghezze d onda nella definizione(1.1.3),masololelunghezzeintere.dimostrateche sin(kx/2) sin(lx/2) dx = e cos(kx/2)cos(lx/2)dx = per kelinteri, k l,pertantolefunzionitrigonometriche che appaiono nelle definizioni(1.1.4) e(1.1.5) sono realmente unabaseortogonaledi S n e C n,rispettivamente. EXERCISE1.8. Trovatelaproiezionein T n delleseguentifunzionidefinite in [, 2π]: f 1 (x) = H(x π) f 2 (x) = π x f 3 (x) = sin(x/2) f 4 (x) = x(x 2π) f 5 (x) = x π dove H è la funzione di Heaviside. Quale regolarità notate?