TESTI DI ESAME a.a

TESTI DI ESAME a.a. 2006-07 Perugia, 02 febbraio 2007 1. Marmellata. Una industria alimentare produce due confetture: - una di qualità media: zucchero 32% - una di qualità ottima: zucchero 48% La disponibilità settimanale di zucchero ammonta a 80 quintali. (a) Determinare la strategia di produzione che massimizza il ricavo, tenuto conto che il rapporto tra i prezzi unitari delle confetture è pari a 3/4. (b) Disegnare la funzione ricavo e spiegare il significato del termine noto e del coefficiente angolare. (c) (FACOLTATIVO) Denotato con α il rapporto tra i prezzi unitari delle confetture, discutere come varia la strategia ottimale in funzione di α. 2. Effetto serra. Il gas maggiormente responsabile dell effetto serra è l anidride carbonica. In base alle previsioni più pessimistiche, la quantità di anidride carbonica nell atmosfera è approssimabile da h(t) = 277e 0.00353t ove h(t) rappresenta le parti di volume per milione e t, 20 t 350, è il tempo in anni trascorsi dal 1750 assunto come anno zero. (a) Disegnare il grafico della funzione e studiarne la monotonia, i punti critici e la concavità. (b) Utilizzate il modello per prevedere la quantità di anidride carbonica presente nell atmosfera nel 2100. 1

(c) Quando, approssimando alla decina di anni, il livello supererà 700 parti per milione? (DISEQUAZIONE!) 3. Sia f una funzione tale che f(2) = 1 e la cui derivata è f (x) = x 3 + 1. ( Non viene data una formula per la f. In effetti non è possibile trovare esplicitamente un formula di questo tipo.) (a) Usare un approssimazione lineare per stimare il valore di f(2.1). (b) Stabilire se il valore esatto di f(2.1) è inferiore o superiore a quello stimato. 4. Magliette da calcio. Un azienda artigianale produce costose magliette da calcio da vendere alle cooperative universitarie in lotti composti al massimo da 500 pezzi. Il costo sostenuto dall azienda (in euro) per un lotto di x magliette è C(x) = 2000 + 10x + 0.2x 2. Quante magliette per lotto dovrebbe produrre l azienda per minimizzare il costo medio? Perugia, 16 febbraio 2007 1. Orario ferroviario. Nella tabella sono riportati gli orari ferroviari dell IC 9341 e le distanze dalla stazione di Perugia. PG Assisi Foligno Spoleto TR Orte Roma h 6.45 7.18 7.35 7.58 8.14 Km 0 24 40 65 94 124 206 (a) Adottando una approssimazione lineare, stimare l orario di arrivo a Roma Termini e quello di transito nella stazione di Assisi. (b) Rappresentare graficamente i dati della tabella e la retta approssimante. (c) Determinare il significato del termine noto e del coefficiente angolare dell approssimazione linere. (d) Valutare in quale tratto il treno ha la massima velocità media. 2

2. Terremoto. L intensità M(x) di un terremoto secondo la scala Richter è funzione dell energia x rilasciata dal terremoto misurata in Kwh: M(x) = 2 3 log x E 0 dove E 0 = 7 10 3 Kwh. (a) Il valore di M(x) varia da M = 0 per i terremoti di minore entità rilevabili dalla strumentazione fino a M = 8.9 per il più forte terremoto mai registrato. Determinare il dominio della funzione M(x). (b) Disegnare il grafico della funzione M(x). (c) Si supponga che le intensità di due terremoti differiscano per una unità della scala Richter; determinare il rapporto tra le energie rilasciate dai due terremoti. 3. Sulle facce di un cubo di lato 10 cm è applicata una mano di vernice di 0,02 cm. (a) Utilizzare il differenziale per approssimare la quantità di vernice impiegata. (b) Stimare l errore dell approssimazione. (c) Visualizzare graficamente l approssimazione. 4. Fontana. Una fontana ha la vasca a forma di parabola, con unico getto di acqua uscente dal vertice V. La parabola viene rappresentata sul semipiano y 0, con estremi A = ( 1, 0) e B = (1, 0); il vertice V = (0, 2) é sull asse y. La vasca é profonda 40cm. Determinare l area sottesa dal grafico della funzione parabola (area sezione fontana) e il volume della vasca. 5. Orto. Si vuole recintare un orto rettangolare. La rete per i lati est e ovest costa 4 euro al metro, mentre quella per i lati nord e sud costa solo 2 euro al metro. Se si dispone di 80 euro, quali sono le dimensioni massime dell area che può essere recintata? Perugia, 23 febbraio 2007 3

1. Ingressi in piscina. Il costo di un ingresso in piscina è 6.5 euro. Un carnet di 10 ingressi costa 52 euro. L utente A acquista il biglietto ad ogni ingresso, mentre l utente B vuole risparmiare e sceglie l opzione carnet. (a) Disegnare nello stesso piano cartesiano i grafici che rappresentano la spesa f A (x), f B (x) rispettivamente dell utente A e B in funzione delle corse effettuate (da 0 corse a 30 corse). Cosa rappresentano le intersezioni dei due grafici? (b) Determinare la funzione costo medio l utente B effettua x corse e disegnarne il grafico. f B (x) di ciascuna corsa se 2. Popolazioni. La popolazione della città A è 5 volte quella della città B. Supponendo che la prima cresca ad un tasso del 2% annuo e la seconda al 10 %, quanti anni occorrono affinchè la popolazione dell città A superi quella della città B? Modellate il processo individuando gli algoritmi iterativi, disegnate il grafico delle funzioni esponenziali e risolvete la disequazione esponenziale. 3. Scatole per pelati. Un costruttore di scatole per pelati riceve una grande ordinazione di scatole cilindriche di volume unitario V 0. Determinare le dimensioni che minimizzano la superficie totale della scatola e quindi la quantità di metallo necessario per la sua costruzione. 4. Sorbetto. Si versa del sorbetto in un cono gelato. Il tasso di crescita dell altezza nei primi tre secondi è rappresentato dalla funzione h (x) = 1/(2 x), e il raggio di ogni sezione orizzontale è stimato 1/4 dell altezza (r = 1/4 h) calcolare il volume di sorbetto versato nel cono nei primi tre secondi. 5. Pioggia. In determinate condizioni, una goccia di pioggia cade con velocità v(t) = v (1 e gt v ) dove g è l accelerazione di gravità e v è la velocità limite raggiungibile dalla goccia a causa dell attrito. (a) Calcolare lim t + v(t). (b) Disegnare v(t) se v = 1 m/s e g = 9, 8 m/s 2 monotonia, i punti critici e la concavità. e studiarne la 4

(c) Quanto tempo occorre affinchè la velocità della goccia raggiunga il 90% della sua velocità terminale? Perugia, 7 giugno 2007 1. Investimenti bancari. Si supponga di investire 1000 euro al 2% di interesse annuo, in regime di capitalizzazione composta. (a) Modellare il fenomeno e trovare i primi 5 termini della successione (a n ) n. (b) Stabilire dopo quanti anni il capitale sarà raddoppiato. 2. Alunni stranieri. La Repubblica del 21 gennaio 2007 ha presentato la seguente tabella che riporta il numero in migliaia degli alunni stranieri in Italia negli ultimi 10 anni 95-96 96-97 97-98 98-99 99-00 00-01 50 57 70 85 119 147 01-02 02-03 03-04 04-05 05-06 06-07 181 232 282 361 424 500 (a) Stabilire se i dati riportati si susseguono secondo un progressione aritmetica o geometrica. (b) Modellare il fenomeno, approssimare la legge della funzione e disegnarne il grafico. (c) Usare i dati ottenuti per una previsione per l anno 2050. 3. Disegnare il grafico di una funzione f(x) tale che lim x 2 f(x) = lim x 1 f(x) = 3 lim x 1 +f(x) = 4 lim x + f(x) = 1 lim x f(x) = 5

Determinare l equazione degli asintoti. Rispetto al grafico da voi tracciato, disegnare i grafici di f(x) e di f( x ). Individuare in ognuno dei tre grafici il C.E., i punti di discontinuità e quelli di non derivabilità. 4. Fiume. Una persona deve andare dalla località A alla località B dalla stessa parte di un fiume il cui percorso è rettilineo ed è sempre ugualmente raggiungibile. Prima di giungere in B deve passare al fiume ad attingere acqua. In quale punto scenderà al fiume in modo da percorrere la minima distanza? (a) Posizionare un sistema di riferimento nel piano, assegnare a piacere delle coordinate ai punti A e B e determinare la funzione distanza. (b) Che cosa rappresenta la variabile indipendente x e qual è il dominio della funzione distanza? (c) Risolvere il problema per via puramente geometrica. 5. Guadagno marginale. Un fornitore di calcolatori ha un guadagno marginale di v(x) = 15 5e x/50 per calcolatore, quando ha venduto x calcolatori. (a) Determinare il guadagno totale ottenuto dalla vendita di 100 calcolatori. (b) Disegnare la funzione v(x) e rappresentare graficamente il guadagno realizzato. Perugia, 28 giugno 2007 1. Disegno. Un disegno ha la dimensione maggiore lunga 10 cm e deve essere inserito in un quadrato di lato 0.5 cm. Sapendo che lo zoom della nostra fotocopiatrice al massimo riduce del 40%, individuate il numero minimo di riduzioni necessarie per poter compiere il collage. (a) Modellate il processo individuando l algoritmo iterativo. (b) Disegnate il grafico della funzione esponenziale 6

(c) impostare e risolvete la disequazione esponenziale. 2. Software. Una compagnia di software stima che, se x programmatori sono assegnati ad un progetto, essi possono sviluppare un nuovo prodotto in f(x) giorni, dove f(x) = 100 30x + 3x 2. (a) Tracciare il grafico della funzione f(x) e determinarne dominio e codominio. (b) Stabilire quanti programmatori dovrebbe impegnare la compagnia per realizzare il progetto nel minor tempo possibile. (c) Interpretare geometricamente ed economicamente l equazione f(x) = 40. 3. Disegnare il grafico di una funzione f(x) tale che f(2) = 4, f(5) = 3 lim x 2 f(x) = 2 lim x 5 f(x) = 3 lim x 5 +f(x) = lim x + f(x) = + lim x f(x) = 6 Determinare l equazione degli asintoti. Rispetto al grafico da voi tracciato, disegnare i grafici di f(x) e di f( x). Individuare in ognuno dei tre grafici il C.E., i punti di discontinuità e quelli di non derivabilità. 4. Assegnato il punto A = (1, 0) determinare sulla curva grafico della funzione f(x) = e x il punto che ha la minima distanza da A. 7

5. Guadagno marginale. Un fornitore di calcolatori ha un guadagno marginale di v(x) = 15 5e x/50 per calcolatore, quando ha venduto x calcolatori. (a) Determinare il guadagno totale ottenuto dalla vendita di 100 calcolatori. (b) Disegnare la funzione v(x) e rappresentare graficamente il guadagno realizzato. Perugia, 12 luglio 2007 1. Elettrodomestici. Una piccola industria di elettrodomestici spende 9000 euro per produrre 1000 tostapane in una settimana; incrementando la produzione a 1500 tostapane per settimana, il costo passa a 12000 euro. (a) Esprimere il costo di produzione sostenuto dall azienda, assumendo sia lineare. Disegnarne il grafico. (b) Determinare il significato del coefficiente angolare e dell intersezione con l asse y. (c) Scrivere l equazione della retta tangente nel punto di ascissa 500. (d) Disegnare il grafico della funzione derivata prima. 2. Pesci. La popolazione di una specie di pesci che occupa un piccolo laghetto montano è inizialmente di 100 unità e può raggiungere il numero di 1000. La dimensione di tale popolazione è descritta dalla seguente legge dove t è espresso in anni. P (t) = 100000 100 + 900e t (a) Tracciare il grafico della funzione P (t) e determinarne dominio e codominio. (b) Stabilire quanto tempo occorre perchè la popolazione raggiunga le 900 unità. (c) Calcolare lim t 0 P (x) = 8

lim t + P (x) = e spiegarne i significati biologici. 3. Spostamento. Lo spostamento (espresso in metri) di una particella che si muove su una linea retta è assegnato dall equazione del moto s(t) = t 2 8t + 18 dove t è misurato in secondi. (a) Disegnare il grafico di s(t). (b) Trovare le velocità medie relative ai seguenti intervalli di tempo: [3, 4], [3.5, 4], [4, 5], [4, 4.5] (c) Dire il significato analitico e geometrico delle velocità medie e rappresentarle nel grafico. (d) Trovare la velocità istantanea in t = 4. (e) Precisare il significato analitico e geometrico della velocità istantanea e rappresentarla nel grafico. 4. Olio. Un serbatoio di olio ha la stessa capacità del massimo cono circolare retto di apotema 1 metro. Calcolare quanti litri di olio il serbatoio può contenere. 5. Sia f(x) è una funzione reale dispari (grafico simmetrico rispetto all origine) definita e integrabile nell intervallo [ 2, 2]. (a) Calcolare il suo integrale esteso a tale intervallo. (b) Calcolare nel medesimo intervallo l integrale di f(x) + 3. Perugia, 6 settembre 2007 1. Tessuti. Un azienda tessile produce due tipi di tessuto utilizzando tre filati (lana, seta, poliestere) in diversa proporzione. Nella tabella seguente sono riportate le quantità di filati che occorrono per realizzare una pezza (di lunghezza unitaria) e le giacenze del magazzino. Filato Tessuto A Tessuto B Magazzino lana 120 g 120 g 144 kg poliestere 180 g 90 g 180 kg seta 60 g 180 g 180 kg 9

(a) Rappresentare analiticamente e geometricamente il problema lineare, supponendo di voler esaurire le giacenze del magazzino. (b) Interpretare i punti di intersezione delle tre rette. (c) Stabilire se è possibile una produzione dei tessuti A e B utilizzando tutte le giacenze. 2. Pesci. La popolazione di una specie di pesci che occupa un piccolo laghetto montano è inizialmente di 45 unità e può raggiungere il numero di 900. La dimensione di tale popolazione è descritta dalla seguente legge dove t è espresso in anni. P (t) = 90000 100 + 1900e t (a) Tracciare il grafico della funzione P (t) e determinarne dominio e codominio. (b) Stabilire quanto tempo occorre perchè la popolazione raggiunga le 500 unità. (c) Calcolare lim t 0 P (x) = lim t + P (x) = e spiegarne i significati biologici. 3. Cubo. Calcolare il valore esatto del volume di un cubo di lato 4,01 cm e fornire una sua buona approssimazione usando l equazione della retta tangente. Dare una rappresentazione grafica dell approssimazione. 4. Scatola. Si vuole costruire una scatola di legno a base quadrata, della capienza di 54cm 3, con uno dei lati di vetro per permettere di controllare il contenuto senza aprire la scatola. Determinare le dimensioni che minimizzano il costo di produzione supposto che il rapporto tra i prezzi unitari del legno e del vetro è pari a 5/3. 5. Velocità. Il moto di un auto sia rappresentato dalla legge s(t) = 3 + 2t + 0.05t 2. Mostrare che la velocità media dell auto nell intervallo di tempo [2, 7] (rapporto incrementale) è la stessa della media delle sue velocità durante il viaggio (Teorema della media). 10

Perugia, 20 settembre 2007 1. Pomodori. Per una determinata varietà di pomodoro, è stato verificato che alla temperatura di 12 C germoglia il 40% dei semi, mentre alla temperatura di 15 C germoglia il 70% dei semi. (a) Determinare la relazione tra la temperatura e la percentuale di semi germogliati, supponendo che sia espressa da una funzione lineare e disegnarne il grafico. (b) Interpretare i significati del coefficiente angolare e del termine noto. (c) Quale percentuale di semi germoglierà alla temperatura di 14 C? (d) A quale temperatura germoglierà il 50% dei semi? 2. Alberi. Si misura l altezza di un albero in funzione del tempo. All inizio dell esperimento (t = 0) l altezza dell albero era di 1.00 m. Dopo una settimana (t = 1) l altezza dell albero era di 1.04 m. Dopo due settimane (t = 2) di 1.10 m. (a) Supponendo che l altezza dipenda in modo quadratico dal tempo, determinare la funzione che esprime la crescita dell albero e disegnarne il grafico. (b) Stabilire quanto tempo occorre perchè l altezza raggiunga 2 m. (c) La funzione trovata può rappresentare la crescita dell albero per tempi precedenti all inizio della misurazione? Determinare a partire da quando il modello è attendibile. 3. Rane. La crescita di una popolazione di rane in uno stagno è descritta dalla seguente legge P (t) = 100 + 50 et 1 e t + 1 dove P (t) è il numero di rane al tempo t. (a) Determinare il campo di esistenza della funzione. (b) Calcolare lim t 0 P (x) = e spiegarne i significati biologici. lim t + P (x) = 11

(c) Calcolare lim t P (x) = (d) Tracciare il grafico della funzione P (t) anche per tempi negativi. (e) Stabilire quanto tempo occorre perchè la popolazione raggiunga le 120 unità. 4. Terreno. Un agricoltore acquista un terreno di un ettaro da un vasto appezzamento pianeggiante. Egli puó scegliere la forma del suo campo, e decide che sia rettangolare. Quanto alle dimensioni dei lati, fermo restando che la superficie rimanga esattamente un ettaro, egli fará in modo da rendere minimo il perimetro, per economizzare sulla recinzione. Quali dovranno essere allora le dimensioni dei lati? 5. Velocità. Il moto di un auto sia rappresentato dalla legge s(t) = 3 2t + 0.5t 2. (a) Determinare lo spostamento dell auto nell intervallo di tempo [0, 4]. (b) Determinare la distanza percorsa nello stesso intervallo di tempo. 12