1 Catena di ocillatori 16. Onde elatiche Vogliamo dicutere il fenomeno della propagazione ondulatoria in un mezzo elatico. A tale copo conideriamo un inieme di punti materiali dipoti lungo una retta, ad uguale ditanza tra loro. Supponiamo che i punti materiali iano connei da molle di cotante elatica k. Tale inieme di ocillatori è motrato in figura (1). Supponiamo 1 2 3 4 k m x Figura 1: Una catena di punti materiali (indicati con un pallino nero) connei da molle e dipoti lungo l ae delle acie. che le molle abbiano ditanza di ripoo nulla e che quindi la forza elatica che una molla eercita tra due punti dipende dalla ditanza tra i due punti. Nella figura (1) i punti ono tutti alla tea ditanza e quindi u ogni punto vengono eercitate due forze di intenità uguale e vero oppoto. Supponiamo inoltre che i punti materiali poano muoveri anche in direzione verticale. L entità di queto potamento è indicata da u i, dove l indice i = 1, 2, 3,. individua il punto cui i riferice lo potamento. In figura (2) è indicato lo potamento u i per il punto i = 2. Ora è chiaro che, e tutti i punti 2 u 2 1 3 4 x Figura 2: Il punto materiale di indice i = 2 è potato ripetto alla poizione d equilibrio in cui u 2 = 0. hanno u i = 0, tale ituazione non cambia nel tempo poichè la riultante delle forze agenti u ogni punto è nulla. Se però un punto materiale acquita, ad un dato tempo, un certo potamento, queto fatto provoca uno potamento anche degli altri punti. Si dice allora che lo potamento i propaga da un punto ad un altro. Tale propagazione dello potamento è un onda. Noi vogliamo dedurre alcune proprietà di queto modo ondulatorio. Conideriamo in dettaglio la forza eercitata u punto materiale dai punti uoi vicini, come illutrato in figura (3). La componente verticale della forza che la maa 1
u i+1 u i 1 u i Figura 3: Poichè i punti materiali non i potano orizzontalmente, le forze di richiamo orizzontali (cioè lungo l ae delle x) i compenano. La forza riultante è quindi diretta lungo la verticale e può eere vero il bao o vero l alto a econda dello potamento dei punti vicini. i 1-eima eercita ulla maa i-eima è diretta vero il bao e vale F i 1 i = k(u i u i 1 ) (1) cioè dipende dalla differenza degli potamenti. In modo analogo la forza che la maa i + 1-eima eercita ulla maa i-eima è F i+1 i = k(u i u i+1 ). (2) Se i conidera un moto verticale dei punti, le componenti orizzontali delle forze eercitate i compenano. Oerviamo ora che punti materiali e molle poono eere interpretati come atomi e forze agenti tra ei. Se conideriamo la ditanza molto piccola, arriviamo ad un punto di vita continuo. Se dimunuice, la forza orizzontale che ogni punto eercita u quello vicino diminuice anch ea poichè ha intenità k. Per mantenere cotante tale intenità introduciamo la tenione h del filo definita da h = k (3) in modo che h è indipendente dal valore di. Allora per un dato valore di i ha k = h. (4) Anche per la maa dei punti materiali poiamo fare una coniderazione analoga. È chiaro che e le mae ono più vicine, cioè ha un valore minore, affinchè la denità di materia ia cotante, le mae devono avere un valore più piccolo. In altre parole deve eere ρ = m. (5) Uando le relazioni (1,2,4,5) l equazione del moto per il punto materiale i-eimo i crive ma i = k(u i u i 1 + u i u i+1 ) 2
cioè ρa i = h 2 (u i u i 1 + u i u i+1 ), (6) dove a i è l accelerazione del moto verticale del punto materiale i-eimo. Per capire il ignificato dell equazione (6) introduciamo le deformazioni d i = u i+1 u i d i 1 = u i u i 1 che danno una miura dell entità degli potamenti relativi di due punti vicini. d i rappreenta la velocità di variazione nello pazio dello potamento u i. Allora la quantità [ 1 ui+1 u i u ] i u i 1 = d i d i 1 f i (9) rappreenta la variazione della velocità di variazione di u i ripetto allo pazio. L equazione (6) diventa (7) (8) a i = h ρ f i (10) e connette l accelerazione del punto i-eimo (cioè la variazione della velocità per unità di tempo) con la variazione della velocità paziale, d i. Per ottolineare il ignificato fiico della (10), notiamo che nel cao del continuo, cioè quando la ditanza tende a zero, lo potamento u i diventa una funzione del tempo e della poizione x lungo la catena, cioè u = u(t, x). Allora per t dato, u(t, x) decrive lo potamento di ogni punto a quel dato tempo, mentre, per x dato, u(t, x) decrive l andamento nel tempo dello potamento nel punto x dato. 2 Moto ondulatorio Riolvere l equazione del moto vuol dire trovare u(t, x) nel cao continuo o u i (t) nel cao dicreto. Quando abbiamo dicuo il moto armonico i è trovato che l accelerazione è proporzionale allo potamento, cioè dove l andamento temporale di u i è a i = ω 2 u i (11) u i = A i co(ωt), (12) dove ω = 2π/T, con T il periodo. Se uiamo la (11) nella (10) i ha f i = ρ h ω2 u i. (13) 3
Se paiamo al continuo la (13) diventa f(t, x) = ρ h ω2 u(t, x) (14) dove f(t, x) rappreenta la variazione di velocità di variazione paziale al tempo t. La (14) è imile alla (11) e uggerice che f debba eere collegata ad u dall analogo paziale di ω 2 = (2π/T ) 2. Tale analogo paziale è Ω 2 = (2π/λ) 2, dove λ è il periodo paziale. Dobbiamo quindi avere Ω 2 = ω 2 ρ h, (15) cioè λ T = h c. (16) ρ λ è detta lunghezza d onda e il rapporto tra λ e T definice la velocità c dell onda, cioè la velocità con cui i pota il profilo dell onda. In definitiva la funzione u(t, x) arà della forma u(t, x) = co(ωt Ωx). (17) Conideriamo appunto il profilo dato dalla (17) a due itanti di tempo diveri. Quando t = 0 i ha ( u(t = 0, x) = co(ωx) = co 2π x ). λ Conideriamo ora un tempo t ucceivo. Si ha ( x Ωx ωt = 2π λ t ) = 2π (x λt ) T λ t = 2π λ (x ct). Allora al tempo t il profilo dell onda i ottiene potando di x = ct il profilo ottenuto al tempo t = 0. La quantità Ω x è detta differenza di fae. 4
Figura 4: Profili di un onda a due tempi 5diveri. La differenza di fae è pari a π/4.