ESERCIZIO : Calcolare l antitrasformata Zeta della segente fnione F F La fnione F è raionale fratta col denominatore di grado maggiore del grado del nmeratore. La procedra di antitrasformaione consiste nello svilppare la fnione F nella somma di fnioni elementari la ci antitrasformata è nota e pertanto, per la proprietà di linearità, pervenire all antitrasformata della F come somma delle antitrasformate dei singoli addendi. Dato che le trasformate di interesse hanno n fattore al nmeratore, al fine di ottenere che i singoli termini dello svilppo assmano appnto tale forma, è tile applicare lo svilppo in fratti semplici di Heaviside alla fnione [F/] aniché alla fnione F. I poli di F sono reali e distinti. Lo svilppo di Heaviside assme, pertanto, la forma: F La determinaione del valore dei coefficienti i mediante il calcolo dei residi porge le scrittre che di segito si esplicitano: F F p F p p p p p 6 8 La determinaione del valore dei coefficienti i mediante il principio di identità dei polinomi porge le scrittre che di segito si riportano: 7 8 Poiché le de fraioni hanno gale il denominatore, esse sono gali allora e solo allora che anche i nmeratori sono gali; ciò implica la posiione segente: 7 Ordinando il polinomio a secondo membro secondo le potene decrescenti dell indeterminata si ottiene la relaione: 7 Il ricorso al principio di identità dei polinomi consente di validare le posiioni segenti: 7 [ ] 6 8 6 8 Si conclde, pertanto, che i coefficienti, e assmono, rispettivamente, i segenti valori:
8 n i 6 i Si evince, inoltre, che essendo n il grado del polinomio a denominatore e m il grado del polinomio a nmeratore, è soddisfatta la condiione n m ; qindi, è verificata la proprietà in base alla qale la somma dei coefficienti i è nlla. La determinaione dei coefficienti dello svilppo in fratti semplici consente, qindi, di relaionare nella segente forma: F 8 6 da ci, moltiplicando ambo i membri per la variabile al fine di ricostrire l originaria fnione F, si ottiene la scrittra: F 6 8 F Procedendo al calcolo dell antitrasformata Zeta della fnione F, si ottengono le scrittre che di segito si esplicitano: 8 f Z [ F ] Z 6 8 Z Z Z 6 8 imp * sca * sca * 6 Pertanto, la fnione f, antitrasformata Zeta della fnione F assegnata, è: 8 f imp * sca * 6 Calcoliamo i primi cinqe valori della fnione discreta f; si ottiene: 8 8 f imp * sca * 6 6 8 f imp * sca * 6 6 8 f imp * sca * 6 6 8 8 f imp * sca * 6 6 8 96 f imp* sca* 6 Se si rinncia a ottenere l antitrasformata di F in forma chisa e si vole solo calcolare i valori assnti dalla fnione f nei singoli istanti di tempo, come sopra fatto, si pò ricorrere al metodo della lnga divisione. Il metodo si basa slla classica divisione fra il polinomio N a nmeratore e il polinomio D a denominatore al fine di scrivere la fnione F nella classica forma: F f f f f f 6 f 8...
In tale modo il coefficiente della potena di - assme il significato di valore della fnione f proprio al tempo. Verifichiamo, qindi, i valori appena ricavati per la fnione f applicando il metodo della lnga divisione. La procedra è di segito evideniata. 7-7 - - 6-7 - - 6 - - 6 - - 6 - - 6 - - - - La fnione F, alla lce del risltato della divisione fra polinomi, pò scriversi nell eqivalente forma che di segito si riporta: F 6... che pò altresì completarsi e formaliarsi nella segente scrittra: F 6... a ci si associata, in base alla relaione, la lettra segente di immediata interpretaione: f ; f ; f ; f 6 ; f ESERCIZIO : Calcolare l antitrasformata Zeta della segente fnione F F La fnione F è raionale fratta col denominatore di grado maggiore del grado del nmeratore. Dato che le trasformate di interesse hanno n fattore al nmeratore, al fine di ottenere che i singoli termini dello svilppo assmano appnto tale forma, è tile applicare lo svilppo in fratti semplici di Heaviside alla fnione [F/] aniché alla fnione F. I poli di F sono reali e coincidenti. Lo svilppo di Heaviside assme, pertanto, la forma: F C C La determinaione del valore dei coefficienti,, C con il principio di identità dei polinomi porge le scrittre che di segito si riportano: C C Poiché le de fraioni hanno gale il denominatore, esse sono gali allora e solo allora che anche i nmeratori sono gali; ciò implica la posiione segente: C C L applicaione del principio di identità dei polinomi consente di relaionare come sege:: ; C ; da ci si evince con immediatea che:
C C C In conclsione il valore dei coefficienti,, C dello svilppo in fratti è dato da: C La determinaione dei coefficienti dello svilppo in fratti semplici consente, qindi, di relaionare nella segente forma: C F da ci, moltiplicando ambo i membri per la variabile al fine di ricostrire l originaria fnione F, si ottiene la scrittra: F F Procedendo al calcolo dell antitrasformata Zeta della fnione F, si ottengono le scrittre che di segito si esplicitano: * * * * * * ] [ sca sca imp ram sca imp Z Z Z Z F Z f Pertanto, la fnione f, antitrasformata Zeta della fnione F assegnata, assme la forma: [ ] * * sca imp f OSSERVZIONE: Si desidera verificare il calcolo dei coefficienti dello svilppo in fratti semplici di Heaviside mediante l applicaione della procedra dei residi. Si ottiene qanto di segito viene esplicitato. F F C d d d d F d d
Volendo evitare l operaione di derivaione, che nel caso di poli mltipli con ordine di molteplicità maggiore di de è decisamente laboriosa, si pò ricorrere a na combinaione delle de procedre; nel caso particolare in esame, si avrebbe: F C Dall gagliana delle de forme di rappresentaione della fnione F/ si ottiene la relaione: Dalla qale, rendendo gali i denominatori si ottiene la scrittra: Mediante il principio di identità dei polinomi si validano le segenti scrittre fra loro linearmente dipendenti: ESERCIZIO C: Calcolare i valori della fnione f nei singoli istanti di tempo sapendo che F Z[ f ] Poiché vengono richiesti i valori assnti dalla fnione f nei singoli intervalli di tempo si ritiene sfficiente fermarsi ai primi cinqe valori, corrispondenti a si adotta la procedra della lnga divisione. Si ottiene qanto di segito mostrato. 7-7 - - 7 9 9 7-7 9-7 - 9-7 - 9-76 - 9-9 - 9-9 - - 9 - La fnione F, alla lce del risltato della divisione fra polinomi, pò scriversi nell eqivalente forma che di segito si riporta: F 7 9 9... che pò altresì completarsi e formaliarsi nella segente scrittra: F 7 9 9... a ci si associata, in base alla relaione, la lettra segente di immediata interpretaione:
f ; f ; f 7 ; f 9 ; f 9 OSSERVZIONE : Si pò considerare la fnione F come risposta Y di n sistema lineare a tempo discreto forato in ingresso dal segnale implso di area nitaria imp*; infatti si pò scrivere, ricorrendo al concetto di fnione di trasferimento G e posto G F, come di segito evideniato: Y G Y F Z [ imp * ] Y F F Pertanto, i valori assnti dalla fnione ƒ altro non sono che i valori assnti dalla fnione come risposta all implso discreto nitario. In conformità a qanto sopra esposto si ottiene: Y F Y, da ci si ricava la relaione: 7 Y Y 7 Y Y L applicaione della procedra di antitrasformaione consente di determinare la legge temporale del sistema lineare a tempo discreto che ha come scita. Facendo ricorso alle proprietà della trasformata Zeta relative a ritardi e anticipi si pò relaionare come di segito mostrato: 7 Ora si deve risolvere nei confronti dell scita più recente ottenendo: 7 e, data la staionarietà del sistema, scalare per comodità ttti gli indici in modo da ottenere ; si perviene così alla segente relaione: 7 È, a qesto pnto, immediato calcolare i valori che la fnione f assme nei singoli istanti di tempo; infatti ricordando che per l ingresso imp* è Y F allora è anche ƒ. f 7 imp* imp * 7 f 7 imp* imp * 7 f 7 imp* imp * 7 7 7 f 7 imp* imp * 7 7 9 9 f 7 imp* imp * 79 7 76 7 9 Si sono, pertanto, confermati i risltati ottenti con la lnga divisione. OSSERVZIONE : Si pò procedere al calcolo della fnione temporale ƒ applicando la fase relativa all antitrasformata Zeta della fnione complessa F. Poiché la F presenta poli reali e semplici, pò tiliarsi il metodo dei residi per il calcolo dei coefficienti dello svilppo in fratti semplici della fnione [F/]; si ottiene: F K K K Il calcolo dei coefficienti K i porge le relaioni di segito evideniate: K K K F F F 6
Si constata, che essendo m il grado del polinomio a nmeratore di [F/] e n il grado del polinomio a denominatore, è soddisfatta la condiione n m per ci deve risltare verificata la nota relaione: n i K i K K K La conoscena del valore dei residi consente di relaionare come sege: F K K K Moltiplicando ambo i membri per la variabile complessa si ottiene: F Esegendo ora l antitrasformata Zeta della fnione F si ricava l espressione temporale della fnione ƒ; si relaiona come di segito evideniato: f imp * sca * sca * che ammette l eqivalente forma: f imp * [ ] sca * Facendo riferimento alle caratteristiche dei segnali canonici discreti, cioè imp* per e imp* per ogni, nonché sca* per ogni e sca* per <, il calcolo dei valori assnti dalla fnione ƒ nei singoli istanti di tempo fornisce ciò che di segito si mostra: f imp* [ ] sca* f imp* [ ] sca* [ ] f imp* [ ] sca* [8 ] 7 f imp* [ ] sca* [ 6 ] 6 9 f imp* [ ] sca* [ 6] 6 9 nche con qesta tera procedra si confermano gli stessi risltati consegiti con le de precedenti scelte risoltive del problema proposto. ESERCIZIO D: Si consideri il sistema lineare discreto che definisce la gestione della Cassa Pensioni. Sono definite le segenti variabili di stato e le de variabili di scite: neonati anni genitori anni pensionati anni consistena cassa iniio anni pensionati anni andamento cassa anni Il sistema pensionistico è governato dalle segenti eqaioni nello spaio degli stati e dalle de trasformate dell scita:, i La matrice della dinamica e le matrici, C e D caratteristiche della rappresentaione nello spaio degli stati e della trasformaione delle scite, hanno la forma che di segito si evidenia.
, D C i È tile ricordare la proprietà della trasformata Zeta per qanto attiene l operaione di anticipo e di ritardo temporale; specificatamente si ha: se è Z[], allora è Z[] -, se è Z[], allora è Z[-] -[/] Per il calcolo delle Fnioni di Trasferimento si fa ricorso all applicaione della trasformata Zeta alle eqaioni di stato e alle trasformaioni delle scite; qesta procedra consente di esprimere il sistema pensionistico a tempo discreto nella forma segente:, Y Y i Svolgendo i necessari passaggi algebrici si ottiene la segente formlaione del sistema: ] [, Y Y i Risltano, pertanto, immediate le relaioni che di segito si ricavano:,,,,,,, i Dall ltima relaione, effettato il minimo comne mltiplo si ottiene l espressione finale di ],[ i
Ricordando la definiione delle trasformaioni di scita e di fnione di trasferimento, si pò relaionare come di segito riportato. Y Y ; da ci si ricava:, Im Im Y G, i La fnione di trasferimento G presenta tre poli mentre il sistema è di certo del qarto ordine dato che qattro sono le variabili di stato; si conclde che si è in presena di na cancellaione. Re Per qanto attiene la fnione di trasferimento G si relaione come di segito mostrato: Y Y ; da ci si ricava:,[ i] G Y,[ i] La fnione di trasferimento G presenta qattro poli; pertanto si conclde che NON si sono verificate cancellaioni. Determiniamo la risposta all implso discreto imp*t di G. Dato che Z[imp*] si ottiene la relaione: Y G,,, L antitrasformata Zeta della fnione Y, tento conto della proprietà relativa al ritardo nel dominio del tempo discreto, consente di concldere come sege: Z [ Y ] Z, sca *, I valori assnti dalla fnione ai singoli istanti di tempo, considerato che sca*t t, sono i segenti:, sca * ;, sca * ;, sca *, sca * ;, sca *,,, sca *,, 6, sca *,, 7, sca *,6,6. 6 9, sca * 6,. 8, sca *,6 6 ; Re Come verifica dell esattea dei risltati consegiti calcoliamo i valori assnti dalla fnione nei singoli stanti di tempo, per 9, applicando il metodo della lnga divisione. Si scrive la fnione Y nella forma raionale fratta di rapporto di polinomi, ottenendo: Y G,,
Il metodo della lnga divisione fornisce qanto sege:, -, -,,, 6,6-7, -, -, -, -, -, -, -, -,6 -,6 - Il metodo della lnga divisione consente di scrivere la fnione Y nella classica forma: Y [ ]... In tale modo il coefficiente della potena di assme il significato di valore della fnione proprio al tempo. Qesti coefficienti costitiscono i termini di na progressione geometrica di ragione d, e primo termine no a partire dall indice, essendo ; pertanto, è validata la segente relaione: Y [, ],, Ricordando che data la fnione ƒ la sa trasformata Zeta è, per definiione, la fnione F tale che F [ f ], allora, con specifico riferimento alla fnione Y, si conclde Z [ Y ], sca * per ogni. Si determini, ora, la risposta all implso discreto imp*t di G, nell ipotesi che sia ; e i. In tale contesto si ottiene: Y G,[ i],,, Per il calcolo dei singoli valori assnti dalla fnione applichiamo ora il metodo della lnga divisione; si ottiene qanto di segito esplicitato. -,, -, -,,,7,87,97-6,,,,,7 -,7,7 -,7,6 -,87 -,87 -,87 -,87 -,8 - -...,97 -.. La fnione Y, in osseqio all esito della divisione fra polinomi, pò scriversi nell eqivalente forma che di segito si riporta:
Y,,7,87,97... che pò altresì completarsi e formaliarsi nella segente scrittra: 6 Y,,7,87,97... a ci si associata, in base alla relaione, la lettra segente di immediata interpretaione: ; ; ;,;,7;,87; 6, 97 I valori assnti ai singoli istanti dalla fnione evideniano na tendena che approssima al limite il valore ; ciò è confermato dall esito fornito dal teorema del valore finale in base al qale si ottiene: lim lim [ Y ] lim lim,,, l fine di determinare la risposta implsiva in forma chisa si adotta, ora, il metodo di Heaviside. C Y,,, La determinaione dei coefficienti, e C pò effettarsi ricorrendo al calcolo dei residi; si ha:,,,,, C,,,, 6,,,,,,, Poiché i poli reali e distinti sono semplici ed essendo n e m NON è soddisfatta la condiione n m per ci resta verificato che C. La conoscena dei coefficienti consente così di conclde come sege: Y,, La fnione, antitrasformata Zeta della fnione Y, tento conto della proprietà relativa al ritardo nel dominio del tempo discreto, assme la forma che di segito si riporta: Z [ Y ] Z imp *,, sca * sca * Raccogliendo i termini corrispondenti allo scalino si conclde che: imp * [, ] sca * Ricordando la relaione costittiva dell implso discreto imp* e dello scalino discreto sca* si possono determinare i valori assnti dalla fnione nei singoli istanti di tempo ; infatti, si ottiene qanto di segito viene evideniato: [, ] [, ] [, ] [, ],,
[, ],,7 [, ],,87 6 [, ],6,97 7 [, ],,9687 Nella figra sono riportati gli andamenti temporali delle de fnioni e relativamente ai primi 9 istanti di tempo, ovvero 9. ESERCIZIO E: Si consideri il sistema lineare discreto che definisce la gestione amministrativa della attività di de ffici di n ente pbblico, così come di segito indicata: fficio n : l impiegato preposto ogni giorno esege la segente attività: riceve dal pbblico pratiche che vengono elaborate il giorno sccessivo; smaltisce na fraione delle pratiche accmlate; passa na fraione delle pratiche accmlate all fficio n ; fficio n : l impiegato preposto ogni giorno esege la segente attività: riceve le pratiche inviate dall fficio n ; smaltisce na fraione delle pratiche accmlate; passa na fraione delle pratiche accmlate all fficio n Si deve determinare: a il modello del sistema e le se eqaioni caratteristiche nello spaio degli stati; b gli eventali stati di eqilibrio e la relativa stabilità. Definiione delle variabili di stato, di ingresso e di scita L ingresso è costitito dal nmero totale di pratiche giornaliere che il pbblico affida allo sportello dell fficio n. Le variabili di stato J sono rappresentate dal nmero complessivo delle pratiche che sono accmlate all iniio della giornata dall fficio J.
La variabile di scita è rappresentata dal nmero complessivo delle pratiche smaltite da entrambe gli ffici nel giorno. Determinaione delle eqaioni di stato e di trasformaione dell scita Dalla descriione della gestione amministrativa dell attività degli ffici si evince che: nmero di pratiche smaltite dall fficio n ; nmero di pratiche smaltite dall fficio n ; nmero di pratiche passate dall fficio n all fficio n ; nmero di pratiche che l fficio n passa a competena dell fficio n ; Pertanto, il modello di stato del sistema lineare a tempo discreto viene descritto dalle eqaioni di segito riportate: Determinaione degli stati di eqilibrio La determinaione degli stati di eqilibrio attiene all ingresso e, per definiione di stato di eqilibrio, alla condiione ; pertanto, si ottiene qanto sege: Lo svolgimento dei dovti passaggi algebrici porge le segenti scrittre: scendo dal segno di sistema, i passaggi algebrici operati slla seconda eqaione consentono di relaionare come di segito esplicitato: Pertanto, la componente dell eventale stato di eqilibrio è determinata dalla relaione: > La conoscena della relaione che determina la componente dell eventale stato di eqilibrio dà la possibilità di determina l espressione della componente ; infatti, dalla prima eqaione di stato si ottiene qanto sege: Svolgendo i dovti passaggi algebrici si ottiene: Pertanto, operate le dovte elisioni algebriche, si ottiene l espressione della componente ; ovvero:
> Si conclde che la condiione di eqilibrio è caratteriato dalle relaioni segenti: Definiione della stabilità dello stato di eqilibrio Il modello definito nello spaio di stato è caratteriato dalle segenti matrici: [ ] D C ; ; ; Il calcolo degli atovalori della matrice della dinamica attiene alla determinaione delle radici del polinomio caratteristico definito da det[i ]; pertanto si imposta qanto sege: ] [ I, da ci deriva la scrittra: ] [ ] det[ I Gli atovalori sono le solioni dell eqaione di secondo grado che si ottiene gagliando a ero il polinomio caratteristico; si evince qanto riportato: ] det[ I, da ci si ha: ± ± ± ± ] [, Pertanto, i de atovalori e sono: Ricordando che: è na fraione delle pratiche accmlate, cioè rimanenti nell fficio n, è: < < è na fraione delle pratiche accmlate, cioè rimanenti nell fficio n, è: < < tteso qanto premesso, in relaione alla valtaione della stabilità dello stato di eqilibrio, si deve concldere come di segito esplicitato: polo < < che è verificata in qanto, come già detto, è < < ; polo < < se: >, cioè: < ] [ < > che è na relaione sempre verificata essendo, per definiione > e > Pertanto se: < anche il polo, oltre a, è in modlo minore di no e il sistema è SINTOTICMENTE STILE. se: <, ovvero: > ] [ < <
da ci si ottiene: <, ovvero: < [ ] che è sicramente verificata poiché per definiione: < <. Pertanto anche se: < < il polo, oltre a, rislta in modlo minore di no e il sistema è SINTOTICMENTE STILE.