INCONTRI OLIMPICI 014 Gara a Squadre per Insegnanti Montecatini Terme, 0 ottobre 014 Soluzioni scritte da Rosanna Tupitti ed Ercole Suppa Durata: 90 minuti
1. Il numero 006, aumentato della somma delle sue cifre, diventa 014. Francesco, però, ha trovato un altro numero che, aumentato della somma delle sue cifre, dà 014. Qual è questo numero? Soluzione. Posto n = abcd dev essere 1000a + 100b + 10c + d + a + b + c + d = 014 1001a + 101b + 11c + d = 014 (1) Osserviamo che a. Con a = si trova il numero 006. Pertanto a = 1 e dalla (1) segue che 101b + 11c + d = 1013 11c + d = 104 c = 8, d = 8 Il numero richiesto è n = 1988. L ottagono ABCDEF GH è equiangolo. Dati AB = 1, BC =, CD = 3, DE = 4, EF = e F G =, calcolare il perimetro dell ottagono. Soluzione. La somma degli angoli interni di ABCDEF GH è (6 ) 180 = 540. Pertanto ciascun angolo misura 135 e l ottagono può essere facilmente costruito: In figura abbiamo indicato con I, J, rispettivamente, il punto di intersezione di CD con la parallela a BC passante per A ed il punto di intersezione tra AH ed F G. Dato che AIF J è un rettangolo abbiamo AJ = F I AH + = 4 + Pertanto AH = 4 + ed il perimetro dell ottagono è 0 + 1, 4. La risposta al quesito è 1
3. Sia ABC un triangolo con AB = 40, AC = 60 e BC = 80. Sia ω una circonferenza tangente a AB e AC e con centro sul lato BC. Calcolare l area di intersezione tra ABC e ω. Soluzione. Indichiamo con r il raggio del cerchio ω e con p il semiperimetro del triangolo ABC. Calcolando in due modi l area di ABC abbiamo r b p(p a)(p b)(p c) = + r c r(40 + 60 90 10 30 50 = 300 15 = 50r r = 6 15 Pertanto l area della regione compresa tra ABC e ω è data da πr = π 36 5 = 70π 848.3 quindi la risposta al quesito è 848. 4. Siano a e b due numeri interi tali che ab = 43!, b non sia multiplo di 143 e a/b sia il più piccolo possibile. Fornire come risposta le ultime 4 cifre di a. Soluzione. La frazione a/b ha il valore minimo se a è il più piccolo possibile e b il più grande possibile. Poichè 143 = 11 13 non divide b ed ab = 43!, il più grande valore che b può assumere è 43!/11 3, mentre il più piccolo valore che a può assumere è 11 3 = 1331 5. Siano a, b e c le radici di x 3 9x + 11x 1 = 0 e sia s = a + b + c. Trovare Soluzione. Dalle formule di Viète abbiamo 1646 + 80s + 180s 10s 4 a + b + c = 9, ab + bc + ca = 11, abc = 1
Pertanto ( ) s = 9 + ab + bc + ca ( s 9 ) = 4 ( ab + bc + ca ) ( s 9 ) = 4(ab + bc + ca) + 8 ( a bc + ab c + abc ) ( s 9 ) = 44 + 8 abc ( a + b + c ) s 4 18s + 81 = 44 + 8s 8s + 18s s 4 = 37 80s + 180s 10s 4 = 370 1646 + 80s + 180s 10s 4 = 016 6. Per numerare le pagine di un grosso quaderno, Mario ha dovuto scrivere un numero di cifre doppio rispetto al numero di pagine del quaderno stesso. Quante pagine ha il quaderno di Mario? Soluzione. Ovviamente il libro deve avere più di 10 pagine. Se il libro avesse meno di 100 pagine, detto 10 + x il numero di pagine, con 1 x 89, avremmo il che è impossibile. 9 1 + (x + 1) = (10 + x) 11 = 0 Si dimostra facilmente che il libro non può avere più di 1000 pagine (esercizio!). Pertanto il libro deve avere un numero di pagine compreso tra 100 pagine e 999. Detto 100 + x il numero di pagine, con 1 x 899, risulta Allora il libro ha 108 pagine. 9 1 + 90 + (x + 1)3 = (100 + x) 19 + 3x = 00 + x x = 8 7. Quanti sottoinsiemi non vuoti di {1,, 3,..., 1} hanno la proprietà che la somma dell elemento più grande e dell elemento più piccolo sia 13? Soluzione. Indichiamo rispettivamente con m, M il minimo ed il massimo elemento di un sottinsieme avente la proprieta richiesta. Per contare quanti sono i sottinsiememi tali che m + M = 13, distinguiamo i seguenti casi: vi sono 10 sottinsiemi con m = 1 ed M = 1; vi sono 8 sottinsiemi con m = ed M = 11; vi sono 6 sottinsiemi con m = 3 ed M = 10;
vi sono 4 sottinsiemi con m = 4 ed M = 9; vi sono sottinsiemi con m = 5 ed M = 8; vi sono 0 sottinsiemi con m = 6 ed M = 7; Pertanto il numero di sottinsiemi che verificano la proprietà richiesta è dato da: 1 + + 4 + 6 + 8 + 10 = 46 1 4 1 = 1365 8. Qual è il più piccolo intero n 100 tale che n finisca con le stesse 3 cifre di n? Soluzione. Dobbiamo trovare il più piccolo numero intero n 100 tale che n n (mod 1000) 1000 n(n 1) (1) Poichè n ed n 1 sono coprimi, dalla (1) discendono tre possibilità se 1000 n: il più piccolo numero è n = 1000; se 1000 n 1: il più piccolo numero è n = 1001; 15 n, 8 n 1: esistono a, b Z tali che n = 15a, n = 1 + 8b, quindi 15a 8b = 1 15a 1 (mod 8) 5a 1 (mod 8) a 5 (mod 8) Il più piccolo valore di n è 65 che si ottiene per a = 5; 15 n 1, 8 n: esistono a, b Z tali che n = 8a, n = 1 + 15b 8a 15b = 1 15b + 1 0 (mod 8) 5b 1 (mod 8) 5b 7 b 35 3 (mod 8) Il più piccolo valore di n è 376 che si ottiene per b = 3; Dall analisi precedente discende che il più piccolo numero soddisfacente la proprietà richiesta è 376 9. Sia XY Z un triangolo con X = 60 e Y = 45. Sia ω una circonferenza che interseca il lato XY nei punti A e B, il lato Y Z nei punti C e D e il lato ZX nei punti E e F. Supponiamo che AB = CD = EF. Detto P il centro di ω e detto α = XP Y, trovare il valore di α in gradi. Soluzione. Siano L, M, N le proiezioni ortogonali di P su XY, Y Z, ZX rispettivamente. Dall uguaglianza delle corde AB = CD = EF segue che P L = P M = P N. Pertanto i triangoli P LX e P NX sono congruenti e, di conseguenza, P XL = P XN = 30. Analogamente si dimostra che P Y L = P Y M =.5 per cui XP Y = 180 30.5 = 17.5 α = XP Y = 55
10. Dato un numero reale x, indichiamo con x la parte intera di x, ovvero il più grande intero minore o uguale a x. Quanti interi positivi minori di 014 possono essere espressi nella forma x x per qualche numero reale x? Soluzione. Sia f(x) = x x. Consideriamo i seguenti casi: se x [0, 1[ x = 0, f(x) = 0, f ([0, 1[) = {0}; se x [1, [ x = 1, f(x) = 1, f ([1, [) = {1}; se x [, 3[ x =, f(x) = x, f ([, 3[) = {4, 5}; se x [3, 4[ x = 3, f(x) = 3x, f ([3, 4[) = {9, 10, 11};. se x [44, 45[ x = 44, f(x) = 44x, f ([44, 45[) = {44, 44 + 1,..., 44 + 43}; se x 45 f(x) 45x 45 = 05. Pertanto gli interi positivi esprimibili nella forma x x, per qualche numero reale x, sono complessivamente: 44 45 1 + + 3 + + 44 = = 990 11. Si dice che una permutazione σ ha un k-ciclo se esiste un certo elemento a tale che il più piccolo n per cui σ n (a) = a è proprio k. Contare le permutazioni di 10 elementi che hanno esattamente 3-cicli e -cicli. Fornire come risposta le ultime 4 cifre del numero ottenuto. Soluzione. Ricordiamo due noti risultati sulle permutazioni una n-permutazione σ si dice di tipo (a 1, a,..., a n ) se possiede esattamente a i cicli di lunghezza i, per ogni i {1,,..., n}; se (a 1, a,..., a n ) è una n-pla di interi non negativi tali che n-permutazioni di tipo (a 1, a,..., a n ) è dato da n i=1 i a i = n allora il numero di n! a 1! a! a n! 1 a 1 a n a n (*) Usando la (*) otteniamo che il numero di permutazioni richieste è dato da: 10!!! 3 = 500 e la risposta al quesito è 500.
1. Dire quanto vale l angolo evidenziato in nero in figura. Soluzione. Dal teorema dei seni applicato ai triangoli AED, EDC abbiamo DE sin 0 = AE sin x (1) CD sin(0 + x) = DE sin 0 () Da (1) e () segue che CD sin(0 + x) = AE sin x Pertanto essendo CD = AD ed AE = AB abbiamo: AD sin(0 + x) = AB sin x (3) Dal teorema dei seni applicato al triangolo ABD segue che AD sin 80 = Da (3) e (4) segue che AB sin 40 AD = AB cos 40 (4) AB cos 40 sin(0 + x) = AB sin x
sin x cos 40 = sin(0 + x) sin(40 + x) sin(40 x) = sin(0 + x) sin(40 + x) = sin(0 + x) + sin(40 x) sin(40 + x) = sin 30 cos(10 x) sin(40 + x) = cos(10 x) sin(40 + x) = sin(90 + 10 x) sin(40 + x) = sin(100 x) 40 + x = 100 x x = 30 13. Alice, Bob e Carola hanno, sommando i quadrati delle loro età, 5 anni. Bob ha un fratello gemello, Bill e Carola ha una sorella gemella, Chiara. L allegra compagnia, così riunita, nota uno strano fatto: tutti insieme hanno l età massima che potrebbero avere, considerata fissa la somma dei quadrati delle età di Alice, Bob e Carola. Quanti anni ha Alice? Soluzione. Indichiamo con x, y, x le età di Alice, Bob e Carola, rispettivamente. La somma delle età, di Alice, Bob, Carola, Bill, Chiara è x + y + z. Dalla disuguaglianza di Cauchy-Schwartz abbiamo x + y + z 1 + + x + y + z x + y + z 9 5 x + y + z 45 Il massimo della somma x + y + z vale 45 e si ottiene se (x, y, z) ed (1,, ) sono proporzionali, cioè se esiste un numero t R tale che Sostituendo le (*) in x + y + z = 5 abbiamo x = t, y = t, z = t (*) t + 4t + 4t = 5 t = 5 Pertanto le età di Alice, Bob e Carola son 5,10,10, rispettivamente. Alice dunque ha 5 anni. 14. Dato un polinomio p(x) a coefficienti interi, si sa che p(0) = 5 e p(7) =. Quanti valori può assumere p(3) fra 100 e 100? Soluzione. Per il teorema di Ruffini esistono due polinomi A(x), B(x) Z[x] tali che p(x) = xa(x) + 5 p(3) = 3A(3) + 5 = 3a + p(x) = (x 7)B(x) p(3) = 4B(3) = 4b + dove abbiamo posto a = A(3) + 1, b = B(3) 4. Pertanto 3a + = 4b + 3a = 4b c Z : a = 4c da cui segue che p(3) = 1c + e ciò implica che p(3) può assumere 17 valori compresi tra 100 e 100 essendo: 100 1c + 100 10 1c 98 8 c 8
15. E noto a molti che egizi e babilonesi fossero a conoscenza della terna pitagorica (30, 40, 50) per costruire triangoli rettangoli, ma forse non è noto che solo con questi dati e senza usare null altro, essi potessero dire subito quanto valeva la somma dei quadrati delle mediane di un tale triangolo. Sapreste dirlo? Soluzione. Usando le formule che esprimono le lunghezze delle mediane m a = 1 b + c a, m b = 1 a + c b, m c = 1 a + b c abbiamo che m a + m b + m c = 3 4 ( a + b + c ) = 3 4 ( 30 + 40 + 50 ) = 3750 16. Calcolare la somma dei coefficienti dei termini di grado pari del polinomio: Soluzione. La somma richiesta è data da: 40(x + 1) 10 + 38(x 1) 9 014(x + ) 1006(x ) p(1) + p( 1) = 40 10 9 014 + 1006 19 10 014 + 3 1006 = 1 51 10070 + 01 = 694 = 17. Un abile ladro vuole scassinare una cassaforte. Ha queste informazioni sulla combinazione: la combinazione ha 5 cifre, di cui la cifra più alta è un 8; la seconda e la terza cifra differiscono di 1; la quarta e la quinta cifra sono una pari e una dispari. Quante combinazioni dovrà provare al massimo il ladro per riuscire ad aprire la cassaforte? Soluzione. Le cifre della combinazione sono {0, 1,, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. Le combinazioni possibili sono di uno dei seguenti tre tipi: prima cifra 8; siccome vi sono 8 coppie di numeri consecutivi, il numero di tali combinazioni è 1 (8 ) (5 4 ) = 640 prima cifra diversa da 8, mentre la seconda o la terza cifra è 8; il numero di tali combinazioni è 8 (1 ) (5 4 ) = 640 le prime tre cifre sono diverse da 8; dato che la quarta o la quinta cifra dev essere 8, il numero di tali combinazioni è 8 (7 ) (1 4 ) = 896 Il numero di combinazioni è pertanto: 640 + 640 + 896 = 176 18. Alberto apre una pasticceria di fianco ad una scuola sperando che gli studenti di quella scuola vadano a fare colazione da lui. Sa che se facesse pagare ogni brioche 70 cent o meno tutti i 340 alunni della scuola andrebbero a far colazione da lui (ogni studente con una brioche) ogni giorno, mentre se alzasse il prezzo, per ogni centesimo in più a brioche gli farebbe perdere 0 clienti (al giorno). Sapendo che ogni brioche costa in ingredienti 10 cent ad Alberto, quante brioche al giorno deve vendere se vuole massimizzare i guadagni?
Soluzione. Se indichiamo con 70 + x il prezzo di vendita di ciascuna brioche, ogni giorno saranno vendute 340 0x brioches, con un guadagno netto pari a g(x) = (70 + x)(340 0x) 10(340 0x) = 0x + 1140x + 140400 Il guadagno massimo si ottiene se x = b a = 1140 40 = 8.5. Pertanto Alberto, se vuole massimizzare il guadagno, deve vendere 340 0 8.5 = 1770 brioches. 19. Si trovi il più piccolo intero positivo a tale che a = n 3 + n, con n numero naturale e a quadrato di un intero dispari. Soluzione. Osserviamo che n dev essere dispari e che n + dev essere un quadrato, dato che a = n (n + ). Il minimo numero dispari n per cui n + è un quadrato è n = 7. Pertanto a = 7 3 + 7 = 441 0. Su un foglio sono scritti tutti i divisori di un certo numero N, compresi 1 e N stesso. Sapendo che ci sono esattamente 606 quadrati perfetti, 165 numeri che sono divisori anche di 10 14 e il numero di multipli di 5 è dispari, quanti numeri ci sono in tutto sul foglio? Soluzione. Il numero N verificante le proprietà richieste può essere trovato nel modo seguente: dato che 165 numeri sono divisori anche di 10 14 = 14 5 14, nella scomposizione in fattori di N devono comparire entrambi i fattori e 5 (se vi fosse solo il fattore o solo il fattore 5, i divisori di 10 14 sarebbero al massimo 15); il numero dei multipli di 5 è uguale al numero di divisori di N/5, quindi nella fattorizzazione di N/5 tutti i primi hanno esponente pari; ne segue che nella fattorizzazione di N il 5 ha esponente dispari, mentre tutti gli altri fattori hanno esponente pari, quindi: con a, b, a 1,..., a k > 0; N = a 5 b+1 p a 1 1 p a k k (1) dato che 165 = 11 15 abbiamo che a 5 e b 5 altrimenti i divisori di 10 14 del tipo h 5 k, con 0 h min {14, a} e 0 k min {14, b + 1}, sarebbero in numero inferiore a 165; dalla (1) segue che il numero di divisori di N che sono quadrati perfetti è dato da (a + 1)(b + 1) (a 1 + 1) (a k + 1) e dato che 606 = 3 101 ed a, b 5, nella scomposizione di N non vi possono essere altri fattori primi oltre al ed al 5; pertanto gli unici numeri interi a, b 5 che verificano l equazione N = a 5 b+1, con a, b 5 () (a + 1)(b + 1) = 3 101 sono a = 5, b = 100. Pertanto N = 10 5 01 ed ha 11 0 = divisori.