PREVISIONE DELLA DOMANDA

CAPITOLO III PREVISIONE DELLA DOMANDA 3.1 Generalità Preliminare ad ogni fase di programmazione della produzione è la valutazione della domanda dei prodotti e/o servizi oggetto dell attività dell azienda. Tale domanda è il risultato della somma degli ordini già espressi dai clienti e della quantità prevista sulla base delle vendite realizzate in precedenza, opportunamente modificati da giudizi di marketing relativi all effetto di promozioni, di sconti, di campagne pubblicitarie[1]. La previsione della domanda può dunque essere definita come il tentativo di determinare oggettivamente la natura e l entità di ciascuna richiesta che un azienda può ragionevolmente attendersi in un prefissato orizzonte temporale[]. Per orizzonte temporale si intende il periodo di tempo rispetto al quale si intende effettuare la previsione [3]. Sulla base dell ampiezza dell orizzonte temporale è possibile fare una classificazione delle tipologie di previsione: Previsioni di lungo periodo, Previsioni di medio periodo, Previsioni di breve periodo. Le previsioni di lungo periodo (oltre i 4 mesi) vengono formulate come supporto alle decisioni manageriali relative ai piani di sviluppo dell impresa: acquisti di società, costruzione di nuovi stabilimenti, aumento della capacità produttiva. Le previsioni di medio periodo (da1 a 4 mesi) sono formulate, invece, per prendere decisioni relative ai piani aggregati di produzione: definizione dei volumi di produzione per famiglie di prodotti, definizione dei turni lavorativi giornalieri, ricorso ad assunzioni stagionali, ricorso alla cassa integrazione guadagni. Sul breve periodo (fino a 1 mesi) le decisioni sono relative ai piani dei materiali e di capacità: ricorso a nuovi fornitori, allo straordinario, a terzisti. 55

Le previsioni di lungo, medio e breve periodo si differenziano per il crescente grado di aggregazione dell oggetto della previsione. Infatti, sul lungo periodo, oggetto di previsioni sono i volumi complessivi di vendita, sul medio periodo, le famiglie di prodotti, sul breve termine, i singoli prodotti finiti, i moduli e i sottoassiemi [4]. Occorre, a questo punto, fare una precisazione: nel seguito la domanda sarà sempre trattata come una variabile esogena, ovvero indipendente dalle azioni intraprese dal management. In realtà, soprattutto nel lungo periodo, l abilità nel soddisfare le richieste del cliente sicuramente influenzerà la domanda dei prodotti. Effettuata la previsione e confrontati i dati previsti con quelli effettivi sicuramente si avrà che la previsione risulterà errata. Pertanto se lo scopo della previsione è quello di ridurre il rischio nel processo decisionale, una previsione affetta da un grosso errore non fa che aumentare questo rischio. Quindi destinando maggiori risorse all attività previsionale si dovrebbe essere in grado di migliorare l accuratezza dei risultati, riducendo gli errori legati all incertezza insita nella stima. E bene tener conto dei costi legati alla previsione della domanda: nello scegliere tra le varie procedure decisionali bisogna cercare di mantenere i costi totali attesi durante l orizzonte decisionale più bassi possibile (Fig. 3.1). Tali costi devono comprendere due aliquote: Costi di ottenimento della previsione C 1, i quali sono decrescenti con l errore di previsione (maggiore è l errore di previsione ammesso minore è il costo per l ottenimento di tale previsione); Costi derivanti dall errore di previsione C, i quali crescono all aumentare dell errore C t = C 1 + C 56

Costi Regione ottimale C t C C 1 Errore di previsione Fig. 3.1 Costi di previsione 3. Classificazione dei metodi previsionali I metodi previsionali si dividono in metodi soggettivi o qualitativi e metodi oggettivi o quantitativi. All interno dei metodi quantitativi è possibile fare un ulteriore classificazione tra tecniche di regressione e tecniche basate sull analisi delle serie storiche (Fig. 3.). I metodi o tecniche qualitative si basano principalmente sull opinione, il giudizio o l intuizione di persone più o meno esperte del fenomeno da analizzare. Le tecniche di regressione consentono di prevedere l andamento di una variabile (detta variabile dipendente) sulla base dei valori che assumono altre variabili, più o meno correlate alla variabile in esame (dette variabili indipendenti). I metodi o tecniche basate sull analisi delle serie storiche si fondano sulle informazioni desumibili dall analisi di dati storici relativi alla variabile da analizzare. 57

Panel di esperti SOGGETTIVI QUALITATIVI Valutazioni del reparto vendite Indagini di mercato Metodo Delphi METODI DI PREVISIONE REGRESSIONE Regressione lineare OGGETTIVI QUANTITATIVI Media mobile Media mobile pesata SERIE STORICHE Exponential smoothing Serie storiche con componenti stagionali Fig. 3. Metodi di previsione 58

3.3 Metodi di previsione qualitativi Un metodo soggettivo è basato sul giudizio umano. Tra essi si ricordano: Panel di esperti: le previsioni vengono sviluppate da un ristretto gruppo di esperti delle varie aree funzionali dell azienda (marketing, finanza e produzione), che interagiscono direttamente tra loro. La previsione viene sviluppata tramite incontri con scambi di idee ed informazioni tra managers di tutti i livelli; l impiego di questo metodo risulta problematico perché gli impiegati di più basso livello sono intimoriti da quelli di più alto livello e pertanto le loro opinioni non emergono, come dovuto. Valutazioni del reparto vendite: ciascun agente di vendita stima la domanda futura, relativamente al proprio territorio, per il prossimo periodo. L ipotesi alla base di questo metodo, anche se non sempre vera, è che le persone più vicine al cliente conoscono meglio di chiunque altro le sue necessità future. Queste informazioni vengono successivamente aggregate per giungere a previsioni globali per ciascuna area geografica o famiglia di prodotti; Indagini di mercato: le aziende spesso si rivolgono ad imprese specializzate nelle indagini di mercato per effettuare questo tipo di previsione. Le informazioni vengono ricavate direttamente dai clienti o più spesso da un campione rappresentativo di essi. Questo tipo di indagine viene soprattutto utilizzata per cercare nuove idee, per capire cosa piace o non piace di prodotti già esistenti, quali sono le marche preferite per un determinato prodotto, etc.; Metodo Delphi: come si è visto nel metodo del panel di esperti, un opinione di un impiegato di più alto livello finisce col pesare di più di quella di un impiegato di basso livello. Il caso peggiore è che quest ultimo non contribuisce alla discussione per non contrariare i suoi superiori. Per ovviare a questo problema, nel metodo Delphi è garantito l anonimato di coloro che partecipano allo studio, in modo che ognuno abbia lo stesso peso. Viene redatto un questionario che viene distribuito ai partecipanti. Le risposte vengono aggregate e viene preparato, in base a queste, un nuovo set di domande, che vengono riproposte al gruppo. La procedura può essere schematizzata nelle seguenti fasi: 59

Scelta degli esperti. Devono essere scelti impiegati appartenenti a più aree aziendali e a diversi livelli; Tramite un questionario inviato a tutti i partecipanti, si ricava la previsione; Si aggregano i risultati e si ridistribuiscono ai partecipanti mediante un appropriato nuovo set di domande; Si aggregano di nuovo i risultati, si affina la previsione e si sviluppa ancora un nuovo questionario Se necessario, si ripete quest ultima fase e si distribuisce il risultato finale ai partecipanti. Il metodo Delphi generalmente raggiunge dei risultati accettabili in tre tornate ed il tempo richiesto è funzione del numero di partecipanti, del tempo e lavoro impiegato per sviluppare la previsione e della velocità nel rispondere al questionario [5]. 3.4 Tecniche di regressione Osservare ed analizzare l evoluzione di una variabile significa anche analizzare in che modo o in che misura essa è collegata ad altre variabili. Si tratta di valutare in che modo la variabile da prevedere sia correlata ad altre variabili. Se X è la variabile indipendente e Y è la variabile dipendente da prevedere, si pone il problema di individuare una funzione F tale che Y = F(X) rappresenti una buona approssimazione di Y. La F è detta funzione di interpolazione e l operazione che consente di individuarla è detta REGRESSIONE. In questo caso si parla di regressione semplice perché è presente una sola variabile indipendente; in presenza di più variabili indipendenti si parla di regressione multipla. Per convenzione, si dice che tra Y e X esiste una correlazione positiva se all aumentare dei valori di X si osserva un aumento dei valori di Y. Viceversa, si dice che esiste una correlazione negativa se all aumentare dei valori di X si osserva una diminuzione dei valori di Y. Il problema della regressione consiste nell individuazione di un modello di regressione tra le due variabili, ossia nell individuazione della tipologia di funzione che meglio rappresenti il legame funzionale tra le due variabili interpolate e nella definizione dei 60

parametri caratteristici della funzione scelta. Si parla di regressione lineare se la tipologia di funzione adottata è lineare. Questa è quella che analizzeremo più nel dettaglio. 3.5 La regressione lineare Si supponga di avere a disposizione n osservazioni e si indichi con: (Xi, Yi) (i=1,,n) i valori osservati per le variabili X e Y; Yi (i=1,,n) il valore della Y sulla base della relazione Yi = F(Xi); Di = Yi Yi (i=1,,n) la differenza tra il valore atteso e il valore osservato. Risolvere un problema di regressione lineare significa determinare l espressione di una funzione lineare Y = a + bx. Poiché al variare di a e b si ottengono infinite espressioni che possono rappresentare in maniera più o meno efficace il legame tra la X e la Y, tra i possibili valori si scelgono quelli che minimizzano la somma Q dei quadrati delle differenze tra i valori attesi e i valori osservati: n n ( ) ( ) [( ) ] Q = Di = D1 +... + Dn = Y1 Y1 +... + Yn Yn = a + bxi Yi i= 1 i= 1 Annullando le derivate parziali di Q rispetto ad a e b si ottiene un sistema di equazioni lineari nelle variabili a e b, risolvendo il quale si ottiene: a Yi Xi Xi n Xi ( Xi ) = n b = n X Y i X i i Xi ( Xi ) y i X Y i i La curva Y = a + bx che minimizza la somma indicata è detta curva dei minimi quadrati. Con procedimento analogo è possibile determinare una relazione tra la variabile indipendente Y e la variabile dipendente X della forma X = c + dx con c Xi Yi Yi n Yi ( Yi ) = X Y i i 61

d n XiYI Xi n Yi ( Yi ) = Y i Un indice rappresentativo dell efficacia del legame tra le variabili X e Y attraverso la funzione Y = a + bx è dato dal coefficiente di correlazione: r = b d o dal suo quadrato r² che viene detto coefficiente di determinazione. Il coefficiente di correlazione è un valore compreso tra 0 e 1 adottando il segno + in caso di correlazione positiva ed il segno - in caso di correlazione negativa. La condizione r = 1 è la condizione di perfetta correlazione positiva che si ottiene quando le rette Y = a + bx e X = c + dy coincidono. In questo caso la retta dei minimi quadrati passa esattamente per i punti rappresentativi delle osservazioni e, quindi, Q = 0. Valori di coefficienti di correlazione prossimi a 0 attestano, invece, una scarsa relazione tra le variabili. ESEMPIO 1: Si tracci il diagramma di dispersione e si individui la retta di regressione di Y su X sulla base dei dati indicati in tabella. OSSERVAZIONE 1 3 4 5 6 7 8 9 10 X 3 4 5 5 7 9 10 1 13 15 Y 13 13 16 19 5 3 31 35 4 46 6

50 45 40 35 30 Y 5 0 15 10 5 0 0 4 6 8 10 1 14 16 X OSSERVAZIONE Xi Yi Xi² Yi² XiYi 1 3 13 9 169 39 4 13 16 169 5 3 5 16 5 56 80 4 5 19 5 361 95 5 7 5 49 65 175 6 9 3 81 104 88 7 10 31 100 961 310 8 1 35 144 15 40 9 13 4 169 1764 546 10 15 46 5 116 690 SOMME 83 7 843 8670 695 7 843 83 695 a = = 3.64 10 843 83 83 10 695 83 7 b = =.84 10 843 83 83 La retta dei minimi quadrati assume la forma Y = 3,64 +,84 X 63

ESEMPIO : Si tracci il diagramma di dispersione e si individui la retta di regressione di Y su X sulla base dei dati indicati in tabella. OSSERVAZIONE 1 3 4 5 6 7 8 9 10 X 15 13 17 14 18 1 0 16 18 17 Y 16 14 18 15 19 14 16 0 18 5 0 Y 15 10 5 0 0 5 10 15 0 5 X OSSERVAZIONE Xi Yi Xi² Yi² XiYi 1 15 16 5 56 40 13 14 169 196 18 3 17 18 89 34 306 4 14 15 196 5 10 5 18 19 34 361 34 6 1 14 144 196 168 7 0 400 484 440 8 16 16 56 56 56 9 18 0 34 400 360 10 17 18 89 34 306 SOMME 160 17 616 30 810 64

17 616 160 810 a = = 0.63 10 616 160 160 10 810 160 17 b = = 1.04 10 616 160 160 L a retta dei minimi quadrati assume la forma Y = 0,63 + 1,04 X 3.6 Le tecniche basate sull analisi delle serie storiche Una serie storica {Yi} è una sequenza di valori Y 1,Y,, Y n presi ad intervalli regolari di tempo T 1, T,, T n per un certo periodo temporale. Per analizzare il comportamento di una serie storica risulta utile pensare ad essa come risultato della sovrapposizione di più componenti. L ipotesi più accettata è quella di utilizzare le seguenti componenti: Componente di trend (T): nonostante la presenza di variazioni casuali nei dati, è possibile, in generale, riconoscere, all interno di una serie storica, tendenze ad evolvere verso valori crescenti (trend positivo) o valori decrescenti (trend negativo). La componente di trend, quindi, descrive la tendenza del fenomeno nel breve e medio periodo; Componente ciclica (C): in alcuni casi l evoluzione di un fenomeno può presentare sensibili scostamenti rispetto alla componente di trend. Questa caratteristica, se presente, è dovuta a variazioni cicliche su orizzonti temporali lunghi che comprendono diversi anni. In molti fenomeni di tipo economico, ad esempio, si riscontrano comportamenti ciclici che provocano andamenti differenti dal trend a breve periodo; Componente stagionale (S): molte serie storiche evidenziano comportamenti regolarmente ricorrenti nell arco di un anno. Questa caratteristica è ascrivibile alla presenza di una componente stagionale che è legata alla natura del fenomeno in esame. Ad esempio, la serie storica della temperatura media di una città italiana 65

presenta regolarmente dei massimi in corrispondenza dei mesi estivi e dei minimi in corrispondenza dei mesi invernali; Componente casuale (R): la componente casuale considera le variazioni che si presentano in una serie storica rispetto alle previsioni dovute alla presenza di componenti di trend, cicliche e stagionali. La componente casuale è dovuta alla presenza di variazioni non prevedibili a breve termine, in virtù dell influenza di diversi fattori che condizionano il fenomeno in esame. Analizzare una serie storica significa riconoscere ed individuare le componenti all interno della sequenza dei dati a disposizione. A tale scopo si individuano due modelli: Modello additivo: si suppone che la serie Y sia esprimibile come somma delle componenti Y = C + T + S + R; Modello moltiplicativo: si suppone che la serie Y sia esprimibile come prodotto delle componenti Y = C T S R La differenza fondamentale tra i due modelli sta nelle unità di misura da attribuire alle varie componenti. Nel modello additivo ciascuna componente deve essere espressa nell unità di misura della serie storica; nel modello moltiplicativo, invece, fissata una componente in valore assoluto le altre componenti vanno espresse attraverso indici ovvero numeri adimensionali che rappresentano fattori moltiplicativi rispetto al valore medio della serie storica. Nel seguito si illustrano le tecniche di previsione più largamente utilizzate distinguendo tra le tecniche adatte a prevedere fenomeni con assenza di componenti stagionali e tecniche per fenomeni con sensibile componente stagionale. [3] 66

3.7 La tecnica della media mobile Questa tecnica è utilizzata quando nella serie storica non sono riscontrabili significative componenti stagionali o cicliche. La previsione del fabbisogno per un periodo futuro viene determinata dalla media aritmetica delle richieste osservate durante n periodi (ad esempio mesi) anteriori. La media si dice mobile perché viene costantemente aggiornata sostituendo via via l ultimo dato disponibile al più lontano nel tempo. Analiticamente il calcolo della media mobile applicata alla previsione per un periodo futuro indicato con t risulta dall espressione: D t d t 1 + d t +... + d = n dove D t è la previsione per il periodo t, d t-1 è la domanda effettiva nel periodo precedente, n è il numero di periodi di ampiezza uguale a t. t n ESEMPIO 1: Date le seguenti informazioni si vuole la previsione al dodicesimo mese, utilizzando la tecnica della media mobile di ordine 3,4 e 5. MESI 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 DOMANDA 40 410 430 380 350 370 340 330 380 40 440? PASSATA 67

MESE N MESE DOM PASS n=3 n=4 n=5 GENNAIO 1 40 FEBBRAIO 410 MARZO 3 430 APRILE 4 380 40 MAGGIO 5 350 407 410 GIUGNO 6 370 387 393 398 LUGLIO 7 340 367 383 388 AGOSTO 8 330 353 360 374 SETTEMBRE 9 380 347 348 354 OTTOBRE 10 40 350 355 354 NOVEMBRE 11 440 377 368 368 DICEMBRE 1 413 393 38 Si può notare che per diversi valori di n si ottengono diverse previsioni: n = 3 D(dicembre)= 413 n = 4 D(dicembre)= 39 n = 5 D(dicembre) = 38 Appare evidente che si deve scegliere opportunamente il valore di n (l ordine della media mobile). Di solito tale valore è compreso tra tre e cinque, ma per determinarlo in maniera univoca si ricorre al MAD (Mean Absolute Deviation): esso è pari alla somma delle differenze, prese in valore assoluto, tra la domanda effettiva e quella prevista per ogni mese, diviso per il numero di mesi per cui si ha a disposizione il dato effettivo e la previsione. Si calcola il MAD per i diversi valori di n e si sceglierà la previsione relativa al MAD minore. 68

MESE N MESE DOM PASS n=3 differenza GENNAIO 1 40 FEBBRAIO 410 MARZO 3 430 APRILE 4 380 40-40 MAGGIO 5 350 407-57 GIUGNO 6 370 387-17 LUGLIO 7 340 367-7 AGOSTO 8 330 353-3 SETTEMBRE 9 380 347 33 OTTOBRE 10 40 350 70 NOVEMBRE 11 440 377 63 DICEMBRE 1 413 MAD 3 = 40 + 57 +17 + 7 + 3 + 33 + 70 + 63 = 41,5 8 MESE N MESE DOM PASS n=4 differenza GENNAIO 1 40 FEBBRAIO 410 MARZO 3 430 APRILE 4 380 MAGGIO 5 350 410-60 GIUGNO 6 370 393-3 LUGLIO 7 340 383-43 AGOSTO 8 330 360-30 SETTEMBRE 9 380 348 33 OTTOBRE 10 40 355 65 NOVEMBRE 11 440 368 73 DICEMBRE 1 393 MAD 4 = 60 + 3 +43 + 30 + 33 + 65 + 73 = 46,71 7 69

MESE N MESE DOM PASS n=5 differenza GENNAIO 1 40 FEBBRAIO 410 MARZO 3 430 APRILE 4 380 MAGGIO 5 350 GIUGNO 6 370 398-8 LUGLIO 7 340 388-48 AGOSTO 8 330 374-44 SETTEMBRE 9 380 354 6 OTTOBRE 10 40 354 66 NOVEMBRE 11 440 368 7 DICEMBRE 1 38 MAD 5 = 8 + 48 +44 + 6 + 66 + 7 = 47,33 6 Il MAD minore è quello relativo a n= 3 per cui si sceglierà la previsione D(dicembre) = 413 ESEMPIO : Date le seguenti informazioni si vuole la previsione al dodicesimo mese, utilizzando la tecnica della media mobile di ordine 3,4 e 5. MESI 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 DOMANDA 51 68 84 73 66 10 110 14 103 145 1? PASSATA 70

MESE N MESE DOM PASS n=3 n=4 n=5 GENNAIO 1 51 FEBBRAIO 68 MARZO 3 84 APRILE 4 73 68 MAGGIO 5 66 75 69 GIUGNO 6 10 74 73 68 LUGLIO 7 110 80 81 79 AGOSTO 8 14 93 88 87 SETTEMBRE 9 103 11 101 95 OTTOBRE 10 145 11 110 101 NOVEMBRE 11 1 14 11 117 DICEMBRE 1 13 14 11 Si può notare che per diversi valori di n si ottengono diverse previsioni: n = 3 D(dicembre)= 13 n = 4 D(dicembre)= 14 n = 5 D(dicembre) = 11 MESE N MESE DOM PASS n=3 differenza GENNAIO 1 51 FEBBRAIO 68 MARZO 3 84 APRILE 4 73 68 5 MAGGIO 5 66 75-9 GIUGNO 6 10 74 8 LUGLIO 7 110 80 30 AGOSTO 8 14 93 31 SETTEMBRE 9 103 11-9 OTTOBRE 10 145 11 33 NOVEMBRE 11 1 14 - DICEMBRE 1 13 MAD 3 = 5 + 9 +8 + 30 + 31 + 9 + 33 + = 18,37 8 71

MESE N MESE DOM PASS n=4 differenza GENNAIO 1 51 FEBBRAIO 68 MARZO 3 84 APRILE 4 73 MAGGIO 5 66 69-3 GIUGNO 6 10 73 9 LUGLIO 7 110 81 9 AGOSTO 8 14 88 36 SETTEMBRE 9 103 101 3 OTTOBRE 10 145 110 35 NOVEMBRE 11 1 11 DICEMBRE 1 14 MAD 4 = 3 + 9 +9 + 36 + 3 + 35 + = 19,57 MESE N MESE DOM PASS n=5 differenza GENNAIO 1 51 FEBBRAIO 68 MARZO 3 84 APRILE 4 73 MAGGIO 5 66 GIUGNO 6 10 68 34 LUGLIO 7 110 79 31 AGOSTO 8 14 87 37 SETTEMBRE 9 103 95 8 OTTOBRE 10 145 101 44 NOVEMBRE 11 1 117 5 DICEMBRE 1 11 7 MAD 5 = 34 + 31 +37 + 8 + 44 + 5 = 6,5 6 Il MAD minore è quello relativo a n= 3 per cui la previsione che si sceglie è D(dicembre)= 13 7

3.8 La tecnica della media mobile pesata Il limite del metodo della media mobile sta nel fatto che, fissato l ordine n, ogni elemento pesa in ugual misura. Invece con una media mobile pesata è possibile attribuire un peso a ciascun elemento. In questo caso la formula è la seguente: D t = p d 1 t 1 + p d t +... + p Dove p 1,...,p n sono i pesi, attribuibili in base all esperienza ai rispettivi periodi, tali che: n i= 1 p i = 1 Più lontane saranno le informazioni e meno peso avranno. n d t n ESEMPIO 1: Calcolare il valore della domanda relativa al dodicesimo mese nel caso di media mobile di ordine pesata attraverso i valori p 1 = 0,4 e p = 0,6 MESI 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 DOMANDA 95 68 94 106 11 15 158 184 153 15 18? PASSATA MESE N MESE DOM PASS n= GENNAIO 1 95 FEBBRAIO 68 MARZO 3 94 0,4*95 + 0,6*68 79 APRILE 4 106 0,4*68 + 0,6*94 84 MAGGIO 5 11 0,4*94 + 0,6*106 101 GIUGNO 6 15 0,4*106 + 0,6*11 115 LUGLIO 7 158 0,4*11 + 0,6*15 140 AGOSTO 8 184 0,4*15 + 0,6*158 156 SETTEMBRE 9 153 0,4*158 + 0,6*184 174 OTTOBRE 10 15 0,4*184 + 0,6*153 165 NOVEMBRE 11 18 0,4*153 + 0,6*15 190 DICEMBRE 1 0,4*15 + 0,6*18 195 73

3.9 Exponential smoothing Un altra versione più raffinata, affidabile e facilmente automatizzabile, è quella che prevede l attenuazione esponenziale (exponential smoothing) del peso dei dati più lontani. Si tratta di un particolare tipo di media mobile, ove i fattori sono ponderati in base ad un parametro sottoposto a continua revisione, offrendo il modo di agire sull apporto informativo di ciascuno, alterandone il peso in funzione del grado di aggiornamento e della conseguente significatività. In altri termini alla fine di ogni intervallo di tempo t il valore del parametro che si sta osservando, cioè la domanda D t, viene modificato alla luce dei mutamenti rilevati. Se in sede preliminare all istante t-1 si è prevista una domanda D t-1, mentre la domanda reale successivamente si è rilevata essere dt-1, allora si sarà commesso un errore pari a [d t-1 D t-1 ]; pertanto la previsione successiva si effettuerà sommando all ultima previsione D t- 1 un aliquota correttiva α dello scostamento [d t-1 D t-1 ]. La formula ricorsiva è la seguente: D t = D t-1 + α (d t-1 D t-1 ) dove: Dt è la previsione per il periodo t Dt-1 è la previsione effettuata per il periodo t-1 d t-1 è la domanda che si è verificata nel precedente periodo α è il coefficiente di attenuazione esponenziale che è una misura di quanto si vuole pesare l errore Anche qui, come nel caso della scelta dell ordine n nella media mobile, si sceglie α che minimizza il MAD. ESEMPIO 1: Calcolare il valore della previsione relativo all undicesimo periodo con il metodo dell exponential smoothing con α= 0,0 e α = 0,60. Scegliere tra i due valori ottenuti, quello che minimizza il MAD. 74

PERIODO 1 3 4 5 6 7 8 9 10 SERIE 10 1 11 13 1 14 15 14 16 15 STORICA PERIODO SERIE STORICA α = 0,0 ERR ASS DI PREV 1 10 10 1 10 3 11 10,4 0,6 4 13 10,5,48 5 1 11,0 0,98 6 14 11,1,79 7 15 11,77 3,3 8 14 1,4 1,58 9 16 1,73 3,7 10 15 13,39 1,61 11 13,71 MAD α=0,0 = +0,6+,48+0,98+,79+3,3+1,58+3,7+1,61 =,06 9 PERIODO SERIE STORICA α = 0,60 ERR ASS DI PREV 1 10 10 1 10 3 11 11, -0, 4 13 11,08 1,9 5 1 1,3-0,3 6 14 1,09 1,91 7 15 13,4 1,76 8 14 14,9-0,9 9 16 14,1 1,88 10 15 15,5-0,5 11 15,1 MAD α=0,60 = +0,+1,9+0,3+1,91+1,76+0,9+1,88+0,5 = 1,16 9 75

La previsione da prendere in considerazione è 15,1 perché ottenuta con α = 0,60 cui corrisponde il MAD più basso. 3.10 Previsione di serie storiche con componenti stagionali La componente stagionale fa riferimento a variazioni sistematiche di una serie storica che si verificano in certi periodi. Se si considerano, ad esempio, le temperature medie mensili di una certa città è evidente che, ogni anno, si riscontreranno dei comportamenti che variano più o meno accentuatamente intorno a certi valori tipici mensili. Analogamente, se si analizza il numero di persone che in un certo mese vanno al cinema, si osserveranno alcuni giorni della settimana caratterizzati da una maggiore affluenza rispetto ad altri giorni con minore affluenza. Per descrivere la componente stagionale si introducono gli indici stagionali. Per descrivere questa tecnica ci avvalleremo del seguente esempio: consideriamo la serie storica riportata nella tabella seguente, indicativa del fatturato, in milioni di euro di un azienda produttrice di gelati. 76

GEN FEB MAR APR MAG GIU LUG AGO SET OTT NOV DIC MEDIA ANNO 1 7,4 6,1 8,8 10,5 1,6 16,5 19,9 1,6 19,3 13,6 9,8 10,9 13,1 ANNO 7,7 6,6 9,8 11, 13,8 18,3,5,8 0,5 14,9 10,6 11,7 14, ANNO 3 8,4 7,1 10,5 1,4 15,1 19,9 4, 4,8 1,9 15,9 11,3 1,7 15,4 1 30 5 0 0 15 10 5 3 5 7 9 11 13 15 17 19 1 3 5 7 9 31 33 35 TEMPO FATTURATO Esprimiamo il fatturato relativo a ciascun mese in termini di rapporto rispetto al fatturato mensile medio dell anno corrispondente. GEN FEB MAR APR MAG GIU LUG AGO SET OTT NOV DIC MEDIA ANNO 1 0,566 0,47 0,67 0,80 0,96 1,6 1,51 1,65 1,48 1,039 0,75 0,83 1 ANNO 0,54 0,46 0,69 0,79 0,97 1,9 1,585 1,61 1,44 1,049 0,75 0,8 1 ANNO 3 0,547 0,46 0,68 0,81 0,98 1,30 1,577 1,6 1,43 1,036 0,74 0,83 1 La stagionalità del fenomeno risulta dal fatto che, per uno stesso mese, i valori ottenuti presentano variazioni contenute. Si definisce indice stagionale per un certo mese la media dei rapporti, relativi ad anni diversi, tra i valori mensili ed il valore medio mensile. In altre parole l indice stagionale relativo ad un certo mese è pari alla media dei rapporti prima ottenuti relativi allo stesso mese e ad anni diversi. 77

GEN FEB MAR APR MAG GIU LUG AGO SET OTT NOV DIC MEDIA ANNO 1 0,566 0,47 0,67 0,80 0,96 1,6 1,51 1,65 1,48 1,039 0,75 0,83 1 ANNO 0,54 0,46 0,69 0,79 0,97 1,9 1,585 1,61 1,44 1,049 0,75 0,8 1 ANNO 3 0,547 0,46 0,68 0,81 0,98 1,30 1,577 1,6 1,43 1,036 0,74 0,83 1 ind stag 0,55 0,46 0,68 0,8 0,97 1,8 1,561 1,64 1,45 1,04 0,744 0,83 A questo punto si dividono i valori della tabella relativa al fatturato per gli indici stagionali (naturalmente ogni valore di fatturato si divide per l indice stagionale relativo allo stesso mese). In questo modo si ottiene la serie storica destagionalizzata. GEN FEB MAR APR MAG GIU LUG AGO SET OTT NOV DIC ANNO 1 13,41 13,13 1,90 13,13 1,951 1,87 1,75 13,30 13,3 13,06 13,17 13,16 ANNO 13,96 14,1 14,364 14,005 14,185 14,73 14,4 14,039 14,15 14,31 14,5 14,18 ANNO 3 15,3 15,8 15,39 15,51 15,51 15,51 15,51 15,7 15,119 15,7 15,19 15,336 Partendo da questi dati è possibile ottenere la funzione di interpolazione che rappresenta efficacemente la componente di trend. Tale funzione è ottenuta con il metodo dei minimi quadrati (vedi regressione lineare) in cui la variabile indipendente è rappresentata dal tempo ed in particolare dal numero relativo al mese dal dato utilizzato, e la variabile dipendente è data dal fatturato. 78

18 16 14 1 FATTURATO 10 8 6 4 0 0 5 10 15 0 5 30 35 40 TEMPO 79

OSSERVAZIONE T F T² F² TF GENNAIO 1 1 13,41 1 179,83 13,41 FEBBRAIO 1 13,13 4 17,40 6,6 MARZO 1 3 1,9 9 166,41 38,7 APRILE 1 4 13,13 16 17,40 5,5 MAGGIO 1 5 1,95 5 167,70 64,75 GIUGNO 1 6 1,87 36 165,64 77, LUGLIO 1 7 1,75 49 16,56 89,5 AGOSTO 1 8 13,3 64 176,89 106,4 SETTEMBRE 1 9 13,3 81 177,4 119,88 OTTOBRE 1 10 13,06 100 170,56 130,6 NOVEMBRE 1 11 13,17 11 173,45 144,87 DICEMBRE 1 1 13,16 144 173,19 157,9 GENNAIO 13 13,96 169 194,88 181,48 FEBBRAIO 14 14,1 196 01,9 198,94 MARZO 15 14,36 5 06,1 15,4 APRILE 16 14,01 56 196,8 4,16 MAGGIO 17 14,18 89 01,07 41,06 GIUGNO 18 14,7 34 03,63 56,86 LUGLIO 19 14,4 361 07,94 73,98 AGOSTO 0 14,04 400 197,1 80,8 SETTEMBRE 1 14,15 441 00, 97,15 OTTOBRE 14,31 484 04,78 314,8 NOVEMBRE 3 14,5 59 03,06 37,75 DICEMBRE 4 14,13 576 199,66 339,1 GENNAIO 3 5 15,3 65 31,95 380,75 FEBBRAIO 3 6 15,8 676 33,48 397,8 MARZO 3 7 15,39 79 36,85 415,53 APRILE 3 8 15,51 784 40,56 434,8 MAGGIO 3 9 15,5 841 40,87 450,08 GIUGNO 3 30 15,5 900 40,87 465,6 LUGLIO 3 31 15,51 961 40,56 480,81 AGOSTO 3 3 15,7 104 33,17 488,64 SETTEMBRE 3 33 15,1 1089 8,61 498,96 OTTOBRE 3 34 15,7 1156 33,17 519,18 NOVEMBRE 3 35 15,19 15 30,74 531,65 DICEMBRE 3 36 15,34 196 35,3 55,4 SOMME 666 511,59 1606 7301,38 9788,3 80

511.59 1606 666 9788.3 a = = 1.67 36 1606 666 666 36 9788.3 666 511.59 b = = 0.083 36 1606 666 666 La retta dei minimi quadrati assume la forma D = 1,67 + 0,083 T Nota l equazione della retta è possibile conoscere i valori del trend relativi all anno 4, di cui si volevano le previsioni MESE T D GENNAIO 4 37 15,74 FEBBRAIO 4 38 15,8 MARZO 4 39 15,91 APRILE 4 40 15,99 MAGGIO 4 41 16,07 GIUGNO 4 4 16,16 LUGLIO 4 4 16,16 AGOSTO 4 44 16,3 SETTEMBRE 4 45 16,41 OTTOBRE 4 46 16,49 NOVEMBRE 4 47 16,57 DICEMBRE 4 48 16,65 Infine bisogna moltiplicare la funzione di interpolazione per gli indici stagionali. MESE T D ind stag D*ind stag GENNAIO 4 37 15,74 0,55 8,66 FEBBRAIO 4 38 15,8 0,46 7,8 MARZO 4 39 15,91 0,68 10,8 APRILE 4 40 15,99 0,8 1,79 MAGGIO 4 41 16,07 0,97 15,59 GIUGNO 4 4 16,16 1,8 0,68 LUGLIO 4 4 16,16 1,56 5,0 AGOSTO 4 44 16,3 1,6 6,44 SETTEMBRE 4 45 16,41 1,45 3,79 OTTOBRE 4 46 16,49 1,04 17,15 NOVEMBRE 4 47 16,57 0,74 1,6 DICEMBRE 4 48 16,65 0,83 13,8 Riepilogando, la procedura per ottenere una previsione su una serie storica che presenta una sensibile componente stagionale può essere suddivisa nelle seguenti fasi: Calcolo degli indici stagionali; 81

Destagionalizzazione della serie storica; Individuazione della funzione di interpolazione relativa alla serie storica destagionalizzata; Prolungamento della funzione di interpolazione sull orizzonte temporale; Applicazione degli indici stagionali al prolungamento della funzione di interpolazione. ESEMPIO 1: Si effettui la previsione relativa ai successivi 1 mesi a partire dalla serie storica riportata di seguito, caratterizzata da componente stagionale. GEN FEB MAR APR MAG GIU LUG AGO SET OTT NOV DIC MEDIA ANNO 1 5 6 8 6 6 3 6 10 1 8 7 6,6 ANNO 8 8 9 7 7 5 4 8 1 13 10 8 8,3 14 1 10 FATTURATO 8 6 4 0 0 5 10 15 0 5 30 TEMPO Esprimiamo il fatturato relativo a ciascun mese in termini di rapporto rispetto al fatturato mensile medio dell anno corrispondente. 8

GEN FEB MAR APR MAG GIU LUG AGO SET OTT NOV DIC MEDIA ANNO 1 0,759 0,91 1, 0,91 0,91 0,46 0,304 0,91 1,5 1,83 1, 1,06 1 ANNO 0,97 0,97 1,091 0,85 0,85 0,61 0,485 0,97 1,45 1,576 1,1 0,97 1 Calcolo gli indici stagionali GEN FEB MAR APR MAG GIU LUG AGO SET OTT NOV DIC MEDIA ANNO 1 0,76 0,91 1, 0,91 0,91 0,46 0,30 0,91 1,5 1,8 1, 1,06 1 ANNO 0,97 0,97 1,09 0,85 0,85 0,61 0,48 0,97 1,45 1,58 1,1 0,97 1 ind stag 0,86 0,94 1,15 0,88 0,88 0,53 0,39 0,94 1,49 1,70 1,1 1,0 A questo punto si dividono i valori della tabella relativa al fatturato per gli indici stagionali (naturalmente ogni valore di fatturato si divide per l indice stagionale relativo allo stesso mese). In questo modo si ottiene la serie storica destagionalizzata. GEN FEB MAR APR MAG GIU LUG AGO SET OTT NOV DIC MEDIA ANNO 1 5,78 6,38 6,94 6,8 6,8 5,65 5,07 6,38 6,73 7,06 6,59 6,89 ANNO 9,5 8,51 7,81 7,96 7,96 9,4 10,14 8,51 8,07 7,65 8,4 7,87 Partendo da questi dati è possibile ottenere la funzione di interpolazione che rappresenta efficacemente la componente di trend. 83

OSSERVAZIONE T F T² F² TF GENNAIO 1 1 5,78 1 33,41 5,78 FEBBRAIO 1 6,38 4 40,70 1,76 MARZO 1 3 6,94 9 48,16 0,8 APRILE 1 4 6,8 16 46,51 7,8 MAGGIO 1 5 6,8 5 46,51 34,1 GIUGNO 1 6 5,65 36 31,9 33,9 LUGLIO 1 7 5,05 49 5,50 35,35 AGOSTO 1 8 6,38 64 40,70 51,04 SETTEMBRE 1 9 6,73 81 45,9 60,57 OTTOBRE 1 10 7,06 100 49,84 70,6 NOVEMBRE 1 11 6,59 11 43,43 7,49 DICEMBRE 1 1 6,89 144 47,47 8,68 GENNAIO 13 9,5 169 85,56 10,5 FEBBRAIO 14 8,51 196 7,4 119,14 MARZO 15 7,81 5 61,00 117,15 APRILE 16 7,96 56 63,36 17,36 MAGGIO 17 7,96 89 63,36 135,3 GIUGNO 18 9,4 34 88,74 169,56 LUGLIO 19 10,14 361 10,8 19,66 AGOSTO 0 8,51 400 7,4 170, SETTEMBRE 1 8,07 441 65,1 169,47 OTTOBRE 7,65 484 58,5 168,3 NOVEMBRE 3 8,4 59 67,90 189,5 DICEMBRE 4 7,87 576 61,94 188,88 SOMME 300 178,48 4900 136,63 375,18 178.48 4900 300 975.18 a = = 9.75 4 4900 300 300 4 375.18 300 178.48 b = =.3 4 4900 300 300 La retta dei minimi quadrati assume la forma D = 9,75 +,3 T 84

MESE T D GENNAIO 3 5 87,75 FEBBRAIO 3 6 90,07 MARZO 3 7 9,39 APRILE 3 8 94,71 MAGGIO 3 9 97,03 GIUGNO 3 30 99,35 LUGLIO 3 31 101,67 AGOSTO 3 3 103,99 SETTEMBRE 3 33 106,31 OTTOBRE 3 34 108,63 NOVEMBRE 3 35 110,95 DICEMBRE 3 36 113,7 Infine bisogna moltiplicare la funzione di interpolazione per gli indici stagionali. MESE T D ind stag D*ind stag GENNAIO 3 5 87,75 0,86 75,47 FEBBRAIO 3 6 90,07 0,94 84,67 MARZO 3 7 9,39 1,15 106,5 APRILE 3 8 94,71 0,88 83,34 MAGGIO 3 9 97,03 0,88 85,39 GIUGNO 3 30 99,35 0,53 5,66 LUGLIO 3 31 101,67 0,39 39,65 AGOSTO 3 3 103,99 0,94 97,75 SETTEMBRE 3 33 106,31 1,49 158,40 OTTOBRE 3 34 108,63 1,7 184,67 NOVEMBRE 3 35 110,95 1,1 134,5 DICEMBRE 3 36 113,7 1,0 115,54 3.11 Misura dell errore La domanda di un prodotto i genera attraverso l interazione di un notevole numero di fattori, troppo complessa perché sia descritta completamente in un modello matematico. Di conseguenza, come già detto in precedenza, gli errori di previsione non possono essere completamente evitati. Come misurare l accuratezza di un determinato metodo di previsione è quindi un aspetto molto importante che deve essere preso in seria considerazione. Per illustrare meglio i concetti riferiamoci all esempio già visto in precedenza, quando si è illustrato il metodo della media mobile. 85

MESE N MESE dt Dt (n=3) GENNAIO 1 51 FEBBRAIO 68 MARZO 3 84 APRILE 4 73 68 MAGGIO 5 66 75 GIUGNO 6 10 74 LUGLIO 7 110 80 AGOSTO 8 14 93 SETTEMBRE 9 103 11 OTTOBRE 10 145 11 NOVEMBRE 11 1 14 DICEMBRE 1 13 Se indichiamo con dt la domanda effettiva per il periodo t e con Dt la previsione per lo stesso periodo, allora possiamo definire l errore come: E t = d t -D t Se vi sono osservazioni e previsioni per n periodi, allora ci saranno n valori dell errore. Possiamo quindi definire: ERRORE MEDIO (ME) ME = (1 N) t=1,n E t ERRORE MEDIO ASSOLUTO (MAD) MAD = (1 N) t=1,n E t ERRORE QUADRATICO MEDIO (MSE) MAD = (1 N) t=1,n (E t )² ME dà, ovviamente, l errore medio su più periodi, però c è da osservare che gli errori di segno opposto tendono a compensarsi; quindi il ME fornisce semplicemente un informazione circa l esistenza o meno di un eventuale errore sistematico nella previsione. Per questo motivo il MAD rende prima di tutto ogni errore positivo, prendendone il valore assoluto, e poi ne fa la media. Un ragionamento analogo è alla base del MSE, in cui gli errori sono resi positivi mediante elevazione al quadrato. La misura dell errore ottenuta attraverso il ME, il MAD o il MSE dipende dalla scala, dall ordine di grandezza dei dati. Per questo motivo, le suddette misure non facilitano il confronto tra diverse serie temporali e per differenti intervalli di tempo. Per fare dei confronti c è bisogno di misure dell errore relative o percentuali. [6] Prima di tutto si definisce errore percentuale (PE): 86

PE t d t D t = d t Le due misure relative dell errore più usate sono: 100 ERRORE MEDIO PERCENTUALE (MPE) MPE = 1 n n t= 1 PE t ERRORE MEDIO PERCENTUALE ASSOLUTO MAPE = 1 n n t= 1 PE t N MESE dt Dt (n=3) dt - Dt dt - Dt (dt - Dt)² (dt - Dt)/dt*100 dt - Dt / dt *100 1 51 68 3 84 4 73 68 5 5 5 7,31 7,31 5 66 75-9 9 81-13,64 13,64 6 10 74 8 8 784 7,1 7,1 7 110 80 30 30 900 6,97 6,97 8 14 93 31 31 961 5,7 5,7 9 103 11-9 9 81-8,74 8,74 10 145 11 33 33 1089,53,53 11 1 14-4 -1,64 1,64 1 13 totale 107 147 395 85,18 133, ME = 107/8 13,375 MAD= 147/8 18,375 MSE= 395/8 490,63 MPE= 85,18/8 10,648 MAPE= 133,/8 16,653 87