v 23 CAPITOLO 2: RELAZIONI TRA LE DIERSE FASI DI UN CAMPIONE DI TERRENO CAPITOLO 2: RELAZIONI TRA LE DIERSE FASI DI UN CAMPIONE DI TERRENO Un campione di terreno viene considerato come un sistema multifase, il quale è costituito da uno scheletro di particelle solide all interno del quale sono presenti dei vuoti riempiti di liquido o gas. Le fasi in un campione di terreno sono 3: una solida, una liquida ed una gassosa. Figura 2.1 In questo disegno è rappresentata schematicamente la composizione del terreno per evidenziare graficamente la percentuale delle fasi che lo compongono. A questo punto diamo alcune definizioni delle caratteristiche principali del terreno. OLUME TOTALE : è dato dalla somma dei volumi delle singole fasi. g w OLUME SPECIFICO v: è definito come rapporto tra il volume totale e il volume della porzione solida. POROSITÀ n: è definita come il rapporto tra il volume dei vuoti, dato dalla somma v g w, e il volume totale. n v INDICE DEI UOTI e: è definito come il rapporto tra il volume dei vuoti e il volume della fase solida. e v Appunti di GEOTECNICA. ersione 1.3. A cura di GIUSEPPE DELLANA. Redatti con l ausilio di StarOffice Writer 5.2. Linux 2.2.17. Mandrake 7.2.
24 CAPITOLO 2: RELAZIONI TRA LE DIERSE FASI DI UN CAMPIONE DI TERRENO Relazione tra v ed e. Possiamo ricavare una relazione fra il volume specifico v e l indice dei vuoti e: v Dividendo per s ottengo: v Otteniamo così: ve 1 Relazioni tra n ed e. In base alle definizioni che sono state date si può ricavare una prima relazione tra n ed e. v n v v v 1 v e n e Invertendo questa relazione si ottiene che: e n 1 n Appunti di GEOTECNICA. ersione 1.3. A cura di GIUSEPPE DELLANA. Redatti con l ausilio di StarOffice Writer 5.2. Linux 2.2.17. Mandrake 7.2.
25 CAPITOLO 2: RELAZIONI TRA LE DIERSE FASI DI UN CAMPIONE DI TERRENO alori particolari di n ed e: Figura 2.2 Regola grafico mnemonica: per ricordarci la definizione della porosità n e l indice dei vuoti e è utile disegnare due volumi elementari e indicare il volume dei vuoti ed il volume della parte solida. A fianco del primo indichiamo il volume totale come unitario e la porosità n che corrisponde al volume dei vuoti. A fianco del secondo indichiamo il volume della parte solida unitario e l indice dei vuoti e che corrisponde al volume dei vuoti. In questo modo è facile ricordarsi le definizioni, ma si può ricavare anche n in funzione di e, o viceversa, mettendo in relazione i due disegni e le quantità corrispondenti. L utilità della regola è ancora più efficace quando affianchiamo i pesi delle varie frazioni e riusciamo a ricavare anche le relazioni con i pesi specifici. Possiamo osservare che se il volume totale è 1 allora il volume dei vuoti è pari ad n: n v v Se indichiamo con 1 il volume della fase solida allora il volume dei vuoti risulta pari ad e: e v v alori massimi e minimi di n ed e: Se consideriamo la fase solida di un terreno costituita da sfere di uguale diametro allora la disposizione che massimizza la porosità, con il minimo di addensamento è quella che dispone 8 sfere centrate nei vertici del cubo di lato D. Il volume totale del cubo è dato da D 3 ; il volume della fase solida contenuta in questo cubo è data da 8 ottavi di sfera di diametro D. 4 3 π D 3 8 π D 3 6 n v D 3 π D 3 6 1 π D 3 6 0,476 e v D 3 π D 3 6 π D 3 6 1 π 6 π 6 0,909 Appunti di GEOTECNICA. ersione 1.3. A cura di GIUSEPPE DELLANA. Redatti con l ausilio di StarOffice Writer 5.2. Linux 2.2.17. Mandrake 7.2.
26 CAPITOLO 2: RELAZIONI TRA LE DIERSE FASI DI UN CAMPIONE DI TERRENO Il minimo valore di porosità per questa condizione ideale di composizione del terreno si ha quando le singole sfere sono disposte ai 4 vertici di un tetraedro. In questa situazione si ha che: n0,26 e0,35 è necessario osservare che queste due situazioni appartengono a condizioni ideali, infatti nella realtà possono trovarsi anche delle porosità inferiori a quella sopra citata, nei vuoti si possono disporre dei granelli più piccoli, oppure possiamo avere delle porosità più elevate se i singoli granelli non sono a diretto contatto. Se il materiale è più denso allora esso risulta anche più resistente, più rigido e meno deformabile; inoltre è possibile che i due materiali con la stessa granulometria e porosità presentino caratteristiche meccaniche diverse in base alla disposizione dei grani. Se il materiale presenta dei grani appiattiti allora questa proprietà può essere responsabile dell anisotropia nei confronti dello sforzo. GRADO DI SATURAZIONE S: è dato dal rapporto tra il volume occupato dall acqua w e il volume dei vuoti v. S w v Il valore di S è compreso tra 0 e 1; per S0 abbiamo un terreno secco, mentre per S1 abbiamo un terreno saturo. CONTENUTO D ACQUA w: viene definito come il rapporto tra il peso dell acqua W w e quello della fase solida w W w Allo stesso modo possono essere date altre definizioni di altre caratteristiche del terreno. PESO SPECIFICO TOTALE γ: γ W PESO SPECIFICO DELLA PARTE SOLIDA : PESO SPECIFICO DELL ACQUA γ W: PESO SPECIFICO DEL TERRENO SECCO : PESO SPECIFICO TOTALE RIFERITO ALL ACQUA G: G γ PESO SPECIFICO TOTALE DEI GRANI RIFERITO ALL ACQUA : Appunti di GEOTECNICA. ersione 1.3. A cura di GIUSEPPE DELLANA. Redatti con l ausilio di StarOffice Writer 5.2. Linux 2.2.17. Mandrake 7.2.
27 CAPITOLO 2: RELAZIONI TRA LE DIERSE FASI DI UN CAMPIONE DI TERRENO Determiniamo ora alcune relazioni fondamentali che legano le grandezze precedentemente definite supponendo noti i valori di γ, w e. ediamo una relazione fra, γ, w: W W γ W γ W w γ 1 W w γ 1 w γ 1 w ediamo una relazione fra,,, e: v 1 v G w Riscriviamo un legame fra n ed e: n e e 1 1 1 1 da cui 1 1 n Riassumiamo il tutto uguagliando le prime due relazioni e sostituendovi la terza, per otteniamo quanto segue: γ 1 w G w 1 n Appunti di GEOTECNICA. ersione 1.3. A cura di GIUSEPPE DELLANA. Redatti con l ausilio di StarOffice Writer 5.2. Linux 2.2.17. Mandrake 7.2.
28 CAPITOLO 2: RELAZIONI TRA LE DIERSE FASI DI UN CAMPIONE DI TERRENO ediamo una relazione fra e, n,,, : Per quanto riguarda e sappiamo già che: e n 1 n Però sviluppando la definizione di e in un altro modo: e v Uguagliando le due relazioni di e, abbiamo: e n 1 n ediamo una relazione fra n, e,,,, γ : Per quanto riguarda n sappiamo già che: n e Sviluppiamo questa relazione nel seguente modo: n e 1 1 1 1 1 1 s Siccome sappiamo che per, γ, w vale che: γ 1 w segue che 1 v 1 1 v 1 n1 1 γ 1 w In conclusione le espressioni di n sono: n e 1 1 γ 1 w Appunti di GEOTECNICA. ersione 1.3. A cura di GIUSEPPE DELLANA. Redatti con l ausilio di StarOffice Writer 5.2. Linux 2.2.17. Mandrake 7.2.
29 CAPITOLO 2: RELAZIONI TRA LE DIERSE FASI DI UN CAMPIONE DI TERRENO ediamo una relazione fra S, w,,, γ, e, n, : Partiamo dalla definizione di S: S w v W w v Sostituendo a la relazione seguente: Otteniamo per S che: γ 1 w w γ S n 1 w W w v W w n W w n w n Possiamo sviluppare anche un altra relazione: Applicando le due relazioni: Otteniamo che: S w v W w v W w v w W w w v Ricordandoci la definizione di e: e v Otteniamo per S che: S w e In conclusione eguagliando le due relazioni ottenute scriviamo che: w γ S n 1 w w e Appunti di GEOTECNICA. ersione 1.3. A cura di GIUSEPPE DELLANA. Redatti con l ausilio di StarOffice Writer 5.2. Linux 2.2.17. Mandrake 7.2.
30 CAPITOLO 2: RELAZIONI TRA LE DIERSE FASI DI UN CAMPIONE DI TERRENO ediamo una relazione fra γ, S, w,,, e, n, : Partiamo dalla definizione di γ: γ W W w w S v S v v dividendo per : S v 1 v S e S e γ G w s γ S e w 1 n γ G γ S n w s w Le due relazioni utili sono: γ S e γ 1 n S n Appunti di GEOTECNICA. ersione 1.3. A cura di GIUSEPPE DELLANA. Redatti con l ausilio di StarOffice Writer 5.2. Linux 2.2.17. Mandrake 7.2.
31 CAPITOLO 2: RELAZIONI TRA LE DIERSE FASI DI UN CAMPIONE DI TERRENO Determinazione del contenuto d acqua Dal punto di vista operativo la determinazione del contenuto d acqua w in un campione di terreno umido viene fatta attraverso delle misure successive di peso. Indichiamo con W c il peso del contenitore del terreno usato per l esperimento. Il campione di terreno umido viene sistemato nel contenitore ed il tutto viene pesato W 1 (peso umido). Successivamente il campione viene sottoposto ad essiccazione ed alla fine del processo viene nuovamente pesato W 2 (peso secco). A questo punto si può procedere con la definizione di contenuto d acqua w: w W w ma W w W 1 W 2 W 2 W c da cui si ricava che: w W 2 W 1 W 2 W c Determinazione dell indice dei vuoti L indice dei vuoti può essere calcolato adottando la definizione: e v che con opportuni passaggi può essere espressa in funzione del peso specifico delle particelle del volume totale e del peso secco: e v 1 1 1 G w 1 L indice dei vuoti caratterizza il grado di addensamento di un terreno; è un parametro di grande importanza. Possono essere determinati per via sperimentale i valori di massimo e di minimo di questo parametro. e max, e min Utilizzando questi valori viene definito un nuovo parametro che determina il grado di addensamento espresso in percentuale: DENSITÀ RELATIA D R: D R e max e e max e min Appunti di GEOTECNICA. ersione 1.3. A cura di GIUSEPPE DELLANA. Redatti con l ausilio di StarOffice Writer 5.2. Linux 2.2.17. Mandrake 7.2.
32 CAPITOLO 2: RELAZIONI TRA LE DIERSE FASI DI UN CAMPIONE DI TERRENO (Questa pagina è intenzionalmente bianca.) Appunti di GEOTECNICA. ersione 1.3. A cura di GIUSEPPE DELLANA. Redatti con l ausilio di StarOffice Writer 5.2. Linux 2.2.17. Mandrake 7.2.