LEZIONI DI SCIENZA DELLE COSTRUZIONI

Paolo Podio Guidugli LEZIONI DI SCIENZA DELLE COSTRUZIONI Parte I. Travi e travature ARACNE

Copyright MMVIII ARACNE editrice S.r.l. www.aracneeditrice.it info@aracneeditrice.it via Raffaele Garofalo, 133 A/B 00173 Roma (06) 93781065 ISBN 978 88 548 2077 7 I diritti di traduzione, di memorizzazione elettronica, di riproduzione e di adattamento anche parziale, con qualsiasi mezzo, sono riservati per tutti i Paesi. Non sono assolutamente consentite le fotocopie senza il permesso scritto dell Editore. I edizione: settembre 2008

All ingegner Adriano Guidugli, mio padre, in memoriam.

Presentazione. Queste mie Lezioni hanno radici remote, in primis nel libro di Scienza delle Costruzioni di Letterio F. Donato sul quale ho penato da studente a Pisa (dopo che, ai suoi tempi, ci aveva penato mio padre). Non sarebbero come sono se la fortuna non avesse portato a Pisa, dove ho cominciato la mia carriera accademica, Piero Villaggio e Gianpietro Del Piero: con il secondo ho condiviso l onore e l onere delle esercitazioni che accompagnavano il corso di lezioni del primo; da entrambi ho imparato molto. Ho tenuto per la prima volta io stesso un corso completo di Scienza delle Costruzioni da professore di prima nomina nell Università di Ancona, nel 1975; lì anzi, sul treno che mi ci portava da Pisa queste note hanno cominciato a prender forma; tornato dopo un paio d anni a Pisa, ne ho redatto una seconda versione. Si trattava di documenti manoscritti, distribuiti ai miei studenti al prezzo della carta sulla quale erano fotocopiati; l intenzione era di dar loro prima o poi l aspetto formale di un manuale a stampa. Trasferitomi all Università diroma TorVergata nel 1983, non ho avuto occasione di insegnare di nuovo Scienza delle Costruzioni che vent anni dopo, a valle della rivoluzione del 3+2. Malgrado fossi ormai un moschettiere non più giovane, questo fatto mi ha indotto a concepire un piano didattico ambizioso, che includesse anche la redazione di un corso di lezioni di Meccanica dei Solidi; in tutto, quattro svelti libretti, due di Meccanica e due di Scienza, coerenti per linguaggio e notazioni e privi di ripetizioni, ad uso degli studenti di ingegneria del secondo e terz anno del corso di laurea triennale. Questo è il terzo di quei libretti; gli altri seguiranno tra breve. Dei molti che in questi anni mi hanno aiutato, specie per l esecuzione delle figure ma non solo, devo ringraziare in particolare Antonino Favata, Paola Isabella Valenzi, Andrea Micheletti, Vincenzo Nicotra e Giuseppe Tomassetti. Roma, 22 settembre 2008

Indice Parte I Travi e Travature 9 1 Un Esempio di Ricapitolazione 11 1.1 Esistenza di soluzioni del problema di equilibrio.......... 12 1.2 La configurazione assunta sotto l azione del carico......... 17 1.3 Il principio di bilancio delle potenze................. 18 1.4 I principi energetici.......................... 20 Esercizi............................ 22 2 La Trave: Geometria, Cinematica, Forze e Sforzi 25 2.1 Nozione di trave............................ 25 2.1.1 Geometria........................... 25 2.1.2 Cinematica.......................... 27 2.1.3 Carichi applicati....................... 29 2.2 Azioni interne in una trave...................... 31 2.2.1 Esempi di calcolo....................... 32 2.3 Caratteristiche di sollecitazione................... 33 2.3.1 Diagrammi.......................... 36 2.3.2 Equilibrio puntuale di travi piane ad asse rettilineo.... 38 3 Travature 43 3.1 Giunzioni e sconnessioni....................... 43 Esercizi............................ 49 3.2 Simmetrie ed equilibrio........................ 52 3.2.1 Esempi............................. 58

6 INDICE 4 Equilibrio di Travi Piane ad Asse Curvilineo 63 4.1 Equilibrio puntuale.......................... 63 4.1.1 Condizioni differenziali.................... 64 4.1.2 Condizioni di salto...................... 65 Esercizio............................ 66 4.2 Equilibrio per parti: l Equazione dei Lavori Virtuali........ 67 4.2.1 In assenza di carichi concentrati............... 67 4.2.2 In presenza di carichi concentrati.............. 71 4.3 L arco a tre cerniere......................... 71 4.3.1 La forma di un arco soggetto solo a forza normale..... 73 4.3.2 La descrizione analitica di una curva piana......... 74 4.3.3 Lo sforzo normale nelle sezioni in chiave e d imposta... 75 Esercizi............................ 75 5 Deformazioni di Travi ad Asse Rettilineo 77 5.1 La soluzione elastica dei problemi di equilibrio........... 77 5.2 Deformazioni estensionali....................... 78 5.2.1 Deformazioni estensionali di origine meccanica... 78 Esercizi............................ 85 5.2.2 Deformazioni estensionali di origine termica........ 87 Esercizi............................ 90 5.2.3 Deformazioniestensionalidovuteadistorsioni... 93 5.3 Deformazioni flessionali........................ 94 5.3.1 Il modello di Bernoulli-Navier................ 94 5.3.2 L equazione della linea elastica................ 98 Esercizi............................ 101 5.3.3 Deformazioniflessionalidioriginetermica... 104 5.3.4 Deformazioni flessionali dovute a distorsioni........ 106 Esercizi............................ 107 5.4 Deformazioni torsionali........................ 109 6 Impieghi del Principio dei Lavori virtuali 113 6.1 Il Principio dei Lavori Virtuali per travature ad asse rettilineo.. 113 Esercizi............................ 118 6.2 Calcolo di spostamenti e rotazioni in travature isostatiche..... 120 6.2.1 Esempi............................. 121 Esercizio............................ 128 6.3 Digressione: Elementi della teoria lineare delle travature elastiche ad asse rettilineo........................... 128 6.3.1 Principio di Sovrapposizione................. 129 6.3.2 Energia elastica. Teorema del Lavoro e dell Energia.... 129 6.3.3 Teorema di Reciprocità.................... 130

INDICE 7 6.3.4 Teorema di Unicità...................... 131 6.4 Calcolo di incognite iperstatiche................... 131 Esercizio............................ 134 6.4.1 La scelta del sistema principale............... 134 6.4.2 Le equazioni di elasticità................... 137 6.4.3 Esempi............................. 139 6.4.4 Cedimenti anelastici...................... 143 6.4.5 Altri esempi.......................... 149 6.4.6 Sistemi reticolari....................... 153 6.5 Calcolo di spostamenti e rotazioni in travature iperstatiche.... 155 6.5.1 Esempio............................ 156 7 Instabilità dell Equilibrio Elastico 159 7.1 Il carico critico............................ 159 7.1.1 Deformabilità flessionale concentrata............ 159 7.1.2 Deformabilità flessionale diffusa............... 162 7.2 Il carico critico dal punto di vista del progettista di strutture... 165 7.3 Effetto delle condizioni di vincolo.................. 168 7.4 Cause di instabilitàdiversedaicarichi applicati.......... 171 7.4.1 Variazioni di temperatura.................. 171 7.4.2 Distorsioni........................... 171 7.5 Effetto delle imperfezioni....................... 172 7.5.1 Imperfezioni geometriche................... 173 7.5.2 Imperfezioni di carico..................... 175 7.6 Travature con porzioni rigide..................... 177 Esercizi............................ 178

Parte I Travi e Travature Questa prima parte del nostro corso di lezioni ha per oggetto la teoria lineare delle travature elastiche. Nel svilupparla, avremo cura di sottolineare come la struttura concettuale di questa teoria sia la stessa della teoria delle travature consistenti di travi rigide ed elementi elastici, che è stata presentata nel corso di Meccanica dei Solidi. Vi saranno, come è naturale quando si costruisce una teoria di generalità maggiore di un altra, delle inevitabili complicazioni tecniche, la principale delle quali sarà l impiego del calcolo differenziale in luogo o a complemento dei semplici sviluppi algebrici che bastano per trattare le travature a deformabilità concentrata; serviranno anche conoscenze di base relative alla rappresentazione analitica di curve, piane e non, all integrazione e differenziazione su curve e alla risoluzione di problemi al contorno retti da equazioni differenziali ordinarie.

Capitolo 1 Un Esempio di Ricapitolazione 1 Cominciamo il nostro percorso ricapitolando per mezzo di un esempio alcuni caposaldi della teoria delle travature rigide con elementi elastici a risposta lineare. Si consideri la travatura piana in Fig. 1.1, che consiste di tre travi rigide Figura 1.1 connesse tra loro da due cerniere; nella configurazione antecedente all applicazione del carico, gli assi delle travi CB e BF formano un angolo di 90 o e la molla rotazionale, di rigidezza λ, interposta tra le sezioni estreme delle due travi è scarica, così come lo è la molla estensionale, di rigidezza κ, posta in corrispondenza del vincolo esterno in A. Le domande cui risponde la teoria delle travi con capacità deformative diffuse sono le stesse che si pongono quando si considera il modello più semplice di travatura costituita da una catena cinematica di membrature rigide con elementi

12 Un Esempio di Ricapitolazione elastici. Poniamoci di nuovo quelle domande in modo ordinato, utilizzando questo esempio semplice di travatura a deformabilità concentrata per richiamare tipi di problemi, principi e metodi di risoluzione che ritroveremo più avanti in un contesto più generale. 1.1 Esistenza di soluzioni del problema di equilibrio Il primo quesito che ci poniamo è: Q1. Quando la travatura è assoggettata al carico indicato in figura, c è una configurazione di equilibrio prossima a quella assegnata? Per rispondere, occorre analizzare il funzionamento dei vincoli e delle connessioni interne tra gli elementi che compongono la travatura (Fig. 1.2). Si trova che la Figura 1.2 lista di incognite statiche che descrivono il sistema di forze e coppie (esterne e interne, attive e reattive) agente sulla travatura consiste di 5 parametri scalari: a, b, c, d, em; e che la lista delle 5 equazioni scalari a disposizione consiste di: 2 equazioni che esprimono l annullarsi del risultante del sistema; 1 equazione che esprime l annullarsi del momento risultante del sistema; 2 equazioni di sconnessione, indotte dalla presenza delle cerniere in F e B. Se la matrice 5 5 che esprime l equilibrio della travatura risulterà dirango massimo, un applicazione del teorema di Rouché-Capelli ci permetterà dicon- cludere che il problema di equilibrio che abbiamo posto possiede una soluzione soltanto. Ora, di ogni sistema algebrico di equazioni lineari si possono dare infinite versioni equivalenti per contenuto di informazioni sulle incognite, alcune delle quali possono consentirne un calcolo spedito. Spesso versioni astute di