SISTEMI DI EQUAZIONI LINEARI

Capitolo 3 SISTEMI DI EQUAZIONI LINEARI 1 Generalità e algoritmo di Gauss Nel capitolo precedente abbiamo visto come per risolvere problemi legati allo studio degli spazi vettoriali lo strumento tecnico fondamentale sia la risoluzione di sistemi di equazioni lineari In questo capitolo ci occuperemo di studiare come si risolve un sistema lineare Nel presente paragrafo introdurremo alcune definizioni e descriveremo un algoritmo che permette di risolvere tali sistemi, noto come algoritmo di Gauss Definizione 1 Un sistema di m equazioni lineari in n indeterminate (o incognite),,,x n, a valori in un campo K [abbreviato SL oppure SL(m, n, K)] è un insieme di m equazioni del tipo: a 11 + a 12 + + a 1n x n = b 1 a 21 + a 22 + + a 2n x n = b 2 a m1 + a m2 + + a mn x n = b m o (in forma abbreviata): { n a ij x j = b i [i,,m], j dove gli elementi a ij,b i K sono detti rispettivamente coefficienti e termini noti delle equazioni del SL Si chiama soluzione di tale SL ogni n-pla z =(z 1,z 2,,z n ) K n tale che: { n a ij z j = b i [i,,m] j [cioè che trasformi le m equazioni del sistema in m uguaglianze in K] Un SL privo di soluzioni è detto incompatibile; altrimenti è detto compatibile o risolubile Un SL(m, n, K) è detto omogeneo [abbreviato SLO(m, n, K)] se i suoi termini noti sono tutti nulli Ovviamente un SLO è sempre compatibile: infatti ammette come soluzione la n-pla nulla 0 =(0, 0,,0), detta soluzione banale Le altre sue (eventuali) soluzioni sono dette autosoluzioni Infine, assegnato un SL(m, n, K), sostituendo i termini noti con 0, si ottiene un SLO(m, n, K), detto sistema lineare omogeneo associato al SL dato Osservazione 1 Con il prodotto righe per colonne è possibile ottenere una scrittura matriciale dei sistemi di equazioni lineari Assegnato infatti il SL(m, n, K): { n a ij x j = b i [i,,m], j indichiamo con X la colonna x n delle indeterminate, con b = b 1 b m M m,1 (K) la colonna dei termini noti e con A =(a ij ) M m,n (K) la matrice dei coefficienti del SL Eseguendo il prodotto righe per colonne delle matrici A ed X, si ha: a 11 + + a 1n x n b 1 a 21 + + a 2n x n AX = = b 2 = b a m1 + + a mn x n b m Pertanto il SL assegnato può essere scritto nella forma: AX = b

66 G CAMPANELLA APPUNTI DI ALGEBRA PER INFORMATICA La matrice ( A b ) M m,n+1 (K) è detta matrice completa (o matrice orlata) del SL AX = b e lo individua completamente Esiste un ovvia corrispondenza biunivoca tra M m,n+1 (K) e l insieme dei SL(m, n, K) Quanto alle incognite, è chiaro che il loro nome è arbitrario e può essere modificato; quel che conta è il numero delle incognite ed il loro ordine È evidente che le eventuali soluzioni z = ( ) n z 1,, z n K del SL(m, n, K) AX = b corrispondono biunivocamente alle matrici colonna z = M n,1 z 1 (K) tali che Az = b [Per tale motivo z n è opportuno identificare z con z, cioè identificare K n con M n,1 (K)] Si osservi infine che ogni soluzione z = ( ) z 1,, z n del SL AX = b esprime la colonna b come combinazione lineare delle colonne di A Infatti risulta: b = Az = ( z 1 ) A (1) A (n) = n A (i) z i i z n Due esempi (1) È assegnato il SL(1, 3,R) { Tale sistema ha tre incognite (di cui è ragionevolmente la prima) In forma matriciale si scrive (1 ) =(1) Tale SL è compatibile e le sue soluzioni sono le terne (1, b,c) R 3, b, c R ( ) 1 0 1 (2) È assegnato un SL con matrice completa Si tratta del SL(2, 2, R) 1 0 2 { ( )( ) ( ) x1 1 0 x1 1 [ovvero, scritto in in forma matriciale, = ] =2, 1 0 2 Tale sistema è manifestamente incompatibile (in quanto implica 1 = 2) { x1 =0 Il SLO(2, 2, R) ad esso associato è Le soluzioni di tale SLO formano il sottoinsieme Σ 0 = {(0,t), t R} di R 2 Si tratta del sottospazio vettoriale (0, 1) di R 2 Che l insieme delle soluzioni di tale SLO sia uno spazio vettoriale non è un fatto casuale, come ora vedremo x 3 Proposizione 1 Sia AX = 0 un SLO(m, n, K) L insieme Σ 0 delle sue soluzioni è un sottospazio vettoriale di K n Dim Basta verificare che, y,z Σ 0 e a, b K, risulta ay+ bz Σ 0, ovvero [indicate con y e z le colonne corrispondenti a y, z] A (a y + b z) = 0 Infatti si ha (utilizzando le proprietà di Prop 1 di Cap 22): A(ay + bz) =A(a y)+a(b z) =a(a y)+b(az) =a 0 + b 0 = 0 Sia AX = b un SL compatibile e non omogeneo In tal caso l insieme Σ delle sue soluzioni non può mai essere un sottospazio vettoriale di K n [infatti 0 Σ] Tuttavia, come ora vedremo, Σ è in corrispondenza biunivoca con il sottospazio vettoriale Σ 0 delle soluzioni del suo SLO associato Proposizione 2 Sia AX = b un SL(m, n, K) compatibile e sia z 0 una sua soluzione Denotato con Σ l insieme delle sue soluzioni e con Σ 0 il sottospazio vettoriale delle soluzioni del SLO associato AX = 0, risulta: [ Σ=z 0 +Σ 0 = {z0 + y, y Σ 0 } ] Ne segue che Σ e Σ 0 sono in corrispondenza biunivoca Dim ( ) Sia z Σ [cioè Az = b] Poiché, per ipotesi, Az 0 = b, allora: A ( ) z z 0 = Az Az0 = b b = 0

CAP 31 GENERALITà E ALGORITMO DI GAUSS 67 e dunque z z 0 Σ 0 Pertanto z = z 0 +(z z 0 ) z 0 +Σ 0 ( ) Verifichiamo che, y Σ 0, z 0 + y Σ Infatti: A ( z 0 + y ) = Az 0 + Ay = b + 0 = b L ultima affermazione è ovvia: l applicazione y z 0 + y stabilisce una biiezione da Σ 0 a Σ La precedente proposizione suggerisce come ottenere tutte le soluzioni di un SL compatibile non omogeneo Una volta ottenutane una soluzione, per ottenere le altre basta risolvere il SLO associato e sommarne le soluzioni a quella del SL già ottenuta Poiché Σ non è uno spazio vettoriale, non ha diritto ad una dimensione; tuttavia possiamo in qualche modo attribuirgli la dimensione di Σ 0 Precisamente, se dim(σ 0 )=t, diremo che il SL AX = b (se compatibile) ha t soluzioni Questa terminologia proviene dal fatto che, come vedremo, le soluzioni dipendono da t parametri in K Poiché K è tradizionalmente il campo R, che ha cardinalità infinita, i t parametri variano ciascuno in infiniti modi e le soluzioni sono quindi t Si noti infine che, se Σ 0 = {0}, la terminologia introdotta ci dice che il SL (se compatibile) ha 0 soluzioni; poiché in questo caso il SL ha una sola soluzione, conveniamo di porre: 0 Vogliamo ora risolvere un SL, cioè determinarne le soluzioni Cominciamo dai SL più semplici: i sistemi di equazioni lineari ascala (o a gradini) Premettiamo una definizione Definizione 2 Siano AX = b e A X = b due SL aventi lo stesso numero di incognite Diciamo che tali SL sono equivalenti se hanno le stesse soluzioni (cioè se Σ=Σ ) Definizione 3 condizioni: Un SL(m, n, K) AX = b è detto a scala (o a gradini) se verifica le seguenti tre m n, a ij =0 se i>j, a ii 0, i, m La matrice di un SL a scala è dunque del tipo a 11 0 a 22 A =, con a 11 a 22 a mm 0 0 a mm Risolvere un SL a scala è piuttosto semplice e intuitivo Si comincia dall ultima equazione, cioè a mm x m + + a mn x n = b m Se n = m, si ottiene x n = b n a nn e si sostituisce tale valore nella penultima equazione, ottenendo così un unica espressione per x n 1 Sostituendo ciascuno dei valori via via trovati nell equazione precedente, si perviene ad un unica soluzione del sistema Se invece n>m, si attribuiscono alle incognite x m+1,, x n valori parametrici arbitrari (in K), ad esempio t 1,, t n m e si ottiene un valore per x m Si procede poi come nel caso precedente e si otterrà un unica soluzione del SL, dipendente da n m parametri indipendenti, cioè n m soluzioni Con la convenzione fatta sopra (cioè 0 = 1) abbiamo quindi ottenuto il seguente risultato Proposizione 3 Ogni SL(m, n, K) a scala è compatibile ed ha n m soluzioni Ad esempio vogliamo risolvere il SL(3,, R) a scala + + x 2 + x 3 =2 x 3 x

68 G CAMPANELLA APPUNTI DI ALGEBRA PER INFORMATICA Poniamo x = t Risolvendo l ultima equazione, x 3 = t Sostituendo i valori di x 3 (e x ) nella seconda equazione si ottiene t 2 Sostituendo i valori di,x 3 e x nella prima equazione, si ottiene = t 2 Pertanto il SL assegnato ha le 1 soluzioni ( t 2, 1 t 2,t,t), t R Utilizzando la Prop 2, possiamo ottenere subito le soluzioni del SLO associato Infatti, una soluzione del SL dato è z 0 =(0, 1, 0, 0) (ottenuta ponendo t = 0) Pertanto Σ 0 =Σ z 0 = {( t 2, t 2,t,t), t R } = ( 1 2, 1 2, 1, 1) = (1, 1, 2, 2 ) Veniamo ora all algoritmo di Gauss (o di Gauss-Jordan) per la risoluzione di un sistema di equazioni lineari Tale procedimento consiste nel trasformare (se possibile) un assegnato SL(m, n, K) AX = b in un SL a gradini ad esso equivalente [che verrà poi risolto come visto sopra] Per trasformare il SL si fa ricorso a tre tipi di operazioni sulle equazioni del SL, dette operazioni elementari (sulle equazioni), ecioè: I operazione elementare: scambiare di posizione due equazioni del SL; II operazione elementare: sostituire un equazione con un multiplo non nullo della stessa equazione; III operazione elementare: sostituire un equazione con la stessa equazione sommata ad un multiplo di un altra Tali operazioni [che del resto abbiamo già eseguito nella risoluzione empirica dei SL incontrati nel capitolo precedente] evidentemente non cambiano le soluzioni del sistema, e dunque trasformano il SL in un altro ad esso equivalente Se al sistema assegnato AX = b si sostituisce la sua matrice completa M = ( A b ), le tre operazioni elementari (sulle equazioni) si trasformano nelle corrispondenti operazioni elementari di riga, che indicheremo schematicamente come segue: I[M (i) M (j) ]; II[M (i) cm (i) ], con c 0; III[M (i) M (i) + cm (j) ], con i j e c K Ad esempio, l operazione III sopra considerata sostituisce alla riga M (i) la riga M (i) +cm (j) [ovvero sostituisce alla i esima equazione la somma della i esima con la j esima moltiplicata per c] Per abbreviare le notazioni, converremo di denotare tale operazione con III[(i a ) (i a )+c(j a )] ed usare analoghe notazioni per le altre due operazioni Oltre alle tre operazioni elementari di riga, nell algoritmo di Gauss può talvolta essere necessario eseguire uno acambio di colonne della matrice A Ciò evidentemente corrisponde ad uno scambio delle variabili del SL In tal caso sarà poi necessario, al termine dell algoritmo, procedere allo scambio di variabili opposto Descriviamo ora l algoritmo di Gauss, suddividendolo in blocchi di quattro passi, da ripetere un numero finito di volte Consideriamo un SL(m, n, K) AX = b, con matrice completa M = ( A b ) 1 passo Si elimina ogni eventuale riga nulla di M [corrispondente all equazione banale 0 = 0] 2 passo Si fa in modo che risulti M (1) 0 (cioè A (1) 0) Ciò può essere ottenuto scambiando ad esempio la colonna nulla A (1) con una successiva colonna A (i) non nulla [ed è meglio scegliere l ultima colonna non nulla di A, per evitare di dover ripetere tale operazione] 3 passo Si fa in modo che risulti a 11 = 1 A tale scopo, se a 11 = 0 e ad esempio a i1 0, si esegue l operazione I[M (1) M (i) ] e si ottiene quindi una nuova matrice con a 11 0; successivamente, se a 11 1, si esegue l operazione II[M (1) 1 a M (1)] e si ottiene a 11 11 passo Si fa in modo che risulti: a 21 = a 31 = = a m1 = 0 A tale scopo, basta eseguire (per i =2,,m) le operazioni III[M (i) M (i) a i1 M (1) ] A questo punto la matrice completa M del SL assegnato si è trasformata in una matrice del tipo

CAP 31 GENERALITà E ALGORITMO DI GAUSS 69 [ma si noti che in tale matrice gli elementi a 12, della seconda e delle successive colonne non sono ovviamente gli stessi della matrice A; abbiamo mantenuto le stesse lettere soltanto per semplificare le notazioni]: 1 a 12 0 a 22 0, 0 a m 2 con m m (e m <m a seguito di cancellazione di righe nulle) Si ripete ora il blocco dei quattro passi sopra descritto, a partire dall elemento che si trova sulla seconda riga e seconda colonna di tale matrice Si eliminano quindi eventuali righe nulle e si fa in modo (operando relativamente alla seconda colonna) che la matrice completa del SL diventi del tipo: 1 a 12 0 1 a 33 a m 3 (con m m ) Si ripete quindi il blocco dei quattro passi a partire dalla terza riga e terza colonna, dalla quarta e così via Se nel corso del procedimento si ottiene una riga della forma ( 000 b ), con b 0, il SL è incompatibile [ed il procedimento di Gauss ovviamente si interrompe] In caso contrario il SL si riduce ad un SL a scala, come richiesto Si osservi infine che, se nel procedimento sono stati necessari scambi di variabili, sarà necessario ripristinare le variabili iniziali, procedendo agli scambi opposti Illustreremo l algoritmo con un paio di esempi Esempio 1 Risolviamo il seguente SL(,,R): +2 +3x 3 +x x 3 +x =0 +2 +2x x 3 + x La matrice completa del SL è 1 2 3 1 1 0 1 2 0 2 1 1 1 0 Per completare il primo blocco dell algoritmo è sufficiente procedere con III[(3 a ) (3 a ) (1 a )] ottiene: 1 2 3 1 1 0 3 2 0 1 1 0 Iniziamo il secondo blocco dell algoritmo Poiché la seconda colonna è nulla [a partire dall elemento di posto (2, 2)], si procede (ad esempio) allo scambio di variabili x Si pone quindi: y 1 =,y 2 = x,y 3 = x 3,y = e si ottiene un SL avente matrice completa: 0 1 0 2 3 0 1 1 Con II[(2 a ) 1 (2a )] si ottiene: 0 1 1 0 2 3 0 1 1 Si

70 G CAMPANELLA APPUNTI DI ALGEBRA PER INFORMATICA Poi, con III[(3 a ) (3 a ) + 2(2 a )] e con III[( a ) ( a ) (2 a )] si ottiene: 0 1 1 7 2 5 Iniziamo ora il terzo blocco dell algoritmo Con II[(3 a ) 2 7 (3a )] si ottiene: 0 1 1 1 5 Infine, con III[( a ) ( a ) 5 (3a )], si ottiene: 0 1 1 1 0 Veniamo ora al quarto ed ultimo blocco dell algoritmo: basta eliminare la quarta riga (che è nulla) ed otteniamo una matrice a gradini Si è così ottenuto il SL(3,, R): y 1 +y 2 +3y 3 +2y y 2 1 y 3 =0 y 3 Posto y = t, si ha: y 3 =0,y 2 =0,y 1 2t Ripristiniamo le variabili di partenza: = y 1 2t, = y = t, x 3 = y 3 =0, x = y 2 Pertanto l insieme Σ delle soluzioni del SL assegnato è: Σ= {( 1 2t, t, 0, 0 ), t R } Esempio 2 Risolviamo il seguente SL(3,,R) ed il corrispondente SLO associato: +2 +3x + + x 3 2x =2 3 + x 3 + x =2 La matrice completa del SL è M = 1 2 0 3 1 1 1 1 2 2 0 3 1 1 2 Per completare il primo blocco dell algoritmo è sufficiente eseguire III[(2 a ) (2 a )+(1 a )] 1 2 0 3 1 0 3 1 1 3 0 3 1 1 2 Eseguiamo il secondo blocco Con II[(2 a ) 1 3 (2a )] otteniamo 1 2 0 3 1 1 1 0 1 3 3 1 0 3 1 1 2 Si ottiene e con III[(3 a ) (3 a ) 3(2 a )] otteniamo 1 2 0 3 1 1 1 0 1 3 3 1 1 Esaminando ora l ultima riga concludiamo che il SL è incompatibile Consideriamo ora il SLO(3,,R) asssociato La sua matrice è A = 1 2 0 3 1 1 1 2 0 3 1 1

CAP 31 GENERALITà E ALGORITMO DI GAUSS 71 [si osservi che è inutile considerare la matrice completa del SLO, in quanto la colonna dei termini noti è nulla e non viene alterata nel corso dell algoritmo] Ripetiamo i passi dell algoritmo appena eseguito Con III[(2 a ) (2 a )+(1 a )] otteniamo 1 2 0 3 0 3 1 1 0 3 1 1 Con II[(2 a ) 1 3 (2a )] otteniamo 1 2 0 3 1 1 0 1 3 3 0 3 1 1 e con III[(3 a ) (3 a ) 3(2 a )] otteniamo 1 2 0 3 1 1 0 1 3 3 Eliminiamo la terza riga (nulla) ed otteniamo il SLO(2,, R) a scala { x1 +2 +3x =0 + 1 3 x 3 + 1 3 x Poniamo x 3 = t, x = s ed otteniamo = 1 3 (t + s), = 2 3 t 7 3 s Ne segue che l insieme delle soluzioni di tale SLO è Σ 0 = {( 2 3 t 7 3 s, 1 3 (t + s), t,s), t, s R } ovvero Σ 0 = ( 2 3, 1 3, 1, 0), ( 7 3, 1 3, 0, 1) Risolvere un SL con l algoritmo di Gauss può essere molto vantaggioso se si è dotati della velocità di un computer o se si dispone di molta pazienza (e molta carta!) Quando poi il SL non ha coefficienti tutti numerici, ma alcuni di essi dipendono da parametri, l algoritmo di Gauss si complica notevolmente, in quanto si deve tener conto del possibile annullamento delle espressioni dipendenti da parametri, che vengono via via a determinarsi tramite le operazioni fondamentali di riga Per questo è utile saper risolvere un SL anche con mezzi più teorici, cioè utilizzando i classici teoremi di Cramer e di Rouché-Capelli Quest ultimo teorema poi è centrale nell Algebra Lineare, in quanto ci permette di rappresentare, usando sistemi di equazioni lineari, i sottospazi di uno spazio vettoriale Gli strumenti tecnici che ci serviranno per descrivere tali risultati e pervenire quindi ad un altro metodo per la risoluzione di un SL sono due: il determinante di una matrice quadrata ed il rango di una matrice Di essi ci occuperemo nei due paragrafi successivi ESERCIZI PROPOSTI 311 Risolvere con l algoritmo di Gauss il seguente SL(3, 5,R) x 3 +2x 5 =2 x x 5 =3 2 + x 3 Dedurne una base del sottospazio vettoriale Σ 0 delle soluzioni del SLO associato 312 Al variare del parametro a R, risolvere il seguente SLO(2, 2,R) { 2x +(a +2)y =0 (a +1)x +(a 2 +2)y 313 Al variare del parametro a R, risolvere il seguente SLO(3, 2,R)

72 G CAMPANELLA APPUNTI DI ALGEBRA PER INFORMATICA x + ay =0 2x +2y =0 ax 31 Al variare dei parametri non nulli a, b R, risolvere il seguente SLO(3, 3,R) ay+ bz =0 ax+ z =0 bx y 315 Risolvere con l algoritmo di Gauss il seguente SL(2, 2,Z 5 ) { 3 x + y = 1 x y = 0