STATISTICA APPLICATA Prof.ssa Julia Mortera Concentrazione Questo materiale non sufficiente per la conoscenza/preparazione dell argomento per il quale si rimanda al testo: Cicchitelli (2012) Statistica: Principi e Metodi (Cap. 5)
Obiettivi della concentrazione Nello studio della distribuzione della ricchezza, è di fondamentale importanza l aspetto della concentrazione. Intuitivamente, la concentrazione è elevata quando poche unità della popolazione possiedono gran parte della ricchezza. La concentrazione è minima (equidistribuzione) quando tutte le unità hanno la stessa ricchezza. Nella realtà ci troviamo sempre in situazioni intermedie e vogliamo misurare il grado di concentrazione del carattere (in genere il reddito) nella nostra popolazione. L importanza di un analisi della concentrazione si ha soprattutto nello studio della povertà e quindi continua a caratterizzarsi per la sua attualità visto che sembra allargarsi il divario tra i molto ricchi e i poveri. L analisi della concentrazione è importante anche in studi di tipo demografico. Ad esempio, si vuole analizzare la distribuzione degli
italiani negli oltre 8000 comuni della nazione. In questo modo si può determinare il grado di concentrazione della popolazione nelle grandi città (ovvero studiare il livello di urbanizzazione spesso legato al tipo di attività lavorativa svolta dalle persone). Le misure di concentrazioni si applicano a caratteri trasferibili. Un carattere si dice trasferibile se è possibile che una unità possa cedere parte del suo carattere ad un altra unità. Esempi di caratteri trasferibili sono: reddito, fatturato, dimensione aziendale.
Analisi Statistica della Concentrazione In generale abbiamo che un carattere è tanto più concentrato quanto maggiore è la frazione dell ammontare complessivo del carattere che spetta alla frazione di unità più ricche. Ci aspettiamo che un indice che misura la concentrazione sia nullo quando il carattere è equidistribuito tra tutte le unità ; sia massimo quando una sola unità detiene tutto l ammontare del carattere Data una distribuzione statistica disaggregata (ad esempio il reddito di 100 famiglie) y 1, y 2,, y n
le cui modalità sono ordinate (ad esempio dalla più povera alla più ricca) y 1 y 2 y n. Indichiamo con A n = n j=1 y j l ammontare complessivo (il reddito complessivo delle 100 famiglie) e consideriamo l ammontare effettivo A i posseduto dalle i unità più povere, ovvero dalle prime i unità statistiche, A i = i j=1 y j (ricordate che le unità sono ordinate dalla più povera alla più ricca). Notare inoltre che l ammontare complessivo è A n = n j=1 y j = nµ, dove µ è la media aritmetica.
Si definisce l ammontare relativo del carattere posseduto dalle i unità più povere: Naturalmente Q n =1. Q i = A i A n, i = 1, 2,, n. Indichiamo con P i = i n la frazione, sul totale delle unità, delle i unità più povere. Notare che P n = 1. Caso di equidistribuzione Nel caso di equidistribuzione si ha
che y 1 = y 2 = = y n = µ e Q i = A i A n = y 1 + y i y 1 + y n = iµ nµ = i n = P i, cioè Q i = P i, i = 1,, n. Caso di massima concentrazione Si ha massima concentrazione quando l n-esima unità del collettivo possiede tutto l ammontare del carattere e tutte le altre n 1 unità non possiedono nulla. In altri termini, y 1 = y 2 = = y n 1 = 0 e A i = 0 per i = 1,, n 1 mentre y n = A n, e cioè e Q i = A i A n = 0 per i = 1,, n 1 Q n = A n A n = 1.
Esempio: si hanno 100 soggetti e lammontare complessivo del reddito mensile è 50000. Se c è equidistribuzione ogni soggetto ha reddito pari a 500 mentre nel caso di massima concentrazione un solo soggetto ha reddito pari a 50.000 e gli altri soggetti non hanno reddito.
Ricapitolando, fino ad ora abbiamo trovato che P i = Q i per i = 1,, n se c è equidistribuzione; P n = Q n sempre In tutti gli altri casi, cioè in assenza di equidistribuzione e quando i n, si ha Q i < P i. Dimostrazione: i A i j=1 = y j = µ i i i è la media dei primi i termini della distribuzione. In altre parole µ i è l ammontare medio di carattere posseduto dalle i unità più povere.
Mentre n A n n = j=1 y j = µ n è la media aritmetica della distribuzione e cioè l ammontare medio di carattere. Poichè in assenza di equidistribuzione µ i < µ n si ha che Q i < P i.
Misurazione della concentrazione: il rapporto di concentrazione di Gini Dal momento che Q i = P i, i = 1, n, solo se c è equidistribuzione e che altrimenti Q i < P i, i = 1,, n 1, possiamo pensare di misurare la concentrazione confrontando P i e Q i calcolando le differenze P i Q i. Ovviamente il confronto ha senso per ogni i tranne i = n perchè abbiamo visto che Q n = P n = 1 e quindi P n Q n = 0. Per avere un indice sintetico di concentrazione si usa il rapporto di concentrazione di Gini che si ottiene come rapporto tra n 1 i=1 (P i Q i ) e il suo massimo n 1 i=1 P i corrispondente alla massima concentrazione G = n 1 i=1 (P i Q i ) n 1 i=1 P = 1 i n 1 i=1 Q i n 1 i=1 P i
L indice di Gini cresce al crescere del livello di concentrazione ed è sempre compreso tra 0 (nel caso di equidistribuzione) e 1 (nel caso di massima concentrazione). Poichè n 1 i=1 P i = n 1 i=1 i n = 1 n 1 n i=1 i = 1 n(n 1) n 2 e si ha che n 1 i=1 P i = n 1 2 e quindi possiamo scrivere l indice G come: G = 2 n 1 (P i Q i ). n 1 i=1
ESEMPIO unità Reddito 1 250 2 650 3 3000 4 750 5 350 Innanzitutto i dati vanno ordinati dall unità più povera all unità più ricca:
unità Reddito 1 250 2 350 3 650 4 750 5 3000 Per il calcolo del rapporto di concentrazione dobbiamo calcolare le P i e Q i come segue
unità Reddito f(i) P(i) A(i) Q(i) P(i)-Q(i) 0 0 0 1 250 0.2 0.2 250 0.05 0.15 2 350 0.2 0.4 600 0.12 0.28 3 650 0.2 0.6 1250 0.25 0.35 4 750 0.2 0.8 2000 0.4 0.4 5 3000 0.2 1 5000 1 0 Somma 5000 1.18 Otteniamo che il rapporto di concentrazione G = 2 n 1 n 1 i=1 (P i Q i ) = 2 5 11.18 = 0.59 indicazione di concentrazione del reddito.
Misurazione della concentrazione: Curva di Lorenz Un altro strumento che permette di valutare il grado di concentrazione è la curva di Lorenz. Si tratta di un grafico ottenuto unendo con dei segmenti i punti di coordinate (P i, Q i ) per i = 1,, n. A tal fine consideriamo il piano cartesiano e poniamo: - P i sull asse delle ascisse - Q i sull asse delle ordinate. Abbiamo visto che P i > Q i, 0 P i 1, 0 Q i 1 e inoltre il punto di coordinate (P 0, Q 0 ) = (0, 0) e (P n, Q n ) = (1, 1) si ottiene quindi una curva di Lorenz come segue:
Maggiore è l area tra la curva di Lorenz e la bisettrice, maggiore è la concentrazione.
Esempio Per l esempio precedente sul reddito le coordinate dei punti (P i, Q i ) per la costruzione della curva di Lorenz sono: P(i) Q(i) 0 0 0.2 0.05 0.4 0.12 0.6 0.25 0.8 0.4 1 1 e otteniamo la seguente curva:
Q Curva di Lorenz 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 P Si ha che, quanto più la curva di Lorenz è lontana dal segmento di equidistribuzione, tanto più forte è la concentrazione. Quindi possiamo prendere come misura assoluta della concentrazione l area compresa tra il segmento di equidistribuzione e la curva di
Lorenz. Come linea guida abbiamo che: Quanto minore è l area tra il segmento di equidistribuzione e la curva di Lorenz, tanto minore è la concentrazione; Quanto maggiore è l area tra il segmento di equidistribuzione e la curva di Lorenz, tanto maggiore è la concentrazione.
Rapporto di Concentrazione Dal grafico della curva di Lorenz si può ricavare una ulteriore misura di concentrazione, denominata area di concentrazione, strettamente legata al rapporto di concentrazione di Gini. Questa è data dall area S compresa tra la curva di concentrazione e la retta di equidistribuzione. Sia max(s) l area massima, ossia l area racchiusa tra il segmento di equidistribuzione e la curva di massima concentrazione, max(s) = n 1 2n, l indice relativo di concentrazione R è definito come R = S max S. Si dimostra che l area di concentrazione può essere espressa come: S = 1 2 1 n 1 (P i+1 P i )(Q i+1 + Q i ). 2 i=1
Ossia S = 1 2 (1 n 1 i=1 (P i+1 P i )(Q i+1 + Q i )). L equazione rappresenta l area del triangolo sotto la retta di equidistribuzione meno la somma delle aree dei trapezi sottostanti la curva di Lorenz. Abbiamo quindi trovato che il rapporto di concentrazione è dato da: R = n n 1 n 1 (1 (P i+1 P i )(Q i+1 + Q i )) i=1 e per n molto grande è approssimativamente n 1 R = (1 (P i+1 P i )(Q i+1 + Q i )). i=1 Notare che se R = 0 c è equidistribuzione; mentre se R = 1 c è massima concentrazione.
Inoltre, tra i due indici R e G sussiste la relazione di proporzionalità R = n 1 n G.
Misure di concentrazione nel caso di distribuzioni di frequenze Nel caso di distribuzioni di frequenze si definiscono l ammontare del carattere posseduto dalle i unità più povere come A i = i y j n j j=1 e l ammontare totale è A i = k j=1 y jn j = nµ. Inoltre, P i = F i è dato dalla frequenza relativa cumulata e utilizzando queste definizioni si calcolano gli indici di concentrazione R e G. Esempio 2 Di seguito trovate i dati sul reddito di 70 famiglie. y i è il valore centrale delle classi di reddito (in migliaia di Euro); n i sono le frequenze assolute, a i = x i n i ; f i = n i /n sono le frequenze relative; P i = F i sono le frequenze cumulate; A i = i j=1 y jn j etc.
(P(i)-P(i-1))* y(i) n(i) a(i) f(i) P(i) A(i) Q(i) P(i)-P(i-1) Q(i-1)+Q(i) (Q(i-1)+Q(i)) 0 0 0 2.50 6 15 0.09 0.09 15 0.01 0.09 0.01 0.00 4.00 12 48 0.17 0.26 63 0.06 0.17 0.07 0.01 10.00 11 110 0.16 0.41 173 0.16 0.16 0.22 0.03 15.63 32 500 0.46 0.87 673 0.63 0.46 0.79 0.36 44.44 9 400 0.13 1 1073 1 0.13 1.63 0.21 Somma 70 1073 1 0.62 Il rapporto di concentrazione R = 0.62 indicazione di una concentrazione del reddito abbastanza forte.