Quesi appuni raano del problema ondamenale del moo in una dimensione, radizionalmene il primo capiolo di un corso di Fisica; sono sai pensai e preparai allo scopo di abiuare all uso di srumeni maemaici aanzai come deriae e inegrali, essenziali per una correa ormulazione e comprensione delle leggi Fisiche. In paricolare i emi raai in quesi appuni si aiancano al capiolo del libro di eso, e sosiuiscono compleamene il paragrao.5; i sono anche alcuni problemi di approondimeno. Vi si roa inolre una applicazione a un problema classico di dinamica delle popolazioni Cinemaica: moo in una dimensione I pare 1) Legge oraria Si ha un moo in una dimensione quando il moimeno di un corpo (un oggeo, una paricella, comunque schemaizzabili come puni maeriali) aiene su una linea rea, o in generale se il moimeno è comunque incolao a seguire un percorso issao, anche curilineo. Assegnao un sisema di coordinae, normalmene caresiane, e un unià di misura, il moo del corpo è compleamene speciicao dalla sua posizione spaziale in unzione del empo (), dea anche legge oraria, cioè una unzione che assegna un alore alla coordinaa per ogni empo ; essa può essere alidamene rappresenaa graicamene su un piano caresiano -, come mosrao in quesi esempi: a) b) c) T a) la posizione aria all aumenare del empo, aumenando in modo abbasanza regolare; b) aria col empo in modo non semplice; c) aria in modo periodico: gli sessi alori della coordinaa () si ripeono dopo un inerallo di empo cosane deo periodo T. La ariazione della posizione del corpo durane un inerallo di empo inio i è dea sposameno, e iene scria come: i doe i ( i ) è la posizione al empo iniziale i, menre ( ) è la posizione al empo successio (inale). i i
Useremo sempre il simbolo per indicare un inerallo o dierenza inia ra due quanià. Un inerallo porà in generale essere posiio, negaio o nullo, secondo i casi, e può essere rappresenao graicamene come nel disegno. Lo sposameno non è in generale ideniicabile con lo spazio percorso, o con la disanza percorsa dal corpo, in assenza di alre inormazioni su come il corpo sia passao dalla posizione iniziale a quella inale. Ad esempio, se consideriamo un moo periodico, lo sposameno ra due posizioni corrispondeni ad un periodo emporale T è zero (si riorna alla sessa coordinaa ), ma oiamene non lo è disanza percorsa. ) Velocià isananea Un imporane quanià che caraerizza il moo è la elocià ; una prima idea elemenare può essere ricaaa dalla osserazione dello sposameno eeuao dal corpo durane l inerallo di empo, deinendo la elocià media come: i i cioè semplicemene il rapporo ra lo sposameno e il empo. In realà il signiicao inuiio di elocià è molo meglio espresso dal conceo di elocià isananea (); inai un corpo può andare più o meno eloce in diersi isani di empo e a noi ineressa poer descriere i deagli ini del suo moo. La elocià isananea di un corpo all isane scelo, che sarà quindi in generale una unzione del empo, è deinia e calcolabile operaiamene parendo dalla ormula precedene, considerando il piccolo sposameno eeuao dal corpo durane un inerallo di empo piccolo a piacere, preso a parire dall isane considerao (e queso è anche il modo di unzionare di moli srumeni per misurare la elocià); è essenziale che - sia preso piccolo per quano possibile proprio per seguire passo passo e con precisione il moo del corpo (edi la Osserazione 1). Maemaicamene, possiamo pensare di prendere endene a zero, cioè ininiesimo, e quindi il discorso precedene risula essere nien alro che l usuale deinizione di deriaa di una unzione; in queso caso abbiamo la posizione come unzione della ariabile empo, e la elocià isananea è la deriaa rispeo al empo della unzione posizione: d ( ) lim (1) d doe si è usao il simbolo d/d (deo rapporo dei dierenziali di e di ) per indicare la deriaa di (). E imporane noare che queso simbolo, che useremo sempre per indicare una deriaa, ha un direo signiicao, simile al modo elemenare in cui iene ineso il conceo di elocià; inai, ponendo d (o d) al poso di (o ) indichiamo espliciamene, ora e nel seguio, che consideriamo ineralli (spaziali o emporali) piccoli a piacere, al limie ininiesimi, in Maemaica dei anche dierenziali. La elocià isananea è il rapporo ra uno sposameno spaziale ininiesimo d e un inerallo emporale ininiesimo d. In Fisica ale operazione ha sempre signiicao e ornisce alori sempre più precisi della elocià isananea, cioè sempre più icini al alore della deriaa di (), quano più piccoli possono essere considerai gli ineralli d e d (edi la Osserazione 1). E imporane anche considerare che si può scriere la ormula inersa : d ( ) d () (simile alla ) che risole il problema di roare il alore del (piccolo) sposameno d eeuao dal corpo in esame, durane un (piccolo) inerallo di empo d, parendo
dall isane in cui la elocià del corpo è (); nauralmene il risulao è ano più preciso quano più piccolo è l inerallo d considerao. Riorneremo su queso argomeno, esendendolo a ineralli non ininiesimi ma inii, nella pare II. Inine ricordiamo che nel sisema SI lo sposameno di misura in meri (m), il empo in secondi (s), e quindi la elocià ha le dimensioni di una lunghezza diisa per un empo, oero m/s (meri al secondo). Osserazione 1 Quano possono essere piccoli a piacere gli ineralli spaziali o emporali? In generale la piccolezza degli ineralli da considerare dipende sia dalla precisione con cui in Fisica è possibile misurare lunghezze o empi, sia dal ipo di problema in esame. Oggi è possibile misurare con precisione lunghezze dell ordine dell angsrom (1-1 m) e ineralli di empo dell ordine del emosecondo (1-15 s), con ecniche di microscopia e laser impulsai, consenendoci quasi di osserare aomi in moimeno durane reazioni chimiche. Quesa precisione è chiaramene eccessia se ogliamo descriere il moo di un oggeo di dimensioni macroscopiche (dell ordine del mero), ma indica che la richiesa di inerallo piccolo a piacere può essere in praica soddisaa, e quindi è giusiicao l uso del conceo di ininiesimo. 3) Accelerazione L esperienza ci dice che la elocià di un oggeo può ariare nel empo; nel linguaggio ordinario si parla di oggeo accelerao (o decelerao). Inolre è imporane osserare che la elocià può ariare non solo nella sua grandezza assolua (il modulo) ma anche in direzione, come aiene ad esempio quando un eicolo esegue una cura. Possiamo precisare il conceo di accelerazione, cioè di ariazione della elocià, deinendo, in analogia con quano ao nel paragrao precedene (ormula (1)), un accelerazione media e soprauo un accelerazione isananea a. Consideriamo cioè la ariazione della elocià i del corpo che si ha durane un piccolo inerallo di empo preso a parire dall isane considerao ; in paricolare i () è la elocià isananea del corpo al empo, ( ) ( + ) è la elocià isananea del corpo al empo successio +. L accelerazione isananea è daa dal rapporo ra la ariazione della elocià isananea e l inerallo di empo, preso piccolo per quano possibile, come nel paragrao precedene : a( ) lim d d Risula quindi che l accelerazione isananea, che esprime come la elocià isananea di un corpo aria nel empo, è la deriaa rispeo al empo della unzione elocià, e in generale porà essere anche essa una unzione del empo. Il dierenziale della elocià d rappresena eidenemene la ariazione ininiesima della elocià isananea che si ha nell inerallo di empo ininiesimo d. Osseriamo anche che, usando le deinizioni ise, si ha, maemaicamene : d d d a ( ) d d d d d (4) cioè l accelerazione isananea é anche la deriaa seconda della unzione posizione rispeo al empo. Dalla deinizione della accelerazione, abbiamo subio la ormula inersa : d a( ) d (5) (3)
che risole il problema di roare la piccola ariazione di elocià d del corpo in esame, durane un piccolo inerallo di empo d, parendo dall isane in cui il corpo ha accelerazione isananea a(). Inine osseriamo che dalla deinizione si ha direamene che nel sisema SI l accelerazione si misura in m/s (meri al secondo quadro). Concludendo, abbiamo iso come le re grandezze cinemaiche ondamenali posizione, elocià e accelerazione, deinie a parire dal loro signiicao inuiio, sono legae da un operazione di deriazione. Per ogni empo, possiamo sudiare il moo di un oggeo, passando dalla unzione posizione () alla unzione elocià isananea, e alla unzione accelerazione isananea usando le noe regole di deriazione. In sinesi : ( ) ( ) a a( ) { { (6) deriazione deriazione 4) Tre esempi a) Moo uniorme nel empo; la posizione di un corpo in moimeno su una rea (o su una cura daa) aria linearmene nel empo con la ormula: ( ) + b doe () è la posizione iniziale issaa (per semplicià si è preso il empo iniziale a zero, i s) e b è un opporuna cosane. Noiamo che per lo sposameno si ha b, cioè proporzionale all inerallo emporale. Usando le regole di deriazione ricaiamo subio la elocià () d / d e la accelerazione a() d / d isananee: ( ) b ; a( ). Quindi la elocià del corpo è cosane e uguale a b, menre l accelerazione risula nulla. b) La cadua libera dei corpi; come mosrao da Galileo, se si rascura la resisenza dell aria, un corpo cade da ermo secondo la legge: y( ) y c doe y y() è la posizione iniziale su un asse ericale (alezza) con i s, menre c è un opporuna cosane; l alezza y del corpo che cade diminuisce proporzionalmene al quadrao del empo. Dalle regole di deriazione ricaiamo subio la elocià ericale y () dy / d e l accelerazione ericale a y d y / d : y ( ) c ; a y c. La elocià del corpo è negaia (direa erso il basso) e aria linearmene col empo; l accelerazione è cosane, e a poseriori si edrà che il suo modulo corrisponde all accelerazione di graià g 9.8 m/s ( a y c g). c) Moo oscillaorio armonico; è il caso delle molle o dei pendoli. La coordinaa () esegue un moo periodico dao da una unzione sinusoidale del ipo: ( ) A cos( ω + ϕ) doe le re grandezze caraerisiche A, ω e ϕ sono dee rispeiamene ampiezza, pulsazione e cosane di ase, ed hanno dei alori cosani assegnai. Dalla regola di deriazione di unzioni compose (ripassare le regole di deriazione!) abbiamo: ( ) A ω sen( ω + ϕ) ; a( ) A ω cos( ω + ϕ). La elocià e l accelerazione sono quindi delle unzioni sinusoidali (e periodiche) del empo. (Per ora queso è un semplice esercizio di deriazione, ma errà ripreso in seguio quando si sudieranno le orze elasiche e il moo oscillaorio armonico)
5) Rappresenazioni graiche E imporane e uile saper rappresenare graicamene le re grandezze cinemaiche considerae (posizione, elocià, accelerazione) rea angene in P e saper leggere un graico. Ricordiamo che la deriaa di una unzione in un puno iene inerpreaa graicamene come la X pendenza della rea angene alla cura rappresenaia della unzione θ P (esaamene si ha d / d an(θ), doe θ é l angolo ra la rea angene e una parallela all asse delle ascisse). Sruando quesa e alre inormazioni possiamo cosruire qualiaiamene i graici di () e a() parendo dal graico di (), o iceersa. Lasciamo come esercizio la cosruzione dei graici rappresenaii per i re casi sudiai nel paragrao precedene, che engono comunque ripresi più aani. Come esempio dierso, consideriamo la unzione posizione () rappresenaa nel primo dei graici successii, in cui abbiamo segnao in paricolare 5 isani emporali come rierimeno per la cosruzione. La coordinaa dapprima diminuisce (zona di 1, pendenza negaia), poi rimane pressoché cosane (inorno a, pendenza zero e angene orizzonale), quindi cresce lenamene inorno a 3, poi più spediamene (massima pendenza posiia inorno a 4 ); coninua poi a crescere, ma con una pendenza ineriore. Corrispondenemene un graico qualiaio della elocià isananea può essere il seguene: la elocià è negaia inorno a 1, aumena ino ad assumere il alore zero inorno a, coninua a crescere ino al alore massimo che raggiunge a 4, poi diminuisce rimanendo comunque posiia. Il graico dell accelerazione iene cosruio parendo da quello della elocià : doe essa cresce l accelerazione é posiia, maggiore o minore a seconda della pendenza della cura della elocià; uno dei alori massimi locali di accelerazione si ha poco prima di, doe la angene alla cura di ha pendenza maggiore. L accelerazione diminuisce a zero quando la elocià é al massimo in 4 poiché nel graico della elocià la angene in queso puno é orizzonale, e diena negaia nella regione successia in cui la elocià è in diminuzione. Nauralmene quese sono solo rappresenazioni graiche approssimae, uili srumeni per lo sudio e la comprensione delle caraerisiche del moo e quindi delle leggi isiche che lo deerminano, nonché per la risoluzione di problemi. Rappresenazioni graiche precise possono essere cosruie se si hanno espressioni esplicie delle unzioni in esame, come negli esempi del paragrao precedene. 3 1 4 5 a 1 3 4 5 1 3 4 5