POLITECNICO DI TORINO II FACOLTÀ DI INGEGNERIA Sede di Vercelli Corso di Laurea in Ingegneria Civile e Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica Anno accademico 2008/2009 Corsi di: Meccanica dei Continui Scienza delle Costruzioni Manuale della lavagna attrezzata DOCENTI Prof. Ing. Mauro Borri Brunetto Prof. Ing. Fabrizio Barpi 1
INDICE: INTRODUZIONE...3 1. La lavagna...3 2. I vincoli interni ed esterni...5 2.1 Vincoli Esterni...5 2.2 Vincoli Interni...11 3. I carichi...17 4. Le travi...19 5. Il comparatore...20 6. Uso della lavagna...21 2
INTRODUZIONE La lavagna è stata ideata da due Professori del Politecnico di Torino, Prof. Nascè e Prof. Valente, ed è stata realizzata da Sinergie srl a Pocapaglia (CN) per far comprendere in modo semplice e chiaro i fondamenti della teoria della trave. Sono stati costruiti tre esemplari e consegnati al Politecnico di Torino nel Gennaio 2007, due di grandi dimensioni che sono poste nei laboratori dello stesso nel dipartimento di Ingegneria Strutturale e Geotecnica ed una più piccola è collocata nel laboratorio della seconda facoltà di Ingegneria di Vercelli. Lo scopo di questo strumento, che può essere considerato un meccano per grandi, è quello di misurare in via sperimentale gli spostamenti delle strutture che si vorrebbero realizzare nella realtà. Le strutture possono essere sia iperstatiche che isostatiche e possono essere formate anche da più aste per avere una vasta gamma di casi da analizzare. I componenti sono essenzialmente cinque e verranno successivamente analizzati: - la lavagna; - i vincoli interni ed esterni; - i carichi; - le travi; - il comparatore; 1. La lavagna La lavagna, come si può vedere nelle figure 1 e 2, è lo strumento fondamentale infatti su di essa vengono posti tutti gli elementi necessari per le varie prove. Essa e essenzialmente costituita da una lastra metallica, ricoperta da uno strato plastico, racchiusa da una cornice esterna in alluminio. La lastra è formata da una maglia di fori posti a 10 cm i quali permetteranno di avvitare i perni che hanno la funzione di sostenere le strutture. Sullo strato di plastica è stata realizzato un reticolo che ha lo scopo di facilitare la valutazione delle deformazioni e la lunghezza delle travi. Figura 1 - Lavagna attrezzata disponibile nel laboratorio della II Facoltà di Vercelli 3
Figura 2 - Progetto esecutivo della lavagna attrezzata 4
2. I vincoli interni ed esterni I vincoli sono essenzialmente i componenti che hanno la duplice funzione di connettere le aste alla lavagna e rappresentare i classici vicoli della Scienza delle Costruzioni. I vincoli vengono fissati mediante un perno, come si può vedere dalla figura 3, nella lavagna e tali vanno a ridurre i gradi di libertà del sistema. Per gradi di libertà s intendono i movimenti possibili che si possono avere sul piano della lavagna e tali sono tre: due traslazioni e la rotazione elementare. Esistono due tipologie di vincoli: - esterni: appoggio semplice, cerniera, incastro; - interni: cerniera interna, incastro retto interno. 2.1 Vincoli Esterni Figura 3 Progetto esecutivo del perno Sono quei vincoli che collegano il sistema meccanico al suolo e nel nostro caso alla lavagna attrezzata e si suddividono in: - Appoggio semplice: tale vincolo impone al punto P di traslare sulla retta di scorrimento di p e consente una rotazione elementare ϕ come mostrato nella figura 4. Nella figura 5 si riporta il progetto esecutivo del vincolo mentre nella figura 6 si mostra come il vincolo si presenta nella realtà e nella figura 7 si mette il morsetto, della misura opportuna, per rendere il vincolo solidale alla trave. n n P p P p (a) Carrello (b) Biella Figura 4 Schema del carrello 5
Figura 5 Progetto esecutivo del carrello 6
Figura 6 Appoggio semplice Figura 7 Appoggio semplice con morsetto pronto per essere montato - Cerniera: tale vincolo impone al punto P di restare fisso nel piano mentre consente la rotazione elementare ϕ come mostrato nella figura 8. Nella figura 9 si mostra come il vincolo si presenta nella realtà mentre nella figura 10 si mette il morsetto, della misura opportuna, per rendere il vincolo solidale alla trave e nella figura 11 si riporta il progetto esecutivo del vincolo. C (a) Cerniera (b) Cerniera ideale Figura 8 Schema della cerniera Figura 9 Cerniera esterna Figura 10 Cerniera esterna con morsetto pronta per essere montata 7
Figura 11 Progetto esecutivo della cerniera esterna 8
Incastro: tale vincolo blocca tutti e tre i movimenti del punto P come mostrato nella figura 12. Nella figura 13 si mostra come il vincolo si presenta nella realtà mentre nella figura 14 si mette il morsetto, della misura opportuna, per rendere il vincolo solidale alla trave e nella figura 15 si riporta il progetto esecutivo del vincolo. n P p (a) Incastro (b) Incastro Figura 12 Schema dell incastro Figura 13 Incastro esterno Figura 14 Incastro esterno con morsetto pronto per essere montato 9
Figura 15 Progetto esecutivo dell incastro esterno 10
2.2 Vincoli Interni Sono quei vincoli che collegano gli elementi del sistema tra loro e si suddividono in: - Cerniera interna: si definisce quell elemento capace di eliminare gli spostamenti relativi tra gli elementi ma, nel contempo, permette le rotazioni relative dei componenti del sistema. La cerniera interna è in grado solamente di consentire le rotazioni indipendenti tra i componenti del sistema meccanico come mostrato nella figura 16. Nella figura 17 si mostra come il vincolo si presenta nella realtà mentre nella figura 18 si mettono i morsetti, della misura opportuna, per rendere il vincolo solidale alla trave e nella figura 19 si riporta il progetto esecutivo del vincolo Cerniera interna Figura 16 Schema della cerniera interna Figura 17 Cerniera interna Figura 18 Cerniera interna con morsetti pronta per essere montata 11
Figura 19 Progetto esecutivo della cerniera interna 12
Esiste anche la cerniera interna a T su trave passante che permette di realizzare delle strutture a portale o comunque permette di dare diversa inclinazione rispetto all orizzontale alle travi della struttura. Nella figura 20 si mostra come il vincolo si presenta nella realtà mentre nella figura 21 si mettono i morsetti, della misura opportuna, per rendere il vincolo solidale alla trave e nella figura 22 si riporta il progetto esecutivo del vincolo. Figura 20 Cerniera interna a T su trave passante Figura 21 Cerniera interna a T su trave passante con morsetti pronta per essere montata 13
Figura 22 Progetto esecutivo della cerniera interna a T su trave passante 14
- Incastro interno retto: tale vincolo rende completamente solidale due elementi del sistema meccanico cioè crea una vera e propria connessione tra gli elementi, costituendo una continuità dello stesso come mostrato nella figura 23. Nella figura 24 si mostra come il vincolo si presenta nella realtà mentre nella figura 25 si riporta il progetto esecutivo del vincolo. A B Incastro interno Figura 23 Schema dell incastro interno retto Figura 24 Incastro interno retto con morsetti pronto per essere montato 15
Figura 25 Progetto esecutivo dell incastro interno retto 16
3. I carichi Per modellare le sollecitazioni esterne, che possono essere concentrate o distribuite, la lavagna dispone di cubi metallici, come si può vedere nella figura 26, di diverso peso, che valgono: - 44,5 g 0,4364 N; - 80 g 0,7845 N; - 90 g 0,8825 N; - 180 g 1,7651 N; - 380 g 3,7263 N. Figura 26 Cubi metallici Per realizzare il carico distribuito i cubi vengono direttamente poggiati sull elemento del sistema meccanico, mentre i carichi concentrati vengono applicati grazie ad un morsetto, che si stringe all elemento del sistema sul quale vengono appesi i vari carichi. I pesi dei cubi metallici con i ganci, come si può vedere nella figura 27, per realizzare il carico concentrato valgono: - 97 g 0,9512 N; - 197 g 1,9318 N; - 397 g 3,8929 N. Figura 27 Cubi metallici con ganci Si riporta di seguito il progetto esecutivo del sistema di aggancio dei carichi concentrati in figura 28 e in figura 29 si mostra come tale sistema si presenta nella realtà. 17
Figura 28 Progetto esecutivo dell aggancio dei carichi concentrati Figura 29 Particolare dell aggancio dei carichi concentrati Per sollecitare con un carico concentrato l asta verticale si utilizza una carrucola con un filo di spago al quale si attacca il peso e si ottiene ad esempio la seguente soluzione riportata in figura 30: 18
Figura 30 Utilizzo della carrucola per creare un carico concentrato su asta verticale 4. Le travi Le travi di acciaio armonico, come mostrato in figura 31, costituiscono l ossatura del sistema meccanico e rappresentano le travi delle strutture. Sono realizzate in acciaio armonico di dimensioni di 20 mm di base e 1,5 mm di spessore con una lunghezza diversa a seconda della barra. Figura 31 Travi di acciaio armonico Il momento d inerzia di tale elemento rappresentato in figura 32 vale: dove: - b è la base dell asta [L]; - h è lo spessore dell asta [L]. 1 3 1 I 20 1,5 3 xg = b h = = 5,625 [mm 4 ] 12 12 19
20 1,5 2 Il modulo elastico E [ L ] Figura 32 - Sezione dell asta misure in mm F dell acciaio armonico delle barre verrà ricavato con un semplice calcolo proposto in seguito. L acciaio armonico è il materiale più impiegato nella realizzazione di molle, in quanto presenta una tensione di snervamento vicina alla tensione di rottura e possiede un ottima resistenza a fatica, infatti la struttura cristallina è composta da almeno l 80% da cristalli di martensite omogenea. 5. Il comparatore Il comparatore, riportato in figura 33, è uno strumento di misura lineare e valuta lo spostamento che subisce l asta nel punto prefissato. Il comparatore è di tipo analogico e sul quadrante si può leggere lo spostamento che ha subito l asta in seguito ai carichi concentrati o distribuiti che sono stati applicati. Il comparatore è stato realizzato dalla ditta Ineco in modo che ad un giro completo della lancetta, presente nel quadrante, corrisponde uno spostamento di 1 cm. I comparatori vengono realizzati con corse utili comprese tra 1 100 mm con precisione centesimale (0,01mm) o millesimale (0,002 mm). Sulla lavagna si posiziona il basamento metallico sul quale si fissa un braccio verticale e ad un altezza opportuna, si blocca il braccio orizzontale dove è posizionato il comparatore. Il comparatore viene posizionato nel punto in cui si vuole valutare lo spostamento della trave e la lancetta deve essere sullo zero quando la trave non è ancora sollecitata. Figura 33 Comparatore montato sulla lavagna 20
6. Uso della lavagna L utilizzo della lavagna è assai semplice ed intuitivo infatti utilizzando i componenti precedentemente descritti: vincoli interni ed esterni, travi, carichi, morsetti e perni è possibile realizzare schemi strutturali anche molto complessi. L iter da seguire per l utilizzo della lavagna è: - conoscere lo schema statico della struttura; - scegliere in modo opportuno i vincoli e le travi che si adattano meglio allo schema statico; - assemblare la struttura: posizionare la trave di coltello su un piano orizzontale, ad esempio un tavolo, appoggiare quindi i vincoli sullo stesso piano contenente l asta, prendere i morsetti della misura opportuna e rendere i vincoli solidali alla trave; - montaggio della struttura statica sulla lavagna: si avvitano i perni alla lavagna attrezzata e si procede ad inserire i vincoli della struttura statica assemblata nei perni; - montare il comparatore: il comparatore viene fissato alla lavagna attraverso le apposite staffe nella posizione in cui si vuole valutare lo spostamento della trave; - posizionare i carichi concentrati o distribuiti in base alla configurazione che si deve analizzare. Per chiarire ulteriormente il funzionamento riportiamo un esempio esplicativo analizzando questa semplice struttura isostatica che presenta lo schema statico riportato in figura 34. l Figura 34 Schema statico Dallo schema statico si vede che gli elementi necessari per realizzare tale struttura sono: una trave di lunghezza l, un appoggio semplice e una cerniera esterna. Si passa ora al posizionamento dei singoli elementi per realizzare la struttura statica come riportato in figura 35. Da tale figura si nota che: - sulla destra c è la cerniera esterna che permetta alla trave di ruotare e non permette traslazione orizzontali e verticali; - sulla sinistra c è l appoggio semplice che permette alla trave di traslare orizzontalmente e di ruotare e non blocca la traslazione verticale. Figura 35 Posizionamento dei vincoli Successivamente si prendono i morsetti, della misura opportuna e si rendono i vincoli solidali alla trave come riportato in figura 36. 21
Figura 36 Fissaggio dei vincoli Si fissa la struttura statica sulla lavagna e si posiziona il comparatore nella posizione in cui si vuole valutare lo spostamento della trave soggetta ai carichi concentrati o distribuiti. Nella figura 37 è riportato lo schema che si ottiene sulla lavagna. Figura 37 Schema finale 22