Marco Tolotti - Corso di Esercitazioni di Matematica 1 Cfu - A.A. 010/011 1 Esercitazione 1: 4/09/010 1. Determinare il dominio delle seguenti funzioni: log a) f() = 5 ( 1). b) g() = log 3 (3 6) log 13. (per casa) 1 c) h() = 4 10 + 9. (per casa). Determinare (ove possibile) f g e g f per le seguenti funzioni: a) f() = e g() = 4 1. b) f() = 3 e g() = 3. 3. Determinare l inversa (e il relativo dominio) delle seguenti funzioni: a) f() = ( 3 1) 1 3. b) g() = ln( + e 3 ). 4. (per casa) Sia f la funzione con dominio [0, 5] definita da f() = { 5 se 0 3 9 se 3 < 5 Dire se la funzione è invertibile e, in caso di risposta affermativa, determinarne l inversa. 5. (per casa) Tracciare il grafico della funzione f() = ( ) 1 6. In un azienda si sostengono costi di produzione in dipendenza della quantità q di bene prodotto pari a C(q) = 4000 + 7q e si vende il prodotto al prezzo unitario p = 15. a) Scrivere la funzione ricavo R(q). b) Scrivere la funzione profitto Π(q) e rappresentarne il grafico. c) Calcolare il punto q di intersezione tra tale grafico e l asse delle ascisse. Qual è il significato economico di tale punto? 7. (per casa) La spesa C di una famiglia in beni di consumo è collegata al reddito Y della famiglia stessa nel seguente modo: quando il reddito è di 1000, la spesa per beni di consumo è 900e quando il reddito viene incrementato di 100, la spesa per beni di consumo aumenta di 80. Esprimere la spesa in funzione del reddito, supponendo la relazione lineare.
Marco Tolotti - Corso di Esercitazioni di Matematica 1 Cfu - A.A. 010/011 Esercitazione : 01/10/1010 1. Calcolare i seguenti limiti a) lim 0 + 1 b) lim 0 + e 1 c) lim + + 3 3 +1 d) lim + 4 3 1 3 +. Date f 1 () =, f () = e f 3 () =. Calcolare a) lim + f 1 (); lim + f (); lim + f 3 (). b) lim + f 1 () + f (); lim + f 1 () f (); lim + f 1 () f 3 (). c) lim + f 1 () f (). 3. Per quali valori del parametro a reale, la seguente funzione f è continua su tutto il suo dominio? { a 1 se 1 f() = 3 + 1 se > 1 4. [Appello del 3 Luglio 010]. Data la funzione e se 0 f() = + 1 se 0 < 3 + se > 3 a) Studiare la continuità di f. b) Studiare la derivabilità di f. 5. Tracciare il grafico della funzione f() = ( ) 1. Stabilire D f, R f (immagine di f). Discutere continuità ed derivabilità di f. 6. [Appello del 7 Novembre 009]. Stabilire se l equazione 4 ln(1 + ) = 4 1 ammette almeno una radice in [0, 1]. Eventualmente, dire se la radice è unica su [0, 1]. Suggerimento: Si veda il Teorema dei valori intermedi. Pag. 73 del libro di testo.
Marco Tolotti - Corso di Esercitazioni di Matematica 1 Cfu - A.A. 010/011 3 Esercitazione 3: 04/10/1010 1. Regole di derivazione di funzioni esponenziali: Derivare le seguenti funzioni: f 1 () = ; f () = 3 ; f 3 () = e 1 ; f 4 () = e 3.. Regole di derivazione di funzioni logaritmiche: ( ) Derivare le seguenti funzioni: g 1 () = ln( 1+e + 1); g () = ln. +1 3. Regole di derivazione di somma/prodotto/rapporto: Derivare la seguente funzione: f() = 4. Regole di derivazione di funzione composta: + 4 +1 3 e. a) Calcolare la derivata di F () = f(g()) in 0 = con f() = 3 e g() =. b) Derivare h() = +. 5. [Appello del 19 Gennaio 010]. Data f() = 3 +. a) Determinare intervalli in cui f e decrescente. b) Scrivere l equazione della retta tangente al grafico di f in = 1. 6. Data f() = 3, calcolare il tasso di variazione medio di f su [0, 1 3 ]. Calcolare anche il tasso di variazione istantaneo (assoluto) di f in a = 1 3. (per casa) Data g() = e 3, calcolare il tasso di variazione medio di g su [0, 8]. Calcolare anche il tasso di variazione istantaneo (assoluto) di g in a = 4. 7. [Appello del 19 Gennaio 010]. a) Mostrare che 1 + e, per ogni 0. b) Mostrare che (1 + )(1 + y) e +y, per ogni, y 0. Esercizi per casa: 1,,3,4,5,6,7,8,9 pag. 06-07 3,1 pag. 1
Marco Tolotti - Corso di Esercitazioni di Matematica 1 Cfu - A.A. 010/011 4 Esercitazione 4: 15/10/1010 1. Risoluzione dei seguenti limiti mediante la regola di de l Hopital: a. lim 0 e 1 ; ln(+1) b. lim 0 ; [per casa] c. lim + 3 8 3 ; d. lim + [ln()].. Confronto di infiniti: a. lim r +, con r > 0 e c > 1. c [ ] Soluzione mediante raccoglimento della potenza r: lim r r. + c = lim + c r [ln()] b. lim r +, con r > 0 e s > 0. s [ ] [ln()] Soluzione mediante raccoglimento della potenza r: lim r ln() r. + = lim s + r s 3. Altri limiti a. lim 0 + e 1. Risoluzione mediante passaggio a forma [ 0 0 ]: lim 0 + e 1 = lim e 1 1 0 + 1. Proposto uso di de l Hopital oppure sostituzione y = 1/ e successivo confronto di infiniti. b. lim 0 + ln(). Risoluzione mediante passaggio a forma [ ]: lim 0 + ln() = lim ln() 0 + 1. c. [Per casa... difficile!] lim + 3 ( ). [Soluzione: 0] 4. [Appello del 7 Novembre 009]. Data la funzione f() = e. a) Calcolare f () e f (). Dire dove f è crescente. b) Trovare il minimo di f in [0, ] e dedurre il segno di f in tale intervallo. 5. Calcolare punti di massimo/minimo locali e globali per le seguenti funzioni: a) f() = ( + 1)e ; b) g() = ln + 1. [per casa] { + 3 se 3 0 c) h() = + 4 se 0 < (attenzione! h() è continua in = 0? quanto vale h(0)? h ammette massimo?)
Marco Tolotti - Corso di Esercitazioni di Matematica 1 Cfu - A.A. 010/011 5 6. [Per casa] Considerare f, g e h definite nell Esercizio 5. Completare lo studio delle tre funzioni proposte e traccirane il grafico, ovvero: - Calcolare dominio e limiti ai bordi del dominio; - Studiare segno, monotonia e concavità; - Esibire punti di massimo/minimo e punti di flesso. 7. [Appello del 6 Febbraio 010]. Sia q(p) = 100 4p la domanda di un prodotto in funzione del prezzo unitario p. Siano R(q) = 1 4 q(100 q ) e C(q) = q rispettivamente il ricavo e il costo come funzioni della domanda. a) Determinate la funzione profitto π in funzione del prezzo p. b) Calcolare π (p) e studiarne il segno. Per quale prezzo p si ha un profitto massimo? Qual è il massimo profitto? 8. Data f() con la seguente proprietà: - f() ha un solo punto critico = a (dove a punto interno al dominio di f); - f () 0 per a e f () 0 per a. Questo ci dice che a è punto di massimo locale. Dire se: E sicuramente vero che è punto di massimo globale per f? Soluzione: La risposta è NO. Come controesempio studiare il grafico di f() = 1 e. Questa funzione ammette un solo punto critico = 1 dove la derivata prima si annulla; inoltre f () 0 per e f () 0 per. Si può dimostrare (ad esempio studiando i limiti al bordo del dominio) che = 1 è massimo locale ma non massimo globale. (Perché? quale ipotesi su f, necessaria per l utilizzo di questo criterio di ottimalità, viene a mancare in questo esempio?) OSSERVAZIONE: Attenzione quando utilizzate criteri per stabilire se punti ma/min locali sono anche globali.
Marco Tolotti - Corso di Esercitazioni di Matematica 1 Cfu - A.A. 010/011 6 Esercitazione 5: 5/10/010 1. Ancora su ottimizzazione in una variabile [Appello del 6 Febbraio 010]. Sia q(p) = 100 4p la domanda di un prodotto in funzione del prezzo unitario p. Siano R(q) = 1q(100 4 q ) e C(q) = q rispettivamente il ricavo e il costo come funzioni della domanda. a) Determinate la funzione profitto π in funzione del prezzo p. b) Calcolare π (p) e studiarne il segno. Per quale prezzo p si ha un profitto massimo? Qual è il massimo profitto? Integrazione. Metodo risolutivo di intergali per parti. (par 9.5 SH) a. Calcolare l integrale 1 0 +1 d. [Sol: + 4] 3 3 b. Calcolare l integrale 0 e d. [Sol: (e 1)] c. [Per casa.] Calcolare l integrale e d. [Sol: ( + 1)e + C] 3. Metodo risolutivo di intergali per sostituzione o cambio di variabile. (par 9.6 SH) Valgono le seguenti relazioni f(g()) g ()d = f(u)du; dove u = g() (du = g ()d); b f(g()) a g ()d = β f(u)du; dove u = g() (du = α g ()d) e α = g(a), β = g(b). a. Calcolare l integrale b. Calcolare l integrale 3 ( 3 + 1) d. [Sol: (3 +3) + C] ln 0 e 3 e 3 +1 c. [Per casa.] Calcolare l integrale ln 9 ln d. [Sol: ] 3 ( + 1) d. [Sol: ( +1) + C] 4 4. Considerare le funzioni g() = ( )(ln() + 1) e G() = 1 g(t)dt. a) Studiare il segno di G() limitandosi all intervallo [1, ] e senza calcolare l integrale. (suggerimento: che relazione c tra G e g e qual è il segno di g su [1, ]?) Soluzione: G() 0 su [1, ] b) Provare che F () = G() monotona crescente sull intervallo [1, ]. 5. [Per casa.] [Appello del 19 Gennaio 010.] Determinate il valore del parametro a reale in modo che risulti 4 (y 3 + ay ) dy = 10. Esercizi consigliati per casa: 1 e 13 pg 331-1,,3,4 pg 341-1, pg 35-1,,3 pg 355
Marco Tolotti - Corso di Esercitazioni di Matematica 1 Cfu - A.A. 010/011 7 Esercitazione 6: 05/10/010 Ancora su integrazione: 1. [Appello del 19 Gennaio 010.] Determinate il valore del parametro a reale in modo che risulti 4 (y 3 + ay ) dy = 10.. a) Determinare la forma generale di una funzione f() se la sua derivata seconda ha la forma f () = 3 + e. [Sol: e + 5 + C + D, con C, D R] 0 b) Dire poi qual è f() se inoltre f(0) = e f (0) = 1. [Sol: e + 5 + 1] 0 3. [Per casa.] Determinare la funzione f() nel caso in cui f () = a + b con a, b costanti reali e inoltre i) f (1) = 4; ii) f (1) = 9; iii) 1 1 f()d = 6. [Sol: f() = 9 5 + 3 ] 4. Data f() = (e e ). a) Calcolare l integrale definito di f() sull intervallo [ 1, 1]. b) Calcolare l area A delimitata dal grafico di f(), dall asse e dalle rette di equazione = 1 e = 1. 5. [Appello del 7 Novembre 009.] Calcolare l integrale 0 e 1 e d. Matematica Finanziaria: 1. [Appello del 3 Luglio 010.] Vi vengono offerte le seguenti alternative: a. ricevere la somma 75000 Euro, tra 10 anni; b. ricevere 10000 Euro ogni anno per 5 anni, a partire da subito; c. ricevere 5000 Euro subito e la stessa somma tra 5 anni. Supponendo che il tasso di interesse annuo sia del 5%, quale alternativa preferite (in assenza di inflazione)?. a) Dato il tasso annuale effettivo i = 8% (capitalizzazione composta), calcolare i rispettivi tassi (equivalenti) su base semestrale e mensile. [Sol: Usando la formula () in Appendice si trova i 3, 9%; i 1 0, 64%] b) [Per casa.] Dato il tasso semestrale i = 3, 4% (capitalizzazione composta), calcolare il tasso trimestrale equivalente. [Sol: Usando due volte la formula () in Appendice si trova i 4 1, 69%.]
Marco Tolotti - Corso di Esercitazioni di Matematica 1 Cfu - A.A. 010/011 8 3. Se devo accendere un prestito mi conviene: 1) contratto con tasso annuo nominale del 1.5% e interesse pagato annualmente; ) contratto con tasso annuo nominale del 0.0% e interesse pagato trimestralmente?.[sol: Il primo. Infatti usando la formula (3) in Appendice si verifica che il tasso effettivo in 1) è 1.5% e in ) è 1.55%. Trattandosi di un debito, mi conviene il tasso minore.] 4. Posso scegliere come estinguere un debito di 10000 Euro in tre modi diversi. Supponiamo che il tasso annuo effettivo sia fissato al 5% in tutti i casi. 1) Pago una rata di 1000 Euro tra 5 anni. ) Pago 4 rate da 400 Euro ogni sei mesi a partire da subito. 3) Pago 4000 Euro subito e 600 Euro tra tre anni. Sol: Calcolando il valore attuale netto dei tre finanziamenti si trova: V AN 1 = 10000 1000 597.686; 1,05 5 V AN = 10000 400 400 + 400 + 400 741.497; 1,05 0.5 1,05 1 1,05 1.5 V AN 3 = 10000 4000 600 644.07. 1,05 3 Il secondo mi produce un valore attuale netto maggiore e dunque è preferibile. 5. Quanto ho versato 5 anni fa per avere oggi 50000 Euro se il tasso annuo nominale pagato trimestralmente è 10%? [Sol. 30513,55 Euro]. 6. Una carta di credito prevede un tasso (di debito) effettivo mensile del % sul saldo debitorio. Qual è il tasso annuo effettivo? E il tasso nominale pagato mensilmente? [Sol. Tasso effettivo è 6, 8% e TAN (pagato mensilmente) è 4%. Notare che TAN è inferiore!] Appendice alla Esercitazione 6: Tassi equivalenti in capitalizzazione composta Supponiamo di lavorare in capitalizzazione composta e di conoscere il tasso annuale effetivo i. Possiamo definire un tasso equivalente riferito a un periodo diverso dall anno. In particolare è comodo definire tassi di periodo riferiti a porzioni di anno come semestri, trimestri, mesi,... Definiamo dunque i n il tasso riferito a un periodo di durata 1/n di anno. Ad esempio: i è riferito a un semestre (1/ anno); i 4 è riferito a un trimestre (1/4 di anno) e così via. Che relazione c è tra i e i n? Dato che i tassi sono equivalenti, le quantità di denaro capitalizzate (o scontate) non variano a seconda del tasso che voglio considerare. Vale allora la seguente relazione fondamentale: (1 + i) = (1 + i n ) n (1) dove sto considerando un investimento su un capitale unitario (1 Euro) per un periodo di un anno 1. Il termine a sinistra dell equazione (1) mi fornisce il montante calcolato secondo la usuale capitalizzazione in base annua, il termine a destra mi dice invece qual è il montante calcolato 1 Se più in generale considerassi un capitale non unitario C e un periodo di durata dell operazione finanziaria generico t, la validità dell equazione (1) non sarebbe compromessa.
Marco Tolotti - Corso di Esercitazioni di Matematica 1 Cfu - A.A. 010/011 9 secondo la capitalizzazione in termini di tempi espressi come 1/n di anno. L elevazione alla potenza n-sima riflette proprio il fatto che su base 1/n investo il denaro per n periodi (cioè un anno!). Utilizzando l equazione (1) posso ora scrivere i in funzione di i n o viceversa. Ottengo le relazioni { i = (1 + in ) n 1 () i n = (1 + i) 1 n 1 Supponiamo ora che gli interessi siano capitalizzati n volte l anno e che il tasso di periodo vigente sia i n. Viene spesso utilizzato come indicatore annuale sintetico il cosiddetto tasso annuo nominale capitalizzato n volte l anno. Esso è chiamato r e è definito come r = i n n. Il tasso r ha il vantaggio di essere facilmente calcolabile una volta noto i n. Notare che r non è il tasso effettivo con cui si capitalizza! Infatti dall equazione () si ricava che il tasso effettivo in funzione del tasso nominale si esprime come ( i = 1 + n) r n 1. (3) La formula (3) qua sopra corrisponde alla formula () a pagina 375 del libro. Vedere gli esercizi 3, 5 e 6 dell Esercitazione 6 per alcuni esempi di calcolo. Oppure gli esercizi 5, 8 pg. 376 del libro.