Soluzioni del compio di Isiuzioni di Maemaiche/Maemaica per Chimica F e FX (//) I esi sono in pare comuni ai due emi d esame. Gli sudeni del vecchio ordinameno hanno due domande in meno nei primi see esercizi, ma hanno anche l oava domanda che non riguarda il nuovo ordinameno r 6x. La funzione f(x) x (a) èdefinia purché l argomeno della radice non sia negaivo. Ora: 6x in,, + ; il denominaore è posiivo in, + :quindilafrazioneènon negaiva in E,, +,cheèdunquel insiemedidefinizione della funzione. Essa è non negaiva su E esiannullainx einx ;inolreè coninua (evenualmenedadesraodasinisra)inognipunoincuièdefinia e quindi lim f(x) lim f(x). x + x r 6x Infine, lim f(x) lim x + x + x lim x + senza asinoi, menre x + r 69 lim f(x) lim x + x + x + : quindiperx + c è un asinoo vericale di equazione x. (b) Per il eorema di derivazione delle funzioni compose f (x) r x (x ) (6x ) 6x (x ) (6x x +) r (). 6x (x ) x x L insieme di definizione E della derivaa è,, + ;ilnumeraoredif si annulla per x eperx ed è posiivo in,, +, menre il suo denominaore è sempre posiivo in E. Quindi f (x) per x, eperx, + Ne segue che la funzione cresce nei due inervalli, e, +, menre decresce nei e, eha in x un puno di massimo relaivo e in x due inervalli, un puno di minimo relaivo. Si ha f Noiamo che q ; f lim x q. f (x) + menre lim f (x) e quindi le ree angeni negli + x zeri al grafico della funzione sono parallele all asse y. (c) Nel puno di ascissa la funzione vale f(), menre la derivaa vale f () ³ Quindi la rea angene al grafico nel puno, ha equazione y + x. ) Di proposio non si è operaa la riduzione del denominaore: 6x x + q 6x x + (x ) 6x x p (6x ) (x ). x L operazione è del uo inuile per sabilire il segno derivaa e, anzi, se condoa male rischia di ravisarlo.
r 6x ³ (d) Nel grafico di x sono evidenziai l asinoo vericale, la angene in,, il minimo ed il massimo relaivi. 8 6 6 8 (e) Per x + la funzione f(x) èasinoicaa x e quindi deve essere concava; invece in un inorno del puno di minimo x è sicuramene convessa. Quindi nell inervallo, + deve esisere almeno un puno di flesso. Volendo calcolare la derivaa seconda per localizzare il flesso conviene osservare che f (x) 6x x + 6x x +69 (x ) f(x) (x ) (x ) f(x) (x ) f(x) µ f(x) (x ) Scrivendo per brevià f invece di f(x) ef invece di f (x), deriviamo f pensandola come prodoo e successivamene ricordiamo che µ f (x ) f : f (x) f µ (f) (x ) + 8 (x ) f f (f ) 6 + (x ) f f. 6 (x ) (f ) Se x<,cioèin,, il primo faore èsempreposiivomenreilsecondoènegaivo:dunqueladerivaasecondaè negaiva e la funzione è concava. Invece in, + il secondo faore può essere posiivo; infai vale µ Ã 6 x (x )! (x ) 6x (x ) (x ) 6x (x ) esivedecheg(x) 6x () in x valeg() 8 (9) menre g() (7 ) 7 7 Quindi il puno di flesso si rova nell inervallo (, ). ( 7) ( 7) 7 67 89 <. >,
. La funzione e x/ cos x èdefinia e coninua su uo l asse reale, quindi è doaa di primiiva definia su uo l asse reale, che può essere calcolaa per pari con faor finio, ad es., e x/ e x/ cos xdx e x/ sin x e x/ ancora per pari sin xdx con faor finio e x/ e x/ sin x + e x/ cos x e x/ cos xdx e x/ sin x + ex/ cos x e x/ cos xdx 9 Quindi e x/ cos xdx e x/ sin x + 9 ex/ cos x + c vale a dire e x/ cos xdx 9 ex/ sin x + ex/ cos x + C. La funzione f(x) x x ha per grafico una parabola concava, che inerseca l asse x in x einx e ha quindi per asse di simmeria la rea di equazione x e verice V, 8 ;lafunzioneè posiiva in, e negaiva alrove e negli esremi dell inervallo, assume i valori f ef. Invece g(x) sinx ha per grafico un arco di sinusoide, crescene in uo l inervallo, che negli esremi dello sesso assume i valori g eg, si annulla in x ed ènegaivain, e posiiva in,. Ne segue che (, ) è l unico puno di inersezione dei due grafici. Infai in, risula f(x) > >g(x), menre in, risula g(x) > >f(x).. - - - - Quindi la regione da prendere in esame è quella delimiaa in figura dalla linea più spessa e la sua area èdaada A () / (f(x) g(x)) dx + / (g(x) f(x)) dx. Si deve dunque calcolare l inegrale indefinio x (f(x) g(x))dx x sin x dx x x +cosx + c erisula A () x x +cosx + + / x + x cos x / ³ ³ + + + ++.67 8 8 (a) Il denominaore della funzione f() e èdefinio in (, + ); il numeraore è / sempre definio; quindi l insieme di definizione di f() è(, + ). Su ale inervallo la funzione è coninua poiché lo sono i suoi faori ed è posiiva in quano in (, + ) risula e <. (b) Per che ende a risula f() /,poiché / e (e ) ( ) ; invece per che ende a + risula f() /,inquanoe ende a. Dao che f() è coninua sull inervallo (, + ), ogni inegrale della forma b f() d,con <a<bè definio. D alra pare l inervallo è illimiao e la funzione pure; quindi a
si deve vedere l inegrale + f() d come somma di due inegrali impropri, ad esempio: + f() d e + f() d. + L inegrale + f() d è improprio di prima specie, menre - viso che per che ende a la funzione f() diverge - l inegrale f() d è improprio di seconda specie. + Per sabilire se convergono usiamo il crierio del confrono asinoico per + si ha f() e / + b / d lim / d lim / b converge: b + b + quindi per il crierio del confrono asinoico anche + f() d converge; per + si ha f() e + / d lim a + a / / d lim a + / a converge: quindi per il crierio del confrono asinoico anche f() d converge. + Ne segue che anche la somma dei due inegrali impropri converge.. La funzione di due variabili f(x, y) x y + y y +,definia in, ha derivae parziali f x (x, y) xy e f y (x, y) x + y. I suoi puni criici sono quelli le cui coordinae annullano il gradiene ( xy grad (f(x, y)) (f x (x, y),f y (x, y)), cioè lesoluzionidelsisema: x + y ( ( x y che equivale all unione delle soluzioni dei due sisemi x + y e x + y Quindi ci sono quaro puni criici: (, ±) e (±, ). L hessiano H(x, y) y x x y (y x ) in (±, ) vale H(±, ) <:quindiiduepuni(±, ) sono puni di sella ; in (, ±) vale H(, ±)> : quindi i due puni sono esremani locali. Poiché f xx (, ±) ±, il puno (, ) èdiminimolocale, menre (, ) è un puno di massimo locale. I corrispondeni valori della funzione sono: f(±, ), f(, ) +,f(, ) ++.
- - x.. - x - Le figure sono oenue considerando solo la pare di grafico conenuo ra i piani x. e x., y. ey., z. ez.. La prima mosra il massimo,, ed il minimo (,, ) locali, e le selle ±,,. La seconda fornisce la proiezione del grafico sul piano xy ed evidenzia le curve di livello. 6. y (y ) (y +) è un equazione differenziale del I ordine a variabili separabili; la funzione (y ) (y +) èdefinia e coninua in ciascuna delle due srisce (, ), (, + ). Tra gli inervalli in cui può variare, l inervallo di ampiezza massima che coniene è(, + ) e quindi il dominio della soluzione del problema di Cauchy y() è conenuo in (, + ). (a) La funzione (y ) (y + ) soddisfa le ipoesi del eorema di Cauchy in ciascuna delle due srisce di cui sopra: quindi per ogni puno apparenene ad una di quese srisce passa una ed una sola soluzione dell equazione differenziale. In paricolare, viso che y() ey() sono due possibili soluzioni dell equazione differenziale non ci possono essere alre soluzioni che passano per i puni delle ree y ey,cioèche le araversano. Qundi, viso che < <, la soluzione y() del problema di Cauchy y() ha grafico uo compreso ra le due due ree, cioè < y() <. Ne segue che y (y ) (y +)< e quindi ale soluzione è decrescene nel suo dominio. (b) Per risolvere il problema di Cauchy si possono separare le variabili. Osserviamo che (y ) (y +) y y + dy d Dunque da (y ) (y +) si ricava ln y ln y + ln +c (con c ), cioè ln y y + lnec o anche, enendo cono che nella sriscia (, + ) (, ) la funzione è posiiva, menre y y + è negaiva: y y + C,conC ec (, + ). Sosiuendo, si può ora ricavare la cosane che fornisce la soluzione del problema di Cauchy: + C, cioè C. Quindi si deve avere y (y +),cioè la soluzione cercaa è y() +.
Tale funzione è definia in (, + ) che risula quindi il dominio della soluzione di Cauchy cercaa. 7. (a) Per nessun valore di k il puno (k, k +, ) può coincidere con nessuno degli alri re poiché quesi ulimi hanno erza coordinaa nulla; per nessun valore di k il puno (,, ) può coincidere con (k +,, ) poiché ha seconda coordinaa nulla, né con(, k, ) poiché la prima coordinaa dei due puni èdiversa;infine ½ per nessun valore di k il puno (k +,, ) k + può coinciderecon(, k,) poiché è un sisema impossibile. k (b) Ogni piano passane per il puno (,, ) ha equazione a (x ) + by + cz. Perché i resani re puni di coordinae (k +,, ), (k, k +, ), (, k, ) apparengano allo sesso piano le loro coordinae devono soddisfare ale equazione. Quindi deve aver soluzione non nulla il sisema omogeneo in a, b, c: ka + b (k ) a +(k +)b +c a +kb cui è associaa la marice di coefficieni k A k k + k Ciò succede se e solo se il suo deerminane si annulla, cioè se A (k ). Quindiiduevaloridik per cui i puni sono complanari sono k ek. Allo sesso risulao si perviene imponenendo che i re veori applicai in (,, ) aveni secondo esremo rispeivamene in (k +,, ), (k, k+, ), (, k,) siano dipendeni: infai quesa condizione si raduce nella richiesa A. (c) Perché i quaro puni siano allineai bisogna che i veori definii al puno precedene siano ra di loro proporzionali, cioè che il rango della marice A sia : queso significa che non c è un solo piano che coniene i puni. Queso non può avvenire per alcun k, poiché la erza componene della prima riga è nulla menre quella della seconda no. 8. Il numero complesso z (+i) ha modulo z +i eunargomeno arg z arg(+i) (quindi argomeno principale ); quindi ( + i) ³ i i per cui ano la pare reale che quella immaginaria valgono. Unaradicequinadiz è+i. Le alre sono ai verici di un penagono regolare inscrio in un cerchio con cenro nell origine e raggio con un verice in + i e quindi hanno la seguene rappresenazione sul piano di Argand-Gauss - - 6