Tullia Norando Dipartimento di Matematica del Politecnico di Milano Convegno IRRE 2005
Proporzioni Il valore estetico Natura Arte 2
Rapporto tra misure semplici Canone Scala naturale Uguaglianza tra due rapporti Euclide Leonardo - Palladio Limite di una successione di rapporti Fibonacci Tracciato regolatore Tracciato costruttore Modulo Le Corbusier 3
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La scala pitagorica si basa sui rapporti semplici: 2:1 3:2 4:3 che corrispondono rispettivamente alle consonanze fondamentali: ottava, quinta, quarta 5
La sezione aurea si basa sull uguaglianza di due rapporti Costruzione di Erone riportata da Luca Pacioli 6
Costruzione di Euclide Riportata da L.B. Alberti 7
Metodi per definire l altezza di una stanza a pianta rettangolare di lati e media aritmetica tra e : medio geometrico tra e : medio armonico tra e : 8
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$ Una successione numerica in cui il rapporto tra ogni termine e il consecutivo converge ad un numero reale n. F(n) F(n)/F(n+1) F(n+1)/F(n) 1 1 1 1 2 1 0,5 2 3 2 0,666666667 1,5 4 3 0,6 1,666666667 5 5 0,625 1,6 6 8 0,615384615 1,625 7 13 0,619047619 1,615384615 8 21 0,617647059 1,619047619 9 34 0,618181818 1,617647059 10 55 0,617977528 1,618181818 11 89 0,618055556 1,617977528 12 144 0,618025751 1,618055556 13 233 0,618037135 1,618025751 14 377 0,618032787 1,618037135 15 610 0,618034448 1,618032787 16 987 0,618033813 1,618034448 17 1597 0,618034056 1,618033813 18 2584 0,618033963 1,618034056 19 4181 0,618033999 1,618033963 20 6765 0,618033985 1,618033999 21 10946 0,61803399 1,618033985 22 17711 0,618033988 1,61803399 23 28657 0,618033989 1,618033988 24 46368 0,618033989 1,618033989 Una storia di conigli 10
#%& φ è la misura della sezione aurea del segmento unitario 1: φ = φ : 1 ( φ ) Ovvero φ è la soluzione positiva dell equazione Φ = 1/φ è la soluzione positiva dell equazione x 2 2 =1 x =1+ x x 11
' Griglia Aurea Griglia A3-A4-A5 12
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Realizzato da Federico Nicolosi - LS Vittorio Veneto - MI progetto 14
( )*+,-)*++ 15
Il valore estetico Test 1871 G.T. Fechner Metodo della scelta Metodo della produzione Metodo dell uso Argomenti di contestazione Ordine Orientazione Colore Casualità del campione dimensione Conclusioni 16
Il valore estetico Teorie estetiche Optical feeling Movimenti oculari Ipotesi perimetrica Sensazioni fisiche Contaminazioni culturali Valori estetici misurabili Messa in discussione di tutte le figure geometriche pure 17
Il problema della misura Bisogna essere Φedeli : Errori nel rilievo della misura: Difetti di costruzione Deformazioni successive Imprecisione della misura 18
Il corpo umano 19
Il problema della misura Rapporto tra lunghezze: Errore sulla misura diretta; Errore sulla misura indiretta; Valutazione dell incertezza. Esempio misure di rapporti nel corpo umano 20
Leggenda 21
o Realta` 22
Il volo del. calabrone Gli insetti che hanno occhi composti si dirigono verso una sorgente luminosa mantenendo costante l angolo formato dal raggio luminoso che colpisce l occhio e dal vettore che descrive in ogni istante la direzione del moto. In dipendenza dalla posizione iniziale si possono calcolare le traiettorie. La rapidità di avvicinamento dipende dall angolo. 23
Fuga dal mare La nebbia è calata all improvviso sul mare. Il nuotatore sceglie il percorso che rende minimo il massimo tempo di fuga. Articoli di Steven R. Finch (2005) Steven.Finch@inria.fr 24
Fillotassi Crescita delle foglie la crescita della foglie segue una «spirale vegetativa»: le linee rette che congiungono il centro del fusto e l abbozzo della foglia formano un «angolo di divergenza» di 137 30 (chiamato angolo aureo). 137,5 è la differenza tra 360 e 360 /. In altre parole: 360 / = 222.5 per cui l angolo minore è 360-222,5 =137,5 25
Fillotassi Motivazioni a) I germogli posti lungo la spirale generatrice risultano più fitti e sfruttano lo spazio con più efficienza ( Harold S.M. Coxeter, J. Adler, N. Rivier). b) per omogeneità( la struttura ovunque è la stessa) e autosomiglianza (la struttura in ogni sua parte conserva lo stesso aspetto). (N.Rivier) c) condizioni di energia minima consumata dalle gemme nel posizionarsi l una dall altra. Esperimenti di L.S.Levitov (1991), Stephane Donady e Yves Couder (1992 e 1996). 26
Fillotassi Infiorescenze /Disposizione dei petali o delle scaglie Gli elementi dell infiorescenza crescono e si disperdono in modo da occupare in maniera efficace lo spazio circolare al centro del fiore. Disposizione a spirale Numero delle spirali avvolte in senso orario oppure antiorario 27
Fillotassi Motivazioni Gli elementi si dispongono su circonferenze concentriche tali che: C è un punto su ogni circonferenza. L angolo di divergenza (d) tra punti su circonferenze successive è costante. Il raggio di circonferenze successive cresce di un fattore costante G. 28
Fillotassi Motivazioni G=φ, d=π/2 è è è è G=Φ, d=π/2 29
Spirali logaritmiche 30
Le proprietà principali 31
Destra o Sinistra 32
Un universo di Spirali Lituo Spirale inversa Clitoide Spirale di Fermat 33
Spirali auree 34
Spirali 35
Spirali Il motivo della spirale logaritmica è stato sempre presente nell arte. Recentemente il tema è stato ripreso nelle opere di Mario Merz. 36
Spirali in poesia La chiocciola Vìva la chiòcciola, vìva una béstia che unìsce il mèrito àlla modèstia. Essa àll astrònomo e all àrchitétto fórse nell ànimo destò il concètto del cànnocchiàle e délle scàle: vìva la Chiòcciola, càro animàle. G.Giusti 37
Manufatti Mobili Produzione artigianale Produzione industriale Produzione di studenti Gioielli Produzione artigianale Produzione di studenti 38
Mobili 39
Gioielli e oggetti 40
La sezione aurea in pittura Alcuni autori celebri Piero della Francesca Michelangelo Buonarroti Salvador Dali Mondrian George Seurat Malevich Rothko Lavori di alcuni studenti I lavori sono stati prodotti nella partecipazione a stage presso il Dipartimento di Matematica del Politecnico di Milano 41
Realta` antiche Piero della Francesca Michelangelo 42
e. moderne Salvador Dali 43
ancora moderne Mondrian George Seurat 44
fino ai nostri giorni Rothko Malevich 45
opere di studenti Rossella Barbuto -!!"#$%& ' ( 46
opere di studenti Rossella Barbuto -!!"#$%& ' ( 47
opere di studenti Federico Nicolosi - Liceo Scientifico Vittorio Veneto - Milano 48
La sezione aurea in scultura contemporanea Xavier Barrera Por la Libertad de Prensa Materiale: fibra di vetro Dimensioni: 250 cm (altezza) Por la Libertad de Prensa è un opera con significato politico, che si riferisce a un evento accaduto a Buenos Aires nel 1997, quando il reporter e fotografo Luis Cabezas fu assassinato a causa di un indagine che stava conducendo sulle attività governative. Ogni anno una manifestazione chiamata Camerazo commemora il giornalista argentino: nell occasione tutti i presenti impugnano una macchina fotografica con la mano destra, in un gesto di ricordo e di sfida. 49
Louise Bourgeois La spirale è il tentativo di controllare il caos. Ha due direzioni. Dove ci si colloca, alla periferia o al vortice? Cominciare dall'esterno è paura di perdere il controllo; l'avvolgimento è serrarsi, ritirarsi, comprimersi fino a sparire. Cominciare dal centro è affermazione, muoversi verso l'esterno rappresenta il dare e l'abbandonare il controllo; la fiducia, l'energia positiva, la vita stessa. 50
La sezione aurea in architettura contemporanea 51
Altre forme artistiche 52
Omaggio all arte 53
Omaggio all arte 54
Bibliografia/Linkografia Musica Free software http://reglos.de/musinum/ Sezione aurea e musica http://www.sectioaurea.com/sectioaurea/s.a.&musica.htm http://members.aol.com/loosetooth/math.html http://www.godel.it/pitagora/ Animazioni http://www.math.it/cabri/sezaurea.htm http://home.att.net/~vmueller/prop/theo.html 55
Bibliografia/Linkografia Sezione aurea e Fibonacci http://www.mcs.surrey.ac.uk/personal/r.knott/fibonacci/fibinart.html http://dmoz.org/science/math/recreations/specific_numbers/phi/ http://matematica.uni-bocconi.it/leonardo/sezione%20aurea.htm http://www.violettanet.it/links/sectioaurea.htm http://www.goldenmuseum.com/ http://goldennumber.net/ http://www.provincia.venezia.it/lartis/log/aurea/serie_fibo.htm http://www.tuhh.de/b/kuehn/lec4.html http://www.mscs.dal.ca/fibonacci/ http://www.ac-poitiers.fr/arts_p/b@lise14/pageshtm/index.htm http://www.magiadeinumeri.it/biologia.htm http://guide.supereva.com/arte_moderna/interventi/2004/05/159037.sht ml http://maven.smith.edu/~phyllo/about/fibonacci 56
E adesso. 57