Spinta delle terre Teoria di Coulomb o del prisma di massima spinta La valutazione in intensità, verso, punto di applicazione della spinta del terreno su un muro di sostegno presenta tutt ora difficoltà nella rigorosa determinazione a causa dei parametri che caratterizzano i vari terreni e delle azioni che agiscono su esso. Le teorie sviluppate sono numerose e fra questa la più nota e diffusa è quella di Coulomb detta anche del prisma di massima spinta. Ipotesi: 1. il masso di terra spingente è privo di coesione (cioè c=0, questo fa si che nel caso di terreni coerenti si va a vantaggio della sicurezza);. la superficie di scorrimento del terreno è piana (nella realtà la superficie di rottura è curva si vedano le frane ma anche in questo caso andiamo a vantaggio della sicurezza); 3. la superficie del terrapieno è orizzontale; 4. il paramento interno del muro è verticale; 5. si trascura l attrito tra terra e muro (anche in questo caso andiamo a vantaggio della sicurezza); 6. il muro, a causa della spinta, subisce uno spostamento in avanti (si parla di spinta attiva e per i muri più comuni è la situazione reale); 7. il terrapieno non è sovraccaricato (cioè sopra il terreno non è presente altro carico). Si tratta ora di valutare la spinta che il terreno esercita contro il muro. A causa dello spostamento del muro si genera la superficie di scorrimento, cioè una parte del terreno si distacca dal resto ed è proprio questa zona che genera la spinta del muro. Il problema che si è posto Coulomb è: quale è l inclinazione del piano di distacco che produrrà la massima spinta? Sicuramente l inclinazione, rispetto all orizzontale, sarà compresa tra l angolo di attrito interno φ e 90 in quanto per un angolo φ il terreno si regge da solo e quindi non produce nessuna spinta. ϕ Ricerca del triangolo di massima spinta Immaginiamo di conoscere l inclinazione β del piano di scorrimento 1
x N P h α β con: α = 90 β h x P = peso del prisma di terreno = γ t h ma x = h tgα allora P = γ t tgα (considerando la profondità di un metro) Possiamo scomporre P secondo la direzione perpendicolare al piano di rottura e perpendicolare al paramento del muro. ϕ N R P Ma N produrrà, a causa dell attrito interno, una forza che si oppone al moto del prisma, tale forza varrà T = f N = N tgϕ, parallela al piano di scorrimento, che insieme a N darà come risultante R; P γ 1 quindi la spinta si ottiene con t h tgα come si evidenzia dal triangolo delle forze prodotto tra S, R e P. α S S = = tg ( ϕ+ α) tg ( ϕ+ α) ϕ + α Pertanto la Spinta è funzione di α cioè S= S( α). Passiamo quindi a studiare tale funzione. Valutazione dell'inclinazione del prisma di massima spinta secondo Coulomb Il valore della spinta per una generica inclinazione del piano di scorrimento rispetto alla verticale si può calcolare con la
seguente formula: S=1/*ªt*h^*tan( )/tan(¾+ ) Cerchiamo allora la massima spinta prendendo in esame la sola parte funzione di. TAN( ) #: TAN(¾ + ) Che può essere scritta: #3: TAN( ) COT( + ¾) La funzione è riportata graficamente sotto per intervalli di 0 < <70 (X) e 0 <¾<50 (y) Si può notare che all'aumentare dell'angolo di attrito interno ¾ la curva è più "piccola". Per ottenere il valore massimo della funzione secondo è necessario determinare la derivata prima e ricercare dove è uguale a zero. d #4: (TAN( ) COT( + ¾)) d ¹ (COS( ( + ¾)) ( SIN( ) + SIN(4 )) + SIN( ( + ¾)) (COS(~ ~ #5: ~ ~ ) + 1) - SIN(4 ( + ¾)) COS( ) - SIN( ) - SIN(4 ( + ¾)) -~ ~ ~ 180 (COS( ) + 1) (COS( ( + ¾)) - 1) ~ SIN(4 )) Funzione che riportata nel grafico seguente 3
Le due funzioni, infine, sono riportate contemporaneamente nel sottostante grafico. Si può anche notare che la funzione #3 (al variare di ) è simmetrica rispetto ai due valori nulli e quindi il valore massimo si ottiene per: 90 - ¾ #6: = Essendo il tratto compreso tra i due valori nulli pari a: #7: 90 - ¾ Infatti la funzione varrà zero per tan( )=0: cioè per =0 e per cot(¾+ )=0 cioè per ¾+ =90 quindi per =90-¾ Per chiarire meglio supponiamo, a titolo esemplificativo che ϕ = 35 Valutazione dell'inclinazione del prisma di massima spinta secondo Coulomb (nell ipotesi che l angolo di attrito sia pari a 35 ) Il valore della spinta per una generica inclinazione del piano di scorrimento rispetto alla verticale si può calcolare con la seguente formula: S=1/*ªt*h^*tan( )/tan(¾+ ) Cerchiamo allora la massima spinta prendendo in esame la sola parte funzione di e, per semplicità, ricercando il valore per ¾=35. 4
TAN( ) #: TAN(35 + ) Che può essere scritta: #3: TAN( ) COT( + 35) La funzione, disegnata in fondo per il tratto positivo, assume il valore nullo per: #4: SOLVE(TAN( ) COT( + 35),, Real) #5: = 55 e = 0 Per individuare il massimo o il minimo di una funzione occorre valutare la derivata prima. d #6: (TAN( ) COT( + 35)) d ¹ (COS( ( + 35)) ( SIN( ) + SIN(4 )) + SIN( ( + 35)) (COS~ ~ #7: ~ ~ ( ) + 1) - COS( ( + 5)) COS( ) - SIN( ) - COS( ( ~ ~ ~ 180 (COS( ) + 1) (COS( ( + 35)) - 1) ~ + 5)) - SIN(4 )) Funzione, riportata nel diagramma sottostante, che assume il valore nullo per: ¹ (COS( ( + 35)) ( SIN( ) + SIN(4 )) + SIN( ( + 35~ NSOLVE ~ #8: ~ ~ )) (COS( ) + 1) - COS( ( + 5)) COS( ) - SIN( ) - COS(~ ~ ~ 180 (COS( ) + 1) (COS( ( + 35)) - 1) ~ ( + 5)) - SIN(4 )),, 90, 0 ƒ #9: = 7.5 Quindi la #3 nel punto di massimo vale: lim TAN( ) COT( + 35) #10: 7.5 5
SIN(0) + 1 #11: (SIN(35) + 1) #1: 0.709900541 Al valore della #9 si può pervenire anche osservando il grafico della # che risulta simmetrico nel tratto compreso i due valori nulli. Pertanto il massimo sarà nella media dei due valori, cioè: 0 + 55 #13: 55 #14: #15: 7.5 Valore uguale alla #9 6