Quadrato di un Binomio

PRODOTTI NOTEVOLI 1

Quadrato di un Binomio Cerchiamo la regola La regola Il significato geometrico Esempi Esercizi proposti prof.ssa Giuseppa Chirico 2

Quadrato di binomio: significato algebrico (a+b) 2 = (a+b) (a+b) = = a 2 +ab+ab+b 2 = = a 2 +2ab+b 2 prof.ssa Giuseppa Chirico 3

Quadrato di binomio: la regola ( a + b ) 2 = a 2 + 2ab + b 2 Il quadrato di un binomio è un trinomio avente per termini: il quadrato del 1 monomio il doppio prodotto del 1 monomio per il 2 il quadrato del 2 monomio prof.ssa Giuseppa Chirico 4

Quadrato di binomio: significato geometrico (a + b) (a + b) 2 ab b 2 a 2 ab a b (a + b) 2 = a 2 + 2 ab + b 2 prof.ssa Giuseppa Chirico 5

Quadrato di binomio: esempi (2a+b) 2 = (2a) 2 +2(2a)(+b)+(+b) 2 = 4a 2 + 4ab + b 2 (2a - b) 2 = (2a) 2 +2(2a)(-b)+(-b) 2 = 4a 2-4ab + b 2 (3a+2b) 2 = (3a) 2 +2(3a)(+2b) +(+2b) 2 = 9a 2 +12ab +4b 2 (3a -2b) 2 = (3a) 2 +2(3a)(-2b) +(-2b) 2 = 9a 2-12ab +4b 2 (-3a -2b) 2 = (-3a) 2 +2(-3a)(-2b)+(-2b) 2 = 9a 2 +12ab +4b 2 (-3a+2b) 2 = (-3a) 2 +2(-3a)(+2b)+(+2b) 2 = 9a 2-12ab+4b 2 1 x± 3 52 y = 1 3 x 2 2 1 3 x ± 52 y 5 2 y 2 = 1 9 x2 ± 5 xy+ 3 254 y2 prof.ssa Giuseppa Chirico 6

Quadrato di binomio: esercizi (2a + 7) 2 = (3a - 4b) 2 = (-2x - 3y) 2 = (a 2 + 3b) 2 = (5a - 3b) 2 = (5a 2 + 2b 2 ) 2 = (-3a 3 + 2b 2 ) 2 = (2ab - 3b) 2 = (7xy - 2x) 2 = 4a 2 + 28 a + 49 9a 2-24 ab + 16b 2 4x 2 + 12 xy + 9y 2 a 4 + 6 a 2 b + 9b 2 25a 2-30ab + 9b 2 25a 4 + 20 a 2 b 2 + 4b 4 9a 6-12 a 3 b 2 + 4b 4 4a 2 b 2-12 ab 2 + 9b 2 49x 2 y 2-28 x 2 y + 4x 2 prof.ssa Giuseppa Chirico 7

Quadrato di binomio: esercizi 1 2 a+3b 2 = 3 2 a 3b 2 = 3 2 a 1 5 b 2 = 3 a+ 5 15 2 b = 5 a 3 13 2 b = 1 a 3 13 2 ab = 2 3 a2 1 2 b2 2 = 1 4 a2 3 ab+ 9b 2 9 4 a2 9 ab+9b 2 9 4 a2 3 5 ab+ 1 25 b2 9 25 a2 6 25 ab+ 1 25 b2 25 9 a2 10 9 ab+ 1 9 b2 1 9 a2 2 9 a2 b+ 1 9 a2 b 2 4 9 a4 2 3 a2 b 2 1 4 b4 prof.ssa Giuseppa Chirico 8

Cubo di un Binomio Cerchiamo la regola La regola Il significato geometrico Esempi Esercizi proposti prof.ssa Giuseppa Chirico 9

Cubo di binomio: significato algebrico (a+b) 3 = (a+b) 2 (a+b) = = (a 2 +2ab+b 2) (a+b) = = a 3 +a 2 b+2 a 2 b+2ab 2 +ab 2 +b 3 = = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 prof.ssa Giuseppa Chirico 10

Cubo di binomio: la regola ( a + b ) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 Il cubo di un binomio è un quadrinomio avente per termini: il cubo del 1 monomio il triplo prodotto del quadrato del 1 per il 2 il triplo prodotto del 1 per il quadrato del 2 il cubo del 2 monomio prof.ssa Giuseppa Chirico 11

Cubo di binomio: esempi (2a+b) 3 = (2a) 3 +3(2a) 2 (+b) +3(2a)(+b) 2 +(+b) 3 = = 8a 3 + 12a 2 b + 6ab 2 + b 3 (2a - b) 3 = (2a) 3 +3(2a) 2 (-b)+3(2a)(-b) 2 +(-b) 3 = = 8a 3-12a 2 b + 6ab 2 - b 3 (-3a -2b) 3 = (-3a) 3 +3(-3a) 2 (-2b)+3(-3a)(-2b) 2 +(-2b) 3 = = -27a 3-54a 2 b - 36ab 2 - b 3 (-3a +2b) 3 = (-3a) 3 +3(-3a) 2 (+2b)+3(-3a)(+2b) 2 +(+2b) 3 = -27a 3 + 54a 2 b - 36ab 2 + b 3 1 a+ 3 52 b 3 = 1 3 a 3 3 1 3 a 2 5 2 b 3 1 3 a 5 2 b 2 5 2 b 3 = 1 27 a3 5 6 a2 b+ 25 4 ab2 25 4 b3 prof.ssa Giuseppa Chirico 12

Cubo di binomio: esercizi (2a + 1) 3 = (3a - b) 3 = 8a 3 +12a 2 +6a+1 27a 3-27a 2 b+6ab 2 -b 3 (-2x - 3y) 3 = -8x 3-36x 2 y-54xy 2-27y 3 (a 2 + 3b) 3 = a 6 +9a 4 b+27a 2 b 2 +27b 3 (a - 3b) 3 = 8a 3-36a 2 b+54ab 2-27b 3 (-3a 3 + 2b 2 ) 3 = -27a 9 +54a 6 b 2-36a 3 b 4 +8b 6 prof.ssa Giuseppa Chirico 13

Cubo di binomio: esercizi 1 2 a+3b 3 = 3 2 a 3b 3 = 3 2 a 1 3 b 3 = 1 a+ 5 13 3 b = 2 3 a 1 3 b 3 = 1 3 a ab 3 = 1 3 a2 1 2 b2 3 = 1 8 a3 9 4 a2 b+ 27 2 ab2 27 b 3 27 8 a3 81 4 a2 b+ 81 2 ab2 27 b 3 27 8 a3 9 4 a2 b+ 1 2 ab2 1 27 b3 1 125 a3 1 25 a2 b+ 1 15 ab2 1 27 b3 8 27 a3 4 9 a2 b+ 2 9 ab2 1 27 b3 1 27 a3 1 3 a3 b+a 3 b 2 a 3 b 3 1 27 a6 1 6 a4 b 2 1 4 a2 b 2 1 8 b6 prof.ssa Giuseppa Chirico 14

Quadrato del Trinomio Ricaviamo la formula La regola Esempi Esercizi proposti prof.ssa Giuseppa Chirico 15

Quadrato del Trinomio: ricaviamo la formula (a+b+c) 2 = (a+b+c) (a+b+c) = = a 2 +ab+ac+ab+b 2 +bc+ac+bc+c 2 = = a 2 + b 2 + c 2 +2ab + 2ac + 2bc prof.ssa Giuseppa Chirico 16

Quadrato del Trinomio: la regola (a+b+c) 2 = a 2 +b 2 +c 2 +2ab+2ac+2bc Il quadrato di un polinomio di un numero qualsiasi di termini è un polinomio avente per termini: il quadrato di tutti i termini il doppio prodotto (con il relativo segno) di ciascun termine per tutti quelli che lo seguono prof.ssa Giuseppa Chirico 17

Quadrato di polinomio: esempi (2a + b + 3c) 2 = =(2a) 2 +(+b) 2 +(+3c) 2 +2(2a)(+b)+2(2a)(+3c)+2(+b)(+3c) = 4a 2 + b 2 + 9c 2 + 4ab + 12ac + 12bc (2a - b - c) 2 = = (2a) 2 +(-b) 2 +(-c) 2 +2(2a)(-b)+2(2a)(-c)+2(-b)(-c)= = 4a 2 + b 2 + c 2-4ab - 4ac + 2bc (-3a - 2b + c ) 2 = =(-3a) 2 +(-2b) 2 +(+c) 2 +2(-3a)(-2b)+2(-3a)(+c)+2(-2b)(+c) = 9a 2 + 4b 2 + c 2 + 12ab - 6ac - 4bc 1 3 x±5 2 y±1 2 = 1 3 x 2 ±5 2 y 2 ±1 2 2 1 3 x ±5 2 y 2 1 3 x ±1 2 ±5 2 y ±1 = 1 9 x2 25 4 y2 1± 5 3 xy±2 3 x±5y prof.ssa Giuseppa Chirico 18

Quadrato del trinomio: esercizi (2a + 2b + 7)2 = (3a - 4b - 2c)2 = (-2x - 3y + 1)2 = (a2 + 3b - c) 2 = (5a + 2b + c)2 = (-3a3 +2b 2 +1) 2 = (2ab - 3b - 2)2 = (7xy - 2x - 1)2 = 4a 2 +4b 2 +49+8ab+24a+24b 9a 2 +16b 2 +4c 2-24ab-12ac+16bc 4x 2 +9y 2 +1+12 xy - 4x - 6y a 4 +9b 2 +c 2 + 6a 2 b - 2a 2 c - 6bc 25a 2 +4b 2 +c 2 +20ab+10ac+4bc 9a 6 +4b 4 +1-12a 3 b 2-6a 3 +4b 2 4a 2 b 2 +9b 2 +4-12ab 2-8ab+12b 49x 2 y 2 +4x 2 +1-28 x 2 y -14xy+4x prof.ssa Giuseppa Chirico 19

Somma per differenza Cerchiamo la regola La regola Esempi Esercizi proposti prof.ssa Giuseppa Chirico 20

Somma per differenza: cerchiamo la regola (a+b) (a-b) = = a 2 - ab + ab - b 2 = = a 2 - b 2 prof.ssa Giuseppa Chirico 21

Somma per differenza: la regola ( a + b ) ( a - b ) = a 2 - b 2 Il prodotto della somma di due termini per la loro differenza è uguale al quadrato del primo termine meno il quadrato del secondo termine prof.ssa Giuseppa Chirico 22

Somma per differenza: esempi (2a+b) (2a+b) = (2a) 2 - (b) 2 = 4a 2 - b 2 (2a - 5b) (2a + 5b) = (2a) 2 - (5b) 2 = 4a 2-25b 2 (3a+2b) (3a-2b) = (3a) 2 - (2b) 2 = 9a 2-4b 2 (-a +2b) (-a - 2b) = (-3a) 2 - (2b) 2 = 9a 2-4b 2 (4a + b) (- 4a + b) = (b) 2 - (4a) 2 = b 2-16a 2 (-3b+2a) (+3b+2a) = (2a) 2 - (3b) 2 = 4a 2-9b 2 1 x+ 3 52 y 1 x 3 52 y = 1 3 x 2 5 2 y 2 = 1 9 x2 25 4 y2 prof.ssa Giuseppa Chirico 23

Somma per differenza: esercizi (2a + 7)(2a 7)= (3a - 4b)(3a+ 4b) = (-2x - 3y)(-2x+3y) = (a2 + 3b)(a 2-3b) = (5a - 3b)(5a+ 3b) = (5a2 +2b 2 )(5a 2-2b 2 ) = (-3a3 +2b 2 )(-3a 3-2b 2 ) = (2a + 3b)( -2a + 3b) = (7xy - 2x)( -7xy - 2x) = 4a 2-49 9a 2-16b 2 4x 2-9y 2 a 4-9b 2 25a 2-9b 2 25a 4-4b 4 9a 6-4b 4 9b 2-4a 2 4x 2-49x 2 y 2 prof.ssa Giuseppa Chirico 24

Somma per differenza: esercizi 1 2 a+3b 1 2 a 3b = 3 2 a 3b 3 a+ 2 3b = 3 a+ 2 15 b a+ 32 15 b = 3 a+ 5 15 b a 35 15 b = 1 4 a2 9b 2 9 4 a2 9b 2 1 25 b2 9 4 a2 9 25 a2 1 25 b2 [(a+b) - 1] [(a+b) +1] = (a+b) 2-1 prof.ssa Giuseppa Chirico 25

Altri Prodotti Notevoli Somma di cubi Differenza di cubi La regola Esempi Esercizi proposti prof.ssa Giuseppa Chirico 26

Somma di Cubi: cerchiamo la regola (a+b) (a 2 - ab + b 2 ) = = a 3 - a 2 b + ab 2 + a 2 b- ab 2 + b 3 = = a 3 + b 3 prof.ssa Giuseppa Chirico 27

Differenza di Cubi: cerchiamo la regola (a - b) (a 2 + ab + b 2 ) = = a 3 + a 2 b + ab 2 - a 2 b- ab 2 - b 3 = = a 3 - b 3 prof.ssa Giuseppa Chirico 28

Somma o differenza di cubi: la regola (a+b)(a 2 - ab + b 2 ) = a 3 + b 3 Il prodotto della somma di due termini per il trinomio formato dal quadrato dei due termini e dalla differenza del loro prodotto è uguale al cubo del primo termine più il cubo del secondo termine (a - b)(a 2 + ab + b 2 ) = a 3 - b 3 Il prodotto della differenza di due termini per il trinomio formato dal quadrato dei due termini e dalla somma del loro prodotto è uguale al cubo del primo termine meno il cubo del secondo termine prof.ssa Giuseppa Chirico 29

Somma o Differenza di Cubi: esempi (2a + b)(4a 2-2ab + b 2 ) = (2a) 3 + (b) 3 = 8a 3 + b 3 (2a - b)(4a 2 + 2ab + b 2 ) = (2a) 3 - (b) 3 = 8a 3 - b 3 (3a+2b)(9a 2-6ab +4b 2 )= (3a) 3 + (2b) 3 = 27a 3 + 8b 3 (3a - 2b)(9a 2 + 6ab +4b 2 )= (3a) 3 - (2b) 3 = 27a 3-8b 3 1 a+ 3 34 b 1 9 a2 1 9 ab+ 4 16 b2 = 1 3 a 3 3 4 b 3 = 1 27 a3 27 64 b3 1 a 3 34 b 1 9 a2 1 9 ab+ 4 16 b2 = 1 3 a 3 3 4 b 3 = 1 27 a3 27 64 b3 prof.ssa Giuseppa Chirico 30

Somma o Differenza di Cubi: esercizi (2a + 7)(4a2-14ab + 49)= (3a - 4b)(9a2 +12ab+16b 2 ) = (2x - 3y)(4x2 + 6xy + 9y 2 ) = (a2 + 3b)(a 4 +9b 2-3a 2 b ) = (5a - 3b)(25a2 +15ab+9b 2 ) = (x2 + 2y 2 )(x 4-2x 2 y 2 + 4y 4 ) = (3a3 + b 2 )(9a 6-3a 3 b 2 + b 4 ) = (2a + 3b)( 4a2-6ab+9b 2 ) = (x - 2y)( x2 +2xy + 4y 2 ) = 8a 3 + 343 27a 3-64b 3 8x 3-27y 3 a 6 + 27b 3 125a 3-27b 3 x 6 + 8y 6 27a 9 + b 6 8a 2 + 27b 2 x 3-8y 3 prof.ssa Giuseppa Chirico 31