7. ESERCIZI SULLA DISTANZA FRA DUE PUNTI ) Calcola le distanze fra le seguenti coppie di punti: a) A;B6 ( ) ( ) A( 8 ); B( 7 5) c) A ( ;B ) ( 7) d) A( ); B e) A ( ;B6 ) ( ) f) A4;B ( ) ( ) g) A ; B 6 h) A;B ( ) ( π ) i) O;P ( ) ( ab ) ) Determina il perimetro del triangolo di vertici A( 4); B( 9); C( ) ) Determina il perimetro del triangolo di vertici D( 7); E(7); F( 9) 4) Trova il perimetro di PQR con P( 4); Q( ); R(56) (il risultato conterrà un radicale) 5) Il triangolo di vertici D( ); E( ); F( 7) è isoscele: dimostralo e calcola la sua base. 6) Verifica che il quadrilatero di vertici A( 6); B(); C(7 ); D( 5) è un parallelogrammo 7 7) Verifica che il quadrilatero di vertici A( ); B( ); C ( ); D ( ) è un quadrato 8) Verifica che il triangolo di vertici O ( ); A( ); B(6) è rettangolo 9) Determina quel punto P dell asse y che è equidistante da A(4 ) e da B( ) (indicazione: il generico punto dell asse y ha coordinate ( y) ; il problema è perciò risolto dall equazione ) 4 ) Determina quel punto P dell asse che è equidistante da O() e da Q( 5 5 ) (indicazione: il generico punto dell asse è ( ); il problema è perciò risolto dall equazione ) ) Quale punto della retta y = è equidistante dall origine e dal punto A( 4 )? Indicazione: un generico punto della retta y = ha coordinate ( ) ) Determina il centro e il raggio della circonferenza passante per i tre punti A(); B( ); C(8 ) (indicazione: il centro è quel punto P di coordinate ( y ) tale che PA = PB = PC. Basterà perciò impostare le due equazioni PA = PB e PA = PC e porle a sistema ) SUL PUNTO MEDIO DI UN SEGMENTO 4 ) Calcola le coordinate del punto medio del segmento AB essendo a) A5;B ( ) ( 9) A( 4 ); B( ) c) A( 4 ); B( ) d) A ; B 4 5 g) A(.6.4 ); B(.4.5) h) A ; B 4 4) Calcola le coordinate dei punti medi I L M N dei lati del quadrilatero ABCD essendo A( ); B( 5); C(57); D(7) Il quadrilatero che ha per vertici i punti medi dei lati di un quadrilatero qualsiasi è sempre un parallelogrammo: verificalo in questo caso particolare constatando i lati opposti di ILMN sono a due a due uguali. P;Q 4. Che coordinate ha N punto medio di PM? 5) M è il punto medio di PQ essendo ( ) ( ) e) A ( k ); B( ) f) A ( a+ b a ; B ( a b 6) Nell esercizio 6 si è verificato che ABCD con A( 6); B(); C(7 ); D( 5) è un parallelogrammo; ma allora le sue diagonali dovrebbero tagliarsi scambievolmente per metà vale a dire i loro punti medi dovrebbero coincidere. Verificalo. 7) Se M ( ) è il punto medio del segmento AB e A( 4) quali sono le coordinate di B? 8) Se M 4 è il punto medio del segmento AB e A 6 quali sono le coordinate di B? T 4 S 9) Trova le coordinate del punto R simmetrico di ( ) rispetto a ( ) ) Trova il quarto vertice del parallelogrammo che ha tre vertici in A ; B( 4); C() ) Per quale valore di k il segmento di estremi A(); B(k k) ha come punto medio il punto ( k k )?
SULL EQUAZIONE DI UNA CURVA (FORMA ESPLICITA FORMA IMPLICITA) ESEMPI Portare l equazione 8 y = in forma esplicita 5 Si tratta di isolare y a primo membro: 8 8 y = ; y = 8+ ; y = 8 ; y = ; y= 4 Viceversa: Portare l equazione y = + in forma implicita 4 Portare tutto a membro in modo che il membro sia ; sarà bene mandare pure via i denominatori: y = + ; y = 9 + ( abbiamo moltiplicato per ); 9 + y = 4 ESERCIZI ) Porta le seguenti equazioni in forma esplicita: a) + y = y + 4= c) + 4y 6= d) + y = e) 5y = f) 4 y = g) y+ + 6= h) y 4 = i) y + = j) y = 4 k) y+ y = l) y + y = (eq. di grado) ) Porta le seguenti equazioni in forma implicita: 7 m) y = + 8 n) y = + o) y = p) y = 5 4 q) y = r) y = + s) y = t) y = SULL APPARTENENZA DI UN PUNTO A UNA CURVA 4) E data la curva C: + y = 5. Stabilire quali fra i punti seguenti vi appartengono: A( 4); B(6); C( 5) 5) E data la curva di equazione y = 6. Stabilire quali fra i punti seguenti vi appartengono: P( 4/ ); Q( ); R(4) 6) Per quale valore del parametro k il punto A() appartiene alla curva di equazione ( k ) + ky+ 8=? 7) Per quale valore di a la curva y + a+ a = passa per l origine? 8) Determinare m in modo che il punto P( m m+ ) appartenga alla retta + y 5= 9) Trovare i punti di ascissa della curva + y = 5 ) Trovare il punto di ordinata della retta r:5 y+ = SULL INTERSEZIONE DI DUE CURVE ) Trova il punto d intersezione delle due rette r : y = + e r : y = + 9. ) Determina i vertici del triangolo i cui lati sono le rette di equazioni: y = y = 4+ y = 5 ) In quale punto si tagliano le due rette r : y = e r :6 y =? 4) Trova i punti di intersezione fra: C: + y = 5 ed r: + y+ 5= (sistema di grado sup. al ) 5) Trova i punti comuni alla circonferenza + y = 5 e all iperbole y = 6 (sistema di grado sup. al ) SULLA DIVISIONE DI UN SEGMENTO IN PARTI E SUL BARICENTRO DI UN TRIANGOLO 6) A(); B(95). Determina i punti P Q R S T che dividono il segmento AB rispettivamente: a) in parti proporzionali ai numeri e 5 (P) in parti proporzionali ai numeri e (Q) c) in modo che sia AR = RB d) in modo che sia AS = AB e) in modo che sia AT = AB 7) Determina il baricentro: a) di ABC con A ( ); B( 5); C( ) di DEF con D( ); E( ); F(4) 5 c) di ILM con I ; L ; M 4 6 4 8) Se due vertici di ABC sono A( 4); B() e il baricentro è G() che coordinate ha il vertice C? 9) Se un vertice di ABC è A( ) e il baricentro è G( 4) che coordinate ha il punto medio M di BC? 4) Se un vertice del triangolo ABC è A(55) e il baricentro è G( 9 5) quanto misura la mediana AM?
6 RISPOSTE ) a) 7 c) 4 d) 5/ e) 5 f) 4 g) / h) π π + 6 i) a + b ) ) 4 4) 5 + 97 5) In effetti è DE = DF = 5. base = EF = 5 = 5 6) Occorrerà controllare che i lati opposti siano a due a due uguali. E si trova AB = DC = e AD = CB = 5. 7) Si deve verificare che i quattro lati sono uguali e pure le diagonali sono uguali! Si trova AB = BC = CD = DA = 5/ AC = BD = 5 5 = 4 8) Basta verificare che la somma dei quadrati di due lati uguaglia il quadrato del lato rimanente: si potrà allora concludere che il triangolo è rettangolo per l inverso del Teorema di Pitagora. 9) L equazione è ( 4) + ( y+ ) = ( ) + ( y+ ) e per mandar via le radici si eleveranno al quadrato entrambi i membri. Si trova P( ). ) Analogo al problema precedente. Si trova P( 4). ) Il punto è P(4 ). Il problema si risolve con l equazione ( ) + ( ) = ( 4) + ( ) ( ) + ( y ) = ( ) + ( y+ ) ) Il centro è (5) il raggio è 5. Il sistema risolvente è ( ) + ( y ) = ( 8) + ( y+ ) 7 d) 4 85 e) k + f) a a g) (.5.5) h) 8 ; due lati opposti di ILMN misurano 5 e gli altri due 6 ) a) ( 7) c) ( ) 4) ( ); ( ); ( 7 ); ( 4) 5) N 6) In effetti sia AC che BD hanno per punto medio 5 7 7) B6 ( 5) 8) B 9 6 9) R( 8) ) D ) Per nessun valore di k: dovrebbe risultare simultaneamente sia + k + k = k che = k ma le due equazioni hanno soluzioni diverse: non esiste un valore di k che le soddisfi entrambe. ) a) y = + y = + 4 c) y = + 4 4 d) y = e) y = f) y = 5 g) y = + 6 h) ( la condizione si può y = i) y = scrivere ma a ben guardare è inutile : sapresti dire perché?) j) y =± + 4 k) y = + l) y = ± + ) + y = 5+ 5y+ = + y+ 7 = m) + y 8= n) o) p) o y+ = o 5 5y = o y 7 = y = q) 4 + y = r) + y = s) t) y = con y con y 4) A: sì appartiene B: no C: sì 5) P: sì Q: sì R: no 6) k = 7) a = / 8) m = 9) ( 4); ( 4) ) ; ; 6 ( /5 ) ) ( 5 ) ) ( ) ( ) ( ) ) In nessun punto: sono parallele 4) A( 5); B( 4) 7 ± 7 7 ± 7 5) 4 intersezioni: ; 5 6) P 4 9 7 Q 7 5 5 R( ) S T( 5 7) 7) a) ( 4 ) c) 9 6 6 8) C(6) 9) M( 7) 4) AM = 9
7 ALTRI ESERCIZI (risposte alla pagina successiva) 4) I punti ( y ) del piano cartesiano le cui coordinate soddisfano le due condizioni 55 y formano un rettangolo. Qual è la sua area? Che coordinate ha il punto di intersezione delle diagonali? 4) Che figura geometrica formano sul piano cartesiano a) i punti per i quali il valore assoluto dell ordinata vale? i punti ( y ) per i quali y >? c) i punti ( y ) per i quali + y > 5? 4) E possibile sul piano cartesiano trovare punti A B C tali che AB = BC = 6 AC = 8? E tre punti P Q R per cui PQ = QR = 8 RP = 4? 44) Quali sono i punti sull asse che vedono il segmento AB con A( 4) e B() sotto un angolo retto? Puoi rispondere a questa domanda conoscendo esclusivamente la formula per la distanza fra due punti e il Teorema di Pitagora col suo inverso! (Equazione di grado) 45) Scrivi l equazione del luogo dei punti che sono equidistanti dai due punti O() e A(). Verifica che i due punti di coordinate () e () soddisfano entrambi com era prevedibile l equazione trovata. Porta questa in forma esplicita e disegna la curva: vedrai che si tratta ovviamente di una retta. In Geometria che nome si dà a questa retta? 46) Se un punto P ha coordinate ( ) a) dall origine dall asse c) dall asse y? y qual è l espressione contenente e/o y che fornisce la sua distanza 47) Qual è il luogo dei punti che hanno la proprietà di essere equidistanti dall origine O() e dall asse? Puoi rispondere sia col ragionamento geometrico puro senza pensare alle coordinate sia scrivendo l equazione del luogo geometrico 48) Considera il triangolo rettangolo OAB con O(); A( a); B( b ) e verifica che la mediana relativa all ipotenusa è uguale a metà dell ipotenusa stessa.
RISPOSTE 4) Area = 48. Le diagonali si intersecano in ( ). 8 4) a) Sono distribuiti su due rette parallele all asse di equazioni y = e y = rispettivamente. Un semipiano privato della sua retta origine c) + y > 5 equivale a + y > 5. Ma + y è la distanza di ( y ) dall origine. Allora la figura è formata da tutti i punti del piano tranne quelli del cerchio di centro O e raggio 5. 4) E possibile sul piano cartesiano trovare punti A B C tali che AB = BC = 6 AC = 8? No perché in un triangolo ciascun lato è sempre minore della somma degli altri due ( relazione triangolare ) mentre qui non è <6+8. Inoltre i tre punti non possono essere allineati perché in questo caso fra i segmenti in gioco ce ne sarebbero due con somma uguale al terzo segmento: ora ciò coi nostri segmenti non avviene. E tre punti P Q R per cui PQ = QR = 8 RP = 4? Sì. I tre punti saranno allineati con R compreso fra P e Q. 44) Un punto P dell asse ha coordinate P ( ). L angolo APB sarà retto se e solo se PA + PB = AB. Si trova che i due punti hanno coordinate ( ) e ( ). P y del piano e si traduce in coordinate la condizione PO Ci si libera dalle radici elevando al quadrato. Si trova y = + retta che è l asse del segmento AB. 45) Si considera il generico punto ( ) 46) a) c) y + y 47) Il luogo è l asse y. Tutti e soli i punti dell asse y ossia tutti e soli i punti di ascissa nulla ( = ) 8 hanno la proprietà di essere equidistanti dall origine e dall asse. + y = y ; + y = y + y = y = =. 48) In effetti AB = a + b e OM = a + b = PA.