Distanza fra due punti Dati due punti AHxA ya L e BHxB yb L la distanza fra di essi è uguale alla lunghezza del segmento AB che è a sua volta uguale al modulo del vettore vhxb - xa yb - ya L ed è dato da dab AB HxB - xa L + IyB - ya M Area del triangolo Dati i tre vertici AHxA ya L BHxB yb L CHxC yc L l area del triangolo ABC si calcola con la formula 1 1 1 Area det xa xb xc y A yb yc 1 Condizione di allineamento di tre punti Tre punti AHxA ya L BHxB yb L CHxC yc L sono allineati se il triangolo che essi formano ha area uguale a zero quindi se e solo se 1 1 1 det xa xb xc 0 y A yb yc Equazione della circonferenza di centro e raggio assegnati Dato il centro AHxA ya L e il raggio R otteniamo dalla formula precedente Hx - x A L + H y - y A L R Hx - x A L + H y - y A L - R 0 x + y - x A x - y A y + x A + y A - R 0 che fatte le sostituzioni a - xc b - yc c xa + ya - R si scrive x + y + ax + by + c 0 Punto medio di un segmento E dato il segmento di estremi AHxA ya L BHxB yb L. Il punto medio M del segmento AB si trova applicando la formula Mº x A + xb y A + yb Retta per un punto di direzione assegnata Assegnati il punto e il vettore vhl ml la retta passante per A e avente la direzione di v ha equazioni parametriche
x xa + l t y ya + m t e eliminando il parametro t fra le due equazioni otteniamo x - xa l y - ya m da cui con facili calcoli mx - ly - mxa + lya 0 che posti a m b -l c -mxa + lya assume la forma ax + by + c 0 Retta per due punti Dati i due punti AHxA ya L e BHxB yb L esiste ed è unica la retta che li congiunge. Questo problema è identico a quello di trovare la retta passante per A e di direzione ABHxB - xa yb - ya L quindi ragionando come sopra x xa + HxB - xa L t y ya + HyB - ya L t da cui y - ya yb - y A x - xa xb - x A che è la formula cercata. ESERCIZIO Ricavare la formula della retta per due punti a partire dalla condizione di allineamento di tre punti di cui due conosciuti (A e B) e il terzo PHx yl incognito. Rette verticali e orizzontali Senza effettuare calcoli le rette verticali hanno equazione del tipo xh mentre per le rette orizzontali yh Condizione di perpendicolarità Due vettori sono perpendicolari se il loro prodotto scalare è uguale a zero v w v w 0 Quindi assegnate due rette ax + by + c 0 e a'x + b'y + c ' 0 esse risultano perpendicolari se è
aa' + bb' 0 Condizione di parallelismo Due vettori v e w sono paralleli se sono uno multiplo dell altro cioè se accade che v h w per un opportuno valore di h. In termini di componenti deve essere vx h wx v y h w y Ma allora due rette ax + by + c 0 e a'x + b'y + c ' 0 risulteranno parallele se è a a' b b' Punto di incontro di due rette Date le due rette ax + by + c 0 e a'x + b'y + c ' 0 sappiamo che esse possono essere - parallele (non hanno punti in comune) - incidenti (si incontrano in un solo punto) - coincidenti (hanno tutti i punti in comune) In geometria analitica è possibile risolvere questo problema risolvendo col metodo che si preferisce il sistema lineare ax + by + c 0 a'x + b'y + c' 0 Se il sistema risulta impossibile siamo in presenza di due rette parallele cioé aventi la stessa direzione ma prive di punti in comune. Se il sistema è determinato (ha soluzione unica) allora tale soluzione rappresenta proprio l ascissa e l ordinata del punto comune alle due rette. Se il sistema è indeterminato (infinite soluzioni) concluderemo che le due rette sono coincidenti (sovrapposte). Baricentro di un triangolo Dati i tre vertici AHxA ya L BHxB yb L CHxC yc L le tre mediane del triangolo ABC si incontrano nel punto G x A + xb + xc y A + yb + yc Teorema di Eulero Il baricentro l ortocentro e il circocentro di un triangolo appartengono a una stessa retta chiamata retta di Eulero. Distanza tra un punto e una retta Sono assegnati il punto PHx0 y0 L e la retta r di equazione ax + by + c 0. La determinazione della loro distanza si può ricondurre al calcolo della distanza fra due figure geometriche F1 e F che è la distanza fra i due punti A1 Î F1 e A Î F fra loro più vicini.
4 Sono assegnati il punto PHx0 y0 L e la retta r di equazione ax + by + c 0. La determinazione della loro distanza si può ricondurre al calcolo della distanza fra due figure geometriche F1 e F che è la distanza fra i due punti A1 Î F1 e A Î F fra loro più vicini. Allora nel caso della retta e del punto la distanza cercata sarà la lunghezza del segmento condotto dal punto P fino a incontrare perpendicolarmente la retta r. Tale lunghezza può essere ottenuta ricordando che eseguendo il prodotto scalare di un vettore v per un versore n (si dice versore un vettore di lunghezza unitaria) si ottiene la componente di v nella direzione di n. Possiamo quindi procedere così prendiamo un punto Q Î r troviamo il vettore PQ e ne facciamo il prodotto scalare per il versore normale alla retta stessa. Il punto QHx1 y1 L appartiene a r se risulta ax1 + by1 + c 0 da cui abbiamo c -ax1 - by1 che useremo dopo. Il vettore PQ è allora PQ Hx1 - x0 y1 - y0 L Il versore ortogonale alla retta r ha componenti n a b HabL Abbiamo tutto quello che serve La distanza cercata sarà data da dpr PQ n Ix1 - x0 y1 - y0 M Ha bl H- ax0 - bx0 + ax1 + bx1 L a + b ax0 + by0 + c a + b che è la formula cercata. Nell ultimo passaggio abbiamo sfruttato il fatto che all interno del modulo è consentita la moltiplicazione per -1 e il valore di c -ax1 - by1 che avevamo calcolato all inizio della dimostrazione. ESEMPIO Troviamo la distanza fra la retta r x - y + 1 0 e il punto PH4 L. Applicando la formula tenendo presente che a 1 b - c 1 x0 4 y0 1 4+H-L +1 1 +H-L 4-4+1 1+4 1 Dipendenza e indipendenza lineare Dati n vettori v 1 v... v n si dice che essi sono linearmente dipendenti se esistono n scalari a1 a... an non tutti nulli tali che risulti a1 v1 + a v +... + an vn 0 Ad esempio due vettori v w sono linearmente dipendenti se esistono due numeri a e b tali che risulti la combinazione lineare a v + b w 0. Quindi se uno dei due vettori è multiplo dell altro vale a dire se sono allineati.
n vettori si dicono linearmente indipendenti se non sono linearmente dipendenti. Esempio dimostriamo che i due vettori vh 1Le wh Lsono linearmente indipendenti. Vediamo se esistono due numeri a e b tali che sia ah 1L + bh L 0 cioè a+b 0 H- bl + b 0-4 b 0 b0 a+b 0 a - b a - b a0 Quindi soltanto per a 0 b 0 si ottiene la combinazione lineare nulla i due vettori sono linearmente indipendenti. Esempio dimostriamo che i tre vettori ah 1 0LbH0 1 1LcH L sono linearmente dipendenti. Vediamo se esistono tre numeri a b g tali che risulti nulla la combinazione lineare aa + bb + gc 0 a -g a+g 0 a -1 a + b + g 0 b - g b - (ad esempio ma anche altri valori andrebbero bene) b+g 0 00 g1 Quindi esiste una combinazione lineare nulla dei tre vettori con coefficienti non tutti nulli infatti C - b - a 0. Se ne deduce che i tre vettori sono linearmente dipendenti quindi appartengono allo stesso piano.