Elettromagnetismo (II) Circuito elettrico, maglia e prima legge di Kirchhoff Un circuito elettrico è un percorso per le cariche elettriche. Il circuito è chiuso quando una carica elettrica lo può percorrere ritornando al punto di partenza. Se una carica q segue un percorso chiuso, quando ritorna al punto di partenza si ritrova al livello di energia potenziale qv iniziale. Quindi: La somma delle differenze di potenziale ai capi di ogni elemento di un circuito chiuso è uguale a zero. Questa proprietà è detta prima legge di Kirchhoff La prima legge di Kirchoff può essere usata per trovare semplici relazioni tra le cadute di potenziale degli elementi del circuito. Consideriamo un generico circuito costituito da 7 dispositivi (potrebbero essere resistenze, condensatori, batterie, diodi ecc) collegati da conduttori: Indichiamo la caduta di potenziale elettrico sull n-esimo dispositivo con una freccia che unisce il punto a potenziale più basso (coda della freccia) col punto al potenziale più alto (punta della freccia). La scelta del verso della freccia originariamente sarà arbitraria perché non sapremo, in genere, qual è effettivamente il punto a potenziale più alto tra i due capi del dispositivo. Una volta risolte le equazioni del circuito, se si otterrà un valore V n >0, vorrà dire che il verso scelto è quello corretto. Se invece V n <0, allora il punto effettivamente a potenziale maggiore è quello corrispondente alla coda della freccia. 1
Si ottiene quindi il seguente schema: Tralasciamo di indicare la caduta di tensione sui tratti di conduttore perché già sappiamo che su di essi la caduta è nulla (sono corpi equipotenziali). All interno del circuito si trovano tre sotto-percorsi chiusi, detti maglie. La prima maglia percorre i dispositivi 1, 2 e 3 ; la seconda attraversa 3, 4, 5 e la terza attraversa 6 e 7. Percorriamo in senso orario ognuna delle tre maglie. Per ogni maglia scriviamo la relazione tra le cadute di tensione applicando la I legge di Kirchhoff. In ogni equazione, le cadute di tensione V n hanno segno positivo se hanno lo stesso verso di percorrenza della maglia, segno negativo in caso contrario. Dalla prima maglia otteniamo: V 1 +V 2 -V 3 =0 Dalla seconda: V 3 -V 4 -V 5 =0 Dalla terza: V 6 -V 7 =0 Nota: se sommiamo queste tre equazioni otteniamo: V 1 +V 2 -V 4 -V 5 +V 6 -V 7 =0, cioè l equazione di Kirchhoff applicata alla maglia costituita dal perimetro esterno dell intero circuito. 2
Esempio Il circuito in figura è composto da una batteria con forza elettromotrice E collegata ad una resistenza R e ad un interruttore. Trovare la corrente I, la differenza di potenziale ai capi della batteria V b -V a, e la differenza di potenziale ai capi della resistenza, V c -V d : 1) quando l'interruttore è aperto; 2) quando l interruttore è chiuso. 1) a circuito aperto non passa corrente: quindi Per la legge di Ohm, V 2 =RI; poichè I=0 I=0. V 2 = 0 Inoltre V 1 =E, forza elettromotrice della batteria 2) A circuito chiuso la somma di tutte le cadute di potenziale deve essere =0 per la I legge di Kirchhoff. V 1 -V 2 =0 [Ovviamente (V c -V b )=0 e (V a -V d )=0 perché questi due tratti sono conduttori con resistenza nulla e quindi la caduta di potenziale è nulla qualsiasi sia la corrente che li attraversa.] Inoltre: la f.e.m. della batteria vale E: V 1 =E Per la legge di Ohm V 2 =RI quindi E-RI=0 I=E/R 3
Esempio. Una batteria è più realisticamente rappresentabile da un generatore di f.e.m. E in serie ad una resistenza r 1 che rappresenta le inevitabili resistenze interne della batteria. Valutare la tensione ai capi della batteria V d -V c circuito aperto; a circuito chiuso. 4
A circuito aperto I=0, quindi è 0 anche la caduta di tensione su r 1 : V 3 =0 La tensione ai capi della batteria V d -V c = V 2 +V 3 =E 1 +0=6 [V] A circuito chiuso, per la I legge di Kirchhoff: V 1 +V 2 +V 3 =0 Considerando la f.e.m. della batteria: V 2 =E Le resistenze sono attraversate dalla stessa corrente I e, per la legge di Ohm: V 3 = r 1 I V 1 = RI Quindi RI +E+ r 1 I =0 I=-E/(r 1 +R) La tensione sulla resistenza interna è: V 3 =-E r 1 /(r 1 +R)= = -6 x 2/(2+3)= =-2.4 V A circuito chiuso, la tensione ai capi della batteria è V 2 +V 3 = = 6-2.4= = 3.6 [V] Quindi l incremento di potenziale elettrico fornito da una batteria reale quando lavora in un circuito chiuso è inferiore al valore nominale. 5
Nodo e seconda legge di Kirchhoff Si chiama nodo di un circuito un punto in cui un conduttore elettrico si dirama in due o più percorsi: Per il principio di conservazione della carica, quando una corrente entra in un nodo, nessuna carica viene persa o creata nel nodo. Da ciò deriva la II legge di Kirchhoff: la somma delle correnti che entrano in un nodo è uguale alla somma delle correnti che escono dal nodo. Questa legge permette di scrivere una equazione relativa alle correnti del circuito per ogni nodo. Consideriamo di nuovo il circuito visto precedentemente. Esso contiene 4 nodi (indicati con ). Evidenziamo le correnti che entrano nei vari nodi, indicando (arbitrariamente) i versi delle correnti come in figura. Abbiamo: per il nodo in alto a destra: I 6 =I 2 +I 8 per il nodo in alto al centro: I 8 =I 9 +I 3 per il nodo in alto a sinistra: I 9 =I 4 +I 6 Nota: se sommiamo queste tre equazioni otteniamo proprio la II legge di Kirchhoff per il nodo in basso al centro: I 2 +I 3 +I 4 =0 6
Resistenze in Serie e in Parallelo Le due leggi di Kirchhoff permettono di trovare la resistenza equivalente di disposizioni in serie o in parallelo di resistenze. Esempio. Qual è la resistenza complessiva R TOT delle 3 resistenze dei due circuiti in figura, disposte in serie (sinistra) ed in parallelo (destra)? Serie. Se V 1, V 2 e V 3 sono le cadute di tensione sulle 3 resistenze, allora V 1 =R 1 I; V 2 =R 2 I; V 3 =R 3 I. Ma poiché la somma di tutte le tensioni deve essere uguale a zero, E=V 1 + V 2 + V 3, cioè E=I(R 1 + R 2 + R 3 ). Quindi le 3 resistenze in serie sono equivalenti ad una resistenza R TOT = R 1 + R 2 + R 3. Parallelo. Essendo in parallelo, ai capi di ciascuna resistenza ci sarà la stessa caduta di tensione V. Poiché la somma di tutte le tensioni deve essere uguale a zero, V=E. Le resistenze sono attraversate dalle correnti I 1 =V/R 1 ; I 2 =V/R 2 ; I 3 =V/R 3. La corrente che entra nel nodo a deve essere uguale a quella che esce e quindi I= I 1 + I 2 +I 3. Quindi I= V(1/R 1 + 1/R 2 +1/R 3 ). Quindi il parallelo delle 3 1 resistenze è equivalente ad una resistenza R TOT = 1 1 1 R R R In generale: resistenza equivalente R S di resistenze in serie: R S =R 1 +R 2 +R 3 +... resistenza equivalente R P di resistenze in parallelo: 1 1 1 1... R R R R P 1 1 2 2 3 3 Esempio. Trovare la resistenza equivalente del parallelo di R 1 e R 2, R P quando: a) R 1 = R 2 = 2 k ; b) R 1 = R 2 =6 k ; c) R 1 =2 k ; R 2 =6 k ; Nei casi a) e b), R P = R 1 /2. Quindi a) R P =1 k ; b) R P =3 k ; La resistenza equivalente è quindi la metà della singola resistenza in parallelo. Nel caso c) abbiamo che R P = R 1 R 2 / (R 1 +R 2 ). Quindi R P = 2 6/(2+6)=12/8= 1.5 k La resistenza equivalente R P ha un valore intermedio tra R 1 /2 e R 2 /2. 7
Compito: 1) In quale delle tre resistenze scorre la corrente maggiore? Quanto vale tale corrente? 2) Su quale delle tre resistenze si ha la maggior caduta di tensione elettrica? Quanto vale tale caduta? 3) Quanta potenza sta erogando la batteria? 8
Circuiti con resistenze e capacità (circuiti RC) Se si collega un condensatore scarico ad una batteria con un circuito di resistenza R, la batteria sposterà le cariche da un armatura all'altra del condensatore finché la caduta di potenziale V sul condensatore sarà pari alla f.e.m. E. A questo punto non ci sarà differenza di tensione sulla resistenza, e la corrente I è =0. Analogamente se le armature di un condensatore carico sono collegate con un filo di resistenza R, la tensione V tra le armature genera una corrente I= V/R nel filo che scarica il condensatore. La corrente si arresta quando il condensatore sarà completamente scaricato. Il tempo di carica o scarica del condensatore,, aumenta con C (più la capacità è grande, maggiore è la carica Q=C V accumulata per un dato potenziale V) e con R (al crescere di R diminuisce la corrente I= V/R che carica e scarica il condensatore). =RC ha proprio le dimensioni di un tempo (si misura in secondi), ed è detto costante di tempo del circuito RC. Spesso i circuiti RC sono utilizzati per stabilizzare salti di tensione. Nel circuito seguente un generatore produce un onda quadra, che salta bruscamente tra 0 e V 0. Per ottenere un onda più regolare, si può alimentare un generico circuito utilizzando non direttamente la tensione del generatore, V gen, ma la tensione ai capi del condensatore, V cond, che si modifica più dolcemente. 9
Impianti Elettrici e Sicurezza L'energia elettrica viene distribuita alle abitazioni attraverso linee elettriche a corrente alternata (50 Hz), di tensione pari a 220 V. Le abitazioni sono elettricamente collegate in parallelo a due cavi di distribuzione: uno alla tensione (alternata) di 220 V, detto cavo di fase, l'altro alla tensione di "terra" (cioè allo stesso potenziale elettrico della terra), detto neutro. Il contatore è inserito in serie alla linea che entra in casa. Ha lo scopo di registrare i consumi elettrici. Gli apparecchi domestici (lampadari, televisori, frigorifero, ecc) sono tutti disposti in parallelo. Interruttori di sicurezza sono messi tra gli apparecchi e il contatore in modo che scattino se la corrente raggiunge valori eccessivi (per un sovraccarico dell impianto o per un cortocircuito). L interruttore salvavita è un dispositivo magnetotermico differenziale che interrompe la corrente elettrica in situazioni di emergenza. In caso di cortocircuito (contatto accidentale tra cavo di fase e neutro) si verifica un picco elevatissimo di corrente. Questo impulso di corrente produce un campo magnetico che attira un ancora aprendo l interruttore. In caso di sovraccarico (consumo eccessivo di corrente elettrica per un periodo prolungato), una resistenza elettrica all interno dell interruttore si scalda: la resistenza, composta da una lamina metallica, si deforma per dilatazione termica aprendo il circuito. In caso di perdita di corrente (ad esempio, quando una persona prende la scossa, scaricando corrente elettrica verso terra attraverso il corpo), la corrente che entra nel circuito attraverso il cavo di fase è maggiore di quella che esce dal cavo neutro: l interruttore misura la differenza tra le due correnti è quando essa supera una soglia minima, apre il circuito. 10
La messa a terra di un apparecchio è importante per aumentarne la sicurezza. Nella figura di sinistra è schematizzata una lavatrice priva di messa a terra. Un filo difettoso, non isolato, potrebbe portare la carcassa della lavatrice al potenziale della linea (220 V). Se una persona toccasse la carcassa dell'apparecchio, farebbe da conduttore tra la linea di tensione e la terra, venendo attraversato da una pericolosa corrente elettrica con rischio di folgorazione. Nelle linee domestiche moderne è previsto un terzo filo di messa a terra. Gli elettrodomestici certificati hanno la carcassa collegata al filo di terra. Nell'istante in cui un filo a 220 V facesse contatto con la carcassa dell'elettrodomestico, si chiuderebbe il circuito con la terra generando un cortocircuito. Questo farebbe immediatamente saltare l'interruttore di sicurezza (salvavita) togliendo tensione all'impianto. In un impianto a norma, devono quindi essere presenti tre conduttori elettrici che raggiungono ogni presa, distinguibili dal colore della guaina di gomma usata per l isolamento. In genere si usa il nero e/o marrone per il conduttore di fase, il blu per il conduttore neutro; il giallo/verde per il conduttore di terra. 11
Tutti gli apparecchi devono essere provvisti di messa a terra perché correnti anche piccole possono avere effetti molto gravi sul corpo umano. 1 ma Una corrente di 1 ma è già avvertita come un formicolio (se si tratta di corrente alternata a 50 Hz). Dal momento che una "scossa" inaspettata può provocare danni causati dalla sorpresa, 1 ma è considerato il limite massimo ammissibile per le correnti che si disperdono dagli apparecchi (correnti parassite). pochi ma Una corrente di pochi ma provoca dolore e contrazioni muscolari. 10-20 ma Tra 10 e 20 ma i muscoli si paralizzano, ed una persona potrebbe non riuscire a lasciare la presa da un conduttore elettrico. 18mA A 18 ma potrebbero paralizzarsi i muscoli respiratori. 100 ma Una corrente di 100 ma è in grado di provocare, in pochi secondi, la fibrillazione ventricolare. Questo evento non si arresta spontaneamente, e se il soggetto non è subito soccorso muore in pochi minuti. L'intensità della corrente che attraversa chi tocca un oggetto sotto tensione dipende fortemente dalla resistenza elettrica del corpo. Questa può essere molto variabile. La pelle secca ha un'ottima resistenza: fino a 10 5 ohm per cm 2 di superficie. Questa resistenza può diminuire di 100 volte se la pelle è bagnata. Una persona immersa in una vasca può formare un contatto verso terra con una resistenza di soli 500 ohm: se toccasse un apparecchio alla tensione di 220 V sarebbe sottoposta ad una corrente di 220/500=0.4 A= 400 ma. La resistenza delle mani sudate è di 1500 ohm: toccando un corpo a 220 V si verrebbe attraversati da una corrente di 220/1500= 150 ma. Queste correnti sono letali. La situazione è ancora più critica in ospedale, dove i pazienti possono avere cateteri, elettrodi, aghi e sonde inserite nel corpo. In questi casi, basterebbe anche una corrente parassita di soli 0.02 ma per provocare un arresto cardiaco, se la corrente arrivasse ad attraversare il cuore 12
Appendice: Modello elettrico dell assone e conduzione di un impulso elettrico sottosoglia Struttura di una generica cellula nervosa Forma e dimensioni cambiano molto a seconda della funzione (motoneuroni, interneuroni, neuroni sensitivi). Elementi caratteristici comuni sono i dendriti (ramificazioni che permettono lo scambio di informazioni con altre cellule in punti detti sinapsi) e l assone (una struttura lunga e sottile per la trasmissione dell impulso elettrico). Nell uomo, gli assoni hanno diametro compreso tra 1 e 20 m. La lunghezza è molto variabile, e può arrivare al metro. In alcuni animali superiori gli assoni sono ricoperti da cellule di Schwann che formano una guaina mielinica. 13
Modello Elettrico dell Assone Possiamo suddividere l assone in una successione di segmenti in serie tra loro. Ogni segmento sarà un cilindretto di assoplasma di resistività A, di lunghezza l e raggio r, circondato da una membrana. La corrente elettrica fluisce lungo l assone, ma può anche in parte disperdersi attraverso la membrana. La membrana ha una sua resistenza elettrica R e si comporta come l armatura di un condensatore: si possono infatti accumulare cariche positive e negative sul lato esterno ed interno. Ogni cilindretto dell assone può essere quindi rappresentato elettricamente con una resistenza di assoplasma R, ed una resistenza e capacità di membrana R e C, così disposte: L intero assone è quindi rappresentato da un circuito costituito dalla serie dei modelli elettrici dei singoli cilindretti. Parametri Tipici di un assone assone mielinico assone amielinico Resisitività assoplasma A 2 [ohm][m] 2 [ohm][m] Capacità per area unitaria di membrana C m 5 10-5 [F][m] -2 10-2 [F][m] -2 Resistenza di un area unitaria di membrana R m 40 [ohm][m] 2 0.2 [ohm][m] 2 Raggio r 5 [ m] 5 [ m] l R= A 2 r Se il segmento dell assone fosse lungo l=1 cm: R= A l/( r 2 )=2x0.01/(3.14x5 2 x10-12 )=2.5x10 8 ohm QUESTO E UN VALORE ELEVATISSIMO 14
Trasmissione dell impulso elettrico in un circuito RC A causa della elevata resistenza elettrica dell assone, e delle forti correnti di dispersione, un impulso elettrico generato ad una estremità si disperde velocemente, e non riesce quindi a propagarsi lungo tutto l assone. La situazione è migliore per gli assoni mielinici: la guaina mielinica riduce la corrente dispersa e pertanto un impulso elettrico si può propagare per un tratto maggiore. Anche per l assone mielinico però la dispersione è tale per cui l impulso si propaga solo per un beve tratto. Questo modello elettrico è in grado di spiegare il comportamento dell assone sotto soglia. Per comprendere il funzionamento sopra soglia (la propagazione del potenziale d azione) è necessario considera altri fenomeni elettrochimici, quali il la pompa Na-K, le variazioni di permeabilità della membrana al passaggio di ioni, e le concentrazioni ioniche di equilibrio (equazione di Nernst). 15