Funzioni Complesse di variabile complessa

Funzioni Complesse di variabile complessa Docente:Alessandra Cutrì

Richiami sui numeri complessi Indichiamo con C il campo dei Numeri complessi z = x + iy C, ses x, y R i := 1 (Rappresentazione cartesiana dei numeri complessi) C R 2 : z = x + iy C (x, y) R 2 x = Re(z), y = Im(z) Il complesso coniugato di z = x + iy è z = x iy Il modulo z = (Rez) 2 + (Imz) 2 = x 2 + y 2 = zz Rappresentazione polare del numero complesso z = ρ(cos θ + i sin θ) con ρ = z e per z 0 θ = Argz + 2kπ con k Z. Argz ( π, π) denota l Argomento principale di z

Dati due numeri complessi z 0 = x 0 + iy 0 e z 1 = x 1 + iy 1 Somma: z 0 + z 1 = (x 0 + x 1 ) + i(y 0 + y 1 ) prodotto w = z 0 z 1 = (x 0 x 1 y 0 y 1 ) + i(x 0 y 1 + y 0 x 1 ) w = ρ 0 ρ 1 (cos(θ 0 + θ 1 ) + i sin(θ 0 + θ 1 )) quindi w = ρ 0 ρ 1 = z 0 z 1 ed un argomento di w, arg(w) = Argz 0 + Argz 1 (non è detto che Argz 0 + Argz 1 ( π, π) e dunque che sia l argomento principale di w) se z 0, il reciproco di z si definisce come 1 z := se z 1 0, quoziente z z 2 z 0 = z 0z 1 z 1 z 1 2 = x ox 1 + y 0 y 1 x1 2 + y 1 2 i x oy 1 + y 0 x 1 x1 2 + y 1 2 = x iy x 2 +y 2

Potenze intere di un numero complesso: dato z = x + iy = ρ(cos θ + i sin θ) e n N si definisce w = z n = (x + iy) n = ρ n (cos(nθ) + i sin(nθ)) Quindi z n = z n e arg(z n ) = n arg(z) Radice n ma di un numero complesso: dato z 0, trovare w C tale che w n = z (n N). Tale w si definisce radice n ma di z Ogni numero complesso z 0 z = x + iy = ρ(cos θ + i sin θ) ammette n radici n me distinte in C date da: w k = r(cos(φ k ) + i sin(φ k )) dove r = (ρ) 1 n, φ k = ( θ n + k 2π n ) k = 0, 1,..., n 1 Se θ = Argz la radice corrispondente a k = 0 si chiama radice principale di z

Funzioni complesse di una variabile complessa Sia A C un aperto connesso di C R 2. f : A C C Essendo f (z) C per ogni z A f (z) = u + iv con u, v R quindi f (z) = f (x + iy) = u(x, y) + iv(x, y) u, v : A R 2 R u(x, y) = Re(f (z)) e v(x, y) = Im(f (z)) (z, f (z)) C C R 4

Esempi di Funzioni complesse di una variabile complessa Funzioni lineari: f (z) = az + b per ogni z C con a, b C 1 b = 0. f (z) = az con a = 1. Si ha a = e iβ con β ( π, π) f (z) = z ; arg(f (z)) = arg(a) + arg(z) = β + arg(z) dunque l effetto di f corrisponde ad una rotazione di ogni punto z del piano complesso di un angolo β 2 b = 0. f (z) = az con a 1. Si ha a = a e iβ con β ( π, π) f (z) = a z ; arg(f (z)) = arg(a) + arg(z) = β + arg(z) l effetto di f corrisponde ad una omotetia: contrazione (se a < 1) o dilatazione (se a > 1) di ogni punto z del piano più una rotazione di ogni punto z di un angolo β (l ordine delle due operazioni non cambia il risultato) 3 b 0 si aggiunge una traslazione di b (vettore di componenti (Reb, Imb)). Conta l ordine con cui vengono effettuate le operazioni (rotazione+omotetia) e (traslazione): z az az + b z z + b a(z + b) = az + ab az + b

Input := Funzioni quadratiche ComplexMapPlot[z^2, z, VerticalLines[{{0,1},{-1,1}}, PlotPoints->7], PlotRange->All]; f (z) = z 2 per ogni z = x + iy C f (z) = (x + iy) 2 = x 2 y 2 + i2xy Quindi u(x, y) = x 2 y 2 e v(x, y) = 2xy Vediamo una rappresentazione dell immagine di un reticolato del piano tramite la funzione f (z) = z 2 : L'unione delle tre famiglie di segmenti precedenti: Input := ComplexMapPlot[z^2, z, RectangularGrid[{{0,1},{-1,1}}, PlotPoints->7], PlotRange->All]; http://people.ciram.unibo.it/ barozzi/mathecompl/mathecompl.html 2 of 16 A. Cutrì 18-11-2013 Metodi Matematici per l ingegneria Ing. 15-11-2013 15:21 Gestionale

Radice quadrata Osserviamo che la funzione f (z) = z 2 non è iniettiva: i punti (x 0, y 0 ) e (x 0, y 0 ) hanno la stessa immagine tramite f in quanto u = x 2 y 2 0, v = 2xy 0 x = v u = v 2 2y 0 4y0 2 y 2 0 (nel piano (u, v) si ha la stessa immagine). Restringendo f A dove A = {x + iy : x > 0} = {z : Rez > 0} diventa iniettiva e la sua immagine (che coinciderà con il dominio della funzione inversa è dom(f 1 ) = C \ {x R : x 0} Dato w = ρe iθ 0 troviamo in generale due valori di z tali che z 2 = w che sono z 1 = ρe i θ 2 Radice principale di w (inversa di f A ) z 2 = ρe i( θ 2 +π)

file:///users/ikbook/documents/alessandraimac/didattica/mmigest... La funzione radice quadrata principale Tutti i punti del piano complesso hanno immagini con parte reale non negativa. Input := ComplexMapPlot[Sqrt[z], z, RectangularGrid[{{-2,2},{-2,2}}], Ticks -> {{-2., -1., 1., 2.}, Automatic}]; Input := ComplexMapPlot[Sqrt[z], z, {Thickness[0.001], PolarGrid[{0,0},{0,2}]}, Ticks -> {{0.5, 1., 1.5}, Automatic}]; http://people.ciram.unibo.it/ barozzi/mathecompl/mathecompl.html La funzione z -> 1/z Le circonferenze hanno come immagini circonferenze (le rette sono casi limite di circonferenze). Input := ComplexMapPlot[1/z, z, HorizontalLines[{{-2,2},{-2,2}}], PlotRange->{{-2.5,2.5},{-2.5,2.5}}];

Esponenziale complesso Vogliamo definire una funzione che estende al campo complesso la definizione x R e x. Ricordiamo che lim (1 + x n n )n = e x x R Se consideriamo ora z = x + iy e facciamo x + iy lim (1 + ) n = e x (cos y + i sin y) n n (con calcolo laborioso si vede che il modulo (1 + x+iy n ) n tende a e x e l argomento tende a y) Questo ci suggerisce di definire e z : e z = e x+iy := e x (cos y + i sin y) Si ha ovviamente u(x, y) = e x cos y, v(x, y) = e x sin y e z = e x = e Rez > 0 z C e iy = 1 y R e z 1+z 2 = e z 1 e z 2 e z = e z+2kπi k Z Quindi e z è 2πi periodica

Logaritmo complesso e z 2πi periodica e z non è iniettiva dato w C \ {0} (immagine di e z ), l equazione e z = w ha in realtà infinite soluzioni z = x + iy. Come si trovano? w C \ {0} w = ρ(cosθ + i sin θ) = ρe iθ si devono determinare x, y in modo che e z = w e x+iy = ρe iθ Quindi: e x = ρ e iθ = e iy x = log ρ, y = θ + 2kπ, k Z Otteniamo z = log C w = log ρ + i(θ + 2kπ) k Z Esistono pertanto infiniti logaritmi complessi di w e Re(log C w) = log w Im(log C w) = arg(w) + 2kπ k Z

Logaritmo principale complesso Se però restringiamo il dominio di e z all insieme e z A = {x + iy : x R, y ( π, π)} z A è iniettiva e la sua immagine è C \ {x 0} allora se consideriamo l inversa della restrizione di e z all insieme A otteniamo una funzione ad un solo valore definita su C \ {x 0} che prende il nome di Logaritmo principale Log(z) = log( z ) + iarg(z) z C \ {x 0} (Arg(z) è l Argomento principale di z)

Limiti di Funzioni complesse di una variabile complessa Sia z 0 = x 0 + iy 0 A C (A è un insieme aperto) { lim(x,y) (x0.y lim f (z) = l C 0 ) u(x, y) = Re(l) z z 0 lim (x,y) (x0.y 0 ) v(x, y) = Im(l) f è continua in z 0 se e solo se l = f (z 0 ) Quindi per lo studio ci si riporta al caso di limiti di funzioni da R 2 a R (le funzioni u e v)

Derivabilità in senso complesso Sia A C un aperto di C. f : A C C, z 0 A. f è derivabile in z 0 se esiste finito il f (z) f (z 0 ) lim =: f (z 0 ) z z 0 z z 0 Poiché A è aperto, se z 0 A, esiste un intorno B r (z 0 ) (cerchio di centro z 0 e raggio r) contenuto in A e dunque per z B r (z 0 ) si può considerare il rapporto incrementale f (z) f (z 0 ) C e z z 0 C dunque il rapporto incrementale si definisce come il quoziente di due numeri complessi (non avrebbe senso dividere due vettori!!!) le regole di derivazione di somma, prodotto,quoziente,funzioni composte,inverse sono analoghe a quelle di funzioni reali di variabile reale

Condizioni CR Anche se formalmente la definizione di derivabilità in z 0 è molto simile al concetto di derivabilità per funzioni reali di variabile reale, vedremo che i due concetti sono profondamente diversi e la condizione di derivabilità complessa è estremamente forte. Che relazione c è tra la derivabilità di f in z 0 = x 0 + iy 0 e la differenziabilità di u(x, y) = Re(f ) e v(x, y) = Im(f ) in (x 0, y 0 )? Non sono nozioni equivalenti ma vale il seguente teorema: Theorem Condizioni di Cauchy-Riemann (CR): Sia f : A C C, A aperto, z 0 = x 0 + iy 0 A. Allora f è derivabile in z 0 se e solo se u(x, y) = Ref (x + iy) e v(x, y) = Im(f (x + iy)) sono differenziabili in (x 0, y 0 ) e valgono le condizioni di Cauchy-Riemann seguenti: u x (x 0, y 0 ) = v y (x 0, y 0 ) u y (x 0, y 0 ) = v x (x 0, y 0 )

Dimostrazione del teorema CR Dobbiamo provare che f è derivabile in z 0 se e solo se u(x, y) e v(x, y) sono differenziabili in (x 0, y 0 ) e valgono le condizioni di Cauchy-Riemann: u x (x 0, y 0 ) = v y (x 0, y 0 ) u y (x 0, y 0 ) = v x (x 0, y 0 ) DIM : f derivabile in z 0 equivale a f (z) = f (z 0 ) + f (z 0 )(z z 0 ) + o( z z 0 ) z z 0 cioè, essendo z z 0 = (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2, indicando f (z 0 ) = A + ib u(x, y)+iv(x, y) = u(x 0, y 0 )+iv(x 0, y 0 )+(A+iB)(x x 0 +i(y y 0 ))+o( z da cui (isolando parte reale e parte immaginaria): u(x, y) = u(x 0, y 0 )+A(x x 0 ) B(y y 0 )+o( (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 ) v(x, y) = v(x 0, y 0 )+B(x x 0 )+A(y y 0 )+o( (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 )

Quindi u e v sono differenziabili in (x 0, y 0 ) e da cui segue ed inoltre u(x 0, y 0 ) = (A, B) v(x 0, y 0 ) = (B, A) u x (x 0, y 0 ) = v y (x 0, y 0 ) u y (x 0, y 0 ) = v x (x 0, y 0 ) f (z 0 ) = u x + iv x = v y iu y =... DIM : u(x, y) = u(x 0, y 0 )+u x (x 0, y 0 )(x x 0 )+u y (x 0, y 0 )(y y 0 )+o( z z 0 ) iv(x, y) = i[v(x 0, y 0 )+v x (x 0, y 0 )(x x 0 )+v y (x 0, y 0 )(y y 0 )+o( z z 0 )] sommando: f (z) = f (z 0 ) + [u x + iv x ](x x 0 ) + [u y + iv y ](y y 0 ) + o( z z 0 ) ma, per le condizioni CR, u x + iv x = iu y + v y dunque, ponendo f (z 0 ) := u x (x 0, y 0 ) + iv x (x 0, y 0 ) si ha f (z) = f (z 0 ) + f (z 0 )(z z 0 ) + o( z z 0 )

esempi f (z) = e z è derivabile in ogni punto z C e f (z) = e z Infatti, u(x, y) = e x cos y, v(x, y) = e x sin y sono differenziabili in ogni (x, y) ed inoltre valgono le condizioni CR: u x = e x cos y = v y u y = e x sin y = v x inoltre f (z) = u x + iv x = e x (cos y + i sin y) = e z Infatti: f (z) = z NON è derivabile in alcun punto z C (è continua in ogni punto) u(x, y) = x, v(x, y) = y dunque u x = 1 e v y = 1

f (z) = z 2 è derivabile SOLTANTO nel punto z = 0 (è continua in ogni punto) Infatti: u(x, y) = x 2 + y 2 e v(x, y) = 0 dunque v x = v y = 0 mentre u x = 2x e u y = 2y pertanto l unico punto dove sono soddisfatte le CR è (0, 0) e f (0) = 0 Infatti: f (z) = z NON è derivabile in alcun punto (è continua in ogni punto) v(x, y) = 0 dunque v x = v y = 0 mentre u(x, y) = x 2 + y 2 NON è differenziabile in (0, 0) ed al di x fuori dell origine è differenziabile e u x = e u y x 2 +y 2 y = x 2 +y 2 pertanto al di fuori di (0, 0) le condizioni CR non sono soddisfatte.

Se f (x + iy) = u(x, y) + iv(x, y) è a valori reali (i.e. v(x, y) 0 in A) oppure a valori immaginari puri (i.e. u(x, y) 0 in A). Allora f è derivabile in A (connesso) se e solo se è Costante in A (perché u 0 implica per le condizioni CR che v 0 e viceversa in A) Se f è derivabile in un punto z 0 = (x 0.y 0 ): CR < u(x 0.y 0 ), v(x 0.y 0 ) >= 0, u(x 0.y 0 ) = v(x 0.y 0 ) ed essendo u(x 0.y 0 ) {u(x, y) = u(x 0.y 0 )}, v(x 0.y 0 ) {v(x, y) = v(x 0.y 0 ) le linee di livello u(x, y) = u(x 0.y 0 ) e v(x, y) = v(x 0.y 0 ) sono tra loro ortogonali

Funzioni Olomorfe Def: f : A C C A aperto, si dice Olomorfa in A se è derivabile in ogni punto di A con derivata continua. Se A = C allora f olomorfa si dice Intera. Si dice che f è Olomorfa in z 0 A se f è olomorfa in un intorno B r (z 0 ) A. Le funzioni Olomorfe in A si indicano con H(A) Se f H(A) con A C Aperto, allora le condizioni CR implicano che le due forme differenziali: ω 1 := u(x, y)dx v(x, y)dy ω 2 := v(x, y)dx + u(x, y)dy sono Chiuse in A e se A R 2 è Semplicemente connesso sono Esatte in A