FUNZIONI CUBICHE Effettuare lo studio completo delle seguenti funzioni di terzo grado intere: 1) y = fx) = x 3 + 2x 2 + x 2) y = fx) = x 3 + x 2 + x + 2 3) y = fx) = x 3 + 2x 2 + x 4 4) y = fx) = x 3 + 3x 2 4 5) y = fx) = x 3 + x 2 x 1 6) y = fx) = x 3 + 3x 2 7) y = fx) = x 3 2x 2 x 2 8) y = fx) = x 3 2x 2 + x 9) y = fx) = x 3 4x 2 + 4x 10) y = fx) = x 3 + 4x 2 5x + 2 11) y = fx) = x 3 + 3 2 x2 12) y = fx) = x 3 + 4x 2 + 5x 13) y = fx) = x 3 + 3x 2 4 14) y = fx) = x 3 4x 2 5x 2 15) y = fx) = x 3 x 2 + 3 2 16) y = fx) = x 3 4x 2 4x 3 17) y = fx) = x 3 x 2 18) y = fx) = x 3 x 2 x + 1 19) y = fx) = x 3 + 3 2 x2 1 2 20) y = fx) = x 3 3x 2 21) y = fx) = x 3 + 4x 2 + 4x 22) y = fx) = x 3 3x + 2 23) y = fx) = x 3 3 2 x2 + 5 2 24) y = fx) = x 3 4x 2 + 4x 3 25) y = fx) = x 3 3x 2 26) y = fx) = x 3 + 2x 2 x + 2 27) y = fx) = x 3 + x 2 28) y = fx) = x 3 2x 2 + x + 4 29) y = fx) = x 3 x 2 + 2 30) y = fx) = x 3 3 2 x2 2 31) y = fx) = x 3 4x 2 + 5x 32) y = fx) = x 3 + x 2 1 33) y = fx) = x 3 3 2 x2 34) y = fx) = x 3 + 4x 2 + 5x + 6 35) y = fx) = x 3 + 3 2 x2 + 2 36) y = fx) = x 3 + x 2 2 37) y = fx) = x 3 3x 38) y = fx) = x 3 + x 2 + 4 39) y = fx) = x 3 x 2 2x 40) y = fx) = x 3 3 2 x2 + 5 2
A titolo esemplificativo, vengono risolti gli esercizi 1 e 2. 1 Esercizio I passi da seguire sono i seguenti: 1) Determinazione del dominio della funzione 2) Intersezione con gli assi cartesiani, dunque: intersezione con l asse {y} e l asse {x} 3) Limiti della funzione 4) Ricerca dei punti stazionari 5) Costruzione del grafico della funzione Esaminiamoli uno per uno: 1.1 Dominio della funzione La funzione, essendo di tipo polinomiale, ammette qualsiasi valore reale della variabile indipendente, ossia non esistono restrizioni ai valori della x, per cui è possibile affermare come: Domf) : R = ] ; + [ 1.2 Intersezione con gli assi coordinati 1.2.1 Intersezioni con l asse {y} Per trovare le intersezioni di una funzione con l asse {y} che è bene ricordare ha equazione x = 0), è sufficiente porre a sistema la funzione stessa con la condizione x = 0. In forma algebrica: { y = fx) = x 3 + 2x 2 + x x = 0 Da cui, per una semplice sostituzione: y = 0 3 + 2 0 2 + 0 = 0 Ciò significa che il grafico della funzione passa per l origine degli assi cartesiani O 0; 0), come già si poteva intuire dal fatto che la funzione di partenza non ha termine noto.
1.2.2 Intersezioni con l asse {x} Per trovare le intersezioni di una funzione con l asse {x} che si chiamano in generale zeri di una funzione), è sufficiente porre a sistema la funzione stessa con la condizione y = 0, che è proprio l equazione cartesiana dell asse {x}. In forma algebrica: { y = fx) = x 3 + 2x 2 + x y = 0 Da cui, per il confronto delle due equazioni: x 3 + 2x 2 + x = 0 Questo polinomio di terzo grado si può scomporre in fattori effettuando un raccogento a fattor comune di una x. In algebra: xx 2 + 2x + 1) = 0 Che, per il teorema di annullamento del prodotto, porta alle seguenti considerazioni: x = 0 già noto dallo studio delle intersezioni con l asse {y}, e inoltre: x 2 + 2x + 1 = 0 che, se si nota come sia un prodotto notevole, diventa: da cui: ossia: x + 1) 2 = 0 x + 1 = 0 x = 1 Quindi gli zeri della funzione sono x A = 1 e il già noto x O = 0
1.3 Calcolo dei iti Ricordando come i iti sono uno strumento analitico potentissimo utili a determinare il comportamento di una funzione agli estremi del suo dominio e in corrispondenza dei suoi punti di discontinuità, in questo caso sarà sufficiente calcolare due iti in quanto la funzione non ha discontinuità all interno del suo dominio. Pertanto, il primo ite da calcolare è: x + x3 + 2x 2 + x) = x + x3 ) 2 1 + x + 1 x 2 = x + x3 = + Si noti come per calcolare questo ite si sia raccolta la potenza più alta della x e i termini che hanno la variabile indipendente a denominatore diventino infinitesimi per x che tende a valori infiniti. Analogamente, il secondo ite vale: x x3 + 2x 2 + x) = x x3 ) 2 1 + x + 1 x 2 = x x3 = Questi due iti ci permettono di affermare come la funzione nella sua estrema parte destra diverga verso l alto e viceversa nella sua estrema parte sinistra diverga verso il basso. 1.4 Ricerca dei punti stazionari Si ricorda come per punti stazionari o critici) si intendano quei punti della funzione in cui la derivata prima si annulla, e che in particolare corrispondono ai punti di massimo, di minimo e di flesso a tangente orizzontale. Pertanto, si calcoli innanzitutto la derivata prima della funzione: e la si uguagli a zero: f x) = 3x 2 + 4x + 1 1) 3x 2 + 4x + 1 = 0 che è una equazione di secondo grado, di cui calcoliamo il discriminante: = b 2 4ac = 16 12 = 4 che è positivo, quindi la funzione ammette due punti critici, le cui ascisse valgono:
x = b ± 2a = 4 ± 2 6 = x C = 1 x D = 1 3 In realtà, il punto C coincide con il lo zero A 1; 0) già calcolato precedentemente. Invece, per determinare il punto D occorre sostituire il valore dell ascissa all interno della funzione. In particolare: y D = f 1 ) = 1 3 + 2 3 3) 3) 1 2 + 1 ) = 1 3 27 + 2 9 1 3 = 4 27 Quindi, concludendo: D 1 3 ; 4 ) 27 Arrivati a questo livello, è necessario stabilire la natura dei punti stazionari, ossia se sono dei punti di massimo, di minimo o di flesso. Per fare ciò, occorre studiare il segno della derivata prima. La 1) rappresenta sul piano cartesiano una parabola con la concavità rivolta verso l alto e i cui zeri sono rispettivamente 1 e 1. Per i ragionamenti 3 necessari, è sufficiente una rappresentazione approssimata della situazione: ++++++++ -1 1 3 ++++++ x Quindi, la derivata prima della funzione è positiva per i valori di x minori di 1 e per quelli maggiori di 1, mentre è negativa per i valori di x compresi 3 tra 1 e 1. In algebra: 3 f x) > 0 per x < 1 x > 1 3 f x) < 0 per 1 < x < 1 3
Dunque la funzione fx) è prima crescente, poi decrescente e poi nuovamente crescente, secondo il seguente schema: ++++++++ -1 1 3 ++++++ x Queste considerazioni permettono di affermare come il punto A 1; 0) corrisponda a un massimo relativo e il punto D 1; ) 4 3 27 sia un minimo relativo. 1.5 Grafico della funzione Sulla base degli elementi sino qui collezionati, è possibile costruire il grafico della funzione studiata, che ha la forma seguente: 2 Esercizio 2.1 Dominio della funzione Anche questa funzione è di tipo polinomiale, per cui sono ammessi tutti i valori reali della variabile indipendente x. Dunque, il dominio della funzione studiata è: Domf) : R = ] ; + [
2.2 Intersezione con gli assi coordinati 2.2.1 Intersezioni con l asse {y} Analogamente all esercizio precedente, occorre porre il sistema: { y = fx) = x 3 + x 2 + x + 2 x = 0 Da cui segue, per sostituzione: fx) = 0 3 + 0 2 + 0 + 2 = 2 come prevedibile, considerato che il termine noto o intercetta) vale proprio 2. In sostanza, la funzione passa per un primo punto denominato A 0; 2). 2.2.2 Intersezioni con l asse {x} Nuovamente, si ponga a sistema la funzione a sistema con l equazione dell asse delle ascisse: { y = fx) = x 3 + x 2 + x + 2 y = 0 che per confronto fornisce: x 3 + x 2 + x + 2 = 0 che si può vedere come un polinomio di terzo grado P x) = x 3 +x 2 +x+2 di cui vogliamo calcolare gli zeri. Sebbene esistano metodi algebrici già noti ai matematici arabi) per determinare le soluzioni di un polinomio di terzo grado, si vuole sfruttare il teorema del resto e la divisione tra polinomi per scomporre il polinomio iniziale nel prodotto di un polinomio di primo grado del tipo x k) per un polinomio di secondo grado il polinomio quoziente). Gli zeri interi del polinomio se esistono) sono da ricercare nei divisori interi del termine noto, che nel presente esercizio vale 2. Per cui, i valori di k candidati a essere zeri del polinomio sono: k = ±1, ±2. Si proceda alle sostituzioni: f1) = 1) 3 + 1) 2 + 1) + 2 = 1 + 1 + 1 + 2 = 3 0 f 1) = 1) 3 + 1) 2 + 1) + 2 = 1 + 1 1 + 2 = 3 0
È bene fare tesoro del lavoro fino a qui svolto, poiché dalla ricerca del valore di k opportuno è emerso come la funzione passi per due punti che sono B 1; 3) e C 1; 3). f2) = 2) 3 + 2) 2 + 2) + 2 = 8 + 4 + 2 + 2 = 0 k = 2 è uno zero del polinomio P x), che sarà dunque divisibile per x 2), ossia il resto della divisione sarà nullo. Verifichiamolo: Per cui, la scrittura: x 3 +x 2 +x +2 x 2 x 3 +2x 2 // x 2 +x +2 x 2 x 1 x 2 +2x // x +2 x +2 // // diventa: x 3 + x 2 + x + 2 = 0 x 2 x 1)x 2) = 0 Da cui, per il teorema di annullamento del prodotto si ha: e x 2 = 0 x = 2 già noto) x 2 x 1 = 0 che è una equazione di secondo grado in x, il cui discriminante vale: = b 2 4ac = 1 4 = 3 < 0 Quindi, non esistono altre intersezioni della funzione con l asse {x} oltre al punto D 2; 0).
2.3 Calcolo dei iti Sono da determinare solamente due iti, ossia agli estremi del dominio della funzione. In particolare: x + x3 +x 2 +x+2) = x x3 +x 2 +x+2) = x + x3 x x3 ) 1 1 + x + 1 x + 2 2 x 3 ) 1 1 + x + 1 x + 2 2 x 3 2.4 Ricerca dei punti stazionari Determiniamo la derivata prima della funzione studiata: = x + x3 = = x x3 = + f x) = 3x 2 + 2x + 1 2) e si imponga la condizione necessaria di esistenza dei un punti stazionari, ossia l annullamento della derivata prima: 3x 2 + 2x + 1 = 0 che è una equazione di secondo grado, il cui discriminante vale: = b 2 4ac = 4 + 12 = 16 > 0 dunque, esisteranno due punti stazionari. Determiniamo le loro ascisse: x = b ± 2a = 2 ± 4 6 = x E = 1 x F = 1 3 Per determinare le loro ordinate, è sufficiente sostituire queste ascisse nella funzione di partenza. Tuttavia si nota come f1) sia già stata calcolata nella ricerca del valore di k opportuno, per cui è possibile affermare come: E = B 1; 3) L altro punto stazionario si ricava calcolando: f 1 ) = 1 3 + 3 3) 3) 1 2 + 1 ) +2 = 1 3 27 +1 9 1 1 + 3 9 + 54 +2 = 3 27 = 49 27
Si noti come 49 sia quasi pari al valore 2. Dunque, il punto F 1; ) 49 27 3 27 è il secondo punto stazionario. A questo punto, si valuti la condizione sufficiente per stabilire se i punti stazionari sono di massimo o di minimo attraverso lo studio del segno della derivata prima. Sul piano cartesiano, la 2) rappresenta una parabola con la concavità rivolta verso il basso, i cui zeri sono 1 e 1. Una rappresentazione indicativa 3 può essere: 1 3 ++++++++ 1 x Quindi, la derivata prima della funzione è positiva per i valori di x compresi tra 1 e 1, mentre è negativa per quelli minori di 1 e maggiori di 1. 3 3 Tradotto in linguaggio algebrico: f x) > 0 per 1 3 < x < 1 f x) < 0 per x < 1 3 x > 1 Dunque la funzione fx) è prima decrescente, poi crescente e poi nuovamente decrescente, secondo il seguente schema: 1 3 + + + + ++ 1 x Attraverso queste informazioni, si nota come il punto F 1; ) 49 3 27 sia un minimo relativo e il punto B 1; 3) sia un massimo relativo.
2.5 Grafico della funzione Le informazioni sino a qui raccolte permettono di tracciare con sicurezza il grafico della funzione studiata: