Laboratorio di Ricerca Operativa Cad Ingegneria Gestionale (BGER3 - I semestre) a.a. 2012-13 Homework n 9 Docente: Laura Palagi
LA DIETA A COSTO MINIMO AL MCDONALD S Realizzata da: Erasmo Percoco Simone Pisa Veronica Resciniti
DESCRIZIONE DEL PROBLEMA Lo scopo: determinare la dieta a costo minimo al McDonald s per due pasti al giorno. La dieta varia da persona a persona in base all altezza, e deve essere bilanciata per valori nutrizionali (quantità giornaliere di Calorie, Proteine e Lipidi, percentuale giornaliera di Proteine di origine animale). Consideriamo 3 giorni di dieta. L altezza della persona interessata è espressa in PI, che indica il numero di centimetri al di sopra del metro. (Se la persona è alta 1,70 metri, avrà PI = 70.)
Le calorie giornaliere devono essere almeno 30*PI e non superiori a 40*PI. Le proteine giornaliere devono essere almeno uguali a 1*PI, di cui le proteine di origine animale (carne e uova) devono essere comprese tra il 15% e il 20% del quantitativo proteico giornaliero consumato. I lipidi dovranno poi essere almeno uguali a 0.5*PI. Almeno un pasto in 3 giorni deve includere pesce.
ANALISI DEL PROBLEMA Le variabili di decisione utilizzate sono x ij, dove x indica l alimento generico, i l i-esimo alimento presente nel menù, e j il giorno. Ogni alimento ha i suoi valori nutrizionali espressi in calorie, proteine e lipidi, e un costo associato c i.
FUNZIONE OBIETTIVO La funzione obiettivo è identificata dalla somma di tutte le variabili moltiplicate per i relativi costi associati: m = numero di giorni m f x = x ij c i j=1 n n = numero elementi nel menù.
VINCOLI Vincoli di domanda minima di valori nutrizionali (Per ogni j da 1 a m): n n n Cal i x ij Cal min PI Prot i x ij Prot min PI Lip i x ij Lip min PI
Vincolo di capacità massima di calorie assumibili n Cal i x ij Cal max PI Vincolo di qualità % proteine animali %min Prot animali j Prot tot j %max Vincoli di interezza e non negatività x ij 0, per,..,n j=1,.,m. x ij Z.
IL DUALE DELLA DIETA Cosa ci consente di fare Determinare il massimo prezzo a cui conviene comprare in blocco delle pillole, che forniscano esattamente tutti gli elementi nutrizionali, piuttosto che acquistare alimenti. È il problema del fornitore
PROBLEMA DEL FORNITORE Determinare il massimo prezzo a cui vendere queste pillole. I vincoli impongono che il prezzo complessivo degli elementi nutrizionali necessari a costituire ogni unità di alimento sia non superiore al prezzo unitario del cibo in questione. C è una variabile per ogni sostanza nutritiva Se vengono offerti dei prezzi di vendita delle pillole che non soddisfano questi vincoli, conviene acquistare cibo piuttosto che i singoli elementi nutrizionali.
TEOREMA DELLA DUALITÀ DEBOLE Il teorema della dualità debole permette di affermare che se si trovano delle pillole che forniscono gli elementi nutrizionali necessari a dei prezzi che soddisfano i vincoli del duale, allora conviene certamente comprare tali pillole. Il costo del mix ottimale dei cibi non può essere minore di quello pagato per l acquisto di tali pillole.
IL NOSTRO CASO n = 29 m = 3 giorni. PI = 70 Cal min = 30 Cal max = 40 Prot min = 1 Lip min = 0.5 %min= 15% %max=20.
FORMULAZIONE DEL PROBLEMA min 29 29 29 29 3 29 j=1 Cal i x ij Prot i x ij Lip i x ij Cal i x ij x ij c i 30 PI 1 PI 0,5 PI 40 PI Prot Anim 0,15 Prot tot Prot Anim 0,2 Prot tot x ij 0, per,..,29 j=1,.,6. x ij Z
RISOLUZIONE DEL PROBLEMA Qui Soluzione trovata, ma le variabili non sono verosimili La dieta giornaliera comprenderebbe 1 hamburger, 12 sundea cono e nessuna bibita! Perciò avanziamo ulteriori ipotesi logiche per cercare di rendere il problema reale.
IPOTESI AGGIUNTIVE Una bibita a pasto 29 x = 2 i=23 ij Almeno un panino di pesce nei tre giorni 3 j=1 x 13,j 1
Massimo un dolce a pasto 22 7 x ij 2 Almeno un panino a pasto 13 x ij 2 Almeno una patatina al giorno 16 4 x ij 1
LA SOLUZIONE Abbiamo trovato una soluzione intera soddisfacente e realistica! Gli unici vincoli attivi sono: Una bibita a pasto Almeno una patata al giorno Massimo un dolce a pasto
SOLUZIONE FINALE Costo dieta per un individuo alto 1,70 mt = 36 Menù giornaliero: 1 hamburger, 2 filet-o-fish, 1 patatina piccola, 2 milk-shake e 2 bottigliette d acqua. Abbastanza realistico!