Esercizio 1 Calcolare il montante F di 10.000 con un interesse semplice del 15% annuo, dopo 4 anni. [16.000 ] Esercizio 2 Del precedente esercizio calcolare il montante in regime di capitalizzazione composta. [17.500 ] Esercizio 3 Qual è il tasso d interesse composto annualmente se investendo 5.000 otterrò 7.693 dopo 5 anni? [9,02%] Esercizio 4 Risolvere l esercizio precedente in regime di capitalizzazione semplice. [10,8%] Esercizio 5 Se l interesse è pari al 10% composto annualmente, quanti anni sono necessari affinché un investimento di 2.000 cresca fino a 3.221? [ 5 anni] Esercizio 6 Risolvere l esercizio precedente in regime di capitalizzazione semplice. [ 6 anni] Esercizio 7 Quale tasso effettivo per periodo d interesse corrisponde ai seguenti tassi di interesse nominali? Quale tasso d interesse effettivo annuale? a) 8% composto trimestralmente, b) 18% composto mensilmente, c) 11% composto giornalmente, d) 14% composto ogni sei mesi, e) 9% composto settimanalmente. [a) i eff,1/4 =2%, i eff,l=1 =8,24%; b) i eff,1/12 =1,5%, i eff,l=1 =19,56%; c) i eff,1/365 =0,03%, i eff,l=1 =11,63%; d) i eff,1/52 =0,17%, i eff,l=1 =9,41%] Esercizio 8 E maggiore un interesse nominale del 15,5% composto trimestralmente o del 15% composto settimanalmente? [i eff,l=1 (1)=16,42 i eff,l=1 (2)=16,16% è maggiore il primo] Esercizio 9 Si trovi il tasso d interesse nominale ed il tasso d interesse effettivo per periodo d interesse, per i seguenti tassi d interesse effettivi annuali: a) 12,36% composto semestralmente, b) 4,06% composto trimestralmente, c) 18,39% composto mensilmente, d) 29,61% composto settimanalmente. [a) r=12%, i eff,1/2 =6%; b) r=4%, i eff,1/4 =1%; c) r=17%, i eff,1/12 =1,42%; d) r=26%, i eff,1/52 =0,5%] Esercizio 10 Una società di credito presta denaro all interesse effettivo del 0,7% composto mensilmente. Qual è il tasso d interesse effettivo per due anni? Qual è il tasso d interesse nominale? [i eff,l=2 =18,22%; r=8,4%] Esercizio 11 Calcolare i seguenti tassi di interesse effettivi: a) tasso d interesse effettivo composto mensilmente corrispondente ad un tasso nominale del 8% composto semestralmente,
b) tasso d interesse effettivo composto ogni due mesi corrispondente ad un tasso nominale del 12% composto trimestralmente, c) tasso d interesse effettivo composto settimanalmente corrispondente ad un tasso nominale del 10% composto ogni 4 mesi. [a) i eff,1/12 =0,66%, b) i eff,1/6 =1,99%, c) i eff,1/52 =0,19%,] Esercizio 12 Qual è il valore futuro di una rendita annua di 1.200, durata di 15 anni e che si capitalizza al tasso effettivo annuo del 12%. [44.736 ] Esercizio 13 Mediante versamenti costanti ogni 4 mesi in un fondo che si capitalizza al tasso effettivo annuo del 13%, si vuole arrivare ad accumulare in 8 anni una somma di 15.000. Qual è l ammontare del versamento necessario? [450 ] Esercizio 14 Qual è il pagamento annuale richiesto per rimborsare un premio di 2.500 in tre anni se il tasso d interesse è del 8% composto annualmente? [975 ] Esercizio 15 Una persona sta per acquistare un automobile che costa 15.000 e deve essere pagata in 48 rate mensili da 395. Quale tasso d interesse annuale nominale deve essere pagato per questo accordo finanziario se l interesse viene composto mensilmente? [12,12%] Esercizio 16 Una serie di 10 pagamenti annuali di 7.500 è equivalente a 3 pagamenti annuali alla fine degli anni 6, 10, 15, al tasso d interesse del 15% composto annualmente. Qual è l ammontare dei tre pagamenti? [46.846,15 ] Esercizio 17 Trovare A affinché le due serie di pagamenti siano equivalenti considerando un tasso d interesse del 7% composto annualmente: a) 4 pagamenti annuali uguali a 800 dalla fine 3 alla fine 6 anno, b) 3 pagamenti uguali ad A alla fine del 1, 7 e 9 anno. [1.130 ] Esercizio 18 Una giovane coppia decide di depositare del denaro per finanziare l istruzione in un college del proprio figlio di 3 anni. Il denaro può essere depositato al 7% composto annualmente. Quale deposito annuale deve essere effettuato ad ogni compleanno dal 4 al 17 compreso, per avere 16.000 ad ogni compleanno dal 18 al 21 compreso? [2.405,32 ] Esercizio 19 Decidere quale alternativa d investimento è più conveniente: a) acquistare una obbligazione con prezzo di emissione 12.000, del valore nominale di 10.000 al 10% che verrà rimborsata fra 7 anni, b) depositare la stessa cifra in una banca che offre un interesse del 6% composto. [F 1 =18.390 > F 1 =18.000 ] Esercizio 20 Il valore nominale di un obbligazione è 10.000, il tasso d interesse nominale è dell 8% composto semestralmente, l obbligazione frutta un interesse semestrale e va in scadenza fra 7 anni.
a) Se viene acquistata ad 11.000 qual è il rendimento alla scadenza in termini di tasso d interesse annuale effettivo? Qual è il rendimento corrente? b) Se si richiede un rendimento minimo del 10% annuale effettivo, qual è la somma massima cui si è disposti ad acquistarla? [vedi testo pag 60-62] Esercizio 21 Una giovane coppia ha deciso di acquistare una nuova macchina. Il suo prezzo è 28.300, le tasse di vendita ammontano al 7,5% del prezzo ed il costo della documentazione necessaria ammonterà a 105. Il venditore propone un finanziamento con rate mensili ed interesse nominale dell 1,9% composto mensilmente, della durata di 36 mesi. Se la coppia paga subito 10.000, quale sarà l ammontare della rata? [615,81 ] Esercizio 22 Una persona ha ottenuto un prestito di 10.000 da restituire in 2 anni con rate mensili uguali. Dato un tasso d interesse nominale del 9% composto mensilmente, calcolare l importo della rata. Dopo il 15 mese desidera versare il saldo residuo in un unico pagamento. Calcolare l ammontare del pagamento. [4.335 (rate da pagare); 3.295 (rate già pagate)] Esercizio 23 Utilizzare gli stessi dati dell esercizio 22. Qual è la quota del 16 pagamento che viene utilizzata per ridurre il capitale residuo del prestito e quella utilizzata per pagare gli interessi. [I 16 =32,51 ; B 16 =467,49 ] Esercizio 24 Per restituire 100.000 in 15 anni con pagamenti mensili, si effettuano nei primi due anni pagamenti da 1000 al tasso nominale del 6% composto mensilmente, nel 3 e 4 anno con pagamenti da 1.100 al tasso nominale del 9% composto mensilmente. a) Qual è il saldo residuo del prestito alla fine del 30 mese? b) Quanto del 31 pagamento viene usato per ridurre il capitale residuo del prestito, quanto per il pagamento degli interessi? [U 30 =85.227,50 ; I 31 =639,21 ; B 31 =460,79 ] Esercizio 25 Una persona prende in prestito 100.000 al tasso dell 8% composto annualmente. Il prestito deve essere rimborsato in pagamenti annuali uguali in 30 anni. Tuttavia, subito dopo l ottavo pagamento il creditore propone al debitore di raddoppiare il pagamento annuale. Il debitore acconsente. Se il creditore calcola ancora l 8% composto annuale sul saldo residuo del prestito, qual è il saldo ancora da pagare dopo li 12 pagamento? [U 12 =40.590 ] Esercizio 26 Una persona acquista un computer a 3.000. Sapendo che il tasso d interesse è del 5% add-on (per 2 anni) e che i pagamenti sono effettuabili in due rate annuali, calcolare il tasso d interesse effettivo. [i=3,32%] Esercizio 27 Una persona desidera ricevere tra 9 anni una somma in euro correnti che abbia, in quell anno, lo stesso potere d acquisto che attualmente hanno 10.000. Se il tasso annuale d inflazione è f=7%. Si trovi la somma in euro correnti. [18400 correnti] Esercizio 28 Trovare il valore attuale ed il montante in euro correnti di una serie di 10 pagamenti annuali uguali, considerando i pagamenti uguali a 1000 costanti, i=12%, f=8%, anno base t=0. [F=25.574 correnti, P=8230 correnti(= costanti)]
Esercizio 29 Una persona decide di creare un fondo pensionistico tramite 10 versamenti annuali uguali A (in euro correnti). Dall 11 al 15 anno intende prelevare 20.000 costanti all anno. Calcolare A in euro correnti se f=7% e i=10% (anno base t=0). [10898,04 correnti] Esercizio 30 Si indichi l alternativa più conveniente tra due offerte per PC (i=10%). La vita utile del PC è 5 anni. Esborso iniziale Introiti annui (t=0) Costo iniziale (t=1-5) Manutenzione annuale (t=5) Valore di recupero A 2.000 350 400 B 1.800 400 350 [PWA=-3078,50, PWB=-3099, AEA=-800,41, EAB=-805,74, FWA=-4956,39, FWB=-4989,39, A migliore] Esercizio 31 Una stazione di prova è stata progettata e costruita per 80.000 con la stima che essa avrebbe consentito un risparmio di costi per controlli pari a 10.500 l anno per 15 anni. Se il valore di realizzo dopo 15 anni è pari a 0, qual era il tasso interno di rendimento previsto (TIR)? [9,98%] Esercizio 32 Considerare le seguenti alternative d investimento ed operare una scelta in base al metodo del TIR. t=0 t=1 t=2 A -1.300 800 900 B -1.300 600 1.000 C -900 500 800 [TIR A =19,48%; TIR B =13,77%; TIR C =26,07%; C migliore] Esercizio 33 Una società sta vagliando 6 proposte d investimento. Ogni proposta ha una vita utile stimata in 10 anni ed un valore di recupero nullo. A B C D E F 80.000 40.000 10.000 30.000 15.000 90.000 11.000 8.000 2.000 7.150 2.500 14.000 a)assumendo che la società abbia possibilità finanziarie illimitate e che i progetti siano indipendenti, si determinino le proposte accoglibili (considerando un MARR=12%). b)si determini la proposta accoglibile nel caso i progetti risultino mutuamente esclusivi (MARR=12%). [a) B, C e D accettati; b) la migliore è la D ] Esercizio 34 Paragonare il payback con e senza interessi per i seguenti flussi di cassa (i=10%) e determinare l alternativa migliore. t=0 1 2 3 4 5 B -8.000-2.000 11.000 9.000 7.000 7.000 C -5.000 1.400 1.400 1.400 1.400 1.400
3 [n B =3 ( F t ( 1 + i) = 6060 ); n C =5 ( F t ( i) 0 t t=0 1 2 3 4 A -1.000 500 500 500 500 B -1.200 650 650 650 650 5 0 t 1 + = 306 ); B è l alternativa migliore] Esercizio 35 Confrontare i seguenti flussi di cassa utilizzando PW, FW, AE (i=10%) e TIR. [PW A =585; PW B =860,50 ; FW A =854,10; FW B =1256,33 ; AE A =187,20; AE B =275,36 ; TIR A =35%; TIR B =40%; per tutti i metodi il progetto B è il migliore, il metodo del TIR poteva essere risolto confrontando i fattori di attualizzazione] Esercizio 36 Una azienda deve attivare un progetto d investimento da scegliere tra i seguenti: a) Prevede un versamento immediato di 30.000, un ulteriore versamento di 4.000 dopo un anno ed una entrata di 45.000 fra 2 anni; b) Prevede un uscita immediata di 50.000 ed una sola entrata di 70.000 dopo 2 anni. Calcolare: 1) quale progetto è migliore usando il TIR; 2) quali valori del tasso di valutazione i avrebbero condotto alla stessa scelta utilizzando il VAN (PW)? [a) TIRA=15,99%; TIRB=18,32%; b) i<22,25%] Esercizio 37 Una società acquista un macchinario del valore di 1.000. Il fornitore propone per il pagamento le seguenti alternative: a) 5 rate annue di 300 in cui sono comprese le spese di manutenzione, b) 5 rate annue di 250 in cui non sono comprese le suddette spese. Dire e motivare quale alternativa è preferibile, dal punto di vista della società, se le spese di manutenzione sono pari a 200 e si presentano all epoca t=3 e t=5. Esercizio 38 Un distributore all ingrosso sta considerando l acquisto di un nuovo magazzino per servire una nuova regione. Ci sono 6 città in cui il magazzino potrebbe essere costruito. Dopo un ampio studio, vengono determinati il reddito ed i costi associati con la localizzazione del magazzino in ognuna delle 6 città. Città Costo iniziale ( ) Reddito netto annuo ( ) A 1.000.000 407.180 B 1.120.000 444.794 C 1.260.000 482.377 D 1.420.000 518.419 E 1.620.000 547.771 F 1.900.000 562.476 [a) D migliore (passaggio finale PWF-D= -179971,83 < 0)] [ b) PWA=1772895,80 ; PWB=1909047,14 ; PWC=2024987,37 ; PWD=2110433,39 ; PWE=2110320,51 ; PWF=1930461,56 ; D migliore] [c) A è la migliore] [ d) PWA=3951308,80 (gli sono costanti o correnti perché l anno base è t=0); PWB=4288695,04 ; PWC=4605704,32 ; PWD=4883975,04 ; PWE=5040895,36 ; PWF=4939708,16 ; E migliore] Esercizio 39 Un impresa di navigazione sta considerando l acquisto di un impianto per la movimentazione delle merci che le consenta di scaricare le navi in porto. L azienda ha ridotto la possibilità di scelta a 5 sistemi diversi, che daranno le stesse prestazioni. I costi iniziali ed operativi calcolati per ogni sistema sono: Sistema Costo iniziale ( ) Costo operativo annuo ( ) A 650.000 91.810 B 780.000 52.569 C 600.000 105.000 D 750.000 68.417 E 720.000 74.945
La durata di ogni sistema è stimata in 5 anni ed il MARR=15%. Se l impresa deve scegliere uno dei sistemi, qual è il più vantaggioso? a) Risolvere con un metodo dell investimento totale. b) Risolvere con un metodo dell investimento incrementale. c) Supponendo che i costi siano stimati in euro costanti e che il tasso annuo d inflazione sia del 9%, quale sistema sarà preferito? [a) PWA= -957563,50 ; PWB= -956106,15 ; PWC= -951750 ; PWD= -979196,95 ; PWE= -971065,75 ; C migliore] [b) C migliore] [c) PWA=-1042028,70 ( correnti o costanti); PWB=-1004469,63 ; PWC=-1048350 ; PWD=- 1042140,59 ; PWE= -1040015,15 ; B migliore] Esercizio 40 Si considerino 3 alternative d investimento con prestazioni omogenee. Costo iniziale ( ) Costi annui ( ) Durata A 8.000 4.000 3 B 4.500 6.000 7 C 6.000 5.000 5 Ogni alternativa ha valore di realizzo nullo alla fine della propria durata. Sapendo che: il valore di realizzo di B alla fine del 3 anno è 4.000 e alla fine del 5 anno è 3.000 ; il valore di realizzo di C alla fine del 3 anno è 1.500 ; il costo per mantenere l attività A oltre la sua durata è 6.000 l anno, mentre quello di C è 6.000 l anno. Determinare qual è l alternativa più conveniente essendo il MARR=15%. [n*=3 AE A =-7520, AE B =-6820, AE C =-7205, B migliore] [n*=5 AE A =-7045, AE B =-6900, AE C =-6800, C migliore] [n*=7 AE A =-6818, AE B =-7080, AE C =-6633, C migliore] Esercizio 41 L esame degli incidenti in uno stato dimostra che l ampliamento delle autostrade da 6 m. a 7,5 m. può ridurre il tasso di incidenti annuo da 125 a 72 per ogni 100.000.000 km percorsi da un veicolo. Calcolare la media giornaliera dei veicoli che dovrebbero usare l autostrada per giustificarne l allargamento sulla base dei seguenti dati: a) la perdita media per incidente ammonta a 1.500 ; b) il costo di 1 Km di carreggiata allargata di 1,5 m. è 150.000 ; c) si stima che la durata utile del miglioramento sia 25 anni; d) la manutenzione annuale ammonta al 3% del costo iniziale; e) il tasso d interesse è del 5%. Se il numero medio di autoveicoli che usano giornalmente l autostrada è 100.000 quale sarebbe il guadagno netto dell investimento, ovvero il profitto per ogni euro investito? [N>51724,14 N min =51725; BC =2,33] Esercizio 42 Vengono considerati 4 progetti per il controllo delle acque. In breve, l investimento necessario ed i benefici e costi annui che ne derivano sono i seguenti: R1 R2 R3 R4 Benefici e costi (1.000 ) Costi operativi 6.500 8.250 7.000 5.900 Risparmi per il governo 3.500 3.500 3.500 3.500 Benefici per il pubblico 10.000 13.200 11.200 8.000 Effetti negativi per il pubblico 3.250 4.300 3.600 2.300 Investimento iniziale 25.000 33.000 28.000 18.000 Durata prevista (anni) 40 40 45 45 a) Impiegando un tasso d interesse del 5%, determinare il rapporto costi-benefici ed il guadagno netto per ogni euro investito per ogni alternativa. b) Determinare quale alternativa deve essere scelta adottando un analisi basata sul rapporto costi-benefici incrementale. [a) BC R1 =1,5; BC R2 =1,32; BC R3 =1,47; BC R4 =1,64; BC R1 =2,5; BC R2 =2,1; BC R3 =2,44; BC R4 =3,06] [b) R3 migliore]
Verranno svolti in aula anche i seguenti esercizi del libro di testo: n.4 pag. 80 n.9 pag 143 - punto a (PW incrementale) n.11 pag 151 - punto b (TIR incrementale)