Teoremi limite classici

Capitolo 5 Teoremi limite classici I Teoremi limite classici, la legge dei gradi umeri e il teorema limite cetrale, costituiscoo il ucleo del Calcolo delle Probabilità, per la loro portata sia teorica che applicativa. La legge dei gradi umeri è, tra l altro, alla base della molti algoritmi che utilizzao metodi probabilistici metodi di Mote Carlo). Il teorema limite cetrale giustifica il ruolo cetrale che le variabili casuali Gaussiae hao ella modellistica e ella statistica. Ioltre cosete di effettuare umerosi calcoli approssimati di probabilità di iteresse applicativo approssimazioe ormale). 5.1 La legge dei gradi umeri Sia data ua successioe X ) 1 di variabili casuali scalari defiite ello stesso spazio di probabilità Ω, A, P ). Per avere più chiaro il seso di ciò che segue, si può immagiare che le X rappresetio misurazioi successive di ua gradezza, ad esempio ua gradezza fisica, la cui aleatorietà è dovuta all imprecisioe degli strumeti di misura. Se si effettuao misure successive, è assai aturale cosiderare la media aritmetica dei risultati otteuti, cioè X = 1 X i. Nel liguaggio del calcolo delle probabilità, X è detta media campioaria. Ua parte cosiderevole dei teoremi limite del calcolo delle probabilità riguarda il comportameto asitotico, per +, della media campioaria. Defiizioe 5.1 Si assuma che le X ammettao tutte la stessa media µ 0, ). Diremo che la successioe X ) soddisfa alla legge debole dei gradi umeri se per ogi ɛ > 0 5.1) lim + P X µ > ɛ) = 0. I altre parole, la legge dei gradi umeri afferma che per la media campioaria X coverge el seso descritto da 5.1)) verso media probabilistica, foredo così ua giustificazioe a posteriori della ozioe di valor medio. Resta aturalmete da stabilire sotto quali codizioi sulla successioe X ) sia valida la legge dei gradi umeri. L ipotesi più comuemete assuta è quella i cui le variabili X soo tra loro idipedeti e che abbiao tutte la stessa distribuzioe. Diremo, i tal caso, che 119 i=1

le variabili X soo idipedeti e ideticamete distribuite i.i.d.) o, più semplicemete, che X ) è ua successioe i.i.d.. Facedo l ipotesi aggiutiva che le variabili X ammettao mometo secodo, è facile dare ua dimostrazioe elemetare della legge dei gradi umeri. Proposizioe 5.2 Sia X ) ua successioe di variabili i.i.d. che ammettoo mometo secodo. Allora la successioe X ) soddisfa alla legge debole dei gradi umeri. Dimostrazioe. Poiamo µ = EX ), e 2 = V arx ). Dalla liearità del valor medio si vede che 5.2) EX ) = µ. Ioltre, usado il Corollario 3.49 si ha 5.3) V arx ) = 2. Ma allora, applicado a X la Disuguagliaza di Chebischev, si ha 5.4) P X µ ɛ ) 2 ɛ 2, da cui la tesi segue immediatamete. Osservazioe 5.3 Nella Proposizioe 5.2, l ipotesi che le variabili siao i.i.d. può essere otevolmete idebolita. Ifatti è sufficiete assumere che le variabili X abbiao tutte la stessa media e la stessa variaza, cioè EX ) = µ e V arx ) = 2 per ogi N, e che siao scorrelate a due a due, cioè CovX i, X j ) = 0 per i j, e le relazioi 5.2) e 5.3) cotiuao a valere si veda il Corollario 3.49). Di cosegueza ache la relazioe 5.4) resta valida e si ottiee la legge debole dei gradi umeri sotto queste ipotesi più geerali. Usado ua tecica più sofisticata, è possibile dimostrare la legge debole dei gradi umeri per successioi i.i.d., seza assumere l esisteza del mometo secodo. Riportiamo di seguito l euciato la dimostrazioe è qui omessa). Teorema 5.4 Sia X ) ua successioe di variabili i.i.d. che ammettoo valor medio. Allora la successioe X ) soddisfa alla legge debole dei gradi umeri. Esempio 5.5 Per avere u idea della portata applicativa della legge dei gradi umeri, cosideriamo il seguete problema. Sia f ua fuzioe di R i R Riema itegrabile ell itervallo [a, b. Le fuzioi il cui itegrale è calcolabile esattamete co metodi aalitici soo, i realtà, abbastaza poche, e perciò soo importati metodi umerici per il calcolo approssimato di tale itegrale. I metodi più comui cosistoo el discretizzare l itervallo [a, b, e, ad esempio, approssimare b a fx)dx co la somma di Riema 1 N N f i=1 a + in b a) ), dove 1/N è il passo della discretizzazioe. Tale approssimazioe igeua, basata direttamete sulla defiizioe di itegrale di Riema, può essere migliorata, i particolare 120

quado siao ote ulteriori iformazioi su f come, ad esempio, la sua derivata. Per ua f sufficietemete buoa è possibile, ua volta fissato il massimo errore di approssimazioe tollerabile, determiare esattamete quato grade dev essere N per garatire di o superare tale soglia di errore. Gli algoritmi stocastici, ossia quelli che utilizzao geerazioe di umeri casuali, soo basati su u pricipio diverso. Vegoo fissati due umeri: la soglia di errore e la massima probabilità tollerabile di commettere u errore maggiore della soglia data. I altre parole, o si pretede la certezza di commettere u errore piccolo, ma soltato che sia estremamete improbabile commettere u errore maggiore della soglia fissata. Torado ai dettagli del problema i esame, siao X 1,..., X N Ua, b) idipedeti, I altre parole, X 1,..., X N soo N umeri casuali geerati co distribuzioe uiforme i [a, b. Si oti che, per ogi i, E[fX i ) = 1 b a b a fx)dx. La legge dei gradi umeri applicata alle variabili casuali fx 1 ),..., fx N ), ci dice che [ lim P 1 N fx i ) 1 b fx)dx N + N b a > ɛ = 0, i=1 dove ɛ > 0. Duque, se N è sufficietemete grade, la quatità aleatoria 1 N N i=1 fx i) 1 b è ua buoa approssimazioe dell itegrale ormalizzato b a a fx)dx co probabilità 1 b elevata. Si può dire di più. Sia ɛ la soglia di errore el calcolo di b a a fx)dx, e δ > 0 la probabilità co cui si accetta di compiere u errore maggiore di ɛ. Vogliamo determiare quati umeri casuali dobbiamo geerare affichè [ 1 N 5.5) P fx i ) 1 b fx)dx N b a > ɛ δ. i=1 Dalla dimostrazioe della Proposizioe 5.2, sappiamo che la probabilità i 5.5) è miore o uguale a V ar[fx 1). Suppoiamo sia ota ua costate M > 0 tale che fx) M per ogi ɛ 2 N x [a, b. Allora V ar[fx 1 ) E[f 2 X 1 ) M 2. Ne segue che la disuguagliaza 5.5) vale se 5.6) M 2 ɛ 2 N δ N M 2 δɛ 2. Duque, se geeriamo almeo M 2 umeri casuali, sappiamo che co probabilità maggiore o δɛ 2 uguale a 1 δ la quatità 1 N N i=1 fx i) dista o più di ɛ da 1 b b a a fx)dx. Questo metodo per il calcolo approssimato di itegrali defiiti ha il vataggio di essere molto facile da implemetare, i quato richiede solo u geeratore di umeri casuali co distribuzioe uiforme. Tuttavia, bechè le disuguagliaze i 5.6) possao essere migliorate, per otteere ua precisioe accettabile è ecessario geerare molti umeri casuali, il che rede questo metodo meo efficiete degli algoritmi determiistici. Questo discorso cambia radicalmete quado si tratta di calcolare itegrali di fuzioi di molte variabili. I tal caso esistoo variati multidimesioali dell algoritmo appea descritto, che risultao, i dimesioe elevata, assai più efficieti degli algoritmi determiistici. 121 a a

5.1.1 Il teorema di approssimazioe di Weierstrass Tra le cosegueze più iteressati della legge dei gradi umeri o, più semplicemete, della disuguagliaza di Chebischev) è la seguete dimostrazioe costruttiva del teorema di approssimazioe di Weierstrass. I ciò che segue, per f C[0, 1), cosideriamo la seguete successioe di poliomi, detti i Poliomi di Berstei di f: p x) = k=0 k ) f k ) x k 1 x) k. Teorema 5.6 Se f C[0, 1), la successioe dei Poliomi di Berstei di f coverge uiformemete a f, cioè lim sup fx) p x) = 0. + x [0,1 Dimostrazioe. Ricordiamo che ua fuzioe cotiua su u itervallo chiuso e limitato di R è limitata e uiformemete cotiua, cioè M := sup x [0,1 fx) < +, e per ogi ɛ > 0 esiste δ > 0 tale che y x < δ fy) fx) < ɛ. Fissiamo duque ɛ > 0, e sia δ tale che y x < δ fy) fx) < ɛ/2. Siao ioltre, per x [0, 1, X 1, X 2,..., X Bex) idipedeti. Sia ioltre A,ɛ := { X x ɛ}. Per lo stesso argometo usato ella dimostrazioe della legge dei gradi umeri 5.7) P A,ɛ ) x1 x) ɛ 2 1 4ɛ 2, dove si è usato il fatto che la fuzioe x x1 x) ha massimo i x = 1/2. A questo puto, osservado che p x) = E fx ) ), e usado 5.7), si ha fx) p x) = fx) E fx ) ) = E fx) fx ) ) [ E fx) fx ) = E [ 1 A,ɛ fx) fx ) + E [1 A fx) fx c,ɛ ) 2MP A,ɛ ) + ɛ 2 P A c ) M,ɛ 2ɛ 2 + ɛ 2 < ɛ se 0, per u opportuo 0. Poichè quest ultima stima è idipedete da x, la coclusioe segue facilmete. 5.2 Il teorema limite cetrale: euciato e metodo dell approssimazioe ormale La dimostrazioe del Teorema 5.2, come abbiamo visto, è basata sul fatto che X ha variaza che tede a 0 per +. Se la differeza X µ, dove µ = EX i ), viee amplificata di ua quatità proporzioale a, si ottiee ua uova successioe di variabili casuali, 5.8) Y = [X µ, 122

che hao media zero e variaza uguale a 2 = V arx i ) verificarlo!). Il Teorema Limite Cetrale forisce la distribuzioe di Y el limite per +. Prima di euciare il teorema, osserviamo che le variabili casuali Gaussiae hao u comportameto peculiare rispetto l espressioe 5.8). Ifatti, applicado ricorsivamete la Proposizioe 4.27, si ha che se X 1, X 2,..., X Nµ, 2 ) idipedeti, allora X 1 + X 2 + + X Nµ, 2 ), e quidi Y = [X µ N0, 2 ). Duque, se le X i hao distribuzioe Gaussiaa, Y ha ach essa distribuzioe Gaussiaa, e tale distribuzioe è idipedete da. Il teorema limite cetrale afferma che, ache se le X i o hao distribuzioe Gaussiaa, la distribuzioe di Y è vicia, i u seso opportuo, ad ua Gaussiaa. Seguedo la tradizioe più diffusa, euciamo il teorema limite cetrale usado la successioe ormalizzata co variaza 1) Z = 1 Y, azichè Y. Teorema 5.7 teorema limite cetrale). Sia X ) ua successioe i.i.d. di variabili casuali che ammettoo mometo secodo e co variaza o ulla. Posto µ = EX ), 2 = V arx ) e Z X µ, allora per ogi itervallo x R dove Z N0, 1). lim P Z x) = P Z x), + Il Teorema 5.7, la cui dimostrazioe verrà data el paragrafo successivo, può essere usato per effettuare calcoli approssimati di probabilità legate alla media campioaria. Lo schema, che chiameremo di approssimazioe ormale, è quello descritto ell esempio seguete. Esempio 5.8 Si lacia volte u dado equilibrato. a) Se = 1000, qual è la probabilità che il puteggio totale sia miore o uguale di 3400? b) Quato grade deve essere affichè co probabilità maggiore o uguale a 0.99 il puteggio totale sia almeo 3.3? c) Quato grade deve essere affichè co probabilità maggiore o uguale a 0.99 il puteggio totale sia almeo 500? La strategia che si segue è la seguete, i tutti e tre i casi. Sia X i il puteggio otteuto all i-esimo lacio. Si esprime la probabilità i esame i termii di Z X µ. Successivamete, assumedo sufficietemete grade, si sostituisce a Z il limite Z, otteedo u valore approssimato, ma esplicitamete calcolabile. 123

a) Vogliamo calcolare o, equivaletemete, P X 1 + + X 1000 3400) 5.9) P X 1000 3.4 ). Si oti azitutto che le variabili casuali X i assumoo i valori 1, 2, 3, 4, 5, 6 oguo co probabilità 1/6. Da ciò si trova facilmete che e EX i ) = µ = 3.5 V arx i ) = 2 2.917. La probabilità i 5.9) si può riscrivere ella forma, co = 1000, P Z 3.4 µ ) P Z 1.85). Se è sufficietemete grade, la probabilità precedete è approssimativamete uguale a P Z 1.85) = Φ 1.85), dove co Φ deotiamo la fuzioe di ripartizioe di ua ormale stadard. I valori di Φ si possoo trovale i apposite tavole, che tipicamete foriscoo i valori di Φx) per x > 0. I rimaeti valori di Φ si ottegoo osservado che, essedo la desità di Z ua fuzioe pari, Φ x) = P Z x) = P Z x) = 1 Φx). Cocludiamo allora che P X 1 + + X 1000 3400) 1 Φ1.85) 0.032. b) Procediamo come sopra, ma lasciado icogito il valore di. Vogliamo che sia P X 1 + + X 3.3) 0.99 o, equivaletemete, 0.99 P X 3.3) = P Z 3.3 µ ) P Z 0.117 ) P Z 0.117 ) = Φ0.117 ). I altre parole vogliamo trovare per quali valori di 5.10) Φ0.117 ) 0.99. Dalle tavole per Φ si vede che Φ 1 0.99) 2.326. Essedo Φ strettamete crescete, 5.10) è equivalete a 0.117 2.326 395, 23 396. 124

c) Vogliamo che sia P X 1 + + X 500) 0.99 P Z 500 µ ) 0.99. Come prima, approssimiamo la precedete probabilità co quella corrispodete rimpiazzado Z co Z, otteedo 500 Φ µ ) 0.99, che equivale a che riscriviamo ella forma 500 µ 2.326, 3.5 3.973 500 0. Risolvedo la precedete come disequazioe di secodo grado i, si trova 12.53 158. Naturalmete, i risultati otteuti ell esempio precedete si possoo cosiderare affidabili se effettivamete Z è molto vicio al suo limite Z. Esistoo risultati che foriscoo stime esplicite per l errore i tale approssimazioe. Ci basta qui rimarcare che se la distribuzioe di X i o è troppo asimmetrica rispetto alla media, le probabilità del tipo P Z I), co I itervallo di R, soo i termii pratici idistiguibili da P Z I) quado è dell ordie di alcue decie. Nella gra parte dei casi 30 è sufficiete ad avere u ottima approssimazioe. Duque, se ell Esempio 5.8, co riferimeto ai quesiti b. e c., avessimo otteuto dei valori di miori di 30, tali valori si sarebbero dovuti scartare, i quato per essi il procedimeto di approssimazioe usato o è affidabile. Ua stima più precisa di quato dev essere grade per poter usare l approssimazioe ormale è ota el caso i cui le variabili casuali X i Bep). I tal caso l approssimazioe è buoa se p 5. Se p = 1/2, per cui la distribuzioe di X i è esattamete simmetrica rispetto alla media, è sufficiete che sia 10. Nel caso di p molto vicio a 0 o a 1, per cui la distribuzioe è altamete asimmetrica, soo ecessari valori più gradi di. Ad esempio, per p = 0.01, occorre avere 500! Osservazioe 5.9 Nelle parti a. e c. dell esempio 5.8 abbiamo visto istaze del seguete problema: date variabili casuali i.i.d. a valori iteri X 1, X 2,..., X e m N calcolare, usado l approssimazioe ormale, 5.11) P X 1 + + X m). Posto µ = EX i ) e 2 = V arx i ), la probabilità i 5.11) è uguale a m 5.12) Φ µ ). 125

Tuttavia, usado il fatto che le X i soo a valori iteri, la probabilità i 5.11) è uguale a P X 1 + + X < m + 1) che, usado di uovo l approssimazioe ormale e la cotiuità di Φ, è approssimativamete uguale a m+1 5.13) Φ µ ). Nell esempio 5.8 la differeza tra 5.11) e 5.13) è pressoché irrilevate, ma o è sempre così. Suppoiamo, ad esempio, = 25, X i = Be1/2) e m = 15. I questo caso µ = 1/2, = 1/2. Pertato m Φ µ ) = Φ1) 0.841, metre Φ m+1 µ ) = Φ1.4) 0.919. La differeza è cosiderevole! Per avere comuque ua buoa approssimazioe è opportuo usare la cosidetta correzioe di cotiuità, che cosiste el rimpiazzare m i 5.11) co m+ 1 2. Tale mediazioe tra 5.11) e 5.13), el caso delle distribuzioi usuali Biomiale, Geometrica, Poisso, che hao u adameto sufficietemete regolare) migliora talvolta cosiderevolmete la precisioe ell approssimazioe. Nell esempio appea cosiderato m+1/2 ) µ Φ = Φ1.2) 0.8849. Il valore esatto della probabilità stimata è 1 2 25 15 k=0 ) 25 k 0.8852, da cui si vede l estrema accuratezza dell approssimazioe. 5.3 Teorema limite cetrale: dimostrazioe La dimostrazioe del Teorema 5.7 verrà divisa i più passi. Ioltre, dimostreremo prima il Teorema sotto l ipotesi aggiutiva che le variabili casuali X i ammettao mometo terzo. Il caso geerale ecessita di u po più di attezioe, e verrà trattato alla fie di questo paragrafo. Iiziamo co alcui lemmi ausiliari. Lemma 5.10 Deotiamo co Cb 3 l isieme delle fuzioi di R i R le cui prime tre derivate esistoo cotiue e limitate. Sia Z ) 1 ua successioe di variabili casuali, e Z ua variabile casuale la cui fuzioe di ripartizioe F Z è cotiua. Suppoiamo che per ogi g Cb 3 si abbia che lim E[gZ ) = E[gZ). + Allora per ogi x R lim F Z + x) = F Z x). 126

1 g k g k 0 x 1 k x x + 1 k Figura 5.1: Ua rappresetazioe grafica delle fuzioi g k e g k, che approssimao dall alto e dal basso la fuzioe idicatrice 1,x ). Dimostrazioe. Sia x R, e k 1. Deotiamo co g k e g k due elemeti di Cb 3 tali che per ogi z R 1 1,x k z) g kz) 1,x z) g k z) 1 1,x+ k z). vedi Figura 5.1). Ne segue che, per ogi variabile casuale W 5.14) F W x 1 ) [ = E 1 1 k,x k W ) E[ g k W ) E [ 1,x W ) [ = F W x) E[g k W ) E 1 1,x+ k W ) = F W x + 1 ). k Usado le disuguagliaze i 5.14) e l ipotesi, abbiamo e Pertato lim sup F Z x) + lim + E[g kz ) = E[gZ ) F Z x + 1 ) k lim if F Z + x) lim E[ g kz ) = E[ gz ) F Z x 1 ). + k F Z x 1 ) lim if k + F Z x) lim sup + F Z x) F Z x + 1 ). k Prededo il limite per k + elle disuguagliaze precedeti e usado il fatto che, essedo F Z cotiua, lim F Z x 1 ) = lim k + k F Z x = 1 ) = F Z x), k + k troviamo e si coclude. lim if F Z + x) = lim sup F Z x) = F Z x), + 127

Lemma 5.11 Siao V, Y, Z tre variabili casuali idipedeti tali che Y, Z ammettoo mometo terzo, EY ) = EZ), EY 2 ) = EZ 2 ). Sia g C 3 b e C = sup x R g 3) x). Allora E[gV + Y ) E[gV + Z) C 6 [ E Y 3 ) + E Z 3 ). Dimostrazioe. La formula di Taylor per fuzioi di classe C 3 co resto itegrale ci dà, per ogi x, h R gx + h) = gx) + g x)h + 1 2 g x)h 2 + R 2 x, h), dove I particolare R 2 x, h) = 1 2 x+h x x + h t) 2 g 3) t)dt. 5.15) R 2 x, h) C 6 h 3. Si ricava facilmete che 5.16) gx + h) gx + k) = g x)[h k + 1 2 g x)[h 2 k 2 + R 2 x, h) R 2 x, k). A questo puto poiamo, i 5.15), x = V, h = Y, k = Z e prediamo la media: E[gV +Y ) E[gV +Z) = E[g V )Y Z)+ 1 2 E[g V )Y 2 Z 2 )+E[R 2 V, Y ) R 2 V, Z). Ma, essedo V, Y, Z idipedeti e EY ) = EZ), EY 2 ) = EZ 2 ), abbiamo E[g V )Y Z) = E[g V )E[Y Z) = 0 E[g V )Y 2 Z 2 ) = E[g V )E[Y 2 Z 2 ) = 0. Ne segue, ache usado 5.15), E[gV + Y ) E[gV + Z) = E[R 2 V, Y ) R 2 V, Z) E[ R 2 V, Y ) + E[ R 2 V, Z) C 6 [ E Y 3 ) + E Z 3 ), che completa la dimostrazioe. La seguete Proposizioe rappreseta il cuore della dimostrazioe del Teorema 5.7 Proposizioe 5.12 Siao Y 1, Y 2,..., Y variabili casuali i.i.d., che ammettoo mometo terzo, e tali che EY 1 ) = 0, EY1 2) = 1. Siao ioltre W 1, W 2,..., W variabili casuale co le medesime proprietà, cioè soo i.i.d., EW 1 ) = 0, EW1 2) = 1. Sia ioltre g C3 b e C := sup x R g 3) x). Allora ) [ ) [g E Y1 + + Y W1 + + W E g C E Y 1 3 ) + E W 1 3 ). 6 128

Dimostrazioe. Sia Y := Y 1, Y 2,..., Y ) e W := W 1, W 2,..., W ). Il risultato da dimostrare dipede solo dalle distribuzioi margiali di Y e W, ma o dalla distribuzioe cogiuta di Y e W. No è perciò restrittivo assumere che Y e W siao idipedeti, cioè le variabili casuali Y 1, Y 2,..., Y, W 1, W 2,..., W soo tutte idipedeti tra loro. L idea chiave cosiste ello scrivere la seguete somma telescopica: [ ) [ ) Y1 + + Y W1 + + W E g E g dove abbiamo posto Per il Lemma 5.11 [g E Pertato [g E 1 { [ ) Y1 + + Y k + Y k+1 + W k+2 + + W = E g k=0 k=0 [ )} Y1 + + Y k + W k+1 + W k+2 + + W E g. 1 { [ = E g V k + Y ) [ k+1 E g V k + W )} k+1, V k + Y k+1 ) E Y1 + + Y ) E V k := Y 1 + + Y k + W k+2 + + W. 1 [g E k=0 [ g che è quato volevamo dimostrare. [ g V k + W ) k+1 C 6 ) W1 + + W E Y 1 3 ) + E W 1 3 ). V k + Y ) [ k+1 E g V k + W ) k+1 C 6 E Y 1 3 ) + E W 1 3 ) = C 6 E Y 1 3 ) + E W 1 3 ), )} Dalla proposizioe precedete segue il fatto, assolutamete o baale e o ituitivo, che 5.17) { [ ) [ Y1 + + Y W1 + + W lim E g E g + = 0 idipedetemete dalle distribuzioi delle Y i e delle W i. Dimostrazioe del Teorema 5.7 co l ipotesi aggiutiva E X 1 3 ) < +. Usado le otazioi ell euciato del Teorema 5.7, poiamo Y i := X i µ. 129

Sia ioltre W ) ua successioe di variabili casuali i.i.d. co distribuzioe N0, 1). Per quato visto ella Proposizioe 4.27, W 1 + + W N0, 1). Quidi, se Z N0, 1) e g Cb 3, [ ) W1 + + W E g = E[gZ) ed è quidi idipedete da. Quidi possiamo applicare 5.17) e otteiamo [ ) lim E Y1 + + Y g = E[gZ). + A questo puto, per completare la dimostrazioe e dimostrare la covergeza delle fuzioi di ripartizioe, basta applicare il Lemma 5.10. Nella parte restate di questo paragrafo vedremo come modificare la precedete dimostrazioe al fie di dimostrare il Teorema 5.7 seza l ipotesi aggiutiva E X 1 3 ) < +. La modifica fodametale è costituita da ua versioe più raffiata del Lemma 5.11 Lemma 5.13 Siao V, Y, Z tre variabili casuali idipedeti tali che Z ammette mometo terzo, EY ) = EZ), EY 2 ) = EZ 2 ). Sia g Cb 3 e C 3 = sup x R g 3) x), C 2 := sup x R g x). Allora, per ogi ɛ > 0 E[gV + Y ) E[gV + Z) C 3 2 E [ Y 3 1 { Y ɛ} + C 2 2 E [ Y 2 1 { Y >ɛ} + C 3 6 E [ Z 3 Dimostrazioe. La formula di Taylor arrestata al primo ordie ci dà gx + h) = gx) + g x)h + dove x+h x x + h t)g t)dt = gx) + g x)h + 1 2 g x)h 2 + R 2 x, h) := e dove abbiamo usato il fatto che x+h x x+h Per stimare R 2 x, h) osserviamo azitutto che R2 x, h) sup g t) g x) t [x,x+h x x+h x x + h t)[g t) g x)dt = gx) + g x)h + 1 2 g x)h 2 + R 2 x, h), x + h t)[g t) g x)dt, x + h t)dt = h2 2. x+h x x + h t)dt = h2 2 130 sup g t) g x). t [x,x+h

Ora, usiamo due diverse stime della differeza g t) g x). per t [x, x + h. I modo baale 5.18) g t) g x) 2C 2 Ioltre, per il Teorema del valor medio 5.19) g t) g x) C 3 t x C 3 h. Ora, usiamo 5.18) se h > ɛ e 5.19) se h ɛ. Otteiamo 5.20) R2 x, h) C 2 h 2 1 [ ɛ,ɛ ch) + C 3 2 h 3 1 [ ɛ,ɛ h). Applicado 5.16) esattamete come el Lemma 5.11, ma usado il resto R 2 per gv + Y ) e R 2 per gv + Z), otteiamo: E[gV +Y ) E[gV +Z) = E[g V )Y Z)+ 1 2 E[g V )Y 2 Z 2 )+E[ R 2 V, Y ) R 2 V, Z). Come el Lemma 5.11, essedo V, Y, Z idipedeti e EY ) = EZ), EY 2 ) = EZ 2 ), abbiamo E[g V )Y Z) = E[g V )E[Y Z) = 0 E[g V )Y 2 Z 2 ) = E[g V )E[Y 2 Z 2 ) = 0. Pertato, E[gV + Y ) E[gV + Z) = E[ R 2 V, Y ) R 2 V, Z) E[ R 2 V, Y ) +E[ R 2 V, Z) che completa la dimostrazioe. C 2 E [ Y 2 1 [ ɛ,ɛ cy ) + C 3 2 E [ Y 3 1 [ ɛ,ɛ Y ) + C 6 E Z 3 ) Prima di completare la dimostrazioe del Teorema 5.7 dimostriamo il seguete Lemma. Lemma 5.14 Sia Ω, A, P ) uo spazio di probabilità, e X L 1 Ω, A, P ). Allora lim E [ X 1 [ a,a cx) = 0. a + Dimostrazioe. Dimostriamo la tesi solo el caso i cui Ω, A, P ) = Ω, P ) è uo spazio di probabilità discreto. Il caso geerale richiede argometi u po più avazati, o trattati i questo corso. Usado la defiizioe di somma ifiita E[ X = Xω) P {ω}) = sup Xω) P {ω}). ω Ω A Ω: A <+ ω A Pertato, per ogi ɛ > 0, esiste u sottoisieme fiito A ɛ di Ω tale che ω A ɛ Xω) P {ω}) E[ X ɛ. Sia a ɛ := max{ Xω) : ω A ɛ }, che ovviamete è fiito poichè A ɛ è u isieme fiito. Abbiamo Xω) P {ω}) Xω) P {ω}) E[ X ɛ, ω: Xω) a ɛ ω A ɛ 131

quidi E [ X 1 [ aɛ,aɛ cx) = E[ X Da questo la tesi del Lemma segue immediatamete. ω: Xω) a ɛ Xω) P {ω}) ɛ. Dimostrazioe del Teorema 5.7 Seguiamo l argometo e le otazioi usate ella Proposizioe 5.12. Poiamo Y i := X i µ, W 1, W 2,..., W N0, 1) idipedeti. Allora, come ella dimostrazioe della Proposizioe 5.12, per g Cb 3 si ha [ ) [ ) Y1 + + Y W1 + + W E g E g 1 { [ ) Y1 + + Y k + Y k+1 + W k+2 + + W = E g k=0 [ )} Y1 + + Y k + W k+1 + W k+2 + + W E g. co 1 { [ = E g V k + Y ) [ k+1 E g V k + W )} k+1, k=0 V k := Y 1 + + Y k + W k+2 + + W. Per il Lemma 5.13 [g E Perciò [g E V k + Y k+1 ) E [ g V k + W ) k+1 [ C 2 1 E Y1 2 1 [ ɛ, ɛ cy 1 ) + C [ 3 2 E Y 1 3 1 [ ɛ, ɛ Y ) + C 6 E W 1 3 ). ) [ Y1 + + Y E g ) W1 + + W [ C 2 E Y1 2 1 [ ɛ, ɛ cy 1 ) + C [ 3 2 E Y 1 3 1 [ ɛ, ɛ Y 1 ) + C lim + C 2 E 6 E W 1 3 ) [ Y1 2 1 [ ɛ, ɛ cy 1 ) + C 3 2 ɛ + C 6 E W 1 3 ), dove abbiamo usato il fatto che Y 1 3 1 [ ɛ, ɛ Y 1 ) ɛ Y 1 2. Madado + e usado l arbitrarietà di ɛ, cocludiamo che { [ ) [ )} Y1 + + Y W1 + + W E g E g = 0. Da qui i poi la dimostrazioe è idetica a quella vista i precedeza co l ipotesi aggiutiva. 132