Cenni di logica e calcolo proposizionale Corso di Laurea in Informatica Università degli Studi di Bari (sede Brindisi) Analisi Matematica S.Milella (sabina.milella@uniba.it) Cenni di logica 1 / 10
Proposizioni proposizione semplice := frase elementare di senso compiuto che può essere vera (V) o falsa (F) 4 è un numero pari (V) Milano è la capitale d Italia (F) La Milella è simpaticissima (?) Non è una proposizione semplice! Le proposizioni semplici si possono combinare tra loro tramite i connettivi logici negazione congiunzione disgiunzione implicazione equivalenza Le proposizioni composte sono il risultato di tali operazioni. S.Milella (sabina.milella@uniba.it) Cenni di logica 2 / 10
Proposizioni proposizione semplice := frase elementare di senso compiuto che può essere vera (V) o falsa (F) 4 è un numero pari (V) Milano è la capitale d Italia (F) La Milella è simpaticissima (?) Non è una proposizione semplice! Le proposizioni semplici si possono combinare tra loro tramite i connettivi logici negazione congiunzione disgiunzione implicazione equivalenza Le proposizioni composte sono il risultato di tali operazioni. S.Milella (sabina.milella@uniba.it) Cenni di logica 2 / 10
Proposizioni proposizione semplice := frase elementare di senso compiuto che può essere vera (V) o falsa (F) 4 è un numero pari (V) Milano è la capitale d Italia (F) La Milella è simpaticissima (?) Non è una proposizione semplice! Le proposizioni semplici si possono combinare tra loro tramite i connettivi logici negazione congiunzione disgiunzione implicazione equivalenza Le proposizioni composte sono il risultato di tali operazioni. S.Milella (sabina.milella@uniba.it) Cenni di logica 2 / 10
Proposizioni proposizione semplice := frase elementare di senso compiuto che può essere vera (V) o falsa (F) 4 è un numero pari (V) Milano è la capitale d Italia (F) La Milella è simpaticissima (?) Non è una proposizione semplice! Le proposizioni semplici si possono combinare tra loro tramite i connettivi logici negazione congiunzione disgiunzione implicazione equivalenza Le proposizioni composte sono il risultato di tali operazioni. S.Milella (sabina.milella@uniba.it) Cenni di logica 2 / 10
Proposizioni proposizione semplice := frase elementare di senso compiuto che può essere vera (V) o falsa (F) 4 è un numero pari (V) Milano è la capitale d Italia (F) La Milella è simpaticissima (?) Non è una proposizione semplice! Le proposizioni semplici si possono combinare tra loro tramite i connettivi logici negazione congiunzione disgiunzione implicazione equivalenza Le proposizioni composte sono il risultato di tali operazioni. S.Milella (sabina.milella@uniba.it) Cenni di logica 2 / 10
Proposizioni proposizione semplice := frase elementare di senso compiuto che può essere vera (V) o falsa (F) 4 è un numero pari (V) Milano è la capitale d Italia (F) La Milella è simpaticissima (?) Non è una proposizione semplice! Le proposizioni semplici si possono combinare tra loro tramite i connettivi logici negazione congiunzione disgiunzione implicazione equivalenza Le proposizioni composte sono il risultato di tali operazioni. S.Milella (sabina.milella@uniba.it) Cenni di logica 2 / 10
Proposizioni composte Esempi A: Brindisi è in Puglia A: Brindisi non è in Puglia A: torno a casa, B: leggo un libro A B: torno a casa e leggo un libro A B: se torno a casa allora leggo un libro A: 2 è un numero dispari, B: Roma è la capitale dell Irlanda A B: 2 è un numero dispari se e solo se Roma è la capitale dell Irlanda Non tutte le frasi ottenute hanno senso nel linguaggio comune, ma sono tutte proposizioni logiche composte e, come tali, possono essere vere o false. S.Milella (sabina.milella@uniba.it) Cenni di logica 3 / 10
Proposizioni composte - Tavole di verità Date due proposizioni semplici A e B, i valori di verità delle proposizioni composte si riassumono nelle seguenti tavole: tavola di verità di A (si legge non A) tavola di verità di A B (si legge A e B) A A V F F V A B A B V V V V F F F V F F F F tavola di verità di A B (si legge A o B) non è esclusivo A B A B V V V V F V F V V F F F S.Milella (sabina.milella@uniba.it) Cenni di logica 4 / 10
Proposizioni composte - Tavole di verità Date due proposizioni semplici A e B, i valori di verità delle proposizioni composte si riassumono nelle seguenti tavole: tavola di verità di A (si legge non A) tavola di verità di A B (si legge A e B) A A V F F V A B A B V V V V F F F V F F F F tavola di verità di A B (si legge A o B) non è esclusivo A B A B V V V V F V F V V F F F S.Milella (sabina.milella@uniba.it) Cenni di logica 4 / 10
Proposizioni composte - Tavole di verità Date due proposizioni semplici A e B, i valori di verità delle proposizioni composte si riassumono nelle seguenti tavole: tavola di verità di A (si legge non A) tavola di verità di A B (si legge A e B) A A V F F V A B A B V V V V F F F V F F F F tavola di verità di A B (si legge A o B) non è esclusivo A B A B V V V V F V F V V F F F S.Milella (sabina.milella@uniba.it) Cenni di logica 4 / 10
Proposizioni composte - Tavole di verità tavola di verità di A B (si legge A implica B oppure se A allora B) A B A B V V V V F F F V V F F V Si dice anche che A è una condizione sufficiente per B e B è una condizione necessaria per A. tavola di verità di A B (si legge A equivale a B oppure A se solo se B) A B A B V V V V F F F V F F F V S.Milella (sabina.milella@uniba.it) Cenni di logica 5 / 10
Proposizioni composte - Tavole di verità tavola di verità di A B (si legge A implica B oppure se A allora B) A B A B V V V V F F F V V F F V Si dice anche che A è una condizione sufficiente per B e B è una condizione necessaria per A. tavola di verità di A B (si legge A equivale a B oppure A se solo se B) A B A B V V V V F F F V F F F V S.Milella (sabina.milella@uniba.it) Cenni di logica 5 / 10
Proposizioni composte contraddizione := proposizione composta sempre falsa tautologia := proposizione composta sempre vera Esempi A ( A) è una contraddizione, infatti A (A B) è una tautologia, infatti A A A ( A) V F F F V F A B A B A (A B) V V V V V F V V F V V V F F F V S.Milella (sabina.milella@uniba.it) Cenni di logica 6 / 10
Proposizioni composte contraddizione := proposizione composta sempre falsa tautologia := proposizione composta sempre vera Esempi A ( A) è una contraddizione, infatti A (A B) è una tautologia, infatti A A A ( A) V F F F V F A B A B A (A B) V V V V V F V V F V V V F F F V S.Milella (sabina.milella@uniba.it) Cenni di logica 6 / 10
Proposizioni composte contraddizione := proposizione composta sempre falsa tautologia := proposizione composta sempre vera Esempi A ( A) è una contraddizione, infatti A (A B) è una tautologia, infatti A A A ( A) V F F F V F A B A B A (A B) V V V V V F V V F V V V F F F V S.Milella (sabina.milella@uniba.it) Cenni di logica 6 / 10
Proposizioni composte Osservazioni ( A) equivale ad A (A B) equivale a ( A) ( B) (A B) equivale a ( A) ( B) A B equivale a ( B) ( A) (A B) equivale a A ( B) i connettivi ed sono commutativi ed associativi (da dimostrare con le tavole di verità) S.Milella (sabina.milella@uniba.it) Cenni di logica 7 / 10
Predicati e quantificatori predicato:= frase contenente una o più variabili Esempi A(x): x è un numero razionale A(x, y): x è maggiore di y La verità o falsità di un predicato dipende dai valori attribuiti alle variabili: A( 2) è una proposizione falsa A(3, 1) è una proposizione vera. I predicati si trasformano in proposizioni semplici utilizzando i quantificatori: quantificatore universale (si legge per ogni) quantificatore esistenziale (si legge esiste) Si fa uso anche del simbolo (si legge esiste un solo) S.Milella (sabina.milella@uniba.it) Cenni di logica 8 / 10
Predicati e quantificatori predicato:= frase contenente una o più variabili Esempi A(x): x è un numero razionale A(x, y): x è maggiore di y La verità o falsità di un predicato dipende dai valori attribuiti alle variabili: A( 2) è una proposizione falsa A(3, 1) è una proposizione vera. I predicati si trasformano in proposizioni semplici utilizzando i quantificatori: quantificatore universale (si legge per ogni) quantificatore esistenziale (si legge esiste) Si fa uso anche del simbolo (si legge esiste un solo) S.Milella (sabina.milella@uniba.it) Cenni di logica 8 / 10
Predicati e quantificatori predicato:= frase contenente una o più variabili Esempi A(x): x è un numero razionale A(x, y): x è maggiore di y La verità o falsità di un predicato dipende dai valori attribuiti alle variabili: A( 2) è una proposizione falsa A(3, 1) è una proposizione vera. I predicati si trasformano in proposizioni semplici utilizzando i quantificatori: quantificatore universale (si legge per ogni) quantificatore esistenziale (si legge esiste) Si fa uso anche del simbolo (si legge esiste un solo) S.Milella (sabina.milella@uniba.it) Cenni di logica 8 / 10
Predicati e quantificatori Esempi Dato il predicato A(x): x R, x è pari x A(x) (significa: per ogni x, x è un numero reale ed è pari) è una proposizione falsa x A(x) (significa: esiste almeno un numero reale pari) è una proposizione vera x A(x) (significa: esiste un solo numero reale pari) è una proposizione falsa Dato il predicato A(x, y): x + y = 2 x y A(x, y) è una proposizione vera y x A(x, y) è una proposizione falsa Attenzione all ordine dei quantificatori! S.Milella (sabina.milella@uniba.it) Cenni di logica 9 / 10
Predicati e quantificatori Esempi Dato il predicato A(x): x R, x è pari x A(x) (significa: per ogni x, x è un numero reale ed è pari) è una proposizione falsa x A(x) (significa: esiste almeno un numero reale pari) è una proposizione vera x A(x) (significa: esiste un solo numero reale pari) è una proposizione falsa Dato il predicato A(x, y): x + y = 2 x y A(x, y) è una proposizione vera y x A(x, y) è una proposizione falsa Attenzione all ordine dei quantificatori! S.Milella (sabina.milella@uniba.it) Cenni di logica 9 / 10
Predicati e quantificatori Osservazioni Dato un predicato A(x) la negazione della proposizione x A(x) è x A(x) la negazione della proposizione x A(x) è x A(x) la negazione della proposizione x y A(x, y) è x y A(x, y) la negazione della proposizione x y A(x, y) è x y A(x, y) S.Milella (sabina.milella@uniba.it) Cenni di logica 10 / 10