Massimo limite e minimo limite di una funzione

Massimo limite e minimo limite di una funzione Sia f : A R una funzione, e sia p DA). Per ogni r > 0, l insieme ) E f p r) = { fx) x A I r p) \ {p} } è non vuoto; inoltre E f p r ) E f p r ) se 0 < r r. Per ogni r > 0, poniamo ) ˆfp r) = sup E f p r). Definiamo il massimo limite di f in p come segue: max lim fx) = inf r>0 ˆf p r). Il massimo di limite di f in p esiste sempre in R). Osserviamo anche che esso si può vedere come il limite in 0 di ˆf p r). Infatti, se ˆf p r) non è costantemente + nel qual caso il massimo limite è anch esso + ) deve esistere σ > 0 tale che ˆf p r) è finito per ogni r positivo e minore di σ, e la funzione ˆf p : ]0, σ[ R, r ˆf p r) è crescente. Possiamo dunque scrivere max lim fx) = lim ˆfp r) = lim sup { fx) x A Ir p) \ {p} }. r 0 r 0 Per questo motivo si scrive a volte lim sup fx) anziché max lim fx). Il minimo limite di f in p si definisce in modo simile, e per esso valgono considerazioni analoghe a quelle appene viste per il massimo limite. Avremo pertanto fx) = sup inf { fx) x A Ir p) \ {p} } = lim inf { fx) x A Ir p) \ {p} }. r>0 r 0 Proposizione Per ogni f : A R, e ogni p DA), si ha fx) max lim fx). Per ogni r > 0, definiamo E f p r) come in ) e ˆf p r) come in ); poniamo inoltre ˇf p r) = inf E f p r). Per ogni r > 0, essendo E f p r), abbiamo ˇf p r) ˆf p r) e quindi fx) = lim ˇfp r) lim ˆfp r) = max lim fx). r 0 r 0

Esercizio Siano f, g : A R, e sia p DA). Mostrare che ) max lim ) fx) + gx) ) max lim fx) + gx) ) 3) k > 0 : max lim 4) k > 0 : 5) fx) = max lim fx) + max lim gx). fx) + gx). ) k fx) = k max lim fx). ) k fx) = k fx). fx) ). Esempio 3 Sia A = R\{0}, e sia f : A R definita da x sin. Si ha max lim fx) = x x 0 e fx) =. x 0 Infatti anzitutto si ha fx). Inoltre, per ogni r > 0, possiamo trovare n N maggiore di ; dunque, ponendo πr x = e 4n+)π x =, si ha 4n+3)π x < x = π + nπ < nπ < r, Essendo fx ) = e fx ) =, otteniamo che ˆf 0 r) = e ˇf 0 r) =. Ponendo g = f, si vede allo stesso modo che max lim gx) = e gx) =. x 0 x 0 ) Poiché f + g)x) = 0 per ogni x A, abbiamo evidentemente max lim fx) + gx) = ) fx)+gx) = 0: dunque nelle formule ) e ) dell Esercizio non si può mettere il segno di uguaglianza. Proposizione 4 Siano f, g : A R, e sia p DA). Se esiste ϱ > 0 tale che fx) gx) per ogni x A I ϱ p) \ {p}, allora anche max lim gx). fx) max lim gx) e fx) Dimostriamo solo l affermazione relativa al massimo limite perché l altra è analoga, oppure si può ricavare usando l Esercizio 5). Fissato r ]0, ϱ[, sia y E f p r) e sia x A I r p)\{p} tale che fx) = y. Allora y gx) E g pr) e quindi y sup E g pr) = ĝ p r). Ne consegue che anche ˆf p r) = sup E f p r) ĝ p r). Poiché r ]0, ϱ[ era arbitrario, concludiamo che max lim fx) max lim gx).

Teorema 5 Sia f : A R, e sia p DA). condizioni sono equivalenti: Per ogni numero reale M, le seguenti a) max lim fx) M. b) ε > 0 r > 0 f A I r p) \ {p} ) ], M + ε[. a) b) Supponiamo che b) sia falsa e mostriamo che è falsa a). L ipotesi dunque è che esista ε > 0 tale che per ogni r > 0 si abbia f A I r p) \ {p} ) ], M + ε[. Allora, per ogni r > 0, esiste x r A I r p) \ {p} tale che fx r ) M + ε. Da ciò segue che sup { fx) x A Ir p) \ {p} } M + ε e quindi max lim fx) M + ε > M. b) a) Se vale la b), allora per ogni ε > 0 esiste r > 0 tale che sup { fx) x A I r p) \ {p} } M + ε. Dunque si ha max lim fx) M + ε per ogni ε > 0, e quindi max lim fx) M per l arbitrarietà di ε. Corollario 6 Per ogni f : A R, e ogni p DA), si ha max lim fx) = se e solo se lim fx) =. Per il teorema precedente, max lim fx) = se e solo se M R ε > 0 r > 0 f A I r p) \ {p} ) ], M + ε[, il che evidentemente significa che lim fx) =. Abbiamo già notato ma vale la pena di sottolinearlo) che ad ogni asserzione che si può provare per il massimo limite ne corrisponde una simile per il minimo limite, che si dimostra analogamente oppure applicando l Esercizio 5). Ad esempio al Teorema 5 e al Corollario 6 corrispondono i seguenti. Teorema 7 Sia f : A R, e sia p DA). Per ogni numero reale M le seguenti condizioni sono equivalenti: a) fx) M. 3

b) ε > 0 r > 0 f A I r p) \ {p} ) ]M ε, + [. Corollario 8 Per ogni f : A R, e ogni p DA), si ha fx) = + se e solo se lim fx) = +. Il prossimo teorema è di fondamentale importanza, perché motiva le definizioni di massimo e minimo limite, stabilendo un collegamento con la definizione di limite. Teorema 9 Sia f : A R, e sia p DA); poniamo λ = fx) e Λ = max lim fx). Allora il limite di f in p esiste se e solo se λ = Λ e, in tal caso, lim fx) = λ = Λ. Supponiamo dapprima che lim fx) = l: dobbiamo dimostrare che max lim fx) = l e che fx) = l. Se l = oppure l = + ), ciò segue subito dal Corollario 6 o, rispettivamente, dal Corollario 8) tenendo conto della Proposizione : dunque possiamo supporre l R. Come già osservato, possiamo limitarci a dimostrare che max lim fx) = l. Sia dunque ε > 0. Per la definizione di limite, esiste δ > 0 tale che f A I δ p) \ {p} ) I ε l) ], l + ε[. Pertanto Λ l in virtù del Teorema 5. Mostriamo ora che non può essere Λ < l. Infatti, in tal caso si avrebbe anche Λ < M per un certo M < l. Ponendo ε = l M), per ipotesi troviamo ϱ > 0 tale che per ogni x A I ϱ p) \ {p} si ha l + M) = l ε < fx) < l + ε. D altra parte, applicando il Teorema 5, troviamo r > 0 tale che x A I r p) \ {p} si ha fx) < M + ε = l + M). Detto allora δ il minimo tra ϱ e r, per ogni x A I δ p) \ {p} otteniamo che fx) è contemporaneamente maggiore e minore di l + M): assurdo. Viceversa, sia λ = Λ e dimostriamo che lim fx) = Λ. Anche in questo caso possiamo supporre Λ R. Fissiamo ε > 0. Per il Teorema 5, esiste r > 0 tale che f A I r p) \ {p} ) ], Λ + ε[. Similmente, per il Teorema 7, esiste ϱ > 0 tale che f A I ϱ p) \ {p} ) ]Λ ε, + [. Prendendo quindi δ = min{r, ϱ}, per ogni x A I δ p) \ {p}, si ha Λ ε < fx) < Λ + ε. 4

Massimo limite e minimo limite di una successione Rileggendo le definizioni di massimo limite e di minimo limite nel caso di una successione s n ) n N, possiamo osservare che max lim s n = inf sup s n = lim sup k N n>k s n e n>k s n = sup k N inf s n = n>k lim inf s n. n>k Sia infatti r > 0; posto k = int, per ogni n N si ha n > se e solo se n > k: quindi r r E+ r) s = { } s n n > r = { sn n > k }. Inoltre i Teoremi 5 e 7 si possono riscrivere, rispettivamente, come segue. Teorema 0 Data una successione s n ) n N e un numero reale M, vale la disuguaglianza max lim s n M se e solo se per ogni ε > 0 si ha definitivamente s n < M + ε. Teorema Data una successione s n ) n N e un numero reale M, vale la disuguaglianza s n M se e solo se per ogni ε > 0 si ha definitivamente s n > M ε. Chiamiamo maggiorante definitivo per una successione s n ) n N ogni µ R tale che s n µ definitivamente. Analogamente si definisce un minorante definitivo. Nel prossimo teorema, occorre utilizzare la convenzione che sup = e inf = +. Teorema Il massimo limite di una successione s n ) n N è l estremo inferiore dei maggioranti definitivi e il minimo limite è l estremo superiore dei minoranti definitivi). Al solito, omettiamo di dimostrare la parte fra parentesi. Sia Λ = max lim s n, e sia µ un maggiorante definitivo. Allora per ogni ε > 0 si ha s n < µ + ε definitivamente, e quindi Λ µ per il Teorema 0. Pertanto Λ è un minorante dell insieme dei maggioranti definitivi. Sia ora M > Λ: completiamo la dimostrazione trovando un maggiorante definitivo minore di M. Sia infatti m un numero reale maggiore di Λ e minore di M, e sia ε > 0 tale che Λ m ε: applicando il Teorema 0 si vede subito che s n < m definitivamente. Corollario 3 Il massimo limite Λ e il minimo limite λ di una successione limitata s n ) n N sono entrambi finiti. 5

Indichiamo con a e b rispettivamente un minorante e un maggiorante di s n ) n N. Essendo a un minorante definitivo abbiamo λ a; analogamente Λ b. Ora per la Proposizione si ha λ Λ: dunque sia λ che Λ appartengono ad [a, b]. Teorema 4 Sia s mk ) k N sottosuccessione di s n ) n N. Allora max lim s m k s n. s m k max lim s n e Anche in questo caso ci limitiamo a dimostrare l affermazione riguardante il massimo limite. Sia A l insieme dei maggioranti definitivi per s n ) n N, e sia B l insieme dei maggioranti definitivi per s mk ) k N. Se µ A, esiste ν N tale che s n µ per ogni n > ν; dunque, per ogni k > ν, essendo m k k, abbiamo s mk µ: pertanto ν B. Abbiamo così provato che A B; di conseguenza si ha inf A inf B, e la tesi segue dal teorema precedente. Teorema 5 Sia l il massimo limite il minimo limite) di una successione s n ) n N. Esiste una sottosuccessione s mk ) k N di s n ) n N tale che lim s m k = l. Sia l = max lim s n: se l =, la tesi segue subito dal Corollario 6. Supponiamo ora l R, lasciando come esercizio la dimostrazione del caso l = +. In virtù della Proposizione e dei Teoremi 9 e 4, basterà costruire un estratta il cui minimo limite sia maggiore o uguale a l. Anzitutto notiamo che, per ogni k N, il Teorema ci assicura che l k non è un maggiorante definitivo, cioè non si ha s n l definitivamente, e quindi si ha s k n > l k frequentemente: in altre parole l insieme D k = { n N s n > l } è infinito. Posto k dunque m = min D, e m k+ = min{ n D k+ n > m k } per ogni k N, la successione di numeri naturali m k ) k N così ottenuta è strettamente crescente; inoltre, per ogni k N, si ha s mk > l. Applicando la Proposizione 4 e il Teorema 9, si ottiene allora: k s m k l ) = lim l ) = l. k k Corollario 6 Il massimo limite il minimo limite) di una successione coincide con il massimo rispettivamente, il minimo) in R dell insieme di tutti i possibili limiti delle sue estratte. 6