LEZIONI N 41, 4 E 43 FLESSIONE E TAGLIO ALLO STATO LIMITE ULTIMO COMPORTAMENTO SPERIMENTALE DI UNA TRAVE DI C.A. SOTTOPOSTA A FLESSIONE E TAGLIO Consideriamo il comportamento sperimentale di una trave appoggiata di cemento armato sottoposta ad un carico verticale uniformemente ripartito, all aumentare dell intensità del carico applicato. Come abbiamo già avuto modo di osservare si possono individuare tre fasi successive di comportamento. I STADIO Finché non si verifica la fessurazione del calcestruzzo teso la trave inflessa è integra e si comporta, con buona approssimazione, come un solido elastico lineare. Al suo interno è presente uno stato di tensione rappresentabile mediante il flusso delle linee isostatiche di compressione e di trazione. L intensità e le direzioni delle tensioni principali in ciascun punto della trave possono essere determinati costruendo il corrispondente cerchio di Mohr. A titolo di esempio in un punto che si trova in corrispondenza dell asse neutro ed in prossimità dell appoggio di sinistra si ha che le tensioni normali sono nulle e sono presenti solo tensioni tangenziali. Con riferimento all elemento materiale rappresentato in figura, la tensione sul piano verticale V vale [ = 0; = +] e quella sul piano orizzontale O è: [ = 0; = -]. 176
Il cerchio di Mohr corrispondente (che passa per i punti O e V) ha centro nell origine e raggio. Si individua quindi il polo dei piani K tracciando la verticale per V e l orizzontale per O. La costruzione mostra che la tensione principale di trazione è inclinata di 45 rispetto alla linea d asse della trave. L andamento delle linee isostatiche, alle quali le direzioni principali delle tensioni sono tangenti, ha l andamento di figura: ( da E. Mörsch, Der Eisenbetonbau,1909) Il primo stadio termina con la comparsa delle prime fessure, che si producono quando le tensioni di trazione superano la resistenza a trazione del calcestruzzo. Esse si verificano ortogonalmente alle isostatiche di trazione e quindi parallelamente alle isostatiche di compressione. Pertanto le fessure sono verticali (anche per la simmetria) in mezzeria e poi tendono ad assumere andamenti curvilinei, paralleli a quelli delle isostatiche di compressione all avvicinarsi degli appoggi. Le prime lesioni si verificano, naturalmente, nella sezione di mezzeria della trave dove la tensione di trazione al lembo inferiore è più grande. II STADIO Per tutto il II stadio la trave è fessurata. Le lesioni aumentano di numero e di ampiezza finché la fessurazione non si stabilizza, nel senso che il loro numero non aumenta più, ma aumenta la loro apertura. Le lesioni sono, naturalmente, ortogonali alle isostatiche di trazione e, di conseguenza sono verticali in mezzeria e sono oblique in prossimità degli appoggi. L equilibrio è possibile solo per la presenza dell armatura metallica, costituita da barre longitudinali, staffe ed, eventualmente, barre piegate. 177
( da E. Mörsch, Der Eisenbetonbau,1909) 178
III STADIO Nel terzo stadio la trave raggiunge lo stato limite ultimo. ( da E. Mörsch, Der Eisenbetonbau,1909) Dal punto di vista qualitativo la rottura può avvenire per uno o più dei seguenti fenomeni di rottura (stati limite) che possono verificarsi: A) lo snervamento delle armature tese; B) lo per schiacciamento del calcestruzzo compresso. E da osservare che lo snervamento delle armature non riguarda solo quelle longitudinali, ma anche quelle trasversali: staffe e ferri piegati. Analogamente lo schiacciamento del calcestruzzo può avvenire tanto in direzione orizzontale, che anche secondo direzioni inclinate nelle zone compresse dell anima della trave (le zone compresse sono quelle comprese tra una fessura e l altra). 179
CASO DELLE STRUTTURE ARMATE A TAGLIO La prima teoria moderna della sollecitazione di flessione e taglio del c.a. è dovuta ad E. Mörsch, che, nel 190, ebbe l incarico dalla Ditta Wayss & Freytag di svilupparne la teoria. Egli utilizzò come modello di calcolo della trave fessurata una trave reticolare composta, parte di calcestruzzo e parte di acciaio. Tale modello di calcolo è isostatico e pertanto è applicabile tanto nel II stadio che nel III stadio. Il corrente inferiore e le aste inclinate di sono di acciaio, il corrente superiore e le aste inclinate di sono di calcestruzzo. L altezza del traliccio è z=0,9 d (braccio delle forze interne) e la distanza fra due nodi successivi è pari a: z (cotg + cotg ). Poiché il traliccio è isostatico, le forze nelle aste possono essere determinate mediante sezioni di Ritter. La sezione di Ritter a-a conduce alla determinazione delle forza F c nelle bielle inclinate di calcestruzzo. Detto V il valore del taglio, si ha: F c sin = V ----------> F c = V/sin Una seconda sezione b-b conduce alla forza F s nelle aste di acciaio inclinate: F s sin = V ----------> F s = V/sin 180
Peraltro la pratica tecnica prevede che le armature trasversali siano disposte ad un interasse s inferiore rispetto a quello che deriva dall applicazione del modello di traliccio. Per realizzare un interasse tra i nodi (e le staffe) minore, si può utilizzare un traliccio multiplo, prevedendo di accostare fra di loro n tralicci semplici e sfalsandoli in direzione longitudinale della quantità s. E immediato verificare che il numero di tralicci necessari a realizzare l interasse s è dato da: n = z (cotg + cotg )/s Supponendo poi che i tralicci multipli siano uguali fra di loro è ragionevole stabilire che il taglio totale esterno si ripartisca in n parti uguali fra i vari tralicci semplici. Il taglio che agisce su un traliccio semplice, V tr, è pari a: V tr = V/n = Vs/ z(cotg + cotg ) e le due relazioni di equilibrio precedenti si trasformano nelle: F c = Vs/ [z(cotg + cotg )sin ] F s = Vs/ [z(cotg + cotg )sin ] Per quanto riguarda i carichi applicati, nel III stadio (stato limite ultimo di resistenza) occorre considerare i carichi di esercizio moltiplicati per i corrispondenti coefficienti parziali di sicurezza e opportunamente combinati fra di loro. Per quanto riguarda le tensioni nei materiali, nel III stadio occorre considerare le tensioni di crisi: ai fini della progettazione strutturale si utilizzano le tensioni caratteristiche divise per i coefficienti parziali di sicurezza. La verifica al taglio nel III stadio consiste nel confrontare fra loro il taglio di calcolo esterno V Ed, dovuto ai carichi applicati di calcolo, comprensivi cioè dei coefficienti parziali di sicurezza, ed il taglio di calcolo interno V Rd, corrispondente alla più piccola tra la capacità portante dell acciaio teso e quella del calcestruzzo compresso delle bielle. La verifica consiste quindi nel controllare che sia: 181
V Ed V Rd Per quanto detto i tagli di calcolo interni V Rd sono dunque due: a) quello dovuto alla resistenza dell armatura trasversale tesa che ha raggiunto lo snervamento, V Rsd ; b) quello dovuto alle resistenza delle bielle compresse oblique di calcestruzzo, considerata alla soglia dello stato limite ultimo, V Rcd. Il taglio di calcolo esterno V Ed deve essere confrontato separatamente con ognuno dei due tagli di calcolo interni V Rsd e V Rcd, rispettivamente corrispondenti all armatura trasversale ed al calcestruzzo delle bielle: V Ed V Rsd (armatura trasversale) V Ed V Rcd (calcestruzzo delle bielle) Nel caso della verifica dell armatura trasversale, A sw, evidentemente si ha: F s = f yd A sw ed utilizzando la: F s = V s/ [z(cotg + cotg )sin ] è possibile ricavare il taglio ultimo compatibile con la resistenza delle armature trasversali: Asw VRsd 0,9d fyd cotg cotg sin s Nel caso di staffe verticali: = 90 (cotg = 0, sin = 1.), ponendo (caso più frequente) = 45 (cotg 45 = 1.) si ottiene: Asw VRsd 0,9d fyd s Nel caso di barre piegate (45 è l angolo di piegatura maggiormente ricorrente) si ha che: = 45 (cotg = 1, sin = / = 0.707), = 45 (cotg 45 = 1.), si ottiene: 18
A sw Asw VRsd 0,9d fyd 11 0,9 d fyd s s Occorre però tener conto del fatto che numerosi meccanismi resistenti collaborano a sopportare il taglio esterno di calcolo in aggiunta alla resistenza delle armature trasversali: a) le azioni tangenziali che si sviluppano nella zona di calcestruzzo compresso dei correnti superiori; b) l incastro flessionale delle bielle di calcestruzzo inclinate dell angolo nel corrente superiore; c) l ingranamento degli inerti che attraversano le fessure oblique; d) l effetto spinotto che si instaura tra le barre del corrente inferiore ed il calcestruzzo delle bielle inclinate dell angolo. Per questi motivi è ragionevole pensare che non tutto il taglio di calcolo debba essere affidato alle armature metalliche, per lo meno se non sono presenti fenomeni dinamici rilevanti, che possano diminuire il contributo di alcuni dei meccanismi resistenti sopra detti. Esamineremo questi aspetti con particolare riferimento alle indicazioni della Normativa italiana. Verifica delle armature a taglio La Normativa italiana consente di tener conto in modo indiretto dei contributi di resistenza a taglio ulteriori rispetto a quello dovuto alle armature metalliche variando l inclinazione delle bielle di calcestruzzo, nei limiti: 1cotg,5 che corrisponde ad imporre i seguenti limiti su : 45 1,8 183
Queste limitazioni derivano dalla applicazione al taglio del cemento armato della teoria della plasticità dovuta a B. Thürlimann. Considerando di nuovo la formula generale per il calcolo del taglio portato dalle armature metalliche Asw VRsd 0,9d fyd cotg cotg sin s nel caso di presenza di sole staffe, ma con inclinazione variabile delle bielle di calcestruzzo di ha: Asw VRsd 0,9d fyd cotg s L area di acciaio necessaria è quindi: A sw VRsd s 0,9d f cotg yd Si può vedere che l area delle staffe diminuisce al diminuire di (che fa aumentare cotg). Simultaneamente si verifica un aumento delle forze nelle bielle compresse di calcestruzzo, che però non costituisce di solito un problema, in quanto la resistenza delle bielle compresse è esuberante ed un aumento delle forze nel corrente inferiore teso. Con riferimento al caso di presenza di sole staffe si può valutare la forza nelle barre di acciaio inferiori, T, in prossimità degli appoggi con la sezione di Ritter c-c. Imponendo l equilibrio alla rotazione intorno al punto A si ottiene: R x zcotg = Tz 184
La forza di trazione T nelle barre longitudinali inferiori vale: T = R x cotg Si osserva, quindi, che, a parità di reazione vincolare, la forza di trazione nelle barre longitudinali aumenta al diminuire di. Lo sforzo di trazione nelle staffe si può determinare imponendo l equilibrio alla traslazione verticale in corrispondenza della sezione c-c. Si ottiene: P Fs R 0 Detto p il carico uniformemente ripartito sulla trave, il carico P vale: P p z cotg Sostituendo si ottiene: pzcotg Fs R 0 F s R pzcotg Si osserva, quindi, che, a parità di reazione vincolare, la forza di trazione nelle staffe diminuisce al diminuire di. Verifica del calcestruzzo delle bielle compresse Nel caso della verifica del calcestruzzo delle bielle compresse non ha interesse la divisione del taglio esterno fra gli n tralicci semplici, perché, ai fini del calcolo della tensione media di compressione, basta dividere la forza obliqua totale per l area della sezione normale della biella, pari al rettangolo avente area: 185
A biella = b w z (cotg + cotg ) sin in cui b w è la larghezza della sezione della trave o l anima della sezione (se è a T). La biella di calcestruzzo si rompe quando F c = c,u A biella = c,u b w z (cotg + cotg )sin Poiché abbiamo trovato che la forza nelle bielle è: F c = V/sin si ottiene: V Rcd = c,u b w z (cotg + cotg ) sin La normativa scrive questa espressione nel modo equivalente: V Rcd = 0,9 d b w c f cd (cotg + cotg)/(1+ cotg ) in cui f cd = 0.5 f cd ed c è un coefficiente maggiorativo che vale: Il coefficiente riduttivo 0.5 applicato ad f cd tiene conto della riduzione di resistenza delle bielle compresse dovuta alla presenza di fessure parallele alle bielle stesse. Questa riduzione si trova anche nell Eurocodice, dove è espressa, in modo più articolato dalla formula: 186
f ck 0,61 50 Considerando, a titolo di esempio, un calcestruzzo avente f ck = 30 N/mm, si ottiene: 30 0, 61 0, 610,10,58 50 valore assai vicino a quello previsto dalle Norme Italiane. Nel caso di staffe verticali: = 90 (cotg = 0) si ottiene: V Rcd = 0,9 d b w c f cd cotg sin = 0,9 d b w c f cd sin cos Nel caso, invece, di piegati: = 45 (cotg = 1) si ottiene: V Rcd = 0,9 d b w c f cd (1 + cotg ) sin 187
IL CASO DELLE TRAVI NON ARMATE A TAGLIO La normativa italiana consente l impiego di elementi sprovvisti di armature trasversali resistenti a taglio per solette, piastre e membrature a comportamento analogo, a condizione che detti elementi abbiano sufficiente capacità di ripartire i carichi trasversalmente. Il meccanismo resistente a taglio è in questo caso quello di un arco a spinta eliminata (arco di calcestruzzo tirante orizzontale inferiore di acciaio). Verifica delle armature longitudinali La resistenza a taglio vale: V 0,18k 100 f 0,15 b d Rd 1 ck c cp w con la limitazione: min 0,15 13 V v b d, Rd cp w che equivale a dire che deve essere: 13 0,18k 100 fck c bw d v 1 min Il significato dei simboli è il seguente: d 1 k 1 00 / vmin 0, 035 k fck 3 1 in cui: d è l altezza utile espressa in mm; A b d è il rapporto geometrico di armatura longitudinale ( 0,0); 1 sl w cp Ed c N A è la tensione media di compressione nella sezione ( 0, f cd ); b w è la larghezza minima della sezione espressa in mm. 188
LA REGOLA DELLA TRASLAZIONE DEL DIAGRAMMA DEL MOMENTO FLETTENTE Dal punto di vista operativo, la verifica di sicurezza di una trave di cemento armato si svolge in due fasi (progetto condizionato): 1) determinazione delle armature longitudinali, eseguita utilizzando la teoria della flessione semplice; ) determinazione dell armatura trasversale (staffe e ferri piegati), svolta utilizzando il modello del traliccio di Mörsch. Vengono impiegati, quindi due modelli diversi: il primo è quello della trave a parete piena (si studiano solo sezioni piane), il secondo è quello della trave reticolare. Vediamo, innanzitutto qual è l andamento delle forze nei ferri inferiori nei due casi. Con riferimento ad un traliccio avente le bielle compresse inclinate a 45 e le aste tese trasversali inclinate a 90 (ma non è una restrizione significativa), si vede che l andamento delle forze di trazione nel corrente inferiore varia a gradini, mantenendosi costante tra un nodo e l altro. Viceversa nella trave a parete piena tale andamento è parabolico e tocca il diagramma a gradini in corrispondenza dei nodi della trave reticolare, mantenendosi altrove sempre al suo interno. 189
Se ne deduce che la verifica delle armature longitudinali con la procedura della trave a parete piena è, quasi sempre, a sfavore di sicurezza. Volendo continuare ad utilizzare i due modelli sopra detti in modo indipendente, occorre armonizzarli fra di loro. Ciò si può fare traslando verso gli appoggi il diagramma del momento flettente, affinché si abbia che le forze di trazione corrispondenti sono sempre maggiori o uguali a quelle del traliccio. Si effettua, cioè la traslazione di z del diagramma del momento. Poiché il traliccio è normalmente multiplo si può fare una traslazione pari a z/n, in cui n è il numero dei tralicci. Nella pratica si adotta n= e quindi si trasla di z/. Vediamo ora lo stesso problema in forma analitica. Consideriamo la figura seguente, relativa ad una trave realizzata con sole staffe e proponiamoci di determinare la forza di trazione T nell acciaio teso inferiore. Con riferimento alla sezione di Ritter a, scriviamo la condizione di equilibrio alla rotazione rispetto al polo A. Si ottiene: P TzR3zcotg zcotg Pzcotg 0 P Tz R3zcotg zcotg P zcotg Osserviamo che il valore del taglio V nella sezione a-a è: P V R P 190
Sostituendo nell equazione di equilibrio alla rotazione l espressione del taglio V si ottiene: P Tz V zcotg Rzcotg zcotg Si nota che il momento flettente nel punto B si può scrivere come: P MB Rzcotg zcotg Considerato che il taglio nella sezione a-a è e uguale a quello nel punto B, a destra del nodo, si ha allora: Tz MB VB, dx zcotg 1 T MB VB, dxzcotg z La seconda relazione individua il valore dello sforzo di trazione T. La prima indica che il valore del momento da utilizzare per determinare T si ottiene aggiungendo al valore del momento flettente determinato sulla trave a parete piena, il termine aggiuntivo: MB VB, dx zcotg Questa relazione esprime la regola della traslazione del momento flettente, che va traslato di L zcotg. Nel caso il cui sia = 45, si ha: L z. In presenza di n tralicci multipli si può scrivere: z Tz MB VB, dx cotg. n Nel caso ricorrente in cui i tralicci siano almeno due, si può porre: n = e si ottiene, per = 45, che la traslazione va effettuata di z. 191