F. Fagnani, A. Tabacco e P. Tilli Introduzione all Analisi Complessa e Teoria delle distribuzioni 2 marzo 2006
3 Serie di Taylor e di Laurent. Residui 3. Successioni e serie di numeri complessi Una successione {c n } n N di numeri complessi è un applicazione di N in C. Diremo che la successione {c n } n N ha limite l C se per ogni ε > 0 esiste un numero n ε N tale che per ogni n > n ε si ha c n l < ε. In simboli lim c n = l ε > 0, n ε N : n > n ε si ha c n l < ε. Geometricamente, questo significa che per valori di n sufficientemente grandi i punti c n sono arbitrariamente vicini al limite l. Non è difficile verificare che il limite, se esiste, è unico. Quando il limite esiste, diremo che la successione converge a l; in tutti gli altri casi diremo che la successione non converge. Come per i limiti di funzioni di variabile complessa, vale un risultato analogo ai Teoremi.4 e.6. Teorema 3. Supponiamo che c n = a n + ib n e l = lre + il im. Allora lim n = lre a) lim n = l lim n = l im. b) lim n = l lim n l = 0. c) lim n = l = lim n = l. Dimostrazione. a) Supponiamo dapprima che lim c n = l. Per definizione, per ogni ε > 0, esiste n ε N tale che n > n ε = a n lre + i(b n l im ) < ε. Ma a n lre a n lre + i(b n l im ) e b n l im a n lre + i(b n l im ). Conseguentemente, per ogni n > n ε, risulta
68 F. Fagnani, A. Tabacco, P. Tilli cioè a n lre < ε e b n l im < ε ; lim a n = lre e lim b n = l im. (3.) Viceversa, se vale la (3.), per ogni ε > 0, esistono n, n 2 N tali che n > n a n lre < ε 2 Pertanto, se n ε = max(n, n 2 ), si ha ovvero e n > n 2 b n l im < ε 2. n > n ε = a n lre + i(b n l im ) a n lre + b n l im < ε ; n > n ε = c n l < ε e dunque lim c n = l. b) Si osservi che, direttamente dalla definizione, si ha lim z n = l lim (z n l) = 0 lim z n l = 0. c) Il risultato segue immediatamente osservando che c n l c n l. Osserviamo che nel punto c) non vale, in generale, l implicazione inversa. Si pensi, ad esempio, alla successione c n = ( ) n. Risulta c n = e quindi la successione dei moduli { c n } converge a, mentre la successione di partenza {c n } non converge. Esempio 3.2 Studiamo il comportamento della successione geometrica c n = z n, al variare di z C. Per z =, la successione converge a. Per z <, utilizzando il punto b) del teorema precedente, risulta lim z n = 0 lim zn = 0 lim zn = 0 ; dunque anche in questo caso la successione converge. Sia ora z >. Poiché lim z n = lim zn = +, la successione z n non può convergere, altrimenti si contraddirebbe il punto c) del teorema precedente. È possibile dimostrare, ma non è immediato, che la successione non converge neppure per z = e z. Riassumendo lim zn = {, z =, 0, z <, non converge, altrimenti.
3. Successioni e serie di numeri complessi 69 Come nel caso reale, la somma di infiniti numeri complessi (studio della convergenza di una serie) si definisce a partire dalle successioni. Più precisamente, sia {c n } una successione di numeri complessi. Consideriamo la successione delle ridotte o somme parziali {s n } definita, per ogni n 0, come Diremo che la serie s 0 = c 0, s n = n c k = s n + c n, n. k=0 c n converge a s C se lim s n = s. In tutti gli altri casi diremo che la serie non converge. Il numero s, se esiste, è detto somma della serie. Dal Teorema 3. si ottiene il seguente risultato. Teorema 3.3 Supponiamo che c n = a n + ib n e s = sre + is im. Allora la serie c n converge a s se e solo se le serie a n e b n convergono a sre e s im, rispettivamente. Si osservi inoltre che il termine generale c n di una serie convergente tende necessariamente a 0, in quanto tendono a 0 sia la sua parte reale a n sia quella immaginaria b n. In particolare, la successione {c n } è limitata, ossia esiste una costante M > 0 tale che c n M, per ogni n. Esempio 3.4 Consideriamo la serie geometrica z n, al variare di z C. Se z =, sappiamo che la serie non converge. Sia ora z, scriviamo s n = + z + z 2 + + z n = zn+ z e utilizziamo l Esempio 3.2 per concludere che { lim s n = z, z <, non converge, altrimenti. In conclusione, la serie converge e la sua somma vale solo se z <. z Come per le serie a valori reali, diremo che la serie c n converge assolutamente se converge la serie e si ha c n. La convergenza assoluta implica la convergenza
70 F. Fagnani, A. Tabacco, P. Tilli c n c n. Si osservi che la serie c n è una serie a termini reali positivi e quindi ad essa si possono applicare tutti i criteri studiati nei corsi di base di matematica. i n Esempio 3.5 Verifichiamo che la serie n! converge. Infatti, i n = n! n! e la serie converge (si applichi, ad esempio, il Criterio del rapporto). Dunque la n! serie data converge assolutamente. 3.. Serie di potenze Particolarmente importanti per lo studio delle funzioni di variabile complessa sono le serie di potenze. Una serie di potenze ha la forma a n (z z 0 ) n con {a n } successione di numeri complessi, detti coefficienti della serie e z 0 C detto centro della serie. Le definizioni e i risultati che seguono sono riferiti a serie con centro l origine; ci si riconduce al caso generale mediante la sostituzione w = z z 0. Si osservi che una serie di potenze converge sempre almeno nel suo centro z 0. Il primo esempio di serie di potenze è la serie geometrica considerata nell Esempio 3.4. Ricordiamo che z n = z se z < e la serie non converge per z. Vedremo che il comportamento di tale serie è tipico: infatti, proveremo che ogni serie di potenze converge all interno di un cerchio e non converge al suo esterno eccetto nei casi limite in cui si ha convergenza solo nel centro della serie oppure per ogni valore di z. Più precisamente, vale il seguente risultato dovuto a Abel. Teorema 3.6 Per ogni serie di potenze a n z n esiste un numero R, con 0 R +, detto raggio di convergenza con le seguenti proprietà: a) se R = 0, la serie converge solo per z = 0;
3. Successioni e serie di numeri complessi 7 b) se R > 0, la serie converge assolutamente per ogni z con z < R; se 0 < ρ < R, la serie converge uniformemente nel cerchio { z ρ}; c) se R = +, la serie converge assolutamente per ogni z C e uniformemente in ogni cerchio { z ρ} con ρ > 0. Per dimostrare il teorema, premettiamo un risultato tecnico. Lemma 3.7 Sia data la serie a n z n. a) Se esiste z 0 in cui la serie converge, allora la serie converge assolutamente per ogni z con z < z. b) Se esiste z 2 0 in cui la serie non converge, allora la serie non converge per ogni z con z > z 2. Dimostrazione. a) Poiché la serie a n z n converge, il suo termine generale a n z n tende a 0 per n e dunque la successione { a n z n } è limitata. Quindi esiste una costante M > 0 tale che a n z n M, per ogni n. Sia ora z 0 tale che z < z ; risulta a n z n = a n z n z n z n M. z z La serie z n z converge in quanto è una serie geometrica con < ; pertanto, applicando il Criterio del confronto valido per serie numeriche reali, la serie z z a n z n converge assolutamente. b) Se la serie convergesse in z con z > z 2, allora per la prima parte del lemma, dovrebbe convergere anche in z 2, contrariamente all ipotesi. Il lemma appena dimostrato ci permette di definire il raggio di convergenza della serie a n z n come l estremo superiore dei moduli dei punti in cui la serie converge R = sup{ z : a n z n converge}. (3.2) Torniamo ora alla dimostrazione del Teorema 3.6. Dimostrazione. (del Teorema 3.6) a) È immediata dalla definizione di raggio di convergenza (3.2). b) Sia z con z < R. Dalla (3.2), esiste z con z < z < R in cui la serie converge. Per il punto a) del Lemma 3.7, la serie converge assolutamente in z. Sia ora ρ tale che 0 < ρ < R. Per quanto è stato appena dimostrato, la serie
72 F. Fagnani, A. Tabacco, P. Tilli converge assolutamente nel punto z = ρ, cioè la serie a n ρ n converge. Allora se z ρ, si ha a n z n a n ρ n. Per il Criterio di Weiertrass, la serie converge uniformemente in { z ρ}. c) La dimostrazione è analoga a quella relativa al punto b). Si noti che il teorema non fornisce alcuna indicazione sulla convergenza della serie nei punti della circonferenza { z = R}. Esempi 3.8 a) Per quanto visto in precedenza, al serie geometrica raggio di convergenza R =, così come la serie Criterio del rapporto alla serie dei moduli, si ha lim z n ha nz n. Infatti, applicando il (n + ) z n+ n z n = z. Dunque la serie converge per ogni z con z < ; inoltre non converge se z > in quanto il termine generale non tende a 0. z n b) Consideriamo la serie. Fissato z C, studiamone la convergenza n! assoluta applicando ancora il Criterio del rapporto alla serie numerica così ottenuta z n+ n! lim (n + )! z n n = lim z n + = 0 <. Dunque la serie converge per ogni z C e il suo raggio di convergenza R vale +. Vedremo più avanti che la sua somma è la funzione analitica f(z) = e z (si veda l Esempio 3.5). z n c) Consideriamo la serie. Come sopra, fissato z C, applichiamo il Criterio n2 n= della radice alla serie dei moduli n z n lim n 2 = z. Pertanto la serie converge se z < ; non converge se z > in quanto il termine generale non tende a 0; il raggio di convergenza vale quindi. Per studiare il comportamento della serie sulla circonferenza { z = }, osserviamo che la serie dei moduli si riduce alla serie armonica generalizzata n 2 che n= converge. In definitiva, la serie converge assolutamente (e uniformemente) in { z }.
3. Successioni e serie di numeri complessi 73 d) Non è difficile verificare che la serie n!z n converge solo per z = 0. n= Per determinare il raggio di convergenza di una serie di potenze senza ricorrere allo studio diretto della serie stessa, è possibile utilizzare i cosiddetti criteri del rapporto e della radice. Non riporteremo le dimostrazioni di tali teoremi in quanto sono del tutto analoghe a quelle già viste nei precedenti corsi di matematica validi per le serie di potenze reali a n x n con coefficienti a n R e variabile x R. Teorema 3.9 (Criterio del rapporto) Sia a n 0 per ogni n; se esiste lim a n+ a n a n z n una serie di potenze e sia = l allora il raggio di convergenza R è dato da 0 se l = +, R = se 0 < l < +, l + se l = 0. Teorema 3.0 (Criterio della radice) Sia supponiamo che esista lim n an = l. Allora il raggio di convergenza R è dato dalla (3.3). (3.3) a n z n una serie di potenze e Esempi 3. a) Calcoliamo il raggio di convergenza della serie n! n n zn. Utilizziamo il Criterio del rapporto: (n + )! n n ( ) n n lim (n + ) n+ n! = lim = lim n + quindi R = e. b) Sia n n z n. Applicando il Criterio della radice si ha n= pertanto R = 0. lim n nn = lim n = + ; n= [( + n) n ] = e ;
74 F. Fagnani, A. Tabacco, P. Tilli Il nostro interesse verso le serie di potenze deriva dal loro comportamento come funzioni. Come abbiamo già detto, una serie di potenze a n z n, con raggio di convergenza R 0, converge per z < R e quindi ivi definisce una funzione f(z). Mostreremo che f è analitica in tale disco. L idea è dimostrare che la derivazione termine a termine è legittima. Iniziamo con il seguente risultato tecnico. Lemma 3.2 Le due serie di potenze a n z n hanno lo stesso raggio di convergenza. e na n z n Dimostrazione. Verifichiamo dapprima che se in z < R (R 0), allora anche la serie a n z n converge assolutamente na n z n ivi converge assolutamente. Fissato z con 0 < z < R e scelto ρ tale che z < ρ < R, si ha na n z n = n ( ) n z a n ρ n. z ρ ( ) n z La serie n converge (si ricordi l Esempio 3.8 a) e che z < ρ), dunque ρ ( ) n ( ) n z z lim n = 0 e pertanto esiste una costante M 0 tale che n M, ρ ρ per ogni n. In definitiva, na n z n M z a nρ n e, per il Criterio del confronto per serie numeriche, la serie assolutamente. Viceversa, se la serie z 0, risulta e dunque anche la serie na n z n converge na n z n converge assolutamente in z < R, per ogni a n z n z na nz n a n z n converge assolutamente in z < R.
3. Successioni e serie di numeri complessi 75 Teorema 3.3 Una serie di potenze a n z n, con raggio di convergenza R > 0, rappresenta una funzione f(z) analitica nel disco { z < R}. Dimostrazione. Per z < R, scriviamo dove e s n (z) = f(z) = a n z n = s n (z) + r n (z) n a k z k, r n (z) = k=0 g(z) = k=n+ na n z n = lim s n(z). n= a k z k Dobbiamo verificare che f (z 0 ) = g(z 0 ) per ogni z 0 con z 0 < R. Siano z e ρ tali che z, z 0 < ρ < R; possiamo scrivere ( ) f(z) f(z 0 ) sn (z) s n (z 0 ) g(z 0 ) = s z z 0 z z n(z 0 ) + (s n(z 0 ) g(z 0 )) + 0 ( ) (3.4) rn (z) r n (z 0 ) +. z z 0 Inoltre, ricordando che z k z0 k = (z z 0 )(z k + z k 2 z 0 + + zz0 k 2 + z0 k ), si ha r n (z) r n (z 0 ) = ( a k z k z k ) 0 z z 0 z z 0 = k=n+ k=n+ a k (z k + z k 2 z 0 + + zz0 k 2 + z0 k ). Usando la disuguaglianza triangolare e la condizione z, z 0 < ρ, risulta e quindi z k + z k 2 z 0 + + zz0 k 2 + z0 k z k + z k 2 z 0 + + z z 0 k 2 + z 0 k kρ k r n (z) r n (z 0 ) z z 0 k=n+ k a k ρ k. Quest ultima espressione è il resto di una serie convergente e tende a 0 per n. Pertanto, fissato ε > 0, possiamo trovare n 0 N tale che, per ogni n n 0, r n (z) r n (z 0 ) z z 0 < ε 3.
76 F. Fagnani, A. Tabacco, P. Tilli Inoltre, poiché lim s (z) = g(z 0 ), esiste n N tale che, per ogni n n, s n(z 0 ) g(z 0 ) < ε 3. Sia n n 0, n ; per definizione di derivata, esiste δ > 0 tale che 0 < z z 0 < δ implica s n (z) s n (z 0 ) s z z n(z 0 ) 0 < ε 3. In definitiva, tornando alla (3.4), si ha f(z) f(z 0 ) g(z 0 ) z z 0 < ε quando 0 < z z 0 < δ. Abbiamo dimostrato che f (z 0 ) esiste ed è uguale a g(z 0 ). Poiché il ragionamento può essere ripetuto, abbiamo in realtà dimostrato che f(z) = a 0 + a z + a 2 z 2 + f (z) = a + 2a 2 z + 3a 3 z 2 +. f n (n + )! (n + 2)! (z) = n!a n + a n+ z + a n+2 z 2 +! 2!. In particolare, a n = f n (0) e la serie di potenze ha la forma n! 3.2 Serie di Taylor f(z) = a n z n f n (0) = z n. (3.5) n! La serie (3.5) altro non è che il familiare sviluppo di Maclaurin, ma lo abbiamo ricavato nell ipotesi che f(z) abbia uno sviluppo in serie. Sappiamo che, se esiste, lo sviluppo è unico; la proprietà fondamentale, ovvero che ogni funzione analitica in un punto z 0 ammette uno sviluppo in serie di Taylor centrato in z 0 è dimostrata nel seguente risultato. Teorema 3.4 (Sviluppo in serie di Taylor) Sia f analitica in un dominio Ω. Fissato z 0 Ω, sia B r0 (z 0 ) un intorno di z 0 contenuto in Ω. Allora per ogni z B r0 (z 0 ), si ha
3.2 Serie di Taylor 77 Figura 3..????????????????? f(z) = f (n) (z 0 ) n! (z z 0 ) n = f(z 0 ) + f (z 0 )(z z 0 ) + 2 f (z 0 )(z z 0 ) 2 + (ovvero la serie di potenze converge a f(z) se z z 0 < r 0 ). (3.6) Dimostrazione. Sia z B r0 (z 0 ); poniamo z z 0 = r < r 0. Sia r tale che r < r < r 0 e sia s un qualunque punto sulla circonferenza C di centro z 0 e raggio r, così s z 0 = r (si veda la Figura 3.). Poiché f è analitica in { z z 0 r }, per la formula integrale di Cauchy (2.32), si ha f(z) = 2πi s z ds. Ma ricordando che s z = (s z 0 ) (z z 0 ) = s z 0 z z ; 0 s z 0 C q = + q + + qn + qn q, l espressione precedente con q = z z 0 diventa s z 0 s z = + z z ( ) n ( ) n 0 z z0 z z0 + + + s z 0 s z 0 s z 0 s z 0 z z. 0 s z 0 Allora s z = + s z 0 (s z 0 ) 2 (z z 0) + + + (s z 0 ) n (z z 0) n + (s z)(s z 0 ) n (z z 0) n ; integriamo ora su C e dividiamo per 2πi, ottenendo f(z) = 2πi C s z ds = ds + z z 0 2πi C s z 0 2πi + (z z 0) n 2πi (s z 0 ) n ds + (z z 0) n 2πi Ricordando la (2.33), si ha C C C (s z 0 ) 2 ds + + (s z)(s z 0 ) n ds.
78 F. Fagnani, A. Tabacco, P. Tilli con f(z) = f(z 0 ) + f (z 0 )(z z 0 ) + + f (n ) (z 0 ) (z z 0 ) n + r n (z) (3.7) (n )! r n (z) = (z z 0) n 2πi C (s z)(s z 0 ) n ds. Per stimare r n (z), sia M = max s C e si osservi che s z = s z 0 (z z 0 ) s z 0 z z 0 = r r ; allora, usando la (2.26), si ha r n (z) rn M2πr 2π (r r)r n = Mr ( ) n r. r r r Poiché r <, abbiamo lim r r n(z) = 0. Così per ogni punto z B r0 (z 0 ), il limite per n della somma dei primi n termini a secondo membro nella (3.7) è f(z) e questo conclude la dimostrazione. Si noti che lo sviluppo (3.6) vale nel più grande disco aperto centrato in z 0 e contenuto in Ω. Il raggio di convergenza della serie di Taylor è così almeno uguale alla distanza di z 0 dalla frontiera di Ω. Naturalmente, come abbiamo visto nel Teorema 3.3, ogni serie di potenze convergente coincide con il proprio sviluppo di Taylor. Come nel caso reale, se z 0 = 0 parleremo di serie o di sviluppo di Maclaurin. Esempi 3.5 a) Consideriamo la solita serie geometrica z n = z z <. (3.8) La funzione f(z) = è analitica in z <, il suo sviluppo di Maclaurin è z z n, da cui si ricava inoltre f (n) (0) = n!. b) Sia f(z) = e z e z 0 = 0. Ricordando che tutte le sue derivate coincidono con e z, abbiamo f (n) (0) = per ogni n 0. Pertanto, lo sviluppo in serie di Maclaurin della funzione è e z z n = (3.9) n! e, come abbiamo già visto nell Esempio 3.8 b), il raggio di convergenza di tale serie è R = + ; quindi l uguaglianza vale per ogni z C.
3.3 Serie di Laurent 79 c) Procedendo come nel punto precedente, si ha che le funzioni trigonometriche sin z e cos z e le funzioni iperboliche sinh z e cosh z ammettono i seguenti sviluppi di Maclaurin con raggio di convergenza R = + : sin z = cos z = ( ) n z2n+ (2n + )! ( ) n z2n 3.3 Serie di Laurent (2n)! sinh z = cosh z = z 2n+ (2n + )! z 2n (2n)! (3.0) In molte applicazioni si incontrano funzioni che non sono analitiche in qualche punto o in qualche sottoinsieme del piano complesso. Di conseguenza esse non ammettono sviluppi in serie di Taylor nell intorno di tali punti. Ciononostante è possibile costruire rappresentazioni in serie di potenze, centrate in un punto di non analiticità z 0, contenenti potenze sia positive sia negative di (z z 0 ). In effetti, la decomposizione in serie di Laurent permette di rappresentare una funzione analitica in un anello {r < z z 0 < r 2 } (con 0 r < r 2 ) come la somma di una funzione analitica nell anello e di una analitica all esterno. Vale infatti il seguente teorema. Teorema 3.6 Sia f analitica nell anello Ω = {z C : r < z z 0 < r 2 } con z 0 C e 0 r < r 2. Allora per ogni z Ω, si ha dove f(z) = c n = 2πi + n= C c n (z z 0 ) n (3.) ds (3.2) (s z 0 ) n+ e C è il cammino, percorso in senso antiorario, il cui sostegno è la circonferenza {s C : s z 0 = r} con r < r < r 2. Dimostrazione. Fissato z Ω e posto z z 0 = r, sia t > 0 tale che r < t < r < r 2 e indichiamo con C t il cammino, percorso in senso antiorario, il cui sostegno è la circonferenza { z z 0 = t}. Allora, ricordando l Osservazione 2.40, la formula integrale di Cauchy diventa f(z) = 2πi s z ds ds. (3.3) 2πi s z C Come nella dimostrazione del Teorema 3.4, nel primo integrale scriviamo C t
80 F. Fagnani, A. Tabacco, P. Tilli s z = s z 0 + (s z 0 ) 2 (z z 0) + + + (s z 0 ) n (z z 0) n + (s z)(s z 0 ) n (z z 0) n. Per il secondo integrale della (3.3), notiamo che e otteniamo l identità s z = (z z 0 ) (s z 0 ) = z z 0 s z = + z z 0 (s z 0 ) (z z 0 ) 2 + + s z 0 z z 0 + (s z 0 ) n+ (z z 0 ) n + (s z 0) n (z s) (z z 0 ) n. Poiché le funzioni /(s z 0 ) k+ con k = n,..., n sono analitiche nella regione {t z z 0 r}, l integrale sul cammino C coincide con quello sul cammino C t. Tornando alla (3.3), si ha n f(z) = c k (z z 0 ) k + r n (z) + q n (z) k= n con c k, k = n,..., n, dati dalla formula (3.2) e r n (z) = (z z 0) n 2πi C (s z)(s z 0 ) n ds (s z 0 ) n q n (z) = 2πi(z z 0 ) n ds. z s La dimostrazione del fatto che r n (z) 0 quando n + è identica a quella vista nel Teorema 3.4. Analogamente, per stimare q n (z), sia M = max s C t, allora e z s = z z 0 (s z 0 ) z z 0 s z 0 = r t q n (z) t n M2πt 2πr n = Mt ( ) n t. r t r t r Poiché t < r, lim q n(z) = 0 e il teorema è dimostrato. La serie (3.) è detta serie di Laurent. Si osservi che se f è analitica in { z z 0 < r 2 } eccetto che nel punto z 0, il raggio r può essere scelto arbitrariamente piccolo e lo sviluppo vale per 0 < z z 0 < r 2. Se f è analitica in tutto il disco { z z 0 < r 2 }, per n + 0 anche la funzione f(z)/(z z 0 ) n+ lo è. Dunque tutti i coefficienti c n con n intero negativo sono nulli e lo sviluppo si riduce allo sviluppo di Taylor. Infine, non è difficile verificare che la serie di Laurent converge uniformemente in ogni sottoanello {t z z 0 r} con r < t r < r 2. C t
3.3 Serie di Laurent 8 Esempi 3.7 a) Consideriamo la funzione f(z) = (z )(z 2) sviluppo di Laurent centrato in z 0 = 0 valido nelle regioni e cerchiamo lo A = {z : z < }, B = {z : < z < 2}, C = {z : z > 2}. Osserviamo che f(z) = z 2 z e utilizziamo lo sviluppo della serie geometrica (3.8). Se consideriamo z A, risulta f(z) = 2 z/2 + z = z n 2 2 n + ( z n = ) 2 n+ z n e la funzione, analitica in A, ammette uno sviluppo in serie di Maclaurin con c n = 2, n 0. n+ Sia ora z B, si ha f(z) = 2 z/2 z /z = z n 2 2 n z = 2 n+ zn + z n, n= z n quindi la funzione ha uno sviluppo in serie di Laurent con coefficienti c n = 2 n+ n 0 n < 0. Infine, se z C, avremo f(z) = z 2/z z /z = 2 n z z n z = (2 n ) z n+ = ( ) 2 n+ z n. n= La funzione ha dunque un o sviluppo in serie di Laurent valido per z C, con c n = 2 n+ per n < 0 e c n = 0 per n 0. b) Sia f(z) = ez z 2. Per trovare lo sviluppo in z > 0, centrato in z 0 = 0, utilizziamo la (3.9), ottenendo f(z) = z 2 ez = z 2 z n n! = z n 2 n! = n= 2 z n z n (n + 2)!
82 F. Fagnani, A. Tabacco, P. Tilli con n 2 c n = (n + 2)! 0 n < 2. c) Sia f(z) = z e individuiamone lo sviluppo di Laurent centrato in z 0 = z valido nella regione z <. Consideriamo la sostituzione w = z e la funzione g(z) = z. Allora a z 0 = corrisponde w 0 = 0 e possiamo scrivere Pertanto g(z) = z = w + = ( ) n w n = ( ) n (z ) n. f(z) = (z )g(z) = ( ) n (z ) n+ = ( ) n (z ) n e lo sviluppo è in realtà uno sviluppo in serie di Taylor. Se consideriamo ora la regione { z > } e procediamo come sopra, avremo e dunque con g(z) = z = w + = w + /w = w ( ) n = w n+ = ( ) n (z ) n+ 3.4 Singolarità isolate f(z) = (z )g(z) = n= ( ) n ( ) n (z ) n { ( ) n n 0 c n = 0 n > 0. Sia f una funzione analitica in z 0, allora esiste un intorno B r0 (z 0 ) all interno del quale f può essere rappresentata dalla sua serie di Taylor f(z) = + c n (z z 0 ) n, z z 0 < r 0. Se z 0 è uno zero di f, allora c 0 = 0; se, inoltre, f (z 0 ) = f (z 0 ) = = f (m ) (z 0 ) = 0 e f (m) (z 0 ) 0, w n
3.4 Singolarità isolate 83 allora z 0 è detto zero di ordine m e + f(z) = (z z 0 ) m c n+m (z z 0 ) n = (z z 0 ) m g(z), z z 0 < r 0, c m 0. Si osservi che g(z 0 ) 0 ed essendo la funzione g continua in z 0, ne segue che è non nulla in tutto un intorno di z 0. Vale quindi il seguente risultato. Teorema 3.8 Sia f analitica in un punto z 0 che è uno zero per f. Allora esiste un intorno di z 0 in cui z 0 è l unico zero di f a meno che f non sia identicamente nulla. Ossia, gli zeri di una funzione analitica (non nulla) sono isolati. Definizione 3.9 Un punto z 0 C è detto singolarità isolata per f se esiste un intorno di z 0 in cui f è analitica eccetto il punto z 0. Pertanto se z 0 C è una singolarità isolata per f, esiste r > 0 tale che f è analitica in Ω = {z C : 0 < z z 0 < r}. Dunque, per ogni z Ω, f può essere rappresentata dalla serie di Laurent c 2 f(z) = + (z z 0 ) 2 + c + c 0 + c (z z 0 ) + c 2 (z z 0 ) 2 + z z 0 La parte di serie contenente le potenze negative di z z 0 è detta parte principale di f in z 0. Utilizzeremo la parte principale per classificare il tipo di singolarità isolata di f in z 0. Definizione 3.20 Se la parte principale di f in z 0, singolarità isolata per f, contiene almeno un termine non nullo ma il numero di tali termini è finito, z 0 si dice polo per f. Più precisamente, se esiste un intero non nullo m tale che c m 0 e c m = c m 2 = = 0, ossia c m f(z) = (z z 0 ) m + c m+ (z z 0 ) m + + c + c 0 + c (z z 0 ) + z z 0 il polo si dice di ordine m. In particolare, se m =, parleremo di polo semplice e se m = 2 di polo doppio. Ragionando come nel caso di uno zero, possiamo scrivere f(z) = (z z 0 ) m c m+n (z z 0 ) n g(z) = (z z 0 ) m, z z 0 < r, c m 0 dove g è una funzione analitica e non nulla in un intorno di z 0. Definizione 3.2 Se la parte principale di f in z 0 contiene un numero infinito di termini, allora il punto z 0 è detto punto di singolarità essenziale.
84 F. Fagnani, A. Tabacco, P. Tilli Esempi 3.22 i) di Maclaurin Consideriamo la funzione f(z) = z sinh z e scriviamone la serie f(z) = z z 2n+ (2n + )! = z2 + 3! z4 +... Dunque z 0 = 0 è uno zero per f di ordine 2. ii) Sia f(z) = z sin z. Lo sviluppo di Laurent di f centrato in z 0 = 0 ha la forma z 2 f(z) = z 2 (z = ) ( ) n z2n+ = (2n + )! z 2 ( ) n z2n+ (2n + )! n= ( ) n z2n (2n + )! = 3! z 5! z3 +... n= Dunque z 0 = 0 è uno zero per f (singolarità apparente) di ordine. iii) Consideriamo f(z) = eπz in z 0 = 0. Risulta f(z) = z 3 z 3 π n z n = n! z 3 + π z 2 + π2 2z + π3 3! + π4 4! z +... e quindi z 0 = 0 è un polo per f di ordine 3. Il risultato si poteva anche ottenere direttamente dall espressione di f, senza ricorrere agli sviluppi di Laurent, osservando che f(z) = g(z) z 3 con g(z) = e πz, analitica e non nulla in z 0 = 0. iv) Sia f(z) = cos z. In z 0 = 0, si ha f(z) = ( ) n (2n)! z 2n. Così z 0 = 0 è una singolarità essenziale per f. 3.5 Residui e loro calcolo Definizione 3.23 Sia z 0 una singolarità isolata per f e sia r > 0 tale che f(z) = + n= c n (z z 0 ) n, 0 < z z 0 < r. Allora il coefficiente c è detto residuo di f in z 0 e indicato con c = Re f (z 0 ).
3.5 Residui e loro calcolo 85 Figura 3.2.????????????????? Ricordiamo che Re f (z 0 ) = c = f(z) dz 2πi C dove C è un cammino chiuso il cui sostegno, ad esempio, coincide con la circonferenza {z C : z z 0 = r}. Teorema 3.24 (dei residui) Sia C un cammino chiuso e semplice all interno del quale e sul quale una funzione f è analitica eccetto che per un numero finito di punti singolari z, z 2,..., z n appartenenti all interno di C. Allora C f(z) dz = 2πi n Re f (z k ). Dimostrazione. Sia Ω l interno di C; poiché z, z 2,..., z n Ω, è possibile trovare n intorni B rk (z k ) disgiunti a due a due e interamente contenuti in Ω. Siano C,..., C n i cammini i cui sostegni sono le circonferenze {z Ω : z z k = r k } = B rk (z k ) (si veda la Figura 3.2). La frontiera del dominio con bordo n Ω 0 = Ω \ B rk (z k ) è il sostegno di un cammino C 0 al quale possiamo applicare k= il Teorema 2.32 e ottenere Ma k= C 0 f(z) dz = 0. 0 = f(z) dz = f(z) dz C 0 C n = f(z) dz Re f (z k ) e dunque il teorema è dimostrato. C k= n k= C k f(z) dz Osservazione 3.25 Si noti che il teorema dei residui permette di trasformare un integrale lungo un cammino generico in una somma di integrali lungo circonferenze. Esempi 3.26 i) Si voglia calcolare C z z 2 dz
86 F. Fagnani, A. Tabacco, P. Tilli dove C è il cammino il cui sostegno è la circonferenza {z C : z = 3}. Poiché f(z) = z z 2 è analitica in Ω = interno di C tranne che nei punti z = e z 2 =, per il Teorema dei residui, risulta z z 2 dz = 2πi (Re f (z ) + Re f (z 2 )). C Ma z z 2 = /2 z + /2 z + e dunque Re f (z ) = Re f (z 2 ) = 2. In conclusione, l integrale vale 2πi. ii) Si voglia calcolare e /z dz C dove C è il cammino il cui sostegno è la frontiera del quadrato [, ] [, ]. La funzione f(z) = e /z è analitica in tutto C tranne l origine; pertanto e /z dz = 2πiRe f (0). Poiché f(z) = C n!z n = + z + 2z 2 +... risulta c = Re f (0) = ; dunque l integrale cercato vale 2πi. 3.5. Calcolo dei residui Poli semplici Sia z 0 un polo semplice per f, allora f(z) = c + c 0 + c (z z 0 ) + = g(z), z z 0 z z 0 per cui risulta Re f (z 0 ) = c = g(z 0 ) o, anche, osservando che g(z) = (z z 0 )f(z), Re f (z 0 ) = lim (z z 0 )f(z). z z 0 0 < z z 0 < r Più in generale, sia f(z) = n(z) d(z), con n(z 0) 0 e z 0 zero di ordine per d(z), ossia d(z 0 ) = 0 ma d (z 0 ) 0. Allora si ha Infatti Re f (z 0 ) = n(z 0) d (z 0 ). Re f (z 0 ) = lim (z z 0 ) n(z) z z 0 d(z) = lim (z z 0 ) z z 0 d(z) d(z 0 ) n(z) = n(z 0) d (z 0 ).
3.6 Esercizi 87 Poli multipli Sia z 0 un polo di ordine m per f, allora f(z) = con Si ha c m (z z 0 ) m + c m+ (z z 0 ) m + + c g(z) + c 0 + c (z z 0 ) + = z z 0 (z z 0 ) m g(z) = c m + c m+ (z z 0 ) + + c (z z 0 ) m + d m Re f (z 0 ) = (m )! g(m ) (z 0 ) = lim (m )! z z 0 dz m (z z 0) m f(z). 3.6 Esercizi. Determinare l insieme di convergenza delle seguenti serie di funzioni: z n z n a) b) n! n 2 c) n!z n n= 2. Verificare che: a) 4z z 2 = z n 4 n+ per 0 < z < 4 sin z2 b) z 4 = z 2 z2 3! + z6 5! z0 + per z 0 7! 3. Calcolare lo sviluppo di Taylor di: a) f(z) = z 3 3z 2 + 4z 2 in z 0 = 2 b) f(z) = z e 2z in z 0 = c) f(z) = (z 2 + ) cos 3z 3 in z 0 = 0 4. Calcolare lo sviluppo di Laurent in z 0 = 0 delle seguenti funzioni nelle regioni indicate: a) f(z) = z + in z < e in z > z cos 2z2 b) f(z) = z 5 in z > 0 c) f(z) = 6iz2 z 2 in z < 3 e in z > 3 + 9 2 d) f(z) = in z < 2 (z )(z 3)
88 F. Fagnani, A. Tabacco, P. Tilli 5. Verificare che z 0 = 0 è una singolarità essenziale per f(z) = cosh z. 6. Classificare le singolarità di cos z cosh z f(z) = ( ) 2 ( ). z 3 z 2 π2 4 z 2 + π2 4 7. Determinare le singolarità e calcolare i residui delle seguenti funzioni: a) f(z) = z + z 2 2z c) f(z) = z cos z b) f(z) = e2z z 4 d) f(z) = 3 + 2iz 8. Calcolare: e z a) dz C = { z = 2} C (z ) 2 b) e /z2 dz C = { z = } c) d) C C C 3.6. Soluzioni 5z 2 dz C = { z = 3} z(z ) 3z 3 + 2 (z )(z 2 dz C = { z 2 = 2} oppure C = { z = 4} + 9). Insiemi di convergenza: a) C ; b) { z } ; c) {0}. 3. Sviluppi di Taylor: a) f(z) = 2 + 4(z 2) + 3(z 2) 2 + (z 2) 3 ; b) f(z) = e 2 + e 2 n 2 2 n (z + ) n ; 2 n! n= c) f(z) = + z 2 9 2 z6 9 2 z8 + 8 4! z2 + 8 4! z4. 4. Sviluppi di Laurent: a) f(z) = 2 z n in { z < } ; e f(z) = + 2 in { z > } ; zn+
3.6 Esercizi 89 b) f(z) = ( ) n 22n z 4n 5 ; (2n)! ( ) n z 2n+2 ( ) n 9 n c) f(z) = 6i 9 n+ in { z < 3} ; e f(z) = 6i z 2n in { z > 3} ; 3 n+ d) f(z) = 3 n+ z n z n se z < mentre f(z) = 3 n+ se zn+ z > e z < 2. 6. z = 0 polo del terzo ordine; z = ± π 2 poli semplici; z = ± π 2 i sono punti di singolarità eliminabili. 7. Singolarità e residui: a) Re f (0) = 2 ; Re f (2) = 3 2 ; b) Re f (0) = 4 3 ; c) Re f (0) = 2 ; d) Re f ( 3 2 i) = i 2. 8. Integrali: a) 2πi e ; b) 0 ; c) 0πi ; d) πi e 2π 2 + 23 0 πi.