Orbite preliminari di asteroidi e satelliti artificiali

Orbite preliminari di asteroidi e satelliti artificiali Davide Farnocchia Università degli Studi di Pisa Facoltà di SMFN Corso di Laurea in Matematica Anno Accademico 27-28

Contenuti Metodi a tre osservazioni 2 Regione ammissibile 3 Metodo degli integrali primi

Il problema della determinazione orbitale Una volta individuato un corpo celeste si vuole determinarne l orbita. Si ha a disposizione la legge di gravitazione universale (modello a 2 corpi): r = µr r 3, si devono trovare informazioni sulle condizioni iniziali r e v. Si parla di orbite preliminari perché queste verranno passate alle correzioni differenziali e sottoposte a controlli di qualità.

Osservazioni geocentriche Un osservazione fatta ad un certo istante t definisce il versore ˆρ = (cos α cos δ, sin α cos δ, sin δ), dove (α, δ) sono ascensione retta e declinazione. Asteroide r ρ Sole φ q Terra ε r = q + ρ r 2 = q 2 + ρ 2 + 2qρ cos ε ()

Metodo di Laplace (78) A partire da almeno tre osservazioni si approssimano α(t) e δ(t) e si costruisce la terna ( ˆρ, ˆv, ˆn). Utilizzando la legge di gravitazione universale ρ = ( ρ ρη 2 ) ˆρ + (ρ η + 2 ρη)ˆv + (ρη 2 κ)ˆn = µr r 3 + µq q 3. La componente lungo di ˆn ci dà l equazione dinamica: ρ C q = q3 r 3 che insieme alla () ci porta all equazione polinomiale: P (r) = C 2 r 8 q 2 (+2C cos ε+c 2 )r 6 +2q 5 (+C cos ε)r 3 q 8 =.

Teoria di Charlier (9) Assunzione: esiste sempre la soluzione del problema. Teorema Il numero di soluzioni del metodo di Laplace può essere o 2 e dipende solo dalla posizione dell oggetto. 2.5.5 Sole Terra.5.5 zero limiting 2 2.5.5.5.5 2

Metodo di Gauss (89) Le tre posizioni eliocentriche dell oggetto osservato devono giacere sullo stesso piano: λ r r 2 + λ 3 r 3 =. (2) Facendo lo sviluppo di Taylor di r i (t) centrato in t 2 è possibile ricavare λ e λ 3 in funzione di r 2. Sviluppando r i = ρ i + q i in (2) e moltiplicando scalarmente per ˆρ ˆρ 3 si ottiene l equazione dinamica del metodo di Gauss: C ρ 2 q 2 = γ q3 2 r 3 2.

Osservazioni topocentriche Si tiene in considerazione la posizione dell osservatore rispetto al centro della Terra. Asteroide r ρ Sole r = ρ + q q q Osservatore P q = q + P Centro Terra

Metodi di Laplace e Gauss topocentrici Nel metodo di Laplace l equazione dinamica diventa dove ρ C = ( Λ n ) q3 q r 3 Λ n = q2 P ˆn µ ˆq ˆn può essere grande ( P 6µ/q 2 ). Il metodo di Gauss tiene conto in maniera naturale delle osservazioni topocentriche: è sufficiente sostituire il centro della Terra con la posizione dell osservatore.

Equivalenza tra i due metodi Teorema Se l approssimazione fatta nel metodo di Laplace viene valutata all istante t 2 allora i metodi di Laplace e Gauss sono equivalenti: all ordine in t nel caso classico; all ordine in t e in P/q nel caso topocentrico. Se, inoltre, t 2 coincide con la media dei tempi di osservazione, allora i due metodi sono equivalenti all ordine in t. Attenzione: la dimostrazione del teorema suppone che i valori di k e η siano ben misurati nel metodo di Laplace...

Problemi nel metodo di Laplace topocentrico Descrivere α(t) e δ(t) con polinomi di secondo grado non è sempre un approssimazione consistente..434.435.436.437.438.439.43.43.432.433 6.225 6.23 6.235 6.24 6.245 6.25 6.255 6.26 6.265 6.27 6.275

Teoria qualitativa generalizzata Si studia il sistema: (qγ Cρ)r 3 q 4 = r 2 q 2 ρ 2 2qρ cos ε = r, ρ >. Assunzione: esiste sempre la soluzione del problema. Teorema Fissato il valore di γ, il numero di soluzioni del sistema può essere, 2 o 3 e dipende solo dalla posizione dell oggetto.

.5 2 sol. singular.5 sol..5 zero sol. limiting 3 sol. limiting 3 sol..5 singular.5.5.5.5 2.5.5.5.5 2.5.5 singular singular zero 2 2 sol. sol. sol. limiting 2 sol. 3 sol. limiting sol. sol..5.5 singular 2 sol. limiting.5 zero singular 2 sol. sol..5 zero sol. 3 sol..5.5 2 2.5.5.5.5 2.5.5.5.5

Esempio con più soluzioni.8.6.4.4.2.2.4 Sun Earth.6.8.5.5.5 2 2.5 La soluzione vicina alla Terra non viene trovata usando la teoria classica, nonostante sia quella migliore da usare per le correzioni differenziali.

Metodo di Gauss per i satelliti terrestri Il metodo di Gauss può essere applicato per la determinazione orbitale di un satellite terrestre adottando la notazione in figura: Osservatore q ρ Centro Terra r Satellite

Attribuibile e regione ammissibile per un asteroide Definizione Si definisce attribuibile per un asteroide il vettore: A = (α, δ, α, δ) [ π, π[ ] π/2, π/2[ R R. Definizione Assegnato un attribuibile si definisce regione ammissibile per un asteroide l insieme D = (D D 2 ) D 3 D 4 dove D = {(ρ, ρ) E } ; D 2 = {(ρ, ρ) ρ R SI } ; D 3 = {(ρ, ρ) E } ; D 4 = {(ρ, ρ) ρ R }.

Attribuibile e regione ammissibile (ottico) Definizione Si definisce attribuibile di tipo ottico per un detrito spaziale il vettore: A opt = (α, δ, α, δ) [ π, π[ ] π/2, π/2[ R R. Definizione Assegnato un attribuibile di tipo ottico si definisce regione ammissibile per un detrito spaziale l insieme D = D D 2 dove D = {(ρ, ρ) E } ; D 2 = {(ρ, ρ) ρ min ρ ρ max }.

Energia e momento angolare (ottico) L energia e il momento angolare si scrivono in funzione di (ρ, ρ) rispettivamente come: 2E = ρ 2 + w ρ + w 2 ρ 2 + w 3 ρ + w 4 dove c = A + Bρ + Cρ 2 + D ρ w = q 2 ; w 5 = 2 q, ˆρ ; w = 2 q, ˆρ ; A = q q ; 2µ ρ 2 + w 5 ρ + w, w 2 = α 2 cos 2 δ + δ 2 ; B = q ( α ˆρ α + δ ˆρ δ ) + q ˆρ ; w 3 = 2 α q, ˆρ α + 2 δ q, ˆρ δ ; C = ˆρ ( α ˆρ α + δ ˆρ δ ) ; w 4 = q 2 ; D = q ˆρ.

Forma della regione ammissibile (ottico) Teorema La regione ammissibile è un insieme compatto con al più 2 componenti connesse..5 2.5 zero energy zero energy.5 zero energy.5.5.5.5 rho min rho max rho min rhomax.5 2 3 4 5 6 7 2 2 3 4 5 6 7

Esclusione di oggetti troppo vicini (ottico) Per escludere oggetti troppo vicini si limita dal basso il semiasse maggiore, che equivale a limitare l energia..5 2 zero energy.5 zero energy.5.5 zero energy energy min.5 energy min.5 rho min rho max.5 rho min rho max.5 2 3 4 5 6 7 2 2 3 4 5 6 7

Condizione sul pericentro (ottico) Si può limitare il pericentro con la condizione: a( e) R + h = r. { E GM /2 r (grado 6) c 2 2 r (GM + E r) (grado ).5.5 pericenter.5 zero energy.5 energy min energy min.5.5 apocenter zero energy pericenter rho min rho min.5 2 3 4 5 6 7.5 2 3 4 5 6 7

Triangolazioni di Delaunay Definizione Assegnato un vincolo, ovvero dei lati che devono appartenere alla triangolazione, una triangolazione (Π, τ) si dice di Delaunay vincolata se soddisfa le seguenti proprietà: massimizza il minimo angolo; 2 minimizza la circonferenza circoscritta di massimo raggio. Teorema Fissato un vincolo esiste sempre una triangolazione di Delaunay vincolata.

Algoritmo di edge-flipping Per un quadrilatero ci sono due possibili triangolazioni: una è di Delaunay (A), l altra no (B). P 2 T T 2 P 4 P 3 P 2 P 3 T T 2 P 4 P P (A) (B) L algoritmo di edge-flipping consiste nel passare da (B) a (A).

Campionamento della regione ammissibile Per poter fare conti praticamente accessibili è necessario campionare con un certo numero di detriti virtuali la regione ammissibile..5..5.5..5..5.2.25.3.35.4.45 Dopo il campionamento si scartano i nodi che non soddisfano la condizione sul pericentro.

Effemeridi triangolate Usando i nodi del campionamento calcoliamo le effemeridi ad un certo istante t, per recuperare l oggetto osservato. 2.25 2.2 2.5 2. 2.5 2.95 3 2.5 2.5

Attribuibile e regione ammissibile (radar) Definizione Si definisce attribuibile di tipo radar per un detrito spaziale il vettore: A rad = (α, δ, ρ, ρ) [ π, π[ ] π/2, π/2[ R + R. Definizione Assegnato un attribuibile di tipo radar si definisce regione ammissibile per un detrito spaziale l insieme: D = {( α, δ) E }.

Energia e momento angolare (radar) L energia e il momento angolare si scrivono in funzione di ( α, δ) rispettivamente come: dove 2E = e α 2 + e 2 δ2 + e 3 α + e 4 δ + e5, c = E + F α + G δ e = ρ 2 cos 2 δ ; e 5 = ρ 2 + c ρ + c 2 ρ 2 + c 3 ρ + c 4 2µ ρ 2 + c 5 ρ + c ; e 2 = ρ 2 ; E = r q + ρ q ˆρ ; e 3 = 2ρ q, ˆρ α ; F = ρ r ˆρ α ; e 4 = 2ρ q, ˆρ δ ; G = ρ r ˆρ δ.

Forma della regione ammissibile (radar) Il bordo della regione ammissibile è un ellisse, eventualmente complessa o ridotta ad un singolo punto, con assi di simmetria paralleli a quelli cartesiani. 2 2.5 zero energy.5 zero energy.5.5 minimal energy.5.5.5.5 2 2.5 2.5.5.5.5 2 2.5 2 2.5 2.5.5.5.5 2 2.5

Condizione sul pericentro (radar) Anche nel caso radar si impone la condizione sul pericentro: { E GM /2 r (grado 2) c 2 2 r (GM + E r) (grado 2). zero energy 2.5 pericenter.5 pericenter zero energy.5 minimal energy minimal energy.5.5.5 pericenter.5.5.5.5 2 2.5 2.5.5.5.5 2 2.5

Campionamento con la tecnica della ragnatela Cambiando coordinata da α a α cos δ le curve di livello dell energia diventano circonferenze..5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5.5 Dopo il campionamento si scartano i nodi che non soddisfano la condizione sul pericentro.

Conservazione del momento angolare (ottico) La conservazione del momento angolare è espressa da A + B ρ + C ρ 2 + D ρ = A 2 + B 2 ρ 2 + C 2 ρ 2 2 + D 2 ρ 2. Attraverso opportune manipolazioni si ottiene che: q(ρ, ρ 2 ) = b ρ 2 + b ρ 2 2 + b 2 ρ + b 3 ρ 2 + b 4 = ; ρ = [(A 2 A + B 2 ρ 2 B ρ + C 2 ρ 2 2 C ρ 2 ) D 2] (D D 2 ) D D 2 2 ; ρ 2 = [(A 2 A + B 2 ρ 2 B ρ + C 2 ρ 2 2 C ρ 2 ) D ] (D D 2 ) D D 2 2.

Conservazione dell energia (ottico) Sostituendo le espressioni ricavate per ρ e ρ 2 nella conservazione dell energia si ottiene che 2 p(ρ, ρ 2 ) = a j (ρ 2 )ρ j = j= dove 2 per j =,..., 4 deg(a j ) = 24 (j + ) per j = 2k con k 3 24 j per j = 2k con k 3.

Ricerca delle soluzioni (ottico) Si trovano i valori di ρ e ρ 2 risolvendo il sistema: { p(ρ, ρ 2 ) =. q(ρ, ρ 2 ) = 4 3.5 3 2.5 2 2 2.5 3 3.5 4

Conservazione del momento angolare (radar) La conservazione del momento angolare è data da: E + F α + G δ = E 2 + F 2 α 2 + G 2 δ2. Grazie al teorema di Cramer si possono eliminare tre delle variabili e tenerne una come parametro, ad esempio δ 2 : α = F 2 (G G 2 ) δ 2 (E E 2 ) (F 2 G ) G (F F 2 ) δ = G (F F 2 ) δ 2 (E E 2 ) (F F 2 ) G (F F 2 ) α 2 = F (G G 2 ) δ 2 (E E 2 ) (F G ) G (F F 2 ) ; ;.

Conservazione dell energia e soluzioni (radar) Sostituendo le espressioni precedenti nella conservazione dell energia: e, α 2 + e 2, δ2 + e 3, α + e 4, δ + e 5, = = e,2 α 2 2 + e 2,2 δ2 2 + e 3,2 α 2 + e 4,2 δ2 + e 5,2 si ottiene un equazione di secondo grado in δ 2. 2.25.5.2.5 angolar momentum energy..5.5.5.5 energy angolar momentum. energy.5.5.2.2...2.3 2 2.5 2.5.5.5.5 2 2.5

Scelta delle soluzioni Una volta trovata una soluzione si hanno i due vettori: (α, δ, α, δ, ρ, ρ ), (α 2, δ 2, α 2, δ 2, ρ 2, ρ 2 ). Per accettare una soluzione le corrispondenti orbite devono coincidere. a, e, i, Ω dipendono solo da momento angolare ed energia. Quindi le condizioni da controllare sono: ω 2 = ω ; l 2 = l + n t. Nel caso ottico si deve controllare anche che le soluzioni trovate non siano spurie.

Effetto dello schiacciamento dei poli L effetto del J 2 3 terrestre è espresso dal potenziale: U J2 = µ r J 2 ( R r ) 2 ( 3 sin 2 ) θ. 2 Per studiare il problema si usano le variabili di Delaunay: l g = ω z = Ω L = µa G = L e 2 = c Z = G cos i = c z ( l = n 3 4 n R ( ġ = 3 2 n R a ( ż = 3 2 n R a L = Ġ = Ż = ) 2 J 2 a ) 2 ( J 2 4 5 sin 2 i ( e 2 ) 2 2 ( 3 cos 2 i) ( e 2 ) 3/2 ) ) 2 J 2 ( e 2 ) 2 cos i

Nuove equazioni Le condizioni su momento angolare ed energia diventano: dove Ẽ = E U J 2. c 2z = c z ; c 2 = c ; Ω 2 = Ω + ż t ; Ẽ 2 = Ẽ È possibile ottenere delle equazioni algebriche, a patto di linearizzare la terza nel parametro J 2 n(r /a) 2 t. Ottico Radar c z = c 2z 2 c = c 2 4 2 Ω 2 = Ω + ż t 56 28 Ẽ = Ẽ2 32 2

Conclusioni I metodi classici a 3 osservazioni sono stati riassunti e ne sono stati mostrati i recenti (26-28) sviluppi, nei quali vengono incluse le osservazioni topocentriche. 2 La teoria della regione ammissibile, già applicata agli asteroidi (24-28), è stata analizzata per il caso dei detriti spaziali. 3 È stato presentato il nuovo metodo degli integrali primi, come possibile tecnica per risolvere il problema delle identificazioni.