CAPITOLO 9. Vettori Aleatori

CAPITOLO 9 Vettori Aleatori 9

9 Vettori Aleatori 3 9 Vettori Aleatori In molti esperimenti aleatori, indicando con Ω l insieme dei possibili risultati, al generico risultato dell esperimento, ω Ω, sono associati n numeri reali x,, x n, con n, che costituiscono i valori di n numeri aleatori X,, X n Tali n a sono le componenti di un vettore aleatorio X = (X,, X n ), che può essere visto come una funzione definita su Ω a valori in R n, cioè X : Ω R n ω x = X(ω) Due casi importanti da considerare sono i v a discreti e va continui Vettori aleatori discreti Un vettore aleatorio X = (X, X,, X n ) si dice discreto se esiste un insieme finito o numerabile C R n tale che P (X = x) >, x C, P (X = x) =, x / C, dove, ponendo x = (x,, x n ), l evento (X = x) rappresenta l evento (X = x, X = x,, X n = x n ) Analizziamo in dettaglio il caso discreto, con n = Per semplicità di notazione, indichiamo con (X, Y ) il va (X, X ) Va osservato che tale notazione può essere utilizzata anche nel caso in cui n >, indicando con X e Y due sottovettori del vettore aleatorio (X,, X n ) Distribuzioni marginali Sia X C x, Y C y, (X, Y ) C C x C y Ricordiamo che C è l insieme (al più numerabile) dei punti di R che hanno probabilità positiva Quindi per ogni coppia (x h, y k ) C si ha P (X = x h, Y = y k ) = p xh,y k > Fissato un punto x h C x, osservando che Ω = (Y = y k ), y k C y possiamo decomporre l evento (X = x h ) nel seguente modo Quindi, x h C x, si ha (X = x h ) = (X = x h ) Ω = = (X = x h ) [ y k C y (Y = y k )] = = y k C y (X = x h, Y = y k ) P (X = x h ) = p xh = y k C y P (X = x h, Y = y k ) = = y k p xh,y k ; (distribuzione marginale di X) GSanfilippo

9 Vettori Aleatori 3 In modo analogo si ottiene P (Y = y k ) = p yk = x h C x P (X = x h, Y = y k ) = = x h p xh,y k ; (distribuzione marginale di Y ) Distribuzioni marginali condizionate p xh y k = P (X = x h Y = y k ) = congiunta {}}{ = P (X=x h,y =y k ) p P (Y =y k = xh,y k ) p }{{} yk marginale La distribuzione {p xh y k, x h C X } si chiama distribuzione marginale di X condizionata al valore fissato y k di Y In maniera analoga, la distribuzione {p yk x h, y k C Y } si chiama distribuzione marginale di Y condizionata al valore fissato x h di X, ovvero p yk x h = P (Y = y k X = x h ) = congiunta {}}{ = P (X=x h,y =y k ) p P (X=x h = xh,y k ) p }{{} xh marginale Dalle ultime relazioni, per il teorema delle probabilità composte, si ottiene: ovvero P (X = x h, Y = y k ) = P (Y = y k X = x h )P (X = x h ) = = P (X = x h Y = y k )P (Y = y k ) Osserviamo che, in generale, risulta p xh,y k = p xh y k p yk = p yk x h p xh p xh,y k p xh p yk Indipendenza stocastica I numeri aleatori X, Y si dicono stocasticamente indipendenti (in breve, indipendenti) se, (x h, y k ), vale P (X = x h, Y = y k ) = P (X = x h ) P (Y = y k ), ovvero la distribuzione congiunta è data dal prodotto delle marginali p xh,y k = p xh p yk, (x h, y k ) Quindi, se X, Y sono indipendenti, le distribuzioni condizionate coincidono con le marginali p xh y k = p xh, p yk x h = p yk ESEMPIO 9 Si lancia due volte un dado, definendo GSanfilippo X = risultato del primo lancio; Y = risultato del secondo lancio

9 Vettori Aleatori 3 Ovviamente, X, Y sono indipendenti e quindi, per ogni coppia (m, n) {,,, } {,,, }, si ha P (X = m, Y = n) = P (X = m)p (Y = n) = = Y \ X 3 4 5 P (Y = n) 3 4 5 P (X = m) OSSERVAZIONE 9 In generale, quando non vi è indipendenza stocastica tra due numeri aleatori, alle stesse distribuzioni di probabilità marginali possono corrispondere infinite distribuzioni congiunte Vedi la seguente tabella Y \ X 3 4 5 P (Y = n) 8 8 8 8 8 8 3 8 8 8 4 8 8 8 5 8 8 8 8 8 8 P (X = m) ESEMPIO 9 Due estrazioni senza restituzione da un urna contenente cinque palline numerate da a 5 I numeri aleatori GSanfilippo X = risultato della prima estrazione, Y = risultato della seconda estrazione,

9 Vettori Aleatori 33 non sono indipendenti Infatti, ad esempio P (X =, Y = ) =, P (X = )P (Y = ) = 5 5 = 5 ESEMPIO 93 Siano X, Y due n a indipendenti con distribuzione di Poisson, rispettivamente di parametri λ e λ, ovvero X P(λ ), Y P(λ ) Calcoliamo la distribuzione di probabilità del n a Z = X+Y Osserviamo che, fissato n N, si ha P (Z = n) = P [ n i= (X = i, Y = n i)] = = n i= P (X = i, Y = n i) = = n i= e λ λi i! e λ λn i = = (n i)! = e (λ +λ ) (λ +λ ) n n! Pertanto: Z P(λ + λ ) Inoltre, si può verificare che X (Z = n) B(n, Y (Z = n) B(n, Infatti, per ogni h {,,, n} si ha P (X = h Z = n) = P (X=h,Z=n) P (Z=n) = λ λ +λ ), λ λ +λ ) = P (X=h)P (Y =n h) P (Z=n) = P (X=h,Y =n h) P (Z=n) e λ λh h! e λ λ n h (n h)! e (λ +λ ) (λ +λ )n n! = ( ) ( ) h ( ) n h n λ λ h λ +λ λ +λ Teorema Se X ed Y sono indipendenti, si ha: Cov(X, Y ) = Dim: Supponiamo che, (x h, y k ) C, sia P (X = x h, Y = y k ) = P (X = x h )P (Y = y k ) Allora, segue P(XY ) = x h y k x h y k p xh,y k = x h y k x h y k p xh p yk = = ( x h x h p xh )( y k y k p yk ) = P(X)P(Y ), e quindi: Cov(X, Y ) = Osserviamo che il viceversa non vale, come mostra il seguente controesempio GSanfilippo =

9 Vettori Aleatori 34 Esempio Si consideri il seguente vettore aleatorio (X, Y ), con la distribuzione congiunta riportata nella tabella: Y \ X - - a / a / b / a / a Si ha C = {(, ), (, ), (, ), (, ), (, )}, con P (X =, Y = ) = b e P (X = x, Y = y) = a negli altri casi Ovviamente, deve essere: Come si può verificare, si ha con 4a + b =, a, b X {,, }, Y {,, }, XY {,, }, P (X = ) = P (Y = ) = P (XY = ) = a, P (X = ) = P (Y = ) = P (XY = ) = b, P (X = ) = P (Y = ) = P (XY = ) = a Pertanto X, Y ed XY hanno la stessa distribuzione di probabilità Inoltre P(X) = P(Y ) = P(XY ) =, e quindi Cov(X, Y ) =, ovvero X, Y sono incorrelati Però X ed Y non sono indipendenti, in quanto risulta ad esempio: P (X = x, Y = y) P (X = x)p (Y = y), P (X =, Y = ) = b P (X = )P (Y = ) = b b = b GSanfilippo

9 Distribuzione multinomiale 35 9 Distribuzione multinomiale Si considerino n ripetizioni di un esperimento aleatorio, con m + possibili risultati in ciascuna ripetizione Ad esempio, si consideri un urna contenente N palline, delle quali p N sono segnate con il numero, p N sono segnate con il numero,, p m N sono segnate con il numero m, dove p + p + + p m =, p k, k {,,, m} Supposto di effettuare n estrazioni con restituzione da tale urna, definiamo i seguenti eventi e numeri aleatori: E (i) k = nell i-ma prova viene estratta una pallina se- gnata con il numero k, i =,, n, X k = E () k + + E(n) k, k =,,, m Ovviamente: X = n (X + + X m ) Inoltre, per ogni i =,, n, la famiglia {E (i),, E (i) P (E (i) k m } forma una partizione di Ω e si ha: ) = p k, k {,,, m}; gli eventi relativi a partizioni distinte, cioè associati a prove distinte, sono stocasticamente indipendenti Proponiamoci di calcolare la distribuzione di probabilità del vettore aleatorio discreto (X,, X m ) Come si può verificare, l evento (X = x,, X m = x m ) è possibile se e solo se x,, x m sono dei valori interi non negativi tali che: x + + x m n Posto x = n (x + + x m ), si può verificare che: a) il numero di costituenti favorevoli all evento n! (X = x,, X m = x m ) è pari al coefficiente multinomiale ; x!x! x m! b) ognuno di tali costituenti ha probabilità p x p x p xm ; pertanto: n! P (X = x,, X m = x m ) = x!x! x m! px p x p xm m La distribuzione di (X,, X m ) si dice multinomiale di parametri n, p,, p m Per m = si ottiene in particolare la distribuzione binomiale di parametri n, p GSanfilippo

93 Vettori aleatori continui 93 Vettori aleatori continui Un vettore aleatorio X = (X, X,, X n ) si dice continuo se P (X = x) =, x R n, f : R n R tale che (i) f(x), x R n ; (ii) A R n, misurabile secondo Peano - Jordan, si ha P (X A) = P (A) = A f(x)dx = = A f(x,, x n )dx dx n La funzione f(x) si chiama densità di probabilità congiunta del v a X Proprietà di normalizzazione: R n f(x)dx = = f(x,, x n )dx dx n = La funzione di ripartizione congiunta di X = (X,, X n ) è definita nel seguente modo: F (x,, x n ) = P (X x,, X n x n ) Nel caso continuo si ha: x xn F (x,, x n ) = f(t,, t n )dt dt n Vettori aleatori continui: distribuzioni marginali e condizionate Dato un vettore aleatorio continuo (X,, X n ), sia f(x,, x n ) la sua densità congiunta Le densità marginali f (x ),, f n (x n ) dei n a X,, X n sono date dalle seguenti formule: f i (x i ) = = f(x,, x n )dx dx i dx i+ dx n, i =,, n Ovvero, per calcolare f i (x i ) si integra f(x,, x n ) rispetto alle variabili x,, x i, x i+,, x n Consideriamo in particolare il caso n =, indicando con (X, Y ) il v a (X, X ) e con f(x, y) la densità congiunta Si ha GSanfilippo f (x) = f(x, y)dy, f (y) = f(x, y)dx

93 Vettori aleatori continui 37 Le densità condizionate (di Y x ed X y), per fissati valori x, y ed assumendo f (x) >, f (y) >, sono definite nel seguente modo Pertanto Se risulta f (y x) = f(x, y) f (x), f (x y) = f(x, y) f (y) f(x, y) = f (x)f (y x) = f (y)f (x y) f(x, y) = f (x)f (y), (x, y) i n a si dicono stocasticamente indipendenti e in questo caso si ha f (y x) = f (y), y ; f (x y) = f (x), x, cioè le densità condizionate coincidono con le densità marginali Osserviamo che la relazione di indipendenza tra X e Y può essere definita anche richiedendo che valga cioè F (x, y) = F (x)f (y), (x, y), P (X x, Y y) = P (X x)p (Y y), (x, y) Come già visto nel caso discreto, si può dimostrare che, se X e Y sono indipendenti, segue che sono incorrelati, mentre il viceversa non vale Infatti, assumendo f(x, y) = f (x)f (y), (x, y), si ottiene P(XY ) = xyf(x, y)dxdy = = ( xf (x)dx)( yf (y)dy) = P(X)P(Y ), e quindi Cov(X, Y ) = Per mostrare attraverso un controesempio che il viceversa non vale, introduciamo la distribuzione uniforme su un insieme A R, limitato e misurabile Distribuzione uniforme Si dice che (X, Y ) ha distribuzione uniforme su A R, limitato e misurabile, in simboli (X, Y ) U(A), se la densità congiunta assume un valore costante k > su A ed è nulla altrove Imponendo la condizione ovvero A f(x, y)dxdy =, f(x, y)dxdy =, si ottiene k =, dove µ(a) è l area di A µ(a) GSanfilippo

93 Vettori aleatori continui 38 ESEMPIO 94 Sia (X, Y ) un vettore aleatorio con distribuzione uniforme sul cerchio C di centro l origine e raggio r = 3 Calcolare la densità marginale f Y (y) di Y e, per ogni fissato valore di y ] 3, 3[, calcolare la densità marginale condizionata f X y (x) Infine, stabilire se X e Y sono stocasticamente indipendenti f Y (y) = f X y (x) = Il vettore (X, Y ) ha la seguente densità di probabilità { f(x, y) =, 9π x + y 9, altrove X, Y indipendenti? Si No ; Per y / [ 3, 3] si ha f Y (y) = f(x, y)dx = dx = ; per y [ 3, 3] si ha 9 y f Y (y) = f(x, y)dx = 9 y 9π dx = 9 y ; 9π quindi f Y (y) = { 9 y, y [ 3, 3]; 9π, altrove Procedendo in maniera analoga a quanto fatto per f Y (y) si ha { 9 x, x [ 3, 3]; f X (x) = 9π, altrove Osserviamo che f Y (y) se e solo se y ] 3, 3[ Pertanto, per ogni fissato valore di y ] 3, 3[ si ottiene { f(x, y) f X y (x) = f Y (y) = 9 y, x [ 9 y, 9 y ];, altrove Ovvero, X y ha distribuzione uniforme in [ 9 y, 9 y ] Infine, si verifica facilmente che X, Y non sono stocasticamente indipendenti (ad esempio osservando che f X ()f Y () f(, )) ESEMPIO 95 Supponiamo che (X, Y ) U(C), dove C è il cerchio di raggio e centro nell origine Allora f(x, y) =, (x, y) C, π con f(x, y) = altrove Si dimostra che f (x) = π x, x [, ], GSanfilippo

93 Vettori aleatori continui 39 con f (x) = altrove Inoltre f (y) = π y, y [, ], con f (y) = altrove Allora P(X) = P(Y ) = Inoltre P(XY ) = C xyf(x, y)dxdy = =, pertanto X e Y sono incorrelati D altra parte f(x, y) f (x)f (y), pertanto X e Y non sono indipendenti ESEMPIO 9 Un vettore aleatorio (X, Y ) ha distribuzione uniforme sul quadrato Q = [, ] [, ] Calcolare la probabilità dell evento condizionato E H, con E = (Y > X), H = (X < /3) P (E H) = Si ricava facilmente che X ha distribuzione uniforme nell intervallo [, ] Poichè (X, Y ) ha distribuzione uniforme su un insieme limitato di R le probabilità di P (EH), P (H) si possono calcolare come rapporto tra aree Dalla Figura si osserva che P (H) = 3 /4 = 3 4 e P (EH) = [ 3 ( 3 ) + 3 3 ]/4 = 5 9 4 Pertanto P (E H) = P (EH) P (H) = 5 9 3 = 5 3 3 y = x x = 3 E EH H x y FIGURA 9 ESERCIZIO 9 Dato un vettore aleatorio continuo (X, Y ), con distribuzione uniforme sul semicerchio C = {(x, y) : x + y, x }, si considerino gli eventi A = (X + Y > ), B = (X Y ) Calcolare la GSanfilippo

93 Vettori aleatori continui 4 probabilità condizionata α = P (A B), la densità marginale f (x) per ogni x [, ], e la previsione µ di Y x α = ; f (x) = ; µ = ESEMPIO 97 Dato un cerchio di raggio r e centro nell origine degli assi, si indichi con D la parte contenuta nel primo quadrante Un vettore aleatorio continuo (X, Y ) ha una distribuzione uniforme su D Calcolare le probabilità α = P (X + Y r), β = P [(Y X) (X + Y r)] α = ; β = L area dell insieme D è πr Il vettore (X, Y ) ha distribuzione uniforme su 4 D, quindi si ha f(x, y) = = 4, per (x, y) D, con f(x, y) = µ(d) πr altrove Inoltre, si ha (X + Y r) = [(X, Y ) T ], dove T è il triangolo di vertici (, ), (r, ), (, r); pertanto α = area(t ) r area(d) = πr 4 = π Infine, osservando che (Y X) (X + Y r) = [(X, Y ) Γ], dove Γ è il triangolo di vertici (, ), (r, ), ( r, r ), si ha β = P [(Y X) (X + Y r)] P (X + Y r) == area(γ) r area(t ) = 4 r = ESEMPIO 98 Un sistema è costituito da tre dispositivi in serie A, B e C, di durata aleatoria sino al guasto rispettivamente X, Y e Z Assumendo i numeri aleatori X, Y e Z stocasticamente indipendenti e con distribuzione esponenziale di parametri λ X =, λ Y =, λ Z = 3, calcolare, per ogni t >, la funzione di sopravvivenza S T (t) e la funzione di rischio h(t) del tempo aleatorio T sino al guasto del sistema (nota: T = min(x, Y, Z)) S(t) = P (T > t) = P (min(x, Y, Z) > t) = P (X > t, Y > t, Z > t) = S X (t)s Y (t)s Z (t) = e (λ X+λ Y +λ Z )t = e t h(t) = S (t) S(t) = Ovvero T Exp() ESEMPIO 99 La densità congiunta di un vettore aleatorio continuo (X, Y ) è f(x, y) = (y x), per (x, y) [, ] [, ], con f(x, y) = altrove Calcolare: (i) il valore y (, ) tale che P (Y y ) = ; (ii) la probabilità p dell evento X + Y > GSanfilippo y = ; p = ;

93 Vettori aleatori continui 4 Fissato y (, ) si ha P (Y y ) = dx y (y x)dy = = [ ] y xy y dx = Quindi, Infine = y y p = P (X + Y > ) = P (Y y ) = y = + 5 dx (y x)dy = x ( ) y xy x + x dx = (x 3 x ) dx = GSanfilippo

94 Rette di regressione 4 94 Rette di regressione Dato un vettore aleatorio (X, Y ), cerchiamo una retta di equazione y = a + bx che meglio si adatti alla distribuzione di probabilità congiunta di (X, Y ), ovvero che risulti più vicina possibile a tale distribuzione Da un certo punto di vista, si potrebbe pensare di voler stimare Y mediante una funzione lineare a + bx, con i coefficienti a, b da determinare sulla base di un opportuno criterio Un criterio ben noto in statistica è il metodo dei minimi quadrati che consiste nel cercare i valori a, b che rendono minima la previsione del numero aleatorio (Y a bx) La retta che si ottiene si chiama retta di regressione di Y su X Considerando il caso continuo e ponendo P[(Y a bx) ] = g(a, b), se la densità congiunta è f(x, y), si ha (applicando la linearità della previsione) g(a, b) = R (y a bx) f(x, y)dxdy = P(Y ) + a + b P(X ) ap(y ) bp(xy ) + abp(x) Uguagliando a zero le derivate parziali di g(a, b) rispetto ad a, b (indicando con m, m, σ, σ le previsioni e gli scarti standard di X e Y, e con ρ il coefficiente di correlazione) si ha g a = a m + bm =, g = b b(m + σ) (m m + ρσ σ ) + am = Ricavando a dalla prima equazione (a = m bm ) e risolvendo rispetto a b la seconda, si ottiene a = m ρ σ m, b = ρ σ σ σ Pertanto, l equazione della retta di regressione di Y su X è data da y = m + ρ σ σ (x m ) Simmetricamente, l equazione della retta di regressione di X su Y è che si può scrivere x = m + ρ σ σ (y m ), y = m + ρ σ σ (x m ) Le due rette si incontrano nel punto di coordinate (m, m ) e, nel caso ρ =, sono perpendicolari e di equazioni: y = m, x = m Se ρ =, le due rette coincidono ed hanno equazione (a seconda che sia ρ = oppure ρ = ) y = m ± σ σ (x m ) GSanfilippo

95 Integrale di convoluzione* 43 95 Integrale di convoluzione* Somme di numeri aleatori Dato un vettore aleatorio continuo (X, Y ), con densità f(x, y), sia Si ha: Z = X + Y, G(z) = P (Z z), z R (9) G(z) = P (X + Y z) = Posto t = x + y, si ha dt = dy, dx z x f(x, y)dy lim t = lim (x + y) = y y e lim t = lim (x + y) = z x + z = z y z x y z x Sostituendo y = t x nella Formula (9) si ha = z G(z) = ( dove g è la densità di Z data da: dx z f(x, t x)dt = ) f(x, t x)dx dt = z g(t)dt, g(z) = G (z) = f(x, z x)dx Scambiando, nella dimostrazione precedente il ruolo di x, con quello di y si ottiene (97) g(z) = f(z y, y)dy Caso notevole: se X e Y sono indipendenti, ovvero f(x, y) = f (x)f (y), si ottiene (98) g(z) = f (x)f (z x)dx ; La Formula (98) dicesi integrale di convoluzione di f, f e si denota con Nota: dalla (97) segue ovvero : f f = f f g = f f f (x)f (z x)dx = f (z y)f (y)dy, GSanfilippo

95 Integrale di convoluzione* 44 ESEMPIO 9 (a) X U([, a]), Y U([, a]); X, Y indipendenti; T = X + Y ha la seguente densità dove g = U([, a]) U([, a]), g(z) = z, z a, a a z a, a < z a,, altrove Analizziamo per semplicità il caso a = Siano f (x), f (y) rispettivamente le densità di X e di Y, così definite: {, se x f (x) =, altrove, {, se y f (y) =, altrove Inoltre si ha {, se z x z f (z x) =, altrove Osserviamo che per z [, ] si ha Si ottiene f (x)f (z x) con max{, z } x min{, z} g(z) = f (x)f (z x)dx = Distinguiamo casi, z [, ] e z [, ] () Se z [, ], si ha g(z) = () Se z [, ], si ha g(z) = min{,z} max{,z } min{,z} max{,z } dx = dx = z z min{,z} max{,z } dx = z dx dx = z + = z Infine, per z / [, ] si ha g(z) = La distribuzione di T dicesi distribuzione triangolare In Figura 9 è rappresentata la densità di X (oppure di Y ) per a = Mentre quella di T è rappresentata in Figura 93 Inoltre considerato Z = X + T, che equivale a considerare la somma di 3 numeri aleatori indipendenti ed ugualmente distribuiti con distribuzione uniforme in [, ], si ha (indicando con f la densità di X) GSanfilippo h(z) = f g

95 Integrale di convoluzione* 45 5 5 4 8 FIGURA 9 Distribuzione Uniforme in [, ] 8 4 4 8 4 8 FIGURA 93 Distribuzione triangolare Svolgendo i calcoli si ottiene GSanfilippo h(z) = z < z z 3z 3 z z 9 z 3z + z 3 z > 3

95 Integrale di convoluzione* 4 Ovvero h(z) è un raccordo di parabole come rappresentata in Figura 94 Infine X + Z ha densità rappresentata in Figura 95 Nota: al crescere 7 5 4 3 5 5 5 3 t FIGURA 94 Somma di 3 na iid U([, ]) degli addendi la densità ottenuta assume una forma a campana, tipica della distribuzione normale ESEMPIO 9 Siano X U([, ]) e Y U[, 4], X, Y indipendenti 5 4 3 3 4 FIGURA 95 Somma di 4 na iid U([, ]) GSanfilippo

95 Integrale di convoluzione* 47 Calcolare la distribuzione di Z = X + Y Si ha per z [, ] Distinguiamo 3 casi () Per z [, 3] si ha g(z) = g(z) = min{,z } max{,z 4} () Per z [3, 4] si ha g(z) = (3) Per z [4, ] si ha g(z) = In sintesi abbiamo min{,z } max{,z 4} min{,z } max{,z 4} min{,z } max{,z 4} dx z dx = dx = z dx = dx = dx = z 4 dx = z z < z z 3 g(z) = 3 z 4 z 4 z z > ed in Figura 9 osserviamo che g(z) descrive un trapezio 3 5 5 5 3 4 5 z FIGURA 9 U([, ]) U([, 4]) GSanfilippo

95 Integrale di convoluzione* 48 ESEMPIO 9 Siano f = N m,σ = N, f = N m,σ = N ; si ha g(z) = N (x)n (z x)dx = = N 3 (z), con: N 3 = N m3,σ 3, m 3 = m + m, σ 3 = σ + σ Pertanto, dalla convoluzione di due distribuzioni normali si ottiene una distribuzione ancora normale Nota: volendo dimostrare tale risultato è sufficiente verificare che N,σ N,σ = N, ; σ +σ utilizzando poi la seguente proprietà della distribuzione normale: segue Z N,σ = Z + m N m,σ, (X m ) + (Y m ) + m + m N m +m, σ +σ ESEMPIO 93 Siano f = G c,λ, f = G c,λ; si ha (99) g = G c,λ G c,λ = G c +c,λ In particolare: Exp(λ) Exp(λ) = G,λ G,λ = G,λ Ricordiamo che la funzione Γ(α) è definita come Γ(α) = in particolare se α = n N si ha x α e x dx Γ(n) = (n )! Inoltre un na X ha distribuzione G α,λ se la sua densità è G α,λ (x) = λα Γ(α) xα e λx, x > Se α = si ottiene G α,λ = Exp(λ) Il grafico, per λ =, è rappresentato in Figura 97 Nelle Figure 98, 99, 9 sono rappresentate, rispettivamente, le distribuzioni G,, G 4,, G 8, ESEMPIO 94 (//8) Sia (X, Y ) un vettore aleatorio con distribuzione uniforme sul quadrato Q = [, ] [, ] Calcolare il coefficiente di correlazione lineare ρ(x, Y ) Determinare inoltre la funzione di ripartizione di Z = X + Y GSanfilippo

95 Integrale di convoluzione* 49 8 4 4 8 x FIGURA 97 Exp(λ), λ = 35 3 5 5 5 4 8 x FIGURA 98 G α,λ, α =, λ = Indicando con f X (x), f Y (y) le densità di probabilità marginali, rispettivamente, di X e di Y, è facile verificare che si ha {, se x ; f X (x) =, altrove, {, se y ; f Y (y) =, altrove GSanfilippo

95 Integrale di convoluzione* 5 5 5 4 8 x FIGURA 99 G α,λ, α = 4, λ = 4 8 4 4 8 4 8 x FIGURA 9 G α,λ, α = 8, λ = Osserviamo che X, Y sono stocasticamente indipendenti, pertanto ρ(x, Y ) = Infine, poichè X, Y indipendenti allora la densità di probabilità di Z si ottiene tramite l operatore di convoluzione, ovvero GSanfilippo f Z (z) = f X (x)f Y (z x)dx

95 Integrale di convoluzione* 5 Si ha {, se z x z; f Y (z x) =, altrove Pertanto, se z [, ] si ha f X (x)f Y (z x) max{, z } x min{, z} Quindi, per z [, ] f Z (z) = f X (x)f Y (z x)dx = min{,z} Distinguiamo 3 casi, z [, ], z [, ] e z / [, ] () Se z [, ], si ha f Z (z) = () Se z [, ], si ha f Z (z) = min{,z} max{,z } min{,z} max{,z } dx = dx = z z (3) Se z / [, ] si ha f Z (z) = In definitiva poichè z, z, f Z (z) = z, < z, si ha F Z (z) = max{,z } dx = z dx dx = z + = z, altrove,, z <, z z <, ( z), z <,, z GSanfilippo