CAPITOLO Rette, piani e figure neo spazio. LA GEOMETRIA DELLO SPAZIO CON CABRI 3D Cabri 3D eá un software che, consentendo una facie costruzione di soidi, piani e figure deo spazio in genere, permette di mettere in evidenza caratteristiche e proprietaá dee quai eá difficie rendersi conto con i disegno manuae. La sua struttura eá de tutto simie a quea de'anaogo software che opera ne piano; gi strumenti di disegno e costruzione sono raggruppati nea Barra degi strumenti, suddivisi nei gruppi rappresentati dae icone che puoi vedere di seguito. Puntatore Linee Costruzioni Poigoni regoari Poiedri regoari Punti Superfici Trasformazioni Poiedri Strumenti di misura e cacoatrice A'apertura, Cabri 3D crea in modo automatico una zona di avoro a sfondo bianco (detta anche vista) che contiene un piano detto piano di base, con un sistema di riferimento rappresentato da tre vettori ortogonai. La parte in grigio di questo piano eá a parte visibie (PV) che occorre peroá pensare proungata indefinitamente. Tutte e costruzioni di punti, rette, soidi, vengono sempre poste iniziamente su piano di base (a'interno dea PV o fuori di essa). Come esempio iniziae, costruiamo un paraeepipedo rettangoo e vediamo come operano i principai comandi di gestione dea pagina video. n Per costruire un paraeepipedo rettangoo:. cicca su'icona Poiedri e scegi o strumento Paraeepipedo XYZ 2. cicca in un punto dea PV (primo vertice dea base de paraeepipedo) e sposta i mouse fino a definire a base de paraeepipedo (i puntatore indica i vertice opposto de rettangoo di base; attenzione: non si deve ciccare) Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA Tema 6 - Cap. : RETTE, PIANI E FIGURE NELLO SPAZIO
3. tenendo premuto i tasto Maiuscoo dea tastiera sposta i mouse verso 'ato (o verso i basso) per definire 'atezza de paraeepipedo; 4. quando hai deciso quai devono essere e sue dimensioni, cicca in modo da confermare a costruzione. Le dimensioni e a posizione de paraeepipedo ne piano di base possono essere modificate in modaitaá Puntatore agendo in questo modo: ± per variare e dimensioni: cicca su'utimo punto sceto (queo che eá servito per definire 'atezza) e trascinao fino a raggiungere e nuove dimensioni; ± per variare a posizione: cicca in un punto quasiasi de soido (un vertice o una faccia) e trascinao. Anche quando, durante i trascinamento, i soido esce daa PV, ricorda che non abbandona mai i piano di base. n I punto di vista Quaunque costruzione viene vista "da'esterno" secondo una certa angoazione che puoá essere variata mediante trascinamento de mouse con i tasto destro quando ci si trova in modaitaá Puntatore. Nea figura che segue abbiamo rappresentato acuni soidi (che imparerai a costruire ne corso di questa esercitazione) secondo punti di vista diversi. Come disegnare e spostare punti Un punto si disegna con o strumento Punto de'icona Punti con un cic de mouse su piano di base; tutti i punti, sia che i mouse sia posizionato sua PV o a di fuori di essa, vengono iniziamente disegnati ne piano di base. Per creare un punto a di fuori de piano di base, si deve usare i tasto Maiuscoo e, tenendoo premuto, spostare i mouse nea posizione in cui si vuoe creare i punto. Attenzione a messaggio che identifica ciascun punto de piano di base in fase di creazione: ± se i punto appartiene aa PV i messaggio eá : un nuovo punto (su piano) ± se i punto appartiene a piano di base ma non eá sua PV i messaggio eá : un nuovo punto (neo spazio) La differenza eá sostanziae, in quanto un punto che appartiene aa PV puoá essere spostato soo su piano di base e non puoá uscire da esso, mentre un punto che appartiene a piano di base, ma non aa PV, puoá essere spostato anche in un piano diverso da queo di base. Un punto quasiasi puoá essere spostato: ± ungo i piano stesso con i metodo de trascinamento ± a di fuori de piano cui appartiene trascinando i mouse dopo aver premuto i tasto Maiuscoo (questo comando non ha effetto sui punti dea PV). 2 Tema 6 - Cap. : RETTE, PIANI E FIGURE NELLO SPAZIO Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA
Per imparare ad usare questi comandi, disegna acuni punti su piano di base, sia nea PV che a di fuori di essa, e acuni punti non su piano di base; cambia adesso 'angoo di visuae usando i tasto destro de mouse per verificare a posizione dei punti in reazione a piano di base. Prova poi a spostari cercando di far uscire da piano di base quei che vi appartengono. Come tracciare rette e piani Per tracciare una retta si usa o strumento Retta de'icona Linee andando a seezionare due punti de piano di base; a retta giace dunque su tae piano. Per costruire una retta che non appartiene a piano di base si possono eseguire due differenti costruzioni: n disegnare a retta su piano di base seezionando i due punti in modo che ameno uno di essi non appartenga aa PV e trascinare poi i punto non sua PV a di fuori de piano di base; n disegnare un punto che non appartiene a piano di base e condurre per esso a retta ('atro punto puoá essere sceto su piano di base). Operazioni anaoghe devono essere eseguite per tracciare semirette e segmenti. Per tracciare un piano si usa o strumento Piano de'icona Superfici. Sono possibii diverse costruzioni, ciascuna corrispondente ad una proprietaá diversa dei piani; per ognuna di esse eá comunque necessario aver definito in primo uogo un punto non appartenente a piano di base, chiamiamoo A. n Piano per tre punti: dopo aver seezionato o strumento Piano: ± cicca su A e su atri due punti su piano di base, oppure: ± definisci prima atri due punti otre ad A e cicca poi su ciascuno di essi. n Piano definito da due rette companari: ± disegnare due rette passanti per A ± attivare o strumento Piano e seezionare e due rette. n Piano definito da una retta e un punto: ± disegnare una retta passante per A ± attivare o strumento Piano e seezionare a retta e un punto fuori di essa. In modo anaogo si costruiscono: ± un semipiano (occorre aver definito a retta origine e scegiere poi un punto che non e appartiene); ± un angoo convesso (si seeziona i vertice e atri due punti per definire e semirette che o individuano); ± un triangoo (si seezionano i tre punti che ne sono i vertici). PerpendicoaritaÁ e paraeismo neo spazio L'icona Costruzioni contiene tutti gi strumenti per costruire rette e piani mutuamente perpendicoari oppure paraei. n Con o strumento Perpendicoare si possono costruire: a retta perpendicoare a un piano: ± disegnare i piano e i punto A da quae si vuoe tracciare a perpendicoare ± seezionare o strumento Perpendicoare ± ciccare su punto A e su piano ('ordine puoá anche essere invertito); i piano perpendicoare a una retta: ± disegnare a retta ± seezionare o strumento Perpendicoare ± ciccare sua retta e su punto per i quae deve passare i piano ('ordine puoá anche essere invertito); a retta perpendicoare a un'atra retta: ± disegnare a prima retta ± seezionare o strumento Perpendicoare ± ciccare sua retta e, tenendo premuto i tasto Ctr, ciccare su punto per i quae deve passare a retta. Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA Tema 6 - Cap. : RETTE, PIANI E FIGURE NELLO SPAZIO 3
n Con modaitaá de tutto anaoghe ae precedenti, o strumento Paraeo consente di tracciare: una retta paraea a un'atra retta un piano paraeo a un atro piano. I teorema dee tre perpendicoari Utiizzando gi strumenti che abbiamo descritto, possiamo verificare i teorema dee tre perpendicoari che ricordiamo di seguito: dato un piano e una retta r ad esso perpendicoare che o incontra in P, sia t una retta di non passante per P e sia s a perpendicoare a t passante per P; aora a retta t eá perpendicoare a piano definito da r e da s. Assumiamo come piano i piano di base; esegui e seguenti costruzioni tenendo presente che per attribuire un nome a un oggetto basta ciccare su di esso e digitare i nome da tastiera (per e ettere greche occorre usare i corrispondente codice ASCII preceduto da tasto ALT: per esempio ALT 225 corrisponde a ): ± preso un punto P su, traccia a retta r perpendicoare a piano di base ± traccia una retta su piano di base e indicaa con t ± traccia da P a perpendicoare aa retta t e indicaa con s ± traccia i piano passante per e rette r e s. Per verificare che i piano cosõá costruito eá perpendicoare aa retta t si puoá usare o strumento Misura di un angoo de'icona Strumenti di misura. Seezionando a retta e i piano viene evidenziato che 'angoo eá di 90. Nee figura a ato eá rappresentata 'immagine che si ottiene da questa costruzione; in essa abbiamo modificato i coore dee rette e nascosto acuni oggetti che non servono aa rappresentazione de teorema. Per fare queste operazioni si deve agire con i tasto destro de mouse su ciascun oggetto e scegiere e impostazioni da menu che viene proposto. La costruzione dei poiedri Abbiamo giaá visto come si costruisce un paraeepipedo rettangoo; con modaitaá anaoghe si possono costruire poiedri di ogni genere usando gi strumenti de'icona Poiedri. La cosa da tenere presente eá che ameno uno dei punti che servono per individuare i soido non deve appartenere ao stesso piano degi atri, atrimenti i soido risuta "appiattito" su piano. Diamo di seguito e indicazioni per a costruzione dei principai poiedri. n Un tetraedro eá definito da 4 punti che sono i suoi vertici, tre dei quai appartengono ad uno stesso piano mentre i quarto deve trovarsi su un piano diverso. n Un prisma si puoá costruire se prima si sono disegnati: ± i poigono di base con o strumento Poigono de'icona Superfici oppure con gi strumenti de'icona Poigoni regoari ± un vettore (da'icona Linee) che rappresenta 'atezza de prisma. Dopo aver seezionato o strumento Prisma basta ora indicare i poigono e i vettore. n Anche per costruire una piramide si deve prima disegnare i poigono di base; dopo aver seezionato o strumento Piramide eá sufficiente poi indicare a base e un punto non appartenente a piano di base che ne sia i vertice. 4 Tema 6 - Cap. : RETTE, PIANI E FIGURE NELLO SPAZIO Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA
Uno strumento interessante eá Apri poiedro che consente di aprire e facce de soido ed eventuamente sviuppare su un piano. Nea figura a ato abbiamo costruito un prisma regoare avente per base un pentagono e abbiamo poi appicato ad esso questo strumento; o sviuppo piano puoá essere competato trascinando con i mouse una dee facce. In modo de tutto anaogo si possono costruire i poiedri regoari con gi strumenti de'icona Poiedri regoari. La cosa piuá conveniente eá disegnare un poigono regoare compatibie con i tipo di poiedro (un triangoo equiatero per i tetraedro, 'ottaedro e 'icosaedro, un quadrato per i cubo, un pentagono regoare per i dodecaedro) e poi, dopo aver seezionato 'opportuno strumento, ciccare su poigono che rappresenta una dee facce de poiedro; voendo disegnare i poiedro ne semispazio opposto a queo che viene proposto si deve premere i tasto Ctr. Proviamo a costruire un cubo e 'ottaedro in esso inscritto; per eseguire questa costruzione segui i seguenti passaggi: ± disegna un quadrato su piano di base ± appica o strumento Cubo indicando i quadrato come faccia ± individua i centri di tre facce concorrenti in un vertice mediante 'intersezione dee oro diagonai (o strumento Punto di intersezione si trova ne'icona Punti) ± costruisci i triangoo equiatero che ha per vertici i centri di queste facce; tae triangoo eá una dee facce de'ottaedro ± costruisci 'ottaedro indicando i triangoo come faccia. Di ottaedri che hanno come faccia i triangoo ce ne sono due: per disegnare queo interno a cubo puoá essere necessario usare i tasto Ctr. Nea figura a ato abbiamo reso trasparente i cubo agendo co tasto destro de mouse e scegiendo o stie dea superficie a righe sottii. Le potenziaitaá di questo software sono davvero interessanti e senza dubbio possono faciitare 'apprendimento dee proprietaá dee figure neo spazio. Per acquisire maggiori abiitaá ne suo utiizzo ti consigiamo di eseguire e costruzioni proposte di seguito e di provare 'uso degi strumenti che non abbiamo potuto descrivere; troverai un aiuto ne manuae di utiizzo che trovi in corrispondenza de punto di domanda nea riga dei menu. ESERCIZI. Disegna due rette sghembe che non giacciono su piano di riferimento. Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA Tema 6 - Cap. : RETTE, PIANI E FIGURE NELLO SPAZIO 5
2. Disegna due semipiani che hanno 'origine in comune e a sezione normae de diedro che essi individuano. 3. Disegna una piramide in modo che: a. sia retta a base rettangoare b. sia regoare a base triangoare c. abbia per base un triangoo rettangoo e per atezza un segmento perpendicoare a piano di base e passante per i vertice de'angoo retto de triangoo. 4. Usando i comandi Cono e Ciindro, costruisci un cono e un ciindro retti tenendo presente che: i comando Cono genera a superficie aterae di un cono dati i suo vertice e a circonferenza di base i comando Ciindro genera un ciindro indefinito se eá dato i suo asse di rotazione (se 'asse eá un segmento viene generata a superficie aterae de ciindro). 5. Costruisci gi atri poiedri regoari usando i comandi appropriati. 6. L'ottaedro regoare si puoá anche costruire come poiedro inscritto in un tetraedro regoare considerando i punti medi dei suoi spigoi; prova ad eseguire questa costruzione. 6 Tema 6 - Cap. : RETTE, PIANI E FIGURE NELLO SPAZIO Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA
AB e BC sono due diagonai dee facce di un cubo. Quanto misura 'angoo ABC? d a. 90 b. 20 c. 60 d. 45 e. nessuna dee precedenti risposte eá corretta c: Š 2 Tra i seguenti disegni, individuare tutti quei che rappresentano o sviuppo piano di un cubo. a. b. e c.,, d.,,, e.,,,, d: Š 3 Sia Q un cubo e sia S una sfera che ha centro in uno dei vertici di Q e raggio uguae a ato di Q. I voume de'intersezione tra Q e S eá: a. un ottavo de voume dea sfera b. un quarto de voume dea sfera c. un sesto de voume de cubo d. un quarto de voume de cubo e. metaá de voume de cubo. a: Š 4 Una cassetta di egno, senza coperchio, eá fabbricata con tavoe spesse 2cm. Se e dimensioni esterne dea base (rettangoare) sono 38cm e 44cm e 'atezza esterna eá 47cm, di quanti centimetri cubi eá i voume interno dea cassetta? a. 6200cm 3 b. 63920cm 3 c. 68040cm 3 d. 75240cm 3 e. 78584cm 3 a: Š 5 Un paraeepipedo a base quadrata eá inscritto in una sfera. Se i ato di base eá de'atezza, quanto vae 4 i rapporto tra a superficie dea sfera e a superficie totae de paraeepipedo? a. b. 4 c. 2 d. 2 e. dipende da raggio dea sfera a: Š 6 In una vasca a forma di paraeepipedo con base quadrata di ato 40cm viene immessa de'acqua fino a raggiungere un iveo di 30cm. Poi viene competamente immerso nea vasca un cubo pieno di ato 20cm. Qua eá ora i iveo de'acqua? a. 32cm b. 32,5cm c. 35cm d. 40cm e. 50cm c: Š 7 I deposito dea ibreria di Tuio eá una stanza cubica di ato 5m e negi utimi tempi eá diventato troppo piccoo per poter contenere tutte e giacenze di magazzino. PercioÁ Tuio ne ha comprato uno nuovo, sempre di forma cubica, che, sostituito a precedente, gi ha permesso di guadagnare 28m 3 di spazio. Di quanti metri i ato de nuovo deposito eá piuá ungo di queo vecchio? a. m b. 2m c. 3m d. 4m e. 5m b: Š 8 Dato i cubo in figura, con gi spigoi di ato, o si tagi ungo i piano ABC. Qua eá i voume dea parte piuá piccoa cosõá ottenuta? a. 3 b. 4 c. 6 d. 8 Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA Tema 6 - Cap. : RETTE, PIANI E FIGURE NELLO SPAZIO 7 e. 2 c: Š
Questa proposta si ispira direttamente ad uno degi esercizi presentati ne progetto P.I.S.A. Edificio a spirae Ne'architettura moderna, gi edifici hanno spesso forme insoite. La figura che segue mostra un modeo fatto a computer di un "edificio a spirae" e una pianta de piano terra. I punti cardinai mostrano 'orientamento de'edificio. A piano terra de'edificio si trovano 'ingresso principae e uno spazio per i negozi. Sopra a piano terra ci sono 20 piani di appartamenti. La pianta di ciascun piano eá simie aa pianta de piano terra, ma ognuna ha un orientamento eggermente diverso rispetto a piano inferiore. I ciindro contiene i vano de'ascensore e un pianerottoo ad ogni piano. Stima 'atezza totae de'edificio, in metri. Spiega come sei arrivato aa tua risposta. 2 Le figure a ato sono vedute aterai de'edificio a spirae. Da che direzione eá stata presa a veduta aterae? a. Da Nord b. Da Ovest c. Da Est d. Da Sud Da che direzione eá stata presa a veduta aterae 2? a. Da Nord-Ovest b. Da Nord-Est c. Da Sud-Ovest d. Da Sud-Est. 2. 3 Ciascun piano di appartamenti presenta una certa "torsione" rispetto a piano terra. L'utimo piano (i ventesimo sopra i piano terra) eá ad angoo retto rispetto a piano terra. I disegno che segue rappresenta i piano terra. Su questo disegno traccia a pianta de decimo piano, mostrando come questo piano eá situato rispetto a piano terra. Ipotizzando un'atezza da 3m a 4m per piano piuá i piano terra di atezza di soito superiore, diciamo 5m, a stima va da 65m a 85m 2 c., d. 3 8 Tema 6 - Cap. : RETTE, PIANI E FIGURE NELLO SPAZIO Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA
right circuar cone to comprise cube net cono circoare retto comporre cubo rete, reticoo ratio sphere surface area rapporto sfera area dea superficie Consider the right circuar cone shown beow. A cross-section of the cone is shown which is perpendicuar to the base, and passes through the center of the base. Find the tota surface area of the cone. 2 The net on the right hand is comprised of three rectanges and two congruent right trianges. Find the voume of the soid formed from this net. ex. 2 3 A cube of back materia is painted bue on a sides, then cut into 26 smaer cubes. How many of the smaer cubes are bue on ony one side? a. 8 b. 2 c. 48 d. 96 e. 08 4 Let A be the ratio of the voume of a sphere to the voume of a cube each of whose face is tangent to the sphere, and et B be the ratio of the surface area of this sphere to the surface area of the cube. Then: a. A B ˆ 6 d. A B ˆ 3 b. A B ˆ c. A B ˆ 2 3 e. A B ˆ 2 ex. 5 5 Three ounces of water are paced into a right circuar cone, as shown. How many more ounces of water must be added to doube the height of the water? p 2 24 7 cm 3 3 d. 4 d. 5 2 ounces p 6 2 Q Re Fraschini - Grazzi, Atas SpA Tema 6 - MATH IN ENGLISH 9