Intorni Fissato un punto sull' asse reale, si definisce intorno del punto, un intervallo aperto contenente e tutto contenuto in

Intorni Fissato un punto sull' asse reale, si definisce intorno del punto, un intervallo aperto contenente e tutto contenuto in Solitamente si fa riferimento ad intorni simmetrici =, + +

Definizione: dato un insieme A, un punto dell'asse reale si dice che è un punto di accumulazione per A se qualunque suo intorno contiene almeno un punto dell'insieme diverso da. N.B. visto che posso prendere infiniti intervalli sempre più piccoli, di tali punti ne conterrà infiniti. Esempio Consideriamo l'insieme formato dai punti 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16,... Questi punti tendono a zero. Allora si dice che zero e' un punto di accumulazione per questo insieme infatti per quanto possiamo prendere piccolo un intervallo che contenga zero ci sarà sempre un punto del' insieme diverso da zero contenuto nell'intervallo (anzi ce ne saranno infiniti)

L introduzione del concetto di ite consente di affrontare in maniera rigorosa il problema di valutare la funzione nel dominio e nei punti vicini al dominio, compresi gli estremi (punti di accumulazione del dominio).

Ha senso chiedersi: = 1 1 = 1,+ 1. Qual è il comportamento della funzione vicino al punto 1 che non sta nel dominio pur essendone un estremo 2. Il comportamento asintotico (cioè a + ) della funzione.

In particolare, il secondo problema è di particolare interesse per le applicazioni. Infatti può essere importante prevedere l'esito finale di un fenomeno. Ad esempio se f(x) è una legge di crescita di popolazione e x rappresenta il tempo, la domanda che ci si pone è: cosa succederà alla popolazione in tempi lunghi? Si osservi che non ha nessun senso chiedersi qual è il comportamento a -1 (tale punto non ha alcun collegamento con il dominio della nostra funzione!).

Calcolando la funzione in una sequenza di punti via via più vicini ad 1 osserviamo che il valore di f(x) assume valori sempre più vicini a zero, o, in altre parole, si stabilizza intorno a zero. x f(x) x-1 1,5 1,767767 0,5 1,25 1,125 0,25 1,125 0,751301 0,125 1,0625 0,515625 0,0625 1,03125 0,3590777 0,03125 1,01563 0,2519941 0,01563 1,00781 0,1774386 0,00781 1,00391 0,1253045 0,00391 1,00195 0,0884037 0,00195 1,00098 0,0626406 0,00098 1,00049 0,0442827 0,00049 1,00024 0,0309876 0,00024 1,00012 0,0219102 0,00012 1,00006 0,0154924 6E-05 1,00003 0,0109546 3E-05 2 1,8 1,6 1,4 1,2 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 0,9 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1 1 =0

Calcolando la funzione in una sequenza di punti via via più vicini ad + osserviamo che il valore di f(x) assume valori positivi sempre più grandi, o, in altre parole, tende a + x f(x) x-1 10 3,30E+01 9,00E+00 20 3,20E+00 1,90E+01 40 8,00E-01 3,90E+01 80 7,20E+02 7,90E+01 160 2,03E+03 1,59E+02 320 5,73E+03 3,19E+02 640 1,62E+04 6,39E+02 1280 4,58E+04 1,28E+03 2560 1,30E+05 2,56E+03 5120 3,66E+05 5,12E+03 10240 1,04E+06 1,02E+04 20480 2,93E+06 2,05E+04 40960 8,29E+06 4,10E+04 81920 2,34E+07 8,19E+04 163840 6,63E+07 1,64E+05 7,00E+07 6,00E+07 5,00E+07 4,00E+07 3,00E+07 2,00E+07 1,00E+07 0,00E+00 0 20000 40000 60000 80000 100000 120000 140000 160000 180000 1 1 =+

Studiamo ora il comportamento della funzione = + definita in,0 0,+. y = +1 >0 1 <0 1-1 x

y 1 0-1 x quando la x assume valori numerici sempre più prossimi a zero da destra, i corrispondenti valori f (x) si avvicinano sempre di più al numero 1; quando la x assume valori numerici sempre più prossimi a zero da sinistra, i corrispondenti valori f (x) si avvicinano sempre di più al numero -1

= 1, 1 y = 1,1+ 1+ =, 1 0-1 1 x + =1 + = 1

Limite finito al finito Def. Sia f una funzione a valori reali definita in un intervallo itato o ilitato I privato eventualmente di un suo punto. Si dice che f converge ad un numero quando x tende a da sinistra se: >0, >0:, < = Si dice che f converge ad un numero quando x tende a da destra se: >0, >0:, + < = La differenza viene detto salto della funzione

Studiamo ora il comportamento della funzione definita in,2 2,+. y = 3 8 +4 2 4-2 2 x

y 4-2 2 x quando la x assume valori numerici sempre più prossimi a 2 sia da destra che da sinistra, i corrispondenti valori f (x) si avvicinano sempre di più al numero 4

y 4+ 4 = 4,4+ = 2,2+ 4 2 2 2+ x -2 3 8 +4 2 =4= 3 8 +4 2

Si dice che f converge ad un numero quando x tende a se: >0, >0:, + < = N.B. Si può dimostrare che se il ite sinistro ed il ite destro al finito di una funzione risultano uguali =, allora la funzione ammette globalmente ite e risulta = Si dice che una funzione ammette ite in un punto al finito se ite sinistro e ite destro coincidono.

Questa scrittura può essere interpretata come segue: quanto più x si avvicina al valore a, tanto più f(x) si avvicina ad L, o, per essere più precisi, scelto un intorno di L di ampiezza piccola a piacere (ε), f(x) starà in tale intorno purché x venga scelto ad una distanza sufficientemente piccola (δ) da a. Si osservi che la definizione di ite: non presuppone che f(x) sia definita in a presuppone che f(x) sia definita intorno ad a non garantisce che la funzione assuma il valore L

Studiamo ora il comportamento della funzione definita in,0 0,+. y u = 1-1 1 0-1 1 x

u 0 x Fissiamo arbitrariamente sull asse delle ordinate un intorno destro J1 dello zero = 0,

u 0 M x Tutti i valori di f appartenenti a sono i corrispondenti di valori della x più grandi del numero M che dipende dalla dimensione dell intorno scelto.

u 0 M x In particolare, scegliendo valori della x sempre più grandi del numero M, i corrispondenti valori di f appartenenti a sono sempre più prossimi allo zero.

Tutto ciò matematicamente vuol dire che:, >0: > 1 1 =0 Ricordando la nozione di intorno destro, possiamo scrivere equivalentemente la seguente definizione: >0 >0: > 0< 1 <

u 0 x Allo stesso modo fissiamo arbitrariamente sull asse delle ordinate un intorno sinistro J2 dello zero =,0

u -M 0 x Tutti i valori di f appartenenti a sono i corrispondenti di valori della x più piccoli del numero -M che dipende dalla dimensione dell intorno scelto.

u y -M 0 x In particolare, scegliendo valori della x sempre più piccoli del numero -M, i corrispondenti valori di f appartenenti a sono sempre più prossimi allo zero.

Tutto ciò matematicamente vuol dire che: 0, >0: < 1 1 =0 Ricordando la nozione di intorno sinistro, possiamo scrivere equivalentemente la seguente definizione: >0 >0: < < 1 <0 Riassumendo possiamo dire che ± 1 =0 >0 >0: > 1 <

N.B. Non sempre succede che per una funzione con dominio non itato i valori del ite per + e siano uguali! 2 2 >0 >0: > 2 <1 < 2 2 arctan = 2

2 >0 >0: < 2 <1 < 2 + 2 2+ arctan = 2

Limite finito all' infinito Def. Sia f una funzione a valori reali definita in un intervallo ilitato I. Si dice che f converge ad un numero quando x tende a + se = >0 >0: >, < Si dice che f converge ad un numero quando x tende a se = >0 >0: <, < Le rette = e = sono un asintoto orizzontale per la funzione f a destra e a sinistra rispettivamente. Si dice che f converge ad un numero quando x tende a ± se = >0 >0: >, < ±

La retta y = l è un asintoto orizzontale per la funzione f + y = l >0 : > < < + =

=log =,0 0,+ N M Se fissiamo arbitrariamente sull asse delle ordinate un numero N > 0 molto grande, allora tutti i valori f (x) > N sono i corrispondenti di valori della x molto grandi e più grandi di un numero M > 0 che dipende dal N scelto. In particolare, scegliendo valori della x sempre più grandi del numero M, i corrispondenti valori di f sono sempre più grandi e maggiori del numero N fissato arbitrariamente

Tutto ciò matematicamente vuol dire che >0 >0: > log > log =+

=log =,0 0,+ -M N Se fissiamo arbitrariamente sull asse delle ordinate un numero N > 0 molto grande, allora tutti i valori f (x) > N sono i corrispondenti di valori della x molto piccoli e più piccoli di un numero -M < 0 che dipende dal N scelto. In particolare, scegliendo valori della x sempre più piccoli del numero -M, i corrispondenti valori di f sono sempre più grandi e maggiori del numero N fissato arbitrariamente.

Tutto ciò matematicamente vuol dire che >0 >0: < log > log =+

= log =,0 0,+ -M -N M Se fissiamo arbitrariamente sull asse delle ordinate un numero - N < 0 molto grande, allora tutti i valori f (x) <- N sono i corrispondenti di valori della x molto piccoli e più piccoli di un numero -M < 0 o molto grandi e più grandi di un numero M dipendenti dal N scelto. In particolare scegliendo valori della x sempre più grandi del numero M oppure sempre più piccoli del numero -M, i corrispondenti valori di f sono sempre più piccoli e minori di un numero -N fissato arbitrariamente

Tutto ciò matematicamente vuol dire che >0 >0: > log < log = >0 >0: < log < log =

Limite infinito all'infinito Def. Sia f una funzione a valori reali definita in un intervallo ilitato I. Si dice che f diverge positivamente quando x tende a + se: =+ >0 >0: > > Si dice che f diverge positivamente quando x tende a se: =+ >0 >0: < > Si dice che f diverge positivamente quando x tende a ± se: =+ >0 >0: > > ±

Si dice che f diverge negativamente quando x tende a + se: = >0 >0: > < Si dice che f diverge negativamente quando x tende a se: = >0 >0: < < Si dice che f diverge negativamente quando x tende a ± se: ± =+ >0 >0: > <

Se il ite all infinito di una funzione f a valori reali definita in un intervallo ilitato I risulta risulta infinito, cioè se ± =± allora la funzione non ammette sicuramente asintoto orizzontale In questo caso, è possibile verificare se il grafico della funzione considerata ammetta asintoto obliquo

Più precisamente se ± = 0 = ± allora il grafico della funzione = ammette asintoto obliquo di equazione = +

= = + + = + è asintoto obliquo a + per se e solo se + =0

Asintoti In relazione al grafico di una funzione si possono presentare tre tipi di asintoti: asintoti obliqui asintoti verticali asintoti orizzontali

N 0 = 1 =,0 0,+ Se fissiamo arbitrariamente sull asse delle ordinate un numero N > 0 molto grande, allora tutti i valori f (x) > N sono i corrispondenti di valori della x che si trovano in un intorno destro dello zero che dipende dal N scelto Quando la variabile indipendente x assume valori positivi sempre più prossimi allo zero il valore corrispondente f(x) diventa sempre più grande.

Tutto ciò matematicamente vuol dire che >0 >0: 0, 1 > 1 =+

0 -N = 1 =,0 0,+ Se fissiamo arbitrariamente sull asse delle ordinate un numero -N < 0 molto piccolo, allora tutti i valori f (x) <-N sono i corrispondenti di valori della x che si trovano in un intorno sinistro dello zero che dipende dal N scelto Quando la variabile indipendente x assume valori negativi sempre più prossimi allo zero il valore corrispondente f(x) diventa sempre più piccolo.

Tutto ciò matematicamente vuol dire che >0 >0:,0 1 < 1 =

=log =,0 0,+ -N Se fissiamo arbitrariamente sull asse delle ordinate un numero -N < 0 molto piccolo, allora tutti i valori f (x) <-N sono i corrispondenti di valori della x che si trovano in un intorno dello zero che dipende dal N scelto Quando la variabile indipendente x assume valori sempre più prossimi allo zero il valore corrispondente f(x) diventa sempre più piccolo.

Tutto ciò matematicamente vuol dire che >0 >0:, log < log = log = log =

= log =,0 0,+ Se fissiamo arbitrariamente sull asse delle ordinate un numero N > 0 molto grande, allora tutti i valori f (x) > N sono i corrispondenti di valori della x che si trovano in un intorno dello zero che dipende dal N scelto Quando la variabile indipendente x assume valori sempre più prossimi allo zero il valore corrispondente f(x) diventa sempre più grande.

Tutto ciò matematicamente vuol dire che >0 >0:, log > log = log =+ log =+

Limite infinito al finito Def. Sia f una funzione a valori reali definita in un intervallo itato o ilitato I privato eventualmente di un suo punto. Si dice che f diverge positivamente quando x tende a da sinistra se =+ >0 >0:, > Si dice che f diverge positivamente quando x tende a da destra se =+ >0 >0:, + > Si dice che f diverge positivamente quando x tende a se =+ >0 >0:, + > La retta = è un asintoto verticale per la funzione f

Si dice che f diverge negativamente quando x tende a da sinistra se = >0 >0:, < Si dice che f diverge negativamente quando x tende a da destra se = >0 >0:, + < Si dice che f diverge negativamente quando x tende a se = >0 >0:, + < La retta = è un asintoto verticale per la funzione f

Se il ite al finito di una funzione f, a valori reali definita in un intervallo I privato al più di un punto risulta infinito, cioè se =± allora la retta = è un asintoto verticale per il grafico della funzione f (x). Se in particolare succede =± oppure =± allo stesso modo la retta = è un asintoto verticale risp. a destra e a sinistra per il grafico della funzione f(x).

Il ite di una funzione può anche non esistere! Esempio 1. ± ± ± sin cos tan In generale, per qualsiasi funzione periodica non costante, non esiste il ite per ±

Esempio 2. sin1 Tale funzione compie infinite oscillazioni in un intorno dello zero