1 Equazioni differenziali

1 Equazioni differenziali Un equazione del tipo F(t, y, y,...,y (n) ) = 0 (1) con una funzione incognita y dipendente dalla variabile indipendente t, assieme alle sue derivate fino all ordine n, viene detta equazione differenziale di ordine n. Definizione 1.1. La funzione u è soluzione di (1) nell intervallo I R se u : I R è derivabile n volte in I e soddisfa F(t, u(t), u (t),..., u (n) (t)) = 0, t I. Osserviamo che un equazione differenziale può non avere alcuna soluzione. Ad esempio l equazione F = 1 + (y ) 2 = 0 non ha alcuna soluzione (reale). Quando ammette soluzione, un equazione differenziale di ordine n ha infinite soluzioni dipendenti da n costanti arbitrarie. Ad esempio, se n = 1 l equazione F(t, y, y ) = y (t) g(t) = 0, con g funzione integrabile in R, ammette le infinite soluzioni y(t) = g(t) dt + c c R, dipendenti dalla costante arbitraria c. Si parla in tal caso di una famiglia di soluzioni. Consideriamo ora il caso n = 1. Per determinare una specifica soluzione all interno di una famiglia di soluzioni bisogna assegnare una condizione che permetta di fissare la costante arbitraria. Molte equazioni differenziali descrivono l evoluzione temporale di un sistema, di un fenomeno della fisica, chimica, biologia,...è allora ragionevole supporre di conoscere le condizioni del sistema in un istante iniziale. Questa può essere la condizione specifica. In tal caso si ha il problema di Cauchy y (t) = f(t, y(t)) t I, (2) y(t 0 ) = y 0, con t 0 I e y 0 R costante assegnata. Quando, come in (2), l equazione differenziale è scritta con la derivata di ordine massimo uguale a tutto il resto, si dice che l equazione è scritta in forma normale. 1

Nel corso di questa sezione vogliamo accennare ai seguenti problemi: esistenza, unicità e calcolo della soluzione di un equazione differenziale; prolungamento massimale della soluzione; comportamento asintotico e stabilità della soluzione. Il seguente teorema dà condizioni sufficienti per l esistenza e l unicità della soluzione. Teorema 1.2. Siano a, b, c, d R con a < b e c < d e sia A =]a, b[ ]c, d[. Sia f : A R continua per ogni (t, y) A con la derivata parziale f (t, y) continua in A. Allora per y ogni punto (t 0, y 0 ) A, δ > 0 tale che u : [t 0 δ, t 0 + δ] R soluzione del problema di Cauchy (2). Questa soluzione è unica, cioè ogni altra soluzione definita nello stesso intervallo [t 0 δ, t 0 + δ] coincide con u. Osserviamo che, se u = u(t) è soluzione, u(t) derivabile implica u(t) continua. Essendo f continua per ipotesi, dall equazione differenziale si ricava u (t) = f(t, u(t)) continua e dunque u(t) di classe C 1. Esempio 1.1. Sia y(t) 1 y (t) =, y 1, t 0. t y 1 La funzione f(t, y) =, definita in A = {t R : t 0} {y R : y 1}, è continua t in A e f y (t, y) = 1 2t è continua in {t R : t 0} {y R : y > 1}. In virtù del y 1 teorema precedente, per ogni (t 0, y 0 ) R 2 con t 0 0 e y 0 > 1, esiste un unica soluzione definita in [t 0 δ, t 0 + δ], con δ > 0 costante reale opportuna. Esempio 1.2. Nel caso di un equazione differenziale lineare del primo ordine y (t) = a(t)y(t) + b(t), basta richiedere a(t) e b(t) C 0 (]a, b[), con a < b R. Allora f(t, y) = a(t)y + b(t) e f (t, y) = a(t) sono funzioni continue in ]a, b[ R. y 1.1 Unicità della soluzione La mancanza dell unicità della soluzione del problema di Cauchy significa che ci sono più soluzioni che soddisfano la stessa condizione iniziale e sono definite sullo stesso intervallo. In questo caso i grafici delle soluzioni si intersecano nel punto comune (t 0, y 0 ). Per esempio, il problema di Cauchy { y (t) = y(t) 2/3, y(0) = 0, ammette come soluzioni y 1 (t) = 0 per ogni t R e anche le funzioni 0 t < t 1, ( ) 3 y(t) = t t 1 t t 1, 3 2

per ogni t 1 0. Osserviamo che ci sono infinite soluzioni, i cui grafici sono In questo caso le ipotesi del teorema non valgono. Infatti, f y = 2 3 y 1/3 è continua per y 0, ma non definita in y = 0 e illimitata in ogni intorno di y = 0. Al contrario, in caso di unicità i grafici di soluzioni diverse (corrispondenti a valori iniziali diversi) non possono intersecarsi in nessun punto. 1.2 Dinamica delle popolazioni: il modello di Malthus Il modello di Malthus (1798) descrive l evoluzione temporale di una popolazione isolata in cui gli unici fattori di evoluzione sono la fertilità e la mortalità. Indichiamo con N(t) 0 il numero di individui presenti al tempo t, con λ il numero di neonati per individuo per unità di tempo e con µ il numero di morti per individuo per unità di tempo. Supponiamo λ e µ costanti in t. Allora la variazione di individui nel tempo h è N(t + h) N(t) = λn(t)h µn(t)h. Al limite per h 0, si ha N (t) = (λ µ)n(t). ǫ = λ µ rappresenta il potenziale biologico. Se è costante, il tasso relativo di crescita N N = ǫ è costante nel tempo. L equazione differenziale che descrive questo modello è un equazione lineare del primo ordine. Se N 0, si ha d dt log N(t) = ǫ, da cui log N(t) = ǫt + c 1, con c 1 R. Si ottiene così Se N(0) = N 0, si trova c = N 0, da cui N(t) = e ǫt+c 1 = c e ǫt. N(t) = N 0 e ǫt, 3

che vale anche se N(t) = 0, per N 0 = 0. Dunque ǫ > 0 N 0 La soluzione N(t) + per t +. ǫ < 0 N 0 La soluzione N(t) 0 per t +. ǫ = 0 N 0 4

Essendo f(t, N) = ǫn, per il teorema di esistenza ed unicità della soluzione, per ogni dato iniziale troviamo la corrispondente soluzione. Osserviamo che la funzione identicamente nulla è soluzione. Allora, grazie all unicità, se N 0 0 deve essere N(t) 0 per ogni t. Per lo stesso motivo, se vale N 0 > 0 deve essere N(t) > 0, se vale N 0 < 0 deve essere N(t) < 0. 1.3 Modello logistico. Studio qualitativo All aumentare della popolazione diminuiscono le risorse e dunque cala il tasso di crescita (diminuzione della fertilità, aumento di mortalità). Nel 1845 Verhulst propose un modello in cui il tasso relativo di crescita decresce linearmente con N. L equazione che descrive questo fenomeno è N (t) = ǫn(t) ( 1 N(t) k ), (3) con ǫ > 0 e k > 0. E possibile ricavare informazioni di tipo qualitativo sull andamento delle soluzioni direttamente dall equazione differenziale, senza conoscerne l espressione esplicita. A tale proposito, osserviamo quanto segue. L equazione precedente è un esempio di equazione logistica y (t) = ay(t)(1 by(t)), con a, b > 0. Si tratta di un equazione non lineare a variabili separabili, cioè del tipo y (t) = f(t)g(y). Ricordiamo che queste equazioni ammettono anche le soluzioni stazionarie del tipo y(t) = ỹ con ỹ R tale che g(ỹ) = 0. Nel caso di (3), sono soluzioni stazionarie le funzioni costanti N(t) = 0 e N(t) = k. Inoltre: se il dato iniziale soddisfa 0 < N 0 < k, allora per l unicità si trova 0 < N(t) < k; da (3) segue N (t) > 0 per ogni t; se N 0 > k, allora N(t) > k con N (t) < 0 per ogni t; se N 0 < 0, allora N(t) < 0 con N (t) < 0 per ogni t. Essendo poi N (t) = ǫn (t) 2 ǫ k N(t)N (t) = ǫn (t) (1 2 ) k N(t), si trova che se N(t) > k, allora 1 2 k N(t) < 1. Poiché N (t) < 0, si ha che N (t) > 0, ossia la funzione N(t) è convessa e dunque N (t) crescente; se N(t) < 0, allora N (t) < 0 e dunque N(t) è concava e N (t) decrescente; se 0 < N(t) < k, si ha N (t) > 0 e dunque il segno di N (t) è lo stesso di 1 2N(t)/k. Se N(t) = k/2 allora N (t) = 0. Inoltre N (t) > 0 (risp. N (t) < 0) se e solo se N(t) < k/2 (risp. N(t) > k/2). Perciò i punti della retta N = k/2 sono punti di flesso, al di sopra N (t) è decrescente (N(t) concava) e al di sotto N (t) è crescente (N(t) convessa). Nei punti di flesso la pendenza della retta tangente è N (t) = ǫ k 2 ( k/2) ǫk 1 = k 4, 5

la stessa per ogni soluzione. Determiniamo ora le soluzioni non stazionarie, assumendo perciò N 0 e N k. Scriviamo (3) nella forma ( ) N 1 N 1 N = ǫ, da cui integrando otteniamo ( ) N 1 N dn = k k ǫt + c, con c costante reale. N log = ǫt + c, da cui k N Inoltre, essendo N k N = eǫt+c. 1 ( ) N 1 N = k 1 k N + 1 N, otteniamo Per eliminare il valore assoluto distinguiamo ora i seguenti casi: se 0 < N 0 < k, allora Dunque la soluzione è data da N(t) = N(t) = k N 0 k N 0 e ǫt 1 + N 0 k N 0 e ǫt. kn 0 e ǫt k per t +. k + N 0 (e ǫt 1) se N 0 > k, allora Ne segue che, come prima, N(t) = k N 0 N 0 k eǫt. N 0 N 0 k eǫt 1 N(t) = kn 0 e ǫt N 0 (e ǫt 1) + k k per t +. Osserviamo che la soluzione N(t) = k è asintoticamente stabile: i.e. ǫ 0 > 0 : N 0 con N 0 k < ǫ 0, la soluzione N(t) con N(0) = N 0 ha lim t+ N(t) = k. Nel caso specifico del modello il valore k è detto capacità dell ambiente. se N 0 < 0, la soluzione è data ancora da N(t) = kn 0 e ǫt N 0 (e ǫt 1) + k. 6

k ( Per studiare questo caso, sostituiamo N < 0 con y, dove y > 0. Otteniamo y = ǫy 1+ y ). k Scegliendo per comodità ǫ = k = 1, si ha y = y(1 + y) che ammette un unica soluzione per ogni dato iniziale (t 0, y 0 ). La soluzione con dato iniziale (0, y 0 ) è y 0 e t y(t) = 1 + y 0 y 0 e = e t. t 1 + y 0 e t y 0 Se t t = ln (1 + 1 ), allora la soluzione y(t) +. y 0 Continuando a prolungare (ad esempio verso destra, per tempi crescenti) la soluzione dell equazione generale (2) per mezzo del teorema di esistenza, la soluzione risulta definita su un intervallo massimale (destro) di esistenza [0, T max [, con T max = sup{τ : la soluzione esiste in [0, τ]}. Osserviamo che l unicità della soluzione permette di raccordare le soluzioni negli intervalli comuni, cioè consente il prolugamento della soluzione. Se T max = + la soluzione si dice indefinitamente prolungabile a destra. Se invece T max < +, allora y(t) + per t Tmax, e si parla in tal caso di catastrofe in tempo finito. In maniera analoga si può prolungare la soluzione a sinistra, per valori negativi di t, e la soluzione risulta definita su un intervallo massimale (sinistro) di esistenza ]T min, 0]. Teorema 1.3 (Esistenza globale in un intervallo prefissato). Siano a < b R e sia f : [a, b] R R. Supponiamo che in ]a, b[ R valgano le ipotesi del Teorema 1.2 di esistenza 7

e unicità e che esistano due costanti non negative K 1 e K 2 tali che f(t, y) K 1 + K 2 y t [a, b], y R. (4) Allora (t 0, y 0 ) ]a, b[ R, la corrispondente soluzione del problema di Cauchy (2) è definita in tutto [a, b]. Osserviamo che se b si può scegliere arbitrariamente grande, allora la soluzione è prolungabile a [a, + [. Se anche a può essere scelto arbitrariamente, la soluzione risulta prolungabile a tutto R. Osserviamo anche che la maggiorazione nel teorema consente una crescita di f al più lineare in y. Esempio 1.3. Consideriamo il seguente problema di Cauchy { y (t) = arctg(ty), y(0) = α R. La funzione f(t, y) = arctg(ty) C (R 2 ) e f(t, y) π/2 per ogni (t, y) R 2. Per il teorema precedente (con K 1 = π/2, K 2 = 0), l esistenza è globale su tutto R. Inoltre, se il dato iniziale è α = 0, la soluzione è identicamente nulla: y(t) = 0 per ogni t R. Sia ora α > 0. Posto ψ(t) = y( t), si ha ψ (t) = y ( t), da cui { ψ (t) = arctg(( t)y( t)) = arctg(tψ(t)) ψ(0) = α R. Ne segue che anche ψ è soluzione dello stesso problema. L unicità implica allora che y(t) = ψ(t) = y( t), ossia y è una funzione pari. Inoltre y (0) = 0. Essendo α > 0, dall unicità della soluzione segue che y(t) > 0 per ogni t R. Inoltre y (t) > 0 per t > 0 e y (t) < 0 per t < 0. Perciò la retta t = 0 è una linea di minimi assoluti per le soluzioni. La derivata seconda y ty = > 0 per ogni t 0, da cui la soluzione y(t) è convessa. Per la 1 + (ty) 2 monotonia esiste lim y(t) = l + ed esiste lim t + t + y (t) = lim arctg(ty) = π t + 2. Ne segue che lim y(t) = +. La funzione y(t) potrebbe dunque avere un asintoto obliquo. t + Calcoliamo Infine, calcoliamo ) (y(t) π2 t lim t + Vale l uguaglianza = lim t + ( α+ y(t) lim = lim t + t t + y (t) = π 2. t 0 arctg(ξy(ξ)) dξ π 2 t )= α+ arctg(ξy(ξ)) π 2 = arctg 1 ξy(ξ) (dedotta da arctg(x) + arctg(1/x) = π/2 x 0). Poiché + 0 arctg 1 ξy(ξ) dξ 8 + 0 ( arctg(ξy(ξ)) π 2 ) dξ.

è convergente in quanto, per ξ 0 + 1, arctg ξy(ξ) π, mentre per ξ + si comporta 2 come + 1 ξ dξ, 2 si ha q = α + + 0 ( arctg(ξy(ξ)) π 2 ) dξ < +. La retta y = π t + q è l asintoto per t +. Per simmetria, la funzione y(t) ha anche 2 l asintoto obliquo y = π t + q per t. 2 α 0 Osservazione. Anche se la stima (4) può non essere vera in generale, grazie ad informazioni aggiuntive sulla soluzione, talvolta essa può essere verificata sulle soluzioni. Anche in questo caso si ottiene l esistenza globale della soluzione. Vale cioè il seguente risultato. Siano a < b R e sia f : [a, b] R R. Supponiamo che in ]a, b[ R valgano le ipotesi del Teorema 1.2 di esistenza e unicità. Dati (t 0, y 0 ) ]a, b[ R sia y(t) la corrispondente soluzione del problema di Cauchy (2). Se esistono due costanti non negative K 1 e K 2 tali che allora y(t) è definita in tutto [a, b]. f(t, y(t)) K 1 + K 2 y(t) t ]T min, T max [, Esempio 1.4. Consideriamo l equazione differenziale (3). In questo caso la stima (4) non è valida perché la funzione ǫn(1 N/k) ha crescita quadratica. Se il dato iniziale soddisfa 0 < N 0 < k, allora la corrispondente soluzione soddisfa 0 < N(t) < k e vale la stima ( N(t) ) ǫn(t) 1 ǫ N(t). k Perciò la soluzione N(t) è definita su tutto R. 9

1.4 Equazioni differenziali lineari di ordine n Un equazione differenziale lineare di ordine n in forma normale è un equazione del tipo y (n) + a 1 (t)y (n 1) + a 2 (t)y (n 2) +...a n (t)y = f(t), (5) con a 1 (t),...,a n (t), f(t) funzioni assegnate. La soluzione di (5) dipende da n costanti arbitrarie. Per determinarle diamo n condizioni. Se tali condizioni sono del tipo si ha un problema di Cauchy. y(t 0 ) = y 0, y (t 0 ) = y 1,..., y (n 1) (t 0 ) = y n 1 Teorema 1.4. Se le funzioni a 1 (t),...,a n (t) e f(t) sono continue in I R, allora per ogni (t 0, y 0, y 1,...,y n 1 ) I R n esiste una sola soluzione y = y(t) del problema di Cauchy definita su tutto I. Inoltre y C n (I). Osserviamo che la soluzione si trova assegnando le condizioni iniziali all integrale generale. Studiamo ora la struttura delle soluzioni di (5). Poniamo per brevità L(t)y = y (n) + a 1 (t)y (n 1) + + a n (t)y e accanto a (5) consideriamo anche l equazione omogenea associata Vale il seguente risultato. L(t)y = 0. (6) Teorema 1.5. L operatore L(t) è un operatore lineare, cioè date due funzioni y 1 (t) e y 2 (t) di classe C n (I), si ha che L(t)(λy 1 (t) + µy 2 (t)) = λl(t)y 1 (t) + µl(t)y 2 (t), λ, µ R. In particolare, se y 1 (t) è soluzione di (5) e y 0 (t) lo è di (6), allora y 1 (t) + y 0 (t) lo è di (5). Date due soluzioni y 1 (t) e y 2 (t) di (5), si ha che y 1 (t) y 2 (t) lo è di (6). Dal teorema precedente si ha che la generica soluzione di (5) è somma di una qualsiasi soluzione particolare di (5) e della generica soluzione di (6), cioè soluzione generale di (5) = soluzione particolare di (5) + soluzione generale di (6). Risulta perciò necessario studiare le soluzioni di (6). Osserviamo quanto segue. Se y 1 (t) e y 2 (t) sono soluzioni di (6), lo è anche ogni loro combinazione lineare. L insieme delle soluzioni di (6) è uno spazio vettoriale V. Si dimostra che per un equazione lineare di ordine n la dimensione dello spazio vettoriale V è esattamente n. Perciò ogni soluzione si potrà scrivere come combinazione lineare di n soluzioni linearmente indipendenti. Definizione 1.6. Le funzioni y 1 (t), y 2 (t),...,y m (t) sono linearmente indipendenti su I se non esistono c 1, c 2,...,c m costanti non tutte nulle tali che c 1 y 1 (t) + c 2 y 2 (t) +... c m y m (t) = 0 t R. 10

Nel caso in cui n = 3, tre soluzioni sono linearmente indipendenti su I se e solo se il determinante wronskiano y 1 (t) y 2 (t) y 3 (t) W(t) := y 1 (t) y 2 (t) y 3 (t) y 1(t) y 2(t) y 3(t) è diverso da 0 per ogni t I. Si dimostra che da cui W (t) = a 1 (t)w(t) W(t) = W(t 0 )e t t 0 a 1 (s)ds per ogni t, t 0. Perciò è sufficiente provare W(t 0 ) 0 per un solo t 0 I. Con ovvie varianti, il determinante wronskiano può essere usato per verificare l indipendenza lineare di n soluzioni di un equazione di ordine n, per ogni n. Teorema 1.7. Date n soluzioni y 1 (t), y 2 (t),...,y n (t) di (6) linearmente indipendenti su I, ogni altra soluzione di (6) si può scrivere come combinazione lineare di queste: per opportune costanti c 1, c 2,..., c n C. y(t) = c 1 y 1 (t) + c 2 y 2 (t) + + c n y n (t) Esempio 1.5. Consideriamo l equazione differenziale L equazione y + 2y y 2y = 0. (7) λ 3 + 2λ 2 λ 2 = 0 si dice equazione caratteristica associata all equazione differenziale (7). Essa ammette come radici, dette radici caratteristiche, λ = 2, λ = 1, λ = 1. Corrispondentemente a queste, consideriamo le funzioni y 1 (t) = e 2t, y 2 (t) = e t, y 3 (t) = e t. Esse sono soluzioni dell equazione (7). Calcoliamo il determinante wronskiano e 2t e t e t W(t) = 2e 2t e t e t = 4e 2t e t e t 1 1 1 = e 2t e t e t 2 1 1 = 6e 2t 0, t R. 4 1 1 Poiché le funzioni y 1 (t) = e 2t, y 2 (t) = e t, y 3 (t) = e t sono linearmente indipendenti, ogni altra soluzione di (7) è combinazione lineare di queste tre. 11

Esempio 1.6. L equazione singolare in t = 0 t 3 z 3t 2 z + 6tz 6z = 0, t > 0 (8) ha le tre soluzioni particolari t, t 2 e t 3. Essendo t t 2 t 3 W(t) = 1 2t 3t 2 = 2t 3 0 t 0, 0 2 6t esse sono linearmente indipendenti per t > 0. Ne segue quindi che ogni altra soluzione di (8) è del tipo z(t) = c 1 t + c 2 t 2 + c 3 t 3. 12