Le obbligazioni: misure di rendimento Tassi d interesse, elementi di valutazione e rischio delle attività finanziarie Economia degli Intermediari Finanziari 29 aprile 2009 A.A. 2008-2009
Agenda 1. Il calcolo finanziario: capitalizzazione e attualizzazione 2. Il calcolo finanziario: tassi equivalenti 3. Relazioni tra tassi e prezzi 4. La curva dei rendimenti per scadenza 5. Le teorie che spiegano l andamento della curva dei rendimenti 6. Il calcolo dei tassi forward A.A. 2008/2009 Economia degli Intermediari Finanziari 2
Capitalizzazione e attualizzazione 1 legge della finanza: un euro oggi vale più di un euro domani VALORE TEMPORALE DEL DENARO? 11.000 10.000 10%? 10% C M VA VS CAPITALIZZAZIONE portare avanti nel tempo il valore di un capitale aggiungendo degli interessi Montante = Capitale * fattore di capitalizzazione ATTUALIZZAZIONE portare indietro nel tempo il valore di un capitale disponibile ad una data futura Valore Attuale = Valore a Scadenza * fattore di sconto N.B. il fattore di capitalizzazione è il reciproco del fattore di sconto A.A. 2008/2009 Economia degli Intermediari Finanziari 3
Legge di capitalizzazione semplice OPERAZIONI di CAPITALIZZAZIONE L interesse è funzione lineare di: 21,000 19,000 Capitale impiegato 17,000 Tasso d interesse 15,000 Tempo 13,000 I = C*i*t M = C+I= C* (1+i*t) FATTORE di CAPITALIZZAZIONE OPERAZIONI di ATTUALIZZAZIONE Il valore attuale si ottiene moltiplicando il Valore a Scadenza per il fattore di sconto VA = VS* 1/(1+i*t) FATTORE di SCONTO o ATTUALIZZAZIONE 11,000 9,000 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A.A. 2008/2009 Economia degli Intermediari Finanziari 4
Legge di capitalizzazione composta OPERAZIONI di CAPITALIZZAZIONE L interesse è funzione: del tempo degli interessi già maturati M1= C(1+i); M 2 = M 1 *(1+i)= C(1+i) 2 M t = C* (1+i) t FATTORE di CAPITALIZZAZIONE 27,000 25,000 23,000 21,000 19,000 17,000 15,000 13,000 11,000 9,000 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Ipotesi implicita: gli interessi maturati in momenti precedenti vengono continuamente reinvestiti fino a scadenza OPERAZIONI di ATTUALIZZAZIONE VA = VS* 1/(1+i) t FATTORE di SCONTO A.A. 2008/2009 Economia degli Intermediari Finanziari 5
Capitalizzazione semplice vs composta Es. i=10% capitalizzazione annua per t=1 i due fattori di capitalizzazione coincidono per t<1 è maggiore il fattore di capitalizzazione semplice per t>1 è maggiore il fattore di capitalizzazione composta t cap. semplice cap. composta 0.25 1.025 1.0241 0.5 1.05 1.0488 0.75 1.075 1.0741 1 1.1 1.1000 1.25 1.125 1.1265 1.5 1.15 1.1537 1.75 1.175 1.1815 2 1.2 1.2100 2.25 1.225 1.2392 2.5 1.25 1.2691 2.75 1.275 1.2997 3 1.3 1.3310 3.25 1.325 1.3631 3.5 1.35 1.3960 3.75 1.375 1.4296 4 1.4 1.4641 4.25 1.425 1.4994 4.5 1.45 1.5356 4.75 1.475 1.5726 5 1.5 1.6105 A.A. 2008/2009 Economia degli Intermediari Finanziari 6
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Tassi equivalenti: regime semplice 1+i A =1+i k *k i A tasso annuo i k tasso periodale k n di volte in cui gli interessi sono incassati nell anno i A =i k *k i K =i A /k Es. investiamo 1000 in BTP a 5 anni al tasso nominale del 4.5% La cedola è pagata semestralmente: ogni 6 mesi incasseremo 22.50 (pari a 0.045/2=2.25% del nostro capitale) A.A. 2008/2009 Economia degli Intermediari Finanziari 8
Tassi equivalenti: regime composto i A tasso annuo 1+i A =(1+i k ) k i k tasso periodale k n di volte in cui gli interessi sono capitalizzati nell anno i A = (1+i k ) k -1 i K = (1+i A ) 1/k -1 Es. E più conveniente l investimento A al 2.5% semestrale o l investimento B al 10% biennale? A) i A = (1+0.025) 2-1=5.1% B) i A = (1+0.10) 0.5-1=4.9% A.A. 2008/2009 Economia degli Intermediari Finanziari 9
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Relazione tra prezzi e tassi (1) Il prezzo di un titolo di debito è pari al valore attuale dei flussi di cassa futuri Pr? t 2t nt Pr = n FC t = (1 + i t 1 t ) Il tasso che uguaglia il prezzo del titolo alla somma dei valori attuali dei flussi di cassa futuri è detto rendimento effettivo a scadenza (Yield To Maturity YTM) A.A. 2008/2009 Economia degli Intermediari Finanziari 11
Relazione tra prezzi e tassi (2) Tra oscillazione dei tassi e oscillazioni dei prezzi dei titoli esiste quindi una relazione inversa tassi prezzi tassi prezzi I tassi d interesse sono molto importanti perché: Influenzano le decisioni di risparmio e di investimento delle famiglie Influenzano l accesso al credito Influenzano la redditività delle istituzioni finanziarie A.A. 2008/2009 Economia degli Intermediari Finanziari 12
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La curva dei rendimenti (yield curve) (1) Il rendimento di un titolo obbligazionario dipende da diversi fattori: il rischio di credito legato all emittente, la liquidità e la durata dell investimento La curva dei rendimenti per scadenza (yield curve) rappresenta il rendimento dei titoli in funzione della loro vita residua Per isolare la relazione scadenza-rendimento, la curva viene spesso costruita in riferimento ai titoli di Stato, caratterizzati da un rischio di insolvenza molto ridotto e da elevata liquidità Alternativamente, possono essere utilizzati i tassi del mercato interbancario per scadenze fino ad un anno e i tassi su operazioni di interest rate swap per le scadenze più lunghe A.A. 2008/2009 Economia degli Intermediari Finanziari 14
La curva dei rendimenti (yield curve) (2) 6,50% 6,00% 5,50% 5,00% Tres 4,50% 4,00% 3,50% 3,00% 2,50% 2,00% 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Maturity (anni) Si riporta un esempio, piuttosto frequente sul mercato, di yield curve con inclinazione positiva (relazione diretta tra scadenza e rendimento) e concava (il rendimento cresce sempre meno all aumentare della scadenza) A.A. 2008/2009 Economia degli Intermediari Finanziari 15
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Le teorie sulla curva dei rendimenti La curva dei rendimenti può assumere tre configurazioni tipo rispetto alla scadenza: Rendimento 5,10% 5,05% 5,00% 4,95% 4,90% 4,85% Crescente Piatta Decrescente Rendimento 4,90% 4,85% 4,80% 4,75% 4,70% Rendimento 4,85% 4,80% 4,75% 4,70% 4,65% 4,60% 4,80% 4,65% 4,55% 4,75% 1 2 3 4 5 6 Maturity 4,60% 1 2 3 4 5 6 Maturity 4,50% 1 2 3 4 5 6 Maturity Le tre principali teorie che spiegano l andamento della curva dei rendimenti sono: la teoria delle aspettative pure la teoria del premio per la liquidità la teoria della segmentazione dei mercati A.A. 2008/2009 Economia degli Intermediari Finanziari 17
La teoria delle aspettative pure (1) Secondo la teoria delle aspettative pure il tasso di un obbligazione a lungo termine è pari alla media dei tassi a breve attesi durante la vita residua del titolo Ipotesi fondamentali: gli investitori non hanno preferenze per determinati orizzonti temporali; le obbligazioni con scadenze diverse sono sostituti perfetti i tassi d interesse su obbligazioni con scadenze diverse, quindi, variano perché si attendono variazioni nei tassi a breve futuri la forma della curva dei rendimenti (crescente, decrescente o piatta) è funzione solo delle aspettative degli investitori circa l andamento futuro dei tassi d interesse A.A. 2008/2009 Economia degli Intermediari Finanziari 18
La teoria delle aspettative pure (2) Per la teoria delle aspettative, il rendimento delle due seguenti strategie di investimento deve risultare uguale: acquistare uno ZCB con scadenza pari a 2 anni acquistare uno ZCB ad 1 anno e impiegare alla scadenza il montante per l acquisto di un nuovo ZCB ad 1 anno (roll-over) ( ) 2 1+ i = ( 1+ i ) ( + f ) 1 0,2 0,1 dove: -i 0,2 è il rendimento su base annua di uno ZCB con partenza immediata e durata due anni -i 0,1 è il rendimento su base annua di uno ZCB con partenza immediata e durata un anno -f 1,2 è il rendimento atteso su base annua di uno ZCB con partenza tra un anno e durata un anno A.A. 2008/2009 Economia degli Intermediari Finanziari 19 1,2
La teoria delle aspettative pure (3) E possibile vedere come il tasso a lunga scadenza sia approssimabile dalla media dei tassi a breve attesi per il futuro ( ) 2 1+ i = ( 1+ i ) ( 1+ f ) 1+ i 0,2 2i 0,2 0,2 i 0,1 + ( i ) + 2 0,2 f 1,2 2 0,1 = 1+ i 0,1 + 1,2 f 1,2 + i 0,1 f 1,2 componenti trascurabili A.A. 2008/2009 Economia degli Intermediari Finanziari 20
La teoria delle aspettative pure (4) Generalizzando. i 0, H i 0,1 + f 1,2 + f 2,3 H + K+ f H 1, H di conseguenza: la curva dei rendimenti è crescente quando vi sono attese di incremento dei tassi a breve termine futuri la curva dei redimenti è piatta quando non ci sono attese di variazione dei tassi a breve termine futuri la curva dei rendimenti è decrescente quando vi sono attese di diminuzione dei tassi a breve termine futuri A.A. 2008/2009 Economia degli Intermediari Finanziari 21
Aspettative di aumento dei tassi i (0,1) 4.00% i (0,1) 4.00% f (1,2) 4.50% i (0,2) 4.25% f (2,3) 5.00% i (0,3) 4.50% f (3,4) 5.50% i (0,4) 4.75% f (4,5) 6.00% i (0,5) 5.00% se gli operatori si attendono un incremento dei tassi 5.50% 5.00% la curva dei rendimenti sarà inclinata verso l alto 4.50% 4.00% 3.50% 3.00% i(0,1) i(0,2) i(0,3) i(0,4) i(0,5) A.A. 2008/2009 Economia degli Intermediari Finanziari 22
Aspettative di diminuzione dei tassi i (0,1) 5.00% i (0,1) 5.00% f (1,2) 4.50% i (0,2) 4.75% f (2,3) 4.00% i (0,3) 4.50% f (3,4) 3.50% i (0,4) 4.25% f (4,5) 3.00% i (0,5) 4.00% se gli operatori si attendono una diminuzione dei tassi 5.50% 5.00% la curva dei rendimenti sarà inclinata verso il basso 4.50% 4.00% 3.50% 3.00% i(0,1) i(0,2) i(0,3) i(0,4) i(0,5) A.A. 2008/2009 Economia degli Intermediari Finanziari 23
La teoria della segmentazione dei mercati La teoria della segmentazione dei mercati ipotizza l esistenza di diversi comparti, ove operano soggetti che esprimono una preferenza per un determinato orizzonte temporale di investimento In ciascun comparto i rendimenti si determinano in modo indipendente, nascendo dall incontro tra domanda e offerta di fondi relativi ad una certa scadenza Le obbligazioni con scadenze diverse, quindi, non sono sostituti. La teoria spiega la tipica inclinazione positiva della curva dei rendimenti attraverso l elevata propensione alla liquidità e la bassa propensione al rischio degli investitori (per cui la domanda di titoli a breve è tipicamente più elevata di quelli a lunga). Ma non riesce a spiegare perché i tassi su obbligazioni con scadenze diverse si muovano insieme A.A. 2008/2009 Economia degli Intermediari Finanziari 24
La teoria del premio per la liquidità (1) Secondo la teoria del premio per la liquidità il tasso di un obbligazione a lungo termine è pari alla media dei tassi a breve attesi durante la vita residua del titolo, più un premio che dipende dalle condizioni della domanda e dell offerta dei titoli Ipotesi fondamentali: gli investitori avvertono come rischiosi i titoli a lunga scadenza, quindi tendono a preferire le obbligazioni a breve le obbligazioni con scadenze diverse non sono sostituti perfetti la forma della curva dei rendimenti, quindi, è funzione sia delle aspettative sui tassi futuri che del premio domandato dagli investitori per le obbligazioni con le scadenze più lunghe (il premio per la liquidità si suppone sempre positivo e funzione crescente della durata dell investimento) A.A. 2008/2009 Economia degli Intermediari Finanziari 25
La teoria del premio per la liquidità (2) Per la teoria del premio per la liquidità queste due operazioni non sono finanziariamente equivalenti: la prima alternativa, comportando l investimento in un titolo a più lunga scadenza, presenta un maggior rischio e dovrebbe garantire un maggior rendimento (maggior montante) al termine dei due anni. Generalizzando ( ) 2 1+ i > ( 1+ i ) ( + f ) 1 0,2 0,1 1,2 i + f + f 0,1 1,2 2,3 H 1, H i + l 0, H 0, H H + K+ f premio al tempo 0 per l obbligazione con durata H A.A. 2008/2009 Economia degli Intermediari Finanziari 26
Aspettative di aumento dei tassi i (0,1) 4.00% l (0,1) 0.00% i (0,1) 4.00% f (1,2) 4.50% l (0,2) 0.10% i (0,2) 4.35% f (2,3) 5.00% l (0,3) 0.20% i (0,3) 4.70% f (3,4) 5.50% l (0,4) 0.30% i (0,4) 5.05% f (4,5) 6.00% l (0,5) 0.40% i (0,5) 5.40% a parità di aspettative lacurva èpiù inclinata verso l alto perché incorpora il premio per la liquidità 6.00% 5.50% 5.00% 4.50% 4.00% 3.50% 3.00% i(0,1) i(0,2) i(0,3) i(0,4) i(0,5) con premio per la liquidità aspettative pure A.A. 2008/2009 Economia degli Intermediari Finanziari 27
Aspettative di diminuzione dei tassi i (0,1) 5.00% l (0,1) 0.00% i (0,1) 5.00% f (1,2) 4.50% l (0,2) 0.10% i (0,2) 4.85% f (2,3) 4.00% l (0,3) 0.20% i (0,3) 4.70% f (3,4) 3.50% l (0,4) 0.30% i (0,4) 4.55% f (4,5) 3.00% l (0,5) 0.40% i (0,5) 4.40% a parità di aspettative. la curva è meno inclinata verso il basso perché incorpora il premio per la liquidità 5.50% 5.00% 4.50% 4.00% 3.50% 3.00% i(0,1) i(0,2) i(0,3) i(0,4) i(0,5) con premio per la liquidità aspettative pure A.A. 2008/2009 Economia degli Intermediari Finanziari 28
Agenda 1. Il calcolo finanziario: capitalizzazione e attualizzazione 2. Il calcolo finanziario: tassi equivalenti 3. Relazioni tra tassi e prezzi 4. La curva dei rendimenti per scadenza 5. Le teorie che spiegano l andamento della curva dei rendimenti 6. Il calcolo dei tassi forward A.A. 2008/2009 Economia degli Intermediari Finanziari 29
Il calcolo dei tassi forward (1) Torniamo al nostro primo esempio per cui: ( ) 2 1+ i = ( 1+ i ) ( + f ) 0,2 0,1 1 i tassi i 0,2 e i 0,1 sono osservabili sul mercato (tassi spot) mentre i 1,2 è un tasso atteso (tasso forward) La curva dei rendimenti, quindi, può essere utile per ricavare le aspettative implicite sui tassi d interesse futuri 1,2 t P? t+1 t+2 A.A. 2008/2009 Economia degli Intermediari Finanziari 30 100 N.B. Il tasso forward non è il tasso spot futuro, coincidono solo se la term structure rimane invariata e l investitore è indifferente alla durata dell investimento.
Il calcolo dei tassi forward (2) Per la teoria delle aspettative pure, queste due operazioni sono finanziariamente equivalenti (stesso montante a scadenza) Risolvendo per il tasso atteso, abbiamo: Generalizzando: ( ) 2 1+ i = ( 1+ i ) ( + f ) f 0,2 0,1 1 ( ) 2 1+ i0,2 ( 1+ i ) 1,2 = ( ) H ( ) K ( ) H K 1 i = 1+ i + f + 0, H 0, K 1 K, H A.A. 2008/2009 Economia degli Intermediari Finanziari 31 0,1 f 1 1,2 ( 1+ i ) 0, H ( 1+ i ) H = K K, H H K 0, K 1
Qualche esempio i(0,1) 4.00% i(0,2) 4.25% i(0,3) 4.50% 2 ( 1+ i ) 0,2 ( 1+ i ) 0,1 3 ( 1+ i ) 0,3 2 ( 1+ i ) ( 1.0425) f = 1 = 1 = 4.50% 1,2 1.04 ( 1.045) f 2,3 = 1 = 1 = 5.0% 2 1.0425 0,2 3 2 circa circa 3 ( 1+ i ) 0,3 ( 1+ i ) ( 1.045) f 1,3 = 1 = 1 = 4.75% 1.04 0,1 3 circa A.A. 2008/2009 Economia degli Intermediari Finanziari 32
Tassi spot e tassi forward (1) i(0,1) 3.50% i(0,1) 3.50% i(0,2) 4.00% f(1,2) 4.50% i(0,3) 4.25% f(2,3) 4.75% i(0,4) 4.50% f(3,4) 5.25% i(0,5) 4.75% f(4,5) 5.76% una curva dei rendimenti crescente incorpora attese di aumento dei tassi 6.00% 5.00% 4.00% 3.00% 2.00% 1 2 3 4 5 rendimenti per scadenza tassi forward A.A. 2008/2009 Economia degli Intermediari Finanziari 33
Tassi spot e tassi forward (2) i(0,1) 6.00% i(0,1) 6.00% i(0,2) 5.50% f(1,2) 5.00% i(0,3) 5.25% f(2,3) 4.75% i(0,4) 5.00% f(3,4) 4.25% i(0,5) 4.75% f(4,5) 3.76% una curva dei rendimenti decrescente incorpora attese di diminuzione dei tassi 7.00% 6.00% 5.00% 4.00% 3.00% 2.00% 1 2 3 4 5 rendimenti per scadenza tassi forward A.A. 2008/2009 Economia degli Intermediari Finanziari 34
Tassi spot e tassi forward (3) L andamento della curva dei tassi forward rispetto alla curva dei rendimenti può essere così rappresentato: 8,00% 7,00% Forward rate 1 Rendim ento 6,00% 5,00% 4,00% 3,00% 2,00% Term structure 1 Term structure 3 Forward rate 3 Term structure 2 Forward rate 2 1,00% 0,00% 1 2 3 4 5 6 7 Maturity A.A. 2008/2009 Economia degli Intermediari Finanziari 35
Il calcolo dei tassi forward nella teoria del premio per la liquidità (1) In teoria dovremmo tener conto anche del premio per la liquidità Il calcolo dei tassi forward diverrebbe: f ( 1+ i ) 0, H l0, H ( 1+ i l ) H, = H K K H K 0, K 0, K 1 Determiniamo i tassi forward depurando la curva dei rendimenti dal premio per la liquidità A.A. 2008/2009 Economia degli Intermediari Finanziari 36
Qualche esempio i(0,1) 3.50% l t 0.00% i(0,2) 4.00% l 2t 0.10% i(0,3) 4.25% l 3t 0.20% ( 1+ i l ) 0,2 0,2 ( 1+ i ) ( 1.039) f 1,2 = 1 = 1 = 4.30% 1.035 0,1 ( 1+ i ) 0,3 l0,3 ( 1+ i l ) 2 ( 1.0405) f 2,3 = 1 = 1 = 4.35% 2 2 1.039 0,2 0,2 3 2 3 circa circa A.A. 2008/2009 Economia degli Intermediari Finanziari 37
Il calcolo dei tassi forward nella teoria del premio per la liquidità (2) In realtà non risulta possibile conoscere l entità precisa di tale premio in corrispondenza delle diverse scadenze Di conseguenza, nella pratica dei mercati, i tassi forward vengono calcolati sulla base della teoria delle aspettative pure Tuttavia, non conoscere l entità del premio per la liquidità, rende meno agevole l interpretazione delle aspettative così rilevate A.A. 2008/2009 Economia degli Intermediari Finanziari 38
Il calcolo dei tassi forward nella teoria del premio per la liquidità (3) In caso di curva dei rendimenti piatta o decrescente è certo che, tenendo conto del premio per la liquidità, i tassi forward impliciti siano decrescenti. Si può affermare, quindi, che gli operatori attendano un ribasso dei tassi d interesse Rendimento 4,85% 4,80% 4,75% 4,70% 4,65% 4,60% 4,55% 4,50% 4,45% 4,40% 4,35% 1 2 3 4 5 6 Maturity Premio per la liquidità 0,40% 0,35% 0,30% 0,25% 0,20% 0,15% 0,10% 0,05% 0,00% 1 2 3 4 5 6 Tassi forward 4,80% 4,60% 4,40% 4,20% 4,00% 3,80% 3,60% 3,40% 1 2 3 4 5 6 Maturity A.A. 2008/2009 Economia degli Intermediari Finanziari 39
Il calcolo dei tassi forward nella teoria del premio per la liquidità (4) Tale relazione non è altrettanto chiara nel caso di una curva crescente: se la curva è inclinata positivamente, ma con scarsa pendenza, e il premio per la liquidità cresce sensibilmente all aumentare della scadenza, potremmo ottenere anche dei tassi forward decrescenti Rendimento 5,10% 5,05% 5,00% 4,95% 4,90% 4,85% 4,80% 4,75% 4,70% Curva dei rendimenti 4,65% 1 2 3 4 5 6 Maturity Premio per la liquidità Premio per la liquidità 0,40% 0,35% 0,30% 0,25% 0,20% 0,15% 0,10% 0,05% 0,00% 1 2 3 4 5 6 0,40% 0,35% 0,30% 0,25% 0,20% 0,15% 0,10% 0,05% 0,00% 1 2 3 4 5 6 4,45% 1 2 3 4 5 6 A.A. 2008/2009 Economia degli Intermediari Finanziari 40 Tassi forward Tassi forward 4,90% 4,85% 4,80% 4,75% 4,70% 4,65% 4,60% 4,55% 4,50% 5,10% 5,05% 5,00% 4,95% 4,90% 4,85% 4,80% 4,75% 4,70% 4,65% 1 2 3 4 5 6