Approfondimenti di prospettiva

pprofondimenti di prospettiva p p r o f o n d i m e n t o PPROONIMENTO PITOLO 19 pprofondimenti di prospettiva Prospettiva di un punto In base a quanto detto nel libro di testo (ap. 19 - Proiezioni prospettiche), per determinare la prospettiva di un punto P, sarà sufficiente, partendo dal punto di vista V, tracciare una retta (raggio visuale) passante per P (fig. 1). L intersezione P 2 di questo raggio visuale con il quadro rappresenta la prospettiva di P. Per ottenere, sul foglio da disegno, la prospettiva di P si procede nel seguente modo (fig. 2): 1) Si rappresentano con il noto metodo delle proiezioni ortogonali il punto di vista V e il punto P. Occorre tener presente che le proiezioni ortogonali di P (P e P ) si troveranno sopra la L.T. in quanto P è situato nel II diedro. Le proiezioni V e V del punto di vista risulteranno rispettivamente sotto e sopra la L.T. in quanto V si trova nel I diedro. 2) Si congiunge V con P e V con P ottenendo le proiezioni ortogonali r e r del raggio visuale r. ) a P 2 incontro della r con la L.T., si innalza una perpendicolare alla L.T. che interseca la r in P 2. Il punto P 2, così determinato, rappresenta la prospettiva di P. Per ottenere la prospettiva di una retta sarà sufficiente determinare, con il precedente procedimento, la prospettiva di due suoi punti. La retta passante per questi due punti rappresenta la prospettiva richiesta. Questo è il procedimento generale, abbastanza semplice nel caso di un solo punto ma molto complesso e quindi di difficile attuazione nel caso di numerosi punti. igura 1 q.v. q igura 2 V V r V P P 2 r P 2 P P P P P 0 P 2 L.T. ƒ T r V P P 0 V 0 P 2 r V L.T. ƒ 1

P R T E P R I M Geometria descrittiva 2 L ostacolo si supera agevolmente con l impiego di metodi pratici e sbrigativi di cui ci occuperemo nei prossimi paragrafi dopo aver considerato alcune importanti proprietà geometriche. Traccia e punto di fuga di una retta igura 2 r L T f onsideriamo una retta generica r (fig. ) situata nel II diedro, il punto T, intersezione della r con il quadro Q della q 1 prospettiva, si definisce traccia della retta. Se dal punto di vista V tracciamo una retta s, parallela alla r, s ed indichiamo con il punto d intersezione con il quadro Q, V questo punto si definisce punto di fuga della retta r e rappresenta un elemento molto importante per la prospettiva. T acciamo osservare che il punto di fuga di una retta è la traccia della parallela alla retta stessa condotta dal punto di vista. q.o. Sappiamo dalla geometria che due rette parallele si incontrano all infinito: possiamo quindi dedurre che il punto di fuga altro non è che la prospettiva del punto all infinito detto anche punto improprio della retta r. ongiungendo i punti T e otteniamo la prospettiva della retta. Regola generale. La prospettiva di una retta si ottiene mediante la sua traccia ed il suo punto di fuga. Nella esecuzione pratica dei disegni in prospettiva quasi sempre si considerano rette particolari, per le quali risulta facile determinare le tracce e i punti di fuga. Prendiamo, qui di seguito, in esame alcuni casi. igura 4 P.P. L.O. Rette appartenenti al piano di terra e perpendicolari alla L.T. r L t r r P.S. T La traccia tr è il punto d incontro della retta con la L.T. Per determinare il punto di fuga occorrerà mandare dal punto di vista una retta parallela alla retta data, questa incontrerà il quadro nel punto principale P.P., che quindi risulterà essere il punto di fuga. La retta tr-p.p. sarà la prospettiva cercata (fig. 4). ttenzione. Il P.P. è il punto di fuga non solo delle rette giacenti sul piano di terra e perpendicolari alla L.T. ma anche di tutte le altre rette dello spazio perpendicolari al quadro della prospettiva. r r L 45 igura 5 t r 1 45 45 p P.P. P.S. 2 1 L.O. T Rette appartenenti al piano di terra ed inclinate di 45 sulla L.T. asterà congiungere tr con il punto di fuga, che in questo caso sarà 1. La tr 1, è la prospettiva cercata. La traccia, come per il caso precedente, è rappresentata dall incontro della retta con la L.T. mentre il punto di fuga coincide con uno dei due punti di distanza che, per semplificare, vengono indicati con 1 e 2. Infatti la retta passante per il punto di vista e parallela alla retta data, incontrerà la L.O. con un inclinazione di 45 (fig. 5). 2

pprofondimenti di prospettiva p p r o f o n d i m e n t o ttenzione. Tutte le rette appartenenti a piani orizzontali ed aventi un inclinazione di 45 con il quadro prospettico Q, hanno per punto di fuga uno dei due punti di distanza 1 o 2 e precisamente 1 per quelle dirette da sinistra a destra e 2 per quelle dirette da destra a sinistra. igura 6 L.O. P.P. r r L t r f P.S. T Rette appartenenti al piano di terra e comunque inclinate sulla L.T. ome sempre dobbiamo trovare la traccia ed il punto di fuga. La traccia è, come al solito, l intersezione della retta con la L.T. Per determinare il punto di fuga occorre tracciare dal P.S. una retta parallela alla retta data, che incontrerà la L.T. nel punto f. a questo punto innalzare una perpendicolare e determinare l intersezione con la L.O.: è il punto di fuga. La tr rappresenta la prospettiva cercata (fig. 6). ttenzione. Tutte le rette appartenenti al piano di terra o a piani paralleli al piano di terra, hanno il loro punto di fuga sulla L.O. (Linea dell orizzonte). Per l esecuzione della prospettiva, oltre alle proprietà geometriche prima considerate, è indispensabile tenere presenti anche le seguenti: 1. Tutte le rette giacenti sul Q coincidono con le loro prospettive. 2. Tutte le rette perpendicolari al piano di terra hanno come immagini prospettiche rette perpendicolari alla linea fondamentale f (L.T.).. Tutte le rette perpendicolari al Q hanno le prospettive concorrenti nel punto principale P.P. 4. Tutte le rette parallele alla L.T. hanno le prospettive parallele alla medesima L.T. f. 5. Tutte le rette parallele al Q hanno le prospettive parallele alle rette stesse. ome applicazione di alcune delle proprietà considerate in precedenza, prendiamo in esame qui di seguito due semplici esempi. igura 7 M N 1 Prospettiva di un punto appartenente al piano di terra P.P. P.S. L.O. f L.T. Ricordando che due rette che si incontrano determinano un punto, sarà sufficiente far passare dal punto due rette; l incontro delle due rette in prospettiva determinerà la prospettiva di. Invece di far passare da due rette generiche, di cui poi occorrerà determinare i punti di fuga, risulta più immediato tracciare una perpendicolare ed una retta inclinata di 45 sulla L.T. in quanto è immediata la determinazione dei punti di fuga e precisamente la perpendicolare avrà come punto di fuga P.P. e la retta inclinata di 45 il punto di distanza 1 : quindi la M-P.P. sarà la prospettiva della perpendicolare passante da e la N- 1 la prospettiva della retta a 45. L intersezione sarà la prospettiva del punto (fig. 7).

P R T E P R I M Geometria descrittiva 2 Prospettiva di un rettangolo appartenente al piano di terra isegnato il rettangolo in una posizione generica (figura preparatoria), si prolungano i lati fino ad incontrare la L.T. f nei punti 1, 2,, 4. al punto P.S. si tracciano le parallele alle rette che incontrano la L.T. nei punti 1 e 2 e si determina così, sulla f il punto f 2, da questo innalzando una perpendicolare si ottiene 2, quale intersezione con la L.O. 2 è il punto di fuga di due lati del rettangolo. nalogamente, partendo da P.S. si traccia la parallela alle rette che incontrano la L.T. nei punti e 4 ottenendo così il punto f 1 e innalzando la perpendicolare si ottiene f 2, punto di fuga degli altri due lati. Si tratta ora di determinare le prospettive delle quattro rette alle quali appartengono i lati del rettangolo. ome sempre, sarà sufficiente congiungere la traccia con il punto di fuga (vedi fig. 8); e precisamente i punti 1 e 2 con 2 e i punti e 4 con 1 ; dalla intersezione di queste rette in prospettiva, si ottengono i vertici del rettangolo. igura 8 1 P.P. 2 L.O. 1 2 4 f 1 f 2 f P.S. Metodi di esecuzione Le prospettive si distinguono in centrale e accidentale. Nella prima, l oggetto o la figura si presentano con l elemento principale (faccia o lato) posto parallelamente al quadro (fig. 9). Nell immagine prospettica questi elementi manterranno tale parallelismo. Il punto principale P.P. costituisce invece il punto di fuga delle rette perpendicolari al quadro. Esso si trova sulla linea di orizzonte, che costituisce infatti il luogo dei punti all infinito, cioè i punti impropri che definiscono la direzione delle linee. Quello di punto improprio è il concetto di base della prospettiva: dalla geometria sappiamo che due rette parallele si incontrano all infinito. Quell infinito, nella prospettiva, è rappresentato dall orizzonte, sul quale stanno i punti impropri di ogni fascio di rette parallele. La linea dell orizzonte si trova all altezza del punto di vista. Quando l elemento principale dell oggetto non è parallelo al quadro, abbiamo la prospettiva accidentale, in cui l oggetto si presenta, per così dire, di spigolo. Si hanno così due punti di fuga (cioè i punti impropri dei due fasci di rette parallele) (fig. 10). In entrambe le prospettive si assume la verticalità del quadro prospettico, ciò implica che gli spigoli verticali dell oggetto rimangano tali anche nella proiezione prospettica. 4

pprofondimenti di prospettiva p p r o f o n d i m e n t o La cosiddetta prospettiva razionale, di cui non ci occuperemo, utilizza invece un quadro inclinato, ottenendo quindi un immagine in cui gli spigoli verticali dell oggetto convergono a loro volta ad un punto di fuga. È questo il tipo di prospettiva usato nella gran parte dei programmi per il disegno assistito dal computer (ad tridimensionale). Le altezze relative all oggetto si riportano in vera grandezza (o nella scala prescelta) sul quadro prospettico, cioè in verticale a partire dalla linea di terra, sulla quale possono, a loro volta, essere riportate le misure in larghezza (cioè quelle prese su linee dell oggetto parallele al quadro). Tali altezze vengono poi traslate all infinito attraverso le rette passanti dai loro estremi e concorrenti al punto di fuga. Si vede quindi come le altezze, e le distanze di rette parallele al Q, diminuiscano nella prospettiva con l aumentare della loro distanza dallo stesso Q. igura 9 igura 10 PP LO LO 1 2 h h Metodo del taglio dei raggi visuali Prospettiva centrale di un quadrato Occorre preliminarmente disegnare una figura preparatoria (fig. 11-) che consiste nella vista dall alto della figura, contenente anche la traccia del quadro prospettico Q e il punto di stazione PS. Sul quadro si proietta la perpendicolare da PS determinando pp. Si prolungano poi i lati a-d e b-c della figura fino ad incontrare Q in 1 e 2. Si mandano poi i raggi visuali dai vertici a, b, c, d, verso PS, determinando ; 4; 5; 6 nell intersezione con Q. L immagine prospettica è stata ottenuta con il sistema del riporto diretto (fig. 11-), cioè eseguendo il disegno al di sopra della figura preparatoria, semplicemente proiettando in verticale gli elementi principali sulla linea di terra e sulla linea orizzontale LO, la cui altezza corrisponde a quella di PV. Il punto principale PP costituisce il punto di fuga, in cui convergono le proiezioni delle rette perpendicolari al quadro prospettico (vedi fig. 11-). ai punti 1 e 2 si mandano infatti 1-PP e 2-PP, che conterranno i segmenti e ; rispettivamente i vertici ; ; ; si ottengono innalzando le verticali dai punti ; 4; 5; 6 fino a intersecare 1-PP e 2-PP. Si uniscono quindi con ed con. I lati e risultano orizzontali, cioè paralleli alla L.T. 5

P R T E P R I M Geometria descrittiva 2 Viene inoltre evidenziato pd (punto di distanza non indispensabile in questo caso), che costituisce il punto di fuga delle rette inclinate di 45 rispetto al quadro. Lo si ottiene mandando da PS la parallela alla diagonale b-d (fig. 11-). La fig. 12 presenta una assonometria che visualizza nello spazio il procedimento seguito. È bene osservare che, avendo separato la pianta dalla prospettiva, il disegno risulta più chiaro e di facile interpretazione, a differenza dell esempio di fig. 8 a pag. 4. igura 11 pd PP LO 1 4 p p 5 6 2 7 d c a b pd 1 4 p p 5 6 2 7 Q PS 6

pprofondimenti di prospettiva p p r o f o n d i m e n t o igura 12 Q LO PP PV 1 2 PS T Metodo dei punti di fuga Prospettiva accidentale di un cubo Questo metodo si basa sul concetto di punto all infinito, detto anche punto improprio, che rappresenta il punto d incontro di rette parallele. Nell immagine prospettica tali punti vengono chiamati punti di fuga ( 1 ; 2 ) (fig. 1-); si trovano sulla linea dell orizzonte e costituiscono l intersezione col quadro di rette passanti per PS e parallele alle rette date (nella figura preparatoria - fig. 1- - PS-f 2 e PS-f 1 sono parallele rispettivamente ai lati d-c ed a-d). opo aver disegnato il quadrato (proiezione orizzontale del cubo) ed aver determinato f 1 ed f 2, si prolungano i lati d-c e b-c fino al quadro, ottenendo i punti 1 e 2. Nell immagine prospettica (fig. 1-), tracciata la L.T. vi sono stati riportati i punti 1; ; 2. La prospettiva del quadrato di base si ottiene mandando le rette 1-2 ; - 2 ; - 1 ; 2-1 e determinando nelle loro intersezioni i vertici ; ; ;. al punto si innalza una perpendicolare sulla L.T.; su questa si riporta il valore dell altezza h determinando, così,. Si traccia 1 ; l intersezione con la verticale innalzata da, determina. Si congiunge con 2 che interseca in la verticale innalzata da. Si congiunge con 2, oppure con 1 ; l intersezione con la verticale innalzata da determina. 7

P R T E P R I M Geometria descrittiva 2 igura 1 1 2 LO h 1 P P 2 c b d f 1 1 p p f 2 a Q 2 PS Metodo dei punti misuratori al punto di vista teorico questo metodo non aggiunge nulla ai concetti già noti sulle proiezioni prospettiche. Esso è però di grande utilità pratica specie per i disegni più complessi - per esempio quelli architettonici - che necessiterebbero di figure preparatorie estremamente particolareggiate. Questo metodo non differisce concettualmente dal precedente, ma introduce un elemento - quello dei punti M 1 ed M 2 - che può in molti casi semplificare il procedimento (fig. 14). I punti m 1 ed m 2 si ottengono ribaltando sul quadro il punto di stazione PS, facendo centro col compasso rispettivamente in f 1 e f 2. Le intersezioni delle perpendicolari alla L.T., innalzate da m 1 e m 2, con la LO, determinano i punti misuratori M 1 ed M 2 che sono i punti di fuga delle rette che proiettano sul quadro le misure della figura. llo scopo di apprendere bene questo metodo esaminiamo qui di seguito alcuni esempi pratici. Prospettiva di una curva giacente sul piano orizzontale igura preparatoria. La prima operazione consiste nel disegno della figura preparatoria. ome mostra la fig. 15-, si inscrive la curva in un reticolo ortogonale, per un vertice del quale - 0 - si fa passare la traccia del quadro prospettico - Q. issato il punto di stazione PS, si mandano da esso le parallele alle due direzioni del reticolo, fino ad intersecare la traccia di Q in f 1 e f 2 proiezioni dei punti di fuga sul piano orizzontale. 8

pprofondimenti di prospettiva p p r o f o n d i m e n t o igura 14 1 Q M 2 PP f 1 PV pd LO m 2 pp m 1 h f 2 PS pd T Si centra il compasso in f 1 e con raggio f 1 -PS, si descrive un arco che interseca la traccia Q nel punto m 1. Idem con raggio f 2 -PS per determinare m 2 : m 1 ed m 2 rappresentano le proiezioni sulla traccia Q dei punti misuratori. Immagine prospettica (fig. 15-). isegnata la L.T. e la linea dell orizzonte LO all altezza stabilita, si riportano su quest ultima, partendo dalla fig. 18- i punti di fuga e i punti misuratori ottenendo 1 - M 2 - M 1-2. Sulla L.T. si riportano sempre partendo dalla figura preparatoria, i punti 0 e PP. lla destra del punto 0 (sulla L.T.) si riportano le distanze 0x 1 -x 1 x 2... x 7 x 8 ottenendo in questo modo i punti 1, 2,... 8 ed alla sinistra 0y 1 - y 1 y 2 - y 2 y - y y 4 ottenendo i punti 1,... 4. I punti che si trovano alla destra di 0 (genericamente indicati con la lettera x) 1, 2... 8 verranno congiunti con M 2. Queste congiungenti intersecano 0 2, nei punti indicati con un trattino. Partendo da questi ultimi punti trovati si tracciano le congiungenti con 1. nalogamente con i punti che si trovano alla sinistra di 0 (genericamente indicati con y) si determinano i punti sulla 0 1 che verranno congiunti con 2. Le intersezioni di queste congiungenti determinano il reticolo in prospettiva. acendo riferimento alla figura preparatoria ricaviamo l andamento della curva che verrà riportato nel reticolo ottenuto in prospettiva. 9

P R T E P R I M Geometria descrittiva 2 igura 15 1 M 2 M 1 2 LO x 8 y 4 PP 4 y 2 1 0 1 2 4 5 6 7 8 x x 8 x 7 x 6 x x 4 x 5 y 4 y y 2 x 2 y 1 PP m 2 0 m 1 f 1 f 2 x 1 Q PS 1. Per punti notevoli si intendono quei punti che appaiono di maggior rilievo o importanza (es. i vertici). Prospettiva accidentale di una figura inscrivibile in un rettangolo igura preparatoria (fig. 16-). Il metodo consiste nell inscrivere la figura in un rettangolo e misurare le coordinate dei punti notevoli 1 rispetto ai lati del rettangolo. Questa volta, a differenza del precedente esempio (fig. 15-) le distanze, che i punti notevoli hanno dal vertice 0, sono state indicate con numeri: le quote progressive. igura prospettica (fig. 16-). Si riportano le quote sulla L.T. del disegno prospettico; individuati questi punti si procede con il metodo consueto, utilizzando i punti M 1 ed M 2 per determinare i punti notevoli sui lati del rettangolo (cioè sulle rette 0-1 e 0-2 ). Si noti, inoltre, come le rette perpendicolari a Q, nella prospettiva risultino convergenti in P.P. (punto principale) come ad esempio il lato. 10

pprofondimenti di prospettiva p p r o f o n d i m e n t o igura 16 1 M 2 PP M 1 2 LO 4 2 1 0 9 8 7 6 5 9 4 8 2 7 6 f 1 m 2 1 p p 0 5 m 1 f 2 Q 0 PS Prospettiva accidentale di un solido (metodo dei misuratori) Una volta quotato il solido lungo le direzioni principali (vedi fig. preparatoria 17-), si riportano tali quote (progressive rispetto al punto 0 sia verso destra che verso sinistra) sulla L.T. (vedi figura prospettica 17-) e da esse si mandano le rette ai rispettivi punti misuratori, fino ad intersecare i lati 0-1 e 0-2. 11

12 P R T E P R I M Geometria descrittiva 2 Si procede poi come di consueto, ricordando che le altezze si misurano sempre dalla linea di terra. igura 17 1 M 2 PP M 1 2 LO 1.5 12 7.5 0 4.5 9 12 12 9 4.5 7.5 f 1 m 2 0 pp f 2 Q 0 m 1 PS 12

pprofondimenti di prospettiva p p r o f o n d i m e n t o Prospettiva accidentale di un cilindro opo aver disegnato il quadrato circoscritto alla base del cilindro (vedi fig. 18- preparatoria), si traccia la retta Q passante per il vertice a; su questa, con il noto procedimento, si determinano i vari punti necessari per l esecuzione della prospettiva. Si passa quindi alla figura prospettica (fig. 18-). In questo caso, allo scopo di ottenere una figura ingrandita, le distanze che i punti (già individuati sulla Q della figura preparatoria) hanno da p.p. sono state riportate raddoppiate (ingrandimento = 2). Individuati i punti sulla L.T. e sulla L.O. si procede con le regole già applicate nei precedenti casi. igura 18 O LO 1 M 2 PP M 1 a 2 a 1 H E O G 4 pp 5 c g d h o f b Q e f 1 m 2 m 1 1 2 4 a pp 5 f 2 PS 1

P R T E P R I M Geometria descrittiva 2 Prospettiva accidentale di un solido (metodo dei misuratori semplificato) Si tratta di un metodo empirico che, pur non rispettando in modo rigoroso le leggi delle proiezioni prospettiche, consente di ottenere (con un minimo di pratica soprattutto nel posizionamento dell oggetto) rappresentazioni accettabili e poco deformate. Si disegna direttamente la figura prospettica, fissando sulla linea di terra L.T. il punto 1, da cui si innalza uno spigolo dell oggetto, spigolo sul quale si misurerà l altezza. Tracciato l orizzonte L.O. all altezza desiderata (nella scala adoperata anche per l oggetto), si mandano da 1 due rette inclinate di 0 e 60 rispettivamente sulla L.T., fino ad intersecare L.O. in 1, e 2. on archi di centro 1 e 2 e raggio rispettivamente 1-1; 2-1 si interseca la L.O. in M 1 e M 2, punti misuratori. Il procedimento continua poi nel modo consueto. La fig. 19- è accompagnata da uno schizzo (in proiezioni ortogonali 19-) dell oggetto dal quale si sono ricavate le misure utilizzate nella proiezione prospettica. igura 19 1 M 2 M 1 2 1 E G 4 1 E G 1 4 14

pprofondimenti di prospettiva p p r o f o n d i m e n t o Prospettiva accidentale di un parallelepipedo ed una piramide retta a base quadrata, metodo dei punti misuratori Nella figura preparatoria (fig. 20) si sono tracciate sia la vista dall alto che quella frontale; la prospettiva è eseguita col sistema del riporto diretto (fig. 20). Per la proiezione della piramide considerato che le diagonali della base si trovano ad essere rispettivamente parallela e perpendicolare al piano quadro, e quindi il problema può essere ricondotto alla prospettiva di tipo centrale si sono utilizzati anche i punti di distanza P1 e P2. Si noti anche come l altezza h individui il vertice V sulla verticale alzata dall intersezione delle diagonali della base. Per evitare errori nella costruzione delle altezze è consigliabile considerare sempre i solidi come se fossero contenuti in un parallelepipedo. igura 20 V h P1 1 M 2 PP M 1 P2 2 L.O. L.T. H G E V L.O. L.T. H G E G H V P E 1 M 2 p.p. M 1 P 2 PV PS 15

P R T E P R I M Geometria descrittiva 2 Prospettiva accidentale di gruppi di solidi, metodo dei punti misuratori, riporto indiretto La prospettiva del solido curvilineo (fig. 21 ) si esegue inscrivendolo in un parallelepipedo, per tracciarne correttamente sia le basi che gli spigoli verticali. Gli spigoli di base del solido cubico sono orientati come le diagonali della base del solido curvilineo, per cui si è utilizzato un ulteriore punto di fuga (), che costituisce il punto improprio delle rette di direzione GH, E, Notare la vista laterale in figura preparatoria (fig. 21-), proiettata utilizzando come linea di terra P.V. 1. 1 M 2 p.p. M 1 2 L.O. H1 G H2 H H E L.T. L.T. L.O. G H H N M L I H2 H1 1 M 2 p.p. ( ) M 1 E 2 igura 21 P.V. 16

I pprofondimenti di prospettiva p p r o f o n d i m e n t o L esercizio svolto in fig. 22 è simile al precedente, ed insiste sull utilità di inscrivere i solidi in un parallelepipedo oltre che di fare uso quando necessario di più punti di fuga. igura 22 E H G 1 M 2 pp M 1 2 H G N L E Q () () L.O. L.T. 0' 0 0 0' H Q N L G E I () 1 M 2 p.p. () M 1 2 PV 17