STATISTICA A K (63 ore)

STATISTICA A K (63 ore) Marco Riani mriani@unipr.it http://www.riani.it Soluzione esercizi 4 settimana + esercizi da svolgere 5 settimana 1

Rendimenti, in quintali per ettaro, d una certa varietà di frumento, per 100 appezzamenti di terreno Rendimenti n. appezzamenti 54-58 16 58-62 23 62-66 25 66-70 21 70-74 15 100 Quartili? Significato del terzo quartile Box-plot Si illustrino le informazioni traibili dalla suddetta rappresentazione Soluzione: calcolo quartili Rendimenti n. appezzamenti f i F i 54-58 16 0,16 0,16 58-62 23 0,23 0,39 62-66 25 0,25 0,64 66-70 21 0,21 0,85 70-74 15 0,15 1 100 1 2

Boxplot PT inf = 59,56-1,5(68,09-59,56)=46,765 Dato che 46,765 < x min PT inf = x min = 54 PT sup = 68,09 + 1,5(68,09-59,56)=80,885 Dato che 80,885 > x max PT sup = x max =74 54 60 64 68 74 Distribuzione quasi simmetrica, nessun outlier ESERCIZIO RIASSUNTIVO Nella seguente tabella è riportata la distribuzione dei dipendenti di una grande azienda in base alla retribuzione lorda mensile: Numero di dipendenti Retribuzioni 1000 1200 30 1200 1500 130 1500 2000 150 2000 2500 50 2500 3500 30 3500-5000 20 I) Si calcoli la media e la mediana delle retribuzioni e le si commentino. II) Si calcoli lo scostamento quadratico medio e il MAD delle retribuzioni e si commenti il significato dei risultati ottenuti. III) Si dica, motivando la risposta, quale trasformazione subirebbero la media, la mediana, lo scostamento quadratico medio e il MAD delle retribuzioni, calcolati ai punti precedenti, se: a)tutte le retribuzioni fossero aumentate di 50 euro, b)tutte le retribuzioni fossero incrementate del 7% c)tutte le retribuzioni fossero incrementate del 2% e, dopo questo aumento, aumentate di 100 euro. IV) Si rappresenti graficamente la suddetta distribuzione e si dica quali informazioni si possono ricavare e si calcoli la moda. V) Si calcoli l indice di asimmetria di Fisher e lo si commenti 3

Retribuzioni n i f i F(x) x i Me 1000 1200 (1100) 30 0,073 0,073 550 1200 1500 (1350) 130 0,317 0,390 300 1500 2000 (1750) 150 0,366 0,756 100 2000 2500 (2250) 50 0,122 0,878 600 2500 3500 (3000) 30 0,073 0,951 1350 3500 5000 (4250) 20 0,049 1 2600 M = (1100 30 + + 4250 20) / 410 = 1850 Scostamento quadratico medio: x i Me ordinati Retribuzioni f i x i Me 1000 1200 (1100) 0,073 550 1200 1500 (1350) 0,317 300 1500 2000 (1750) 0,366 100 2000 2500 (2250) 0,122 600 2500 3500 (3000) 0,073 1350 3500 5000 (4250) 0,049 2600 f i F(x) 100 0,366 0,366 300 0,317 0,683 550 0,073 0,756 600 0,122 0,878 1350 0,073 0,951 2600 0,049 1 MAD = 300 4

y i = a + b x i M(X)= 1850 Me(X)=1650 σ(x)=722,04 MAD(X)=300 M(Y)= a + b M(X) Me(Y) = a + b Me(X) σ(y) = b σ(x) MAD (Y) = b MAD(X) a)tutte le retribuzioni fossero aumentate di 50 euro, M = 1850 +50 = 1900 Me = 1650 + 50 = 1700 σ = 722,04 MAD = 300 b) tutte le retribuzioni fossero incrementate del 7% M = 1850 1,07 = 1979,5 Me = 1650 1,07 = 1765,5 σ = 722,04 1,07 = 772,58 MAD = 300 1,07 = 321 c) tutte le retribuzioni fossero incrementate del 2% e, dopo questo aumento, aumentate di 100 euro. M = 1850 1,02 + 100 = 1987 Me = 1650 1,02 + 100 = 1783 σ = 722,04 1,02 = 725,26 MAD = 300 1,02 = 306 Analisi della forma di distribuzione Retribuzioni d i 1000 1200 0,15 1200 1500 0,433 1500 2000 0,30 2000 2500 0,10 2500 3500 0,03 3500-5000 0,013 Mo = 1350 Forma di distribuzione: asimmetria positiva 5

Soluzione: indice di asimmetria di Fisher Retribuzioni f i (x i M) 3 f i 1000 1200 (1100) 0,073-30.868.902,44 1200 1500 (1350) 0,317-39.634.146,34 1500 2000 (1750) 0,366-365.853,6585 2000 2500 (2250) 0,122 7.804.878,049 2500 3500 (3000) 0,073 111.283.536,6 3500 5000 (4250) 0,049 674.341.463,4 722.560.975,6 M=1850 asimmetria positiva ESERCIZIO: Var. % rispetto all anno precedente dei prezzi di due beni Anno Vino rosso Vino bianco 2000 2001 +3,3% +2,5% 2002 +7,6% +6,4% 2003 +1,8% +0,2% 2004 +2,9% +3,1% N.I. dei prezzi con base 2000=100 Peso vino rosso triplo rispetto al peso vino bianco. Calcolare la serie dei NI composti (base 2000=100) Tasso medio annuo di variazione dei N.I. composti 6

Traccia di soluzione Ricostruzione NI a base mobile = 100 + var. % Ricostruzione NI a base fissa = relazione tra N.I. a base fissa e base mobile N.I. composti (base 2000=100) media ponderata N.I. semplici a base fissa: Variazione complessiva N.I. composti (base 2000=100) Ricostruzione NI a base mobile = 100 + var. % Anno Var % Vino rosso Var % Vino bianco N.I base mobile Vino rosso N.I base mobile Vino bianco 2000 2001 +3,3% +2,5% 103,3 102,5 2002 +7,6% +6,4% 107,6 106,4 2003 +1,8% +0,2% 101,8 100,2 2004 +2,9% +3,1% 102,9 103,1 7

Da NI a base mobile a NI a base fissa Anno N.I base mobile Vino rosso N.I base mobile Vino bianco N.I base fissa Vino rosso N.I base fissa Vino bianco 2000 100 100 2001 103,3 102,5 103,30 102,50 2002 107,6 106,4 111,15 109,06 2003 101,8 100,2 113,15 109,28 2004 102,9 103,1 116,43 112,67 Es. 111,15= 1,033 1,076 100 Es. 116,43= 1,033 1,076 1,018 1.029 100 N.I. composti (base 2000): peso vino rosso triplo rispetto al peso vino bianco Anno Vino rosso Vino bianco NI composti 2000 100 100 100 2001 103,30 102,50 103,1 2002 111,15 109,06 110,6 2003 113,15 109,28 112,2 2004 116,43 112,67 115,5 Es. 103,1= 103,3*0,75+102,5*0,25 8

Tasso medio annuo di variazione Anno NI composti 2000 100 2001 103,1 2002 110,6 2003 112,2 2004 115,5 Tasso medio annuo di variazione ((1,155) 0,25-1)*100=3,67% ESEMPIO: Spesa media mensile delle famiglie (in euro) Anni spesa spesa var. % (mob) Variazione compl. (1997 2001) della spesa a prezzi correnti? n.i. prezzi base 1995=100 1997 2.253-105,8 1998 2.277 + 1,06 107,7 1999 2.304 + 1,18 109,5 2000 2.441 + 5,95 112,2 2001 2.451 +0,04 115,3 Spesa a prezzi costanti? Variazione compl. dei prezzi (1997-2001)? Variazioni % a base mobile della spesa a prezzi costanti? Tax medio annuo di variazione a prezzi costanti? 9

ESEMPIO: Spesa media mensile delle famiglie (in euro) Anni spesa spesa var. % n.i. prezzi base 1995=100 1997 2.253-105,8 1998 2.277 + 1,06 107,7 1999 2.304 + 1,18 109,5 2000 2.441 + 5,95 112,2 2001 2.451 +0,04 115,3 Variazione compl. (1997 2001) della spesa a prezzi correnti: Variazione compl. dei prezzi (1997-2001): ESEMPIO: Spesa a prezzi costanti (in euro) Ann i spesa spesa var. % (mob) n.i. prezzi base (1995=100) Spesa a prezzi costanti (1995=100) 1997 2.253-105,8 2.253/1,058 =2.129 1998 2.277 + 1,06 107,7 2.277/1,077 =2.114 1999 2.304 + 1,18 109,5 2.304/1,095 =2.104 2000 2.441 + 5,95 112,2 2.441/1,122 =2.175 2001 2.451 +0,04 115,3 2.451/1,153 =2.126 spesa var. % (mob) - - 0,70% - 0,47% + 3,37% - 2,25% 10

ESEMPIO: Variazione complessiva (1997-2001) della spesa a prezzi costanti (del 1995 anno base) Anni spesa spesa var. % n.i. prezzi base 1995=100 Spesa a prezzi costanti spesa var. % 1997 2.253-105,8 2.129-1998 2.277 + 1,06 107,7 2.114-0,70% 1999 2.304 + 1,18 109,5 2.104-0,47% 2000 2.441 + 5,95 112,2 2.175 + 3,37% 2001 2.451 +0,04 115,3 2.126-2,25% Tax medio annuo di variazione (1997-2001) della spesa a prezzi costanti (del 1995 anno base) Anni spesa spesa var. % n.i. prezzi base 1995=100 Spesa a prezzi costanti spesa var. % 1997 2.253-105,8 2.129-1998 2.277 + 1,06 107,7 2.114-0,70% 1999 2.304 + 1,18 109,5 2.104-0,47% 2000 2.441 + 5,95 112,2 2.175 + 3,37% 2001 2.451 +0,04 115,3 2.126-2,25% 11

ESERCIZIO: Fatturato panetteria (migliaia di Euro) e serie storica NI prezzi al consumo riferiti al pane (base 2000=100) Anno Fattur ato NI prezzi consumo 2000 162 100 2001 168 104,5 2002 169 107,6 2003 171 110,2 Calcolare: Fatturato deflazionato (prezzi 2000) Tasso medio annuo di variazione del fatturato a prezzi correnti e a prezzi costanti Calcolo fatturato deflazionato Anno Fatturato NI prezzi consumo Fatturato deflazionato 2000 162 100 162/1 2001 168 104,5 168/1,045=160,8 2002 169 107,6 169/1,076=157,1 2003 171 110,2 171/1,102=155,2 155,2= fatturato che si avrebbe nel 2003 se il livello dei prezzi si fosse mantenuto uguale a quello del 2000 12

Tasso medio annuo di variazione del fatturato a prezzi correnti e prezzi costanti Anno Fattur ato Fatturato deflazionato 2000 162 162 2001 168 160,8 2002 169 157,1 2003 171 155,2 Prezzi correnti (171/162) 1/3 =1,0182 Prezzi costanti (155,2/162) 1/3 =0,986 Tax % medio annuo a prezzi correnti=1,82% Tax % medio annuo a prezzi costanti=-1,40% Esercizio Az A Az B 1995 1996 +5,5% 7,5% 1997 +6,8% 8,0% 1998 +4% -2,4% 1999 +4,5% +8,5% 2000-3,2% +5,4% Date la variazioni percentuali a base mobile del fatturato, calcolare i numeri indici a base fissa con base 2000=100 13

Soluzione: calcolare i n.i. a base mobile 1995 Az A Input (NI a base mobile /100) 1996 1,055 X 96 /X 95 1997 1,068 X 97 /X 96 1998 1,040 X 98 /X 97 1999 1,045 X 99 /X 98 2000 0,968 X 00 /X 99 Obiettivo: calcolare i numeri indici a base fissa con base 2000=100 Az A Input Obiettivo 1995 X 95 /X 00 1996 1,055 X 96 /X 95 X 96 /X 00 1997 1,068 X 97 /X 96 X 97 /X 00 1998 1,040 X 98 /X 97 X 98 /X 00 1999 1,045 X 99 /X 98 X 99 /X 00 2000 0,968 X 00 /X 99 100 X 99 /X 00 =1/(X 00 /X 99 )=1/ 0,968=1,0330 14

Obiettivo: calcolare i numeri indici a base fissa con base 2000=100 Az A Input Obiettivo Obiettivo 1995 X 95 /X 00 X 95 /X 00 1996 1,055 X 96 /X 95 X 96 /X 00 X 96 /X 00 1997 1,068 X 97 /X 96 X 97 /X 00 X 97 /X 00 1998 1,040 X 98 /X 97 X 98 /X 00 X 98 /X 00 1999 1,045 X 99 /X 98 X 99 /X 00 1,0330 2000 0,968 X 00 /X 99 100 100 X 98 /X 00 = (X 99 /X 00 )/(X 99 /X 98 )=1,0330/ 1,045=0,9886 Obiettivo: calcolare i numeri indici a base fissa con base 2000=100 Az A Input Obiettivo NI base 2000=100 1995 X 95 /X 00 1996 1,055 X 96 /X 95 X 96 /X 00 1997 1,068 X 97 /X 96 X 97 /X 00 1998 1,040 X 98 /X 97 X 98 /X 00 0,9886 1999 1,045 X 99 /X 98 X 99 /X 00 1,0330 2000 0,968 X 00 /X 99 100 100 X 97 /X 00 =(X 98 /X 00 )/(X 98 /X 97 ) = 0,9886 /1,040=0.9505 15

Obiettivo: calcolare i numeri indici a base fissa con base 2000=100 Az A Input Obiettivo NI base 2000=100 1995 X 95 /X 00 1996 1,055 X 96 /X 95 X 96 /X 00 1997 1,068 X 97 /X 96 X 97 /X 00 0,9505 1998 1,040 X 98 /X 97 X 98 /X 00 0,9886 1999 1,045 X 99 /X 98 X 99 /X 00 1,0330 2000 0,968 X 00 /X 99 100 100 X 96 /X 00 =(X 97 /X 00 )/(X 97 /X 96 ) = 0,9505 /1,068=0.89 Esercizio Data la seguente serie storica di NI dei matrimoni civili dal 2001 al 2006 con base 2001=100 si calcoli la serie dei NI con base 2003=100 Sapendo che i matrimoni civili nel 2005 sono stati pari a 4552 si ricostruisca la serie storica originaria 16

Soluzione Input Input Obiettivo Obiettivo 2001 1 X 01 /X 01 X 01 /X 03 1.044 2002 1.005 X 02 /X 01 X 02 /X 03 1.049 2003 0.958 X 03 /X 01 X 03 /X 03 1 2004 1.016 X 04 /X 01 X 04 /X 03 1.061 2005 1.055 X 05 /X 01 X 05 /X 03 1.101 2006 1.035 X 06 /X 01 X 06 /X 03 1.080 Si dividono tutti i valori per 0.958= X 03 /X 01 Ad esempio: X 02 /X 03 =(X 02 /X 01 )/X 03 /X 01 Soluzione Ricostruzione (approssimata) serie originaria Input Input Obiettivo Obiettivo 2001 1 X 01 /X 01 X 01 4315 2002 1.005 X 02 /X 01 X 02 4336 2003 0.958 X 03 /X 01 X 03 4133 2004 1.016 X 04 /X 01 X 04 4384 2005 1.055 X 05 /X 01 X 05 4552 2006 1.035 X 06 /X 01 X 06 4466 X 05 =input =4552 Ad esempio: X 01 =[(X 05 /X 01 )(1/X 05 )] -1 =[1.055(1/4552)] -1 4315 17

ESERCIZIO: Var. % rispetto all anno precedente dei prezzi di due beni Anno Bene A Bene B 1997 1998 +2,9% 1,0% 1999 +3,5% +3,6% 2000 +1,8% +4,5% 2001 0,6% +2,5% Calcolare: N.I. dei prezzi con base 1997=100 N.I. composti dei prezzi con base 1997=100 peso A = 20%; peso B = 80% Variazione complessiva dal 1997 al 2001 e tasso medio annuo dei N.I. composti Esercizio 18

Esercizio Reddito netto di un lav. e var % a base mobile FOI Anno Reddito netto 2004 45300-2005 47400 1.7% 2006 50600 2.0% 2007 51100 1.7% 2008 53700 3.2% Var % a base mobile FOI Calcolare (v. slide seguente) Calcolare Serie storica FOI con base 2008=100 Serie storica del reddito netto a prezzi costanti del 2008 Tax medio annuo di variazione del reddito netto a prezzi correnti ed il Tax medio annuo di variazione del reddito netto a prezzi costanti. Commentare i risultati Quale avrebbe dovuto essere la retribuzione del 2004 che ha lo stesso potere di acquisto della retribuzione di 53700 percepita nel 2008 19

Soluzione: NI FOI con base 2008=100 e reddito a prezzi costanti Anno Reddito netto NI a base mobile FOI NI a base mobile FOI NI FOI base 2008=100 2004 45300 - - X 04 /X 08 2005 47400 101.7 X 05 /X 04 X 05 /X 08 2006 50600 102.0 X 06 /X 05 X 06 /X 08 2007 51100 101.7 X 07 /X 06 X 07 /X 08 2008 53700 103.2 X 08 /X 07 1 Es. x 06 /x 08 =0.9528=(x 07 /x 06 x 08 /x 07 ) -1 =(1.017 1.032) -1 x 05 /x 08 =0.9341=(x 06 /x 05 x 07 /x 06 x 08 /x 07 ) -1 =(1.02 1.017 1.032) -1 Soluzione: NI FOI con base 2008=100 e reddito a prezzi costanti Anno Reddito netto NI a base mobile FOI NI FOI base 2008=100 Reddito a prezzi costanti 2008 2004 45300-91.85 49320 2005 47400 101.7 93.41 50744 2006 50600 102.0 95.28 53107 2007 51100 101.7 96.90 52735 2008 53700 103.2 100 53700 Reddito a prezzi costanti: es. 49320=45300/0.9185 20

Calcolo dei tassi medi annui di variazione Anno Reddito netto NI % a base mobile FOI NI FOI base 2008=100 Reddito a prezzi costanti 2008 2004 45300-91.85 49320 2005 47400 101.7 93.41 50744 2006 50600 102.0 95.28 53107 2007 51100 101.7 96.90 52735 2008 53700 103.2 100 53700 Reddito a prezzi correnti (53700/45300) 0.25-1=0.0434 4.34% Reddito a prezzi costanti (53700/49320) 0.25-1=0.0215 2.15% Calcolo del tasso di inflazione nel periodo Anno Reddito netto NI % a base mobile FOI NI FOI base 2008=100 Reddito a prezzi costanti 2008 2004 45300-91.85 49320 2005 47400 101.7 93.41 50744 2006 50600 102.0 95.28 53107 2007 51100 101.7 96.90 52735 2008 53700 103.2 100 53700 Inflazione del periodo: 100/91.85=1.088732 8.87% Retribuzione del 2004 che ha lo stesso potere di acquisto della retribuzione di 53700 percepita nel 2008= Reddito 2004*1.088732 Reddito 2004 a prezzi 2008=49320 Euro 21

Esercizi da svolgere per LUN 18 marzo Esercizio Si considerino i valori del reddito annuo di 16 individui come segue (dati in migliaia di Euro): 18; 18; 22; 23; 1; 5; 7; 13; 14; 15; 2400; 25; 27; 28; 29; 21. Si calcoli e si interpreti il valore della mediana e della media troncata con α=0.5. Si dica perché in questo caso la media troncata è preferibile rispetto alla media aritmetica. Si scriva e si rappresenti graficamente la distribuzione di massima concentrazione. 22

Es: 6 famiglie, ammontare della spesa annua (in euro) per l acquisto di due generi di largo consumo: latte fresco e biscotti. Famiglia Spesa annua per l acquisto di latte fresco ( ) A 105 65 B 190 130 C 80 160 D 120 90 E 240 220 F 60 50 Spesa annua per l acquisto di biscotti ( ) M(x)= 132.5 M(y)= 119.2 (i) r xy? (ii) commento (iii) diagramma di dispersione (iv) concordanza tra r xy e diagramma di dispersione (v) Perché r xy invece della retta di regressione? CORRELAZIONE FRA DUE S.S. Esempio: X = numero di extracomunitari iscritti al collocamento, Y = numero di discount Calcolare e r XY tra le variabili originarie, i NI a base fissa, le variazioni percentuali a base fissa, i NI a base mobile, le variazioni percentuali a base mobile Anni X Y 1993 72.644 600 1994 85.993 1.300 1995 96.287 1.930 1996 136.942 2.328 1997 140.100 2.523 23

X = PREZZI (in euro) Y = QUANTITA VENDUTE (in n. di pezzi) Calcolare rxy sui dati originali, sui NI a base fissa e sulle variazioni percentuali. Commentare i risultati Anni X Y v(x) % v(y)% 1997 1,50 200 - - 1998 1,68 208 +12 +4 1999 1,78 229 +6 +10,1 2000 1,96 243 +10,1 +6,1 2001 2,25 245 +14,8 +0,8 2002 2,43 265 +8,0 +8,2 2003 2,60 288 +7,0 +8,7 24