Laboratorio 2B A.A. 2012/2013 4 Fondamenti di Ottica La natura della luce Ottica geometrica Velocità della luce Riflessione e Rifrazione Dispersione Prisma Fibre ottiche
Teoria corpuscolare (Newton) La natura della luce Teoria ondulatoria: proposta già al tempo di Newton, ma scartata perchè necessaria l esistenza di un mezzo di supporto (etere!). Solo nel XIX secolo dopo una lunga serie di esperimenti fu accettata. Teoria quantistica: comportamento corpuscolare nelle interazioni con la materia a livello microscopico (XX secolo). La luce presenta una doppia natura: comportamento ondulatorio comportamento corpuscolare
Maxwell: tutte le onde elettromagnetiche (non solo la luce) si propagano nel vuoto con la stessa velocità Metodo di Fizeau (1849) Velocità della luce 2L 2L 8 Condizioni di buio: c 3.133 10 c m s valore attuale: c 2.9979245810 8 m s
Velocità della luce nella materia Polarizzazione: Nei materiali dielettrici il campo il elettrico viene alterato di un fattore ε r, costante dielettrica relativa (orientamento dipoli elettrici) Magnetizzazione: I materiali magnetici, caratterizzati da una permeabilità magnetica relativa r, possono modificare il campo dell onda e.m. Quindi 1 1 1 v r r 0 0 c Nei materiali trasparenti (normalmente non ferro-magnetici) r 1 e v dipende solo da r. Alle frequenze tipiche delle onde luminose 10 15 Hz, il campo elettrico oscilla troppo rapidamente perché i dipoli lo possano seguire, per cui r dipende dalla frequenza, cioè v=v(f)=v(l), oltre che dal materiale r r
Ottica geometrica Modello semplificato: Approssimazione dei raggi luminosi l<<d
Riflessione e Rifrazione
speculare Riflessione diffusa
Principio di Huygens Costruzione geometrica per determinare la posizione di un nuovo fronte d onda dalla conoscenza di un fronte d onda anteriore. Tutti i punti su un dato fronte d onda si possono considerare come sorgenti puntiformi di onde sferiche elementari: la superficie tangente risultante è il nuovo fronte d onda ad un istante successivo.
Principio di Huygens Costruzione di Huygens Riflessione di un onda piana su uno specchio piano analizzata mediante la costruzione di Huygens
Principio di Fermat Un raggio di luce, propagandosi da un punto fisso ad un altro, segue un percorso tale che il tempo impiegato a percorrerlo, confrontato con quello dei percorsi vicini, è un minimo o un massimo o è stazionario (riflessione) 2 2 2 2 Il punto P deve trovarsi in una posizione tale che il tempo di percorrenza t=l/c sia stazionario: dt 1 dl 1 12 2 12 2 2 1 2 a x 2x b d x 2d x1 0 dx c dx 2c 2c L a x b d x x d x a x b d x 2 2 2 2 ovvero 1 1 equivalente a sin sin 1 1
Riflessione Raggio incidente, raggio riflesso e normale sono coplanari. L angolo di incidenza è uguale all angolo di riflessione 1 1 Il cammino del raggio di luce è reversibile Riflessione della luce su una strada. Quale riflessione è speculare e quale è diffusa?
Rifrazione Variazione di direzione del raggio di luce al confine tra due mezzi v i = velocità di propagazione nel mezzo i L angolo 2 dipende dalle proprietà dei due mezzi secondo la relazione: sin sin v 1 1 v 2 2 cost Legge di Snell
t Principio di Fermat L L n L n L L v v c c 1 2 1 1 2 2 1 2 L = cammino ottico (somma lunghezze percorse nei mezzi per indice di rifrazione di ciascun mezzo) 2 2 2 1 1 2 2 1 2 dt 1 dl n 12 2 12 1 2 2 n 2 2 a x 2x b d x 2d x1 0 dx c dx 2c 2c n 2 L n L n L n a x n b d x x d x n a x b d x 1 2 2 2 2 2 (rifrazione) equivalente a n sin n sin 1 1 2 2 Legge della rifrazione
Rifrazione v luce in aria 3.0 10 8 m/s, v luce in vetro 2.0 10 8 m/s perchè? La luce nel vetro incontra un atomo in A e viene assorbita. L atomo si mette in oscillazione ed irradia la luce verso un altro atomo B che la assorbe, ed il processo continua (come una staffetta). I processi di emissione ed assorbimento causano un ritardo nella velocità di propagazione media della luce.
Rifrazione La luce passando da un mezzo ad un altro viene rifratta perchè la sua velocità media è diversa nei due mezzi. indice di rifrazione n vel. luce vuoto c vel. luce mezzo v ogni sostanza ha il suo indice di rifrazione
Rifrazione (aspetto ondulatario) Quando un onda passa da un mezzo a un altro la sua frequenza non varia! I fronti d onda superano un osservatore in A nel mezzo 1 con una certa frequenza ed incidono all interfaccia (mezzo 1)/(mezzo 2). La frequenza con la quale i fronti d onda superano un osservatore in B deve essere identica. Altrimenti si creerebbe un accumulo o una riduzione di onde al confine. Poichè la relazione v f l rimane valida e deve anche essere f f f 1 2 si vede che v f l e v f l, da cui v v e l l 1 1 2 2 1 2 1 2 l 1 1 1 2 dividendo membro a membro l1n 1 l2n2 l2 v2 c n2 n1 in generale n l 0 l v c n n Legge di Snell (teoria ondulatoria)
Esempio di rifrazione Raggio di luce che attraversa una lastra di vetro I raggi incidente ed emergente sono paralleli ma disassati di una distanza d.
Dispersione Variazione della velocità della luce v=c/n in un mezzo materiale, al variare della lunghezza d onda. Effetti della dispersione (es. prisma)
Dispersione di un prisma Quando un raggio attraversa un prisma la variazione di direzione in funzione della lunghezza d onda è detta dispersione angolare. Due fattori: d d dn dl dn dl geometrico specifico del materiale Consideriamo la legge di rifrazione sulla seconda superficie del prisma, sin n differenziando con sin(f)=cost d sin f sin f dn cos
Dispersione di un prisma - 2 Tenendo conto che, nella configurazione di deviazione minima, la rifrazione sulla prima faccia produce un analogo effetto: d dn f sin 2sin 2 2 cos cos con angolo di rifrazione del prisma. In termini di dimensioni fisiche del prisma si ha: d 2s sin 2 B dn s cos b In definitiva d dl B dn b dl
Dispersione normale Le curve riportate in figura sono rappresentative di andamenti tipici della dispersione normale, e presentano la seguente fenomenologia: L indice di rifrazione cresce al diminuire della lunghezza d onda. La rapidità di crescita aumenta per lunghezze d onda più corte. Per differenti sostanze, ad una fissata l, le curve sono più ripide tanto più grande è l indice di rifrazione. La curva per una sostanza non può essere ottenuta da un altra per semplice «traslazione» lungo l asse delle ordinate.
Dispersione normale - 2 Tutte le sostanze trasparenti che non sono colorate mostrano una dispersione normale nella regione del visibile. In generale maggiore è la densità della sostanza maggiore sarà l indice di rifrazione e la sua dispersione. B C Equazione di Cauchy 2 4 n A l l Relazione empirica per approssimare l andamento delle curve n vs. l, con A, B e C costanti da determinare per ciascun materiale. In molti casi è sufficiente considerare solo i primi due termini per cui: B n A e la dispersione l 2 dn 2B 3 dl l
Dispersione anomala Se le misure di indice di rifrazione per una sostanza trasparente come il quarzo vengono estese nella regione infrarossa dello spettro, la curva mostra delle evidenti deviazioni dalla forma di Cauchy. E la presenza di fenomeni di assorbimento che determina la presenza delle anomalie, in forma di discontinuità. In realtà tutte le sostanze presentano un qualche assorbimento in un certo intervallo spettrale, quindi il termine anomalo è un po fuorviante.
Prisma: Angolo di deviazione della luce Raggio di luce incidente (PQ) sulla faccia AB del prisma (con i angolo di incidenza) Raggio emergente (RS) dalla faccia AC (con e angolo di emergenza) KQR ˆ i r ; KRQ ˆ e r i r1 e r2 d 1 2 (teorema angolo esterno) r r QOR 180 1 2 A QOR 180 d e i r r A 1 2
Prisma: Angolo di deviazione minima -1 Dalla legge di Snell e dalle relazioni i r1 e r2 d r1 r2 A 1 1 1 2 2 e sin nsin r2 sin nsin r1 sin sin n sin i sin icos 2 2 2 2 2 1 2 2 essendo sin i n sin r1 n 1 cos r1 cos r1 n sin i n d i n i i 1 2 2 sin sin sin sin cos L andamento riportato in grafico mostra la presenza di un minimo per d. Il valore di d=d min può essere ricavato differenziando, rispetto ad i, l espressione sopra riportata ed eguagliando a zero il risultato. Si ricava l andamento d vs. i
Prisma: Angolo di deviazione minima -2 Imponendo la stazionarietà rispetto ad i della relazione d i e r1 r2 i e d e e Differenziando r 1 0 1 1 +r 2 = e le relazioni di Snell alle interfacce: i i i cosi di n cosr1 dr1 dr1 dr2 cose di n cosr2 dr2 dividendo membro a membro: Quindi, d=d min se il prisma è collocato simmetricamente rispetto ai raggi incidente ed emergente, cioè gli angoli i ed e risultano eguali e il percorso del raggio rifratto risulta parallelo alla base del prisma. 1 i dmin con r 2 2 purchè n 0 deve essere i=e e r 1 =r 2 =r per d=d min Applicando la legge della rifrazione di Snell agli angoli i ed r : n sin i r min sin sin sin 1 cos cos 1 sin sin cos cos 1 sin sin 2 2 2 i r i n i 2 2 2 e r Snell 2 e n e d 2 2 Ottimo metodo per la misura dell indice di rifrazione vs. l (con prismi cavi anche per liquidi)
Prisma: Angolo di deviazione minima - 3 Dimostrazione per assurdo: Se un raggio subisse una deviazione minima con i e allora invertendo il percorso del raggio sarebbe sempre d=d min (reversibibilità), ma l otterremmo per angoli di incidenza diversi (assurdo). Per determinare l angolo al vertice del prisma si invia un fascio parallelo di luce e si misurano gli angoli dei raggi riflessi dalle due superfici adiacenti. Da semplici considerazioni geometriche (vedi figura): 360 180 21 180 2 2 2 2 1 2 In definitiva 2
Dispersione prisma Pellin-Broca - 1 Un prisma di Pellin Broca è un tipo di prisma dispersivo a deviazione costante. Benchè sia unico, si può pensare costituito da due prismi 30-60-90 e uno 45-45-90. La luce entra nel prisma attraverso la faccia AB, (direzione parallela ad AC) subisce una riflessione interna totale (45 ) sulla faccia BC, prosegue parallelo a CD ed esce attraverso la faccia AD. E come se il raggio, per una certa l, avesse attraversato un prisma equilatero (AHB+CDA) in condizioni di deviazione minima (i=e). Le altre l emergeranno ad altri angoli. La rifrazione è tale che una particolare lunghezza d'onda della luce viene deviata con un angolo esatto di 90. Se il prisma H viene ruotato intorno ad un asse perpendicolare in O, il fascio incidente avrà un nuovo angolo di incidenza e una nuova l sarà in condizioni di deviazione minima (cioè uscirà con una deviazione totale di 90 ).
Dispersione prisma Pellin-Broca - 2 Con un prisma di Pellin Broca si fa in modo che la sorgente di luce sia posta a 90 rispetto alla direzione di osservazione e basta ruotare il prisma per selezionare una specifica l. Il dispositivo viene calibrato per stabilire una corrispondenza tra l angolo di rotazione e la lunghezza d onda selezionata.
Riflessione interna totale In condizioni di riflessione interna totale la luce non si propaga nel secondo mezzo. La riflessione interna totale si verifica solo quando la luce si propaga da un mezzo di un dato indice di rifrazione ad un mezzo di indice di rifrazione minore. Dalla legge di Snell: n2 n1 sen n2sen 90 n2 sen per n1 n2 angolo limite n 1
Riflessione interna totale: esempi
Fibre ottiche
Fibre ottiche Applicazione del fenomeno della riflessione interna totale: confinamento della luce.
Fibre ottiche Cono di accettazione della luce: necessità di un ottimo accoppiamento tra fibre laddove esistono delle giunzioni!!!
Spettroscopia: invece di portare lo spettrometro e/o la sorgente verso l oggetto indagato, le fibre confinano e guidano la luce verso di esso. Riflessione totale minimo angolo di incidenza Tipi di fibre: fibra singola mono-modo insieme di fibre orientate casualmente (bundle) bundle coerente per imaging (tipicamente 10000 punti luminosi per mm 2 ) Fibre ottiche: applicazioni Apertura del cono di accettanza esterna Apertura numerica