Compito scritto di Eettricità e Magnetismo ed Eettromagnetismo 4 Giugno 4 ecupero I (II) esonero di Eettromagnetismo: esercizio C (D) in due ore Prova scritta di Eettricità e Magnetismo: esercizi A e B in tre ore Prova scritta di Eettromagnetismo: esercizi C e D in tre ore Prova scritta di Eettricità e Magnetismo ed Eettromagnetismo: esercizi A, B e C in quattro ore A) Si consideri un condensatore ciindrico di unghezza h=1 cm con superficie ciindrica interna di raggio a=1. cm e superficie ciindrica esterna di raggio b=4. cm. La superficie ciindrica interna e' ricoperta da uno strato di dieettrico omogeneo ed isotropo di spessore d=1. cm e costante dieettrica ε r =3.. Si assuma che a differenza tra a unghezza h ed i raggi a e b sia sufficiente a consentire a usuae schematizzazione in cui i campo eettrico ne intecapedine fra i due conduttori è radiae. 1) Si cacoi i vaore dea capacita de sistema. ) Se a superficie ciindrica interna ha potenziae V =5. kv rispetto a quea esterna e da quest'utima superficie viene emesso un eettrone (carica q = -1.6 1-19 C), ad esempio per effetto termoionico, con veocita' iniziae trascurabie, cacoare 'energia cinetica de'eettrone quando questo raggiunge i dieettrico. d a b B) Un ciindro conduttore infinitamente ungo di raggio =4. cm e permeabiita magnetica reativa pari ad uno ha una sezione che presenta due cavita uguai, infinitamente unghe, e disposte come mostrato in figura. I ciindro e percorso da una corrente paraea a asse con verso uscente da piano de fogio. La densita dea corrente vae J = 5 A/m ed e uniforme su tutta a sezione de conduttore. 1) Cacoare espressione de campo di induzione magnetica B ungo i punti de asse x definito in figura a partire da asse de ciindro (x=) e determinare per quai punti di tae asse B e nuo. ) Si determini i vaore di B per x 1 =. cm e x =6. cm. 3) Si determini espressione di B ne imite per cui x>>. / J x C) Un pendoo è costituito da una paina metaica di massa m=1 g appesa ad una barretta conduttrice rigida, di unghezza =85. cm, di massa (e quindi momento di inerzia) e resistenza trascurabii. La paina striscia senza attriti su una guida metaica circoare di resistenza trascurabie, chiudendo così i circuito eettrico costituito da un generatore di f.e.m., V=3. vot, una resistenza =. _ e i pendoo stesso, tutti disposti in serie tra oro. I pendoo è immerso in un campo magnetico uniforme, di induzione magnetica B=.5 T, diretto perpendicoarmente a piano di osciazione (entrante ne fogio). Si determini: 1) a forza magnetica per unità di unghezza agente sua barretta pendoo, in funzione dea sua veocità angoare; ) angoo _ dea posizione di equiibrio de pendoo; 3) equazione differenziae che descrive i moto de pendoo. θ _ B - m m + V V D) Un circuito magnetico è composto da un pezzo a forma di U e da una sbarretta posta come in figura. I pezzo a U è fatto di un materiae con ata costante di permeabiità magnetica =1.38 1 3 ο e su di esso sono avvote N= spire in cui scorre una corrente costante /=5. A ne verso indicato in figura. La sua sezione trasversae è un rettangoo di area S =.1 cm La sbarretta è fatta deo stesso materiae e ha a stessa sezione trasversae. La unghezza totae de circuito formato da pezzo ad U e daa unghezza dea sbarretta è L=.5 m (S 1/ << L) 1) Determinare i campo magnetico H o a'interno de magnete quando a barretta è in contatto con i pezzo ad U Facendo 'ipotesi di uno spostamento Δx << L dea sbarretta dai poi A e B de pezzo a U, determinare: ) Le espressioni de moduo de campo magnetico H a interno de materiae magnetico e neo spazio vuoto Δx. 3) Le espressioni de energia magnetica nee due condizioni rappresentate in figura. 4) I vaore de moduo dea forza che occorre esercitare nea direzione x per staccare iniziamente a sbarretta, cioè ne caso in cui Δx =.
Souzione A) 1) I sistema può essere descritto come composto da due condensatori ciindrici in serie. I condensatore più interno ha capacità πε rε h C1 = n[ ( a + d) / a] mentre i condensatore più esterno ha capacità πε h C = n[ b /( a + d) ] Quindi a capacità compessiva de sistema (usando a regoa dea somma degi inversi) è h C = πε ε r TOT = 7. pf ε r n[ b /( a + d) ] + n[ ( a + d) / a] 1) I vaore de energia cinetica de eettrone quando raggiunge i dieettrico puo essere ottenuto facimente daa corrispondente variazione di energia potenziae. I campo eettrostatico è diretto radiamente e, nea zona in cui a distanza r da asse di simmetria de sistema è tae che (a+d)<r<b, ha moduo E( r) = CTOTV /(πε hr) [Questo si puo verificare facimente sfruttando i fatto che (ne approssimazione suggerita) i sistema ha simmetria ciindrica ed appicando i teorema di Gauss: per i sistema qui considerato a carica totae Q a interno di una superficie ciindrica di Gauss di raggio r, con r tae che (a+d)<r<b, è Q=C TOT V ] Da questo si deduce che energia cinetica de eettrone quando raggiunge i dieettrico è 1 ectotv b K f = mv = e[ V ( b) V ( a + d) ] = n =6. 1-16 J πε h a + d Souzione B) 1) L espressione di B puo essere trovata considerando i contributi separati di un ciindro di raggio percorso da una corrente di densita J r (B 1 ) e di due cavita ciindriche percorse da una corrente di densita J r (B ). I contributo di queste utime ha a stessa espressione per x< e x>. π B = J π cosα, dove cos α = x / e = x + ( ), 1 J da cui B = x. I contributo de ciindro di raggio 4 x + ( ) e, per x>, B1 = J e, per x>, B1 = J x. x α J x 4x x < B = 4x + Si ha aora, B (x=. cm)=1.6 1-8 T e B (x=6. cm)=.5 1-7 T. J x + x > B = x 4x + ) I imite per x>> da i risutato aspettato per un fio infinito percorso da corrente i = J π, ovvero J B =. 4x / α B 1 x B
Souzione C) Per cacoare a forza magnetica si deve vedere a corrente che circoa ne circuito: 1 d 1 d B ω V B ω i = V φ( B) = V = vaori positivi di i corrispondono ad una corrente che circoa in senso orario. Essendo B ed perpendicoari tra oro, a forza è companare a circuito e diretta perpendicoarmente rispetto a barretta (verso sinistra per vaori positivi). I suo moduo per unità di unghezza è dato da: F B B ω = V =.5( 3.181ω ) N/m. Per cacoare a posizione di equiibrio si devono considerare i momenti dea forza gravitazionae e dea forza magnetica (con _=) rispetto a asse di rotazione dea barretta. Per _> i momento dea forza gravitazionae è uscente da fogio mentre per vaori positivi dea forza magnetica i suo momento è entrante ne fogio, quindi si ha: B VB mg sinθ V xdx = => mg sinθ = da cui segue: VB θ = arcsin = arcsin.71 = 15. 7 mg ( ) L equazione differenziae che descrive i moto de pendoo è data da: M g + M f = I, dove M g ed M f sono rispettivamente i momenti dea forza magnetica e gravitazionae, mentre I è i momento d inerzia de pendoo e quindi in pratica dea paina. Facendo attenzione ai segni (per > i momento è entrante ne fogio) equazione precedente diventa: 4 ωb B d θ B dθ VB I = mg sinθ + V xdx => m + + mg sinθ = 4
Souzione D) Essendo a permeabiità magnetica grande rispetto a quea de aria, supporremo che tutte e inee di forza di B siano confinate ne materiae magnetico e B sia costante in ogni punto interno. Consideriamo aora un cammino chiuso di unghezza L, interno a materiae che sia concatenato con e N spire. Scriviamo aora : L H o d = H o L= N I Dedurremo aora H = NI/L = A spire/m ) Ne caso in cui a sbarretta è stata aontanata di Δx, essendo Δx<<, supporremo ancora che i fusso disperso de vettore B sia trascurabie ed avremo quindi: L H d = H a Δx + H f L= N I essendo H a ed H f i campi magnetici ne aria e ne magnete rispettivamente. Imponendo poi e condizioni aa separazione aria-materiae magnetico B a =B f ovvero H f = ( o / ) H a si ha H a = N I / [ Δx + ( o / )L] H f = N I / [ Δx ( / ο ) + L] 3) L energia magnetica totae è ottenuta integrando a densità d energia distribuita in tutto i voume ove i campo magnetico è diverso da zero. Quando a barretta è in contatto con ii pezzo ad U, detto V i voume de magnete, si ha : U (Δx =) = ferro H o / dv = [ (N I) S] / [ L] U (Δx) = ferro H f / dv + aria (H a /) S dx = H f S L / + ο H a S Δx Sostituendo nea formua precedente espressioni espicite di H f e H a, otteniamo: U (Δx) = (1/) [ (N I) S ] / [ Δx ( / ο ) + L]
1) I cacoo dea forza esercitata è immediato se ricordiamo che i sistema è connesso ad un generatore esterno che mantiene costante a corrente I. In ta caso avremo : F = du(x) /dx = (1/4) [ ο (N I) S ] / [ ( o / ) L + Δx ] Per Δx= abbiamo aora F =.96 N