1 Onde acustiche in un tubo di Kundt [Caravita Ruggero, 727965, ruggero.caravita@rcm.inet.it] Onde acustiche in un tubo di Kundt Relazione sperimentale Scopo dell esperienza è la misura della velocità di propagazione del suono nell aria mediante lo studio delle onde stazionarie che si formano in un tubo di Kundt aperto a entrambe le estremità o chiuso da una delle due. La misura, in particolare, è effettuata tramite la ricostruzione del profilo d onda e lo studio dei modi fondamentali di vibrazione. Nell esperienza abbiamo fatto uso di un tubo in plexiglas aperto alle estremità (Figura 1): ad una di esse abbiamo affiancato un altoparlante connesso a un generatore d onda sinusoidale regolabile. Un microfono montato su asta scorrevole ci ha permesso di rilevare l andamento della pressione nel tubo a diverse posizioni: la lettura dei dati è avvenuta per mezzo di oscilloscopio digitale triggerato dal segnale inviato all altoparlante. È da segnalare che il microfono per proprie caratteristiche interne misura le variazioni di modulando in voltaggio il segnale in ingresso: ciò significa che le misure sono espresse in millivolt, ma sono riconducibili alle variazioni di pressione al netto di una moltiplicazione per un fattore di scala. Le specifiche degli strumenti sono riportate in Tabella 1. Caratteristica strumento Range freq. generatore Freq. risonanza altoparlante Risposta in freq. altoparlante Bilancia Metro a nastro Lunghezza del tubo 1. 2. Hz Hz 45 Hz.1 g 1. mm 74. ±.1 cm TABELLA 1: DATI SULLA STRUMENTAZIONE Il valore della velocità di propagazione del suono in aria è stato stimato tramite la relazione che lo lega alla temperatura ambientale T (misurata in Kelvin) e alle costanti R (costante dei gas, R = 8.314 J/K*mol) e M (massa molecolare media dell aria, M = 29.9644 g/mol). La misura della temperatura è stata eseguita all inizio dell esperienza per mezzo di un termometro con sensibilità.1 C. Abbiamo eseguito due serie di misure distinte: la prima con il tubo aperto ad entrambe le estremità, la seconda con il tubo chiuso ad una delle estremità. FIGURA 1: TUBO DI KUNDT
2 Onde acustiche in un tubo di Kundt [Caravita Ruggero, 727965, ruggero.caravita@rcm.inet.it] TUBO APERTO-APERTO Come noto in letteratura, in questa configurazione all interno del tubo si possono formare solamente armonici di ordine pari, cioè con frequenza multipla intera pari della frequenza fondamentale. Ci sono diversi approcci per ricavare la frequenza fondamentale del tubo: imponendo la velocità stimata con la temperatura in una canna di lunghezza L =.74 m; aumentando progressivamente la frequenza del generatore a partire dagli Hz fino a trovare la prima onda stazionaria; rilevando le frequenze di n onde stazionarie e mediando i rapporti fra le frequenze e il numero d ordine. Abbiamo scelto di stimare la frequenza fondamentale con la temperatura solo per avere una misura di massima: il valore effettivo lo abbiamo ricavato con l ultimo metodo, per evitare di basare l esperienza su un calcolo che fa uso della velocità del suono dell aria, la cui determinazione è proprio lo scopo dell esperienza. Il valore ottenuto mediando i rapporti dei primi tre armonici è Costruendo i grafici di tre profili d onda variando la posizione del microfono nel tubo (abbiamo scelto il terzo, il quarto ed il quinto modo di vibrazione per facilità di misura), si può ricavare la lunghezza d onda dell onda stazionaria che si forma ricavando i punti della minima variazione di pressione (i nodi) con un processo di interpolazione lineare (vedi Grafico 1b) e calcolando dalla loro distanza la lunghezza d onda. Terzo modo di vibrazione Quarto modo di vibrazione 8 7 6 5 4 1 9 8 7 6 5 4 1 2 4 6 8 2 4 6 8 Quinto modo di vibrazione 8 7 6 5 4 1 2 4 6 8 GRAFICO 1 E 1B: PROFILI D ONDA PER LA CONFIGURAZIONE APERTO-APERTO A DIVERSE FREQUENZE E INTERPOLAZIONE LINEARE UTILIZZATA
Velocità del suono (m/s) 3 Onde acustiche in un tubo di Kundt [Caravita Ruggero, 727965, ruggero.caravita@rcm.inet.it] 349 348 347 346 345 344 343 342 Velocità in funzione di n Riferimento 1 2 3 4 5 6 Numero d'ordine Frequenza del terzo modo (f 3 ) Lungh. onda del terzo modo (λ 3 ) Frequenza del quarto modo (f 4 ) Lungh. onda del quarto modo (λ 4 ) Frequenza del quinto modo (f 5 ) Lungh. onda del quinto modo (λ 5 ) Velocità del suono (terzo modo) Velocità del suono (quarto modo) Velocità del suono (quinto modo) 665 ± 4 Hz.519 ±.26 m 88 ± 4 Hz.392 ±.12 m 196 ± 4 Hz.316 ±.11 m 345.3 ± 2.7 m/s 344.8 ± 1.9 m/s 346.7 ± 1.8 m/s TABELLA 2: VALORI RISULTANTI DALLA CONFIGURAZIONE APERTO-APERTO E CONFRONTO GRAFICO Come si evince dal confronto grafico (vedi Tabella 2), i valori della velocità ottenuti sono tutti compatibili con il valore teorico con un livello di confidenza (nel caso peggiore) del 67%, a testimonianza della coerenza dei risultati ottenuti nonostante l elevato rumore di fondo in laboratorio di grande disturbo per la misura. L elevato disturbo è evidenziato dall ampiezza degli errori di determinazione della velocità del suono, che non risulta estremamente precisa. Ci aspettiamo migliori risultati per la configurazione chiuso-aperto. TUBO APERTO-CHIUSO Anche questo caso è noto in letteratura: si possono formare all interno del tubo soltanto armonici di ordine dispari della frequenza fondamentale, pari alla metà della frequenza fondamentale del caso del tubo aperto-aperto. Eseguendo lo stesso procedimento descritto nel paragrafo precedente, abbiamo stimato la frequenza fondamentale del tubo in Secondo modo di vibrazione Terzo modo di vibrazione 7 5 4 3 2 1 2 4 6 8 1 14 12 1 4 2-2 2 4 6 8 Quarto modo di vibrazione 12 1 4 2 2 4 6 8 GRAFICO 2: PROFILI D ONDA PER LA CONFIGURAZIONE CHIUSO-APERTO A DIVERSE FREQUENZE
Velocità del suono (m/s) 4 Onde acustiche in un tubo di Kundt [Caravita Ruggero, 727965, ruggero.caravita@rcm.inet.it] 355 35 345 34 335 33 Velocità in funzione di n Riferimento 1 2 3 4 5 6 Numero d'ordine Frequenza del secondo modo (f 2 ) Lungh. onda del secondo modo (λ 2 ) Frequenza del terzo modo (f 3 ) Lungh. onda del terzo modo (λ 3 ) Frequenza del quarto modo (f 4 ) Lungh. onda del quarto modo (λ 4 ) Velocità del suono (secondo modo) Velocità del suono (terzo modo) Velocità del suono (quarto modo) 33 ± 4 Hz 1.37 ±.28 m 533 ± 1 Hz.623 ±.23 m 77 ± 2 Hz.45 ±.1 m 342.1 ± 7.3 m/s 344.3 ± 1.4 m/s 346.2 ± 1.2 m/s Come ci aspettavamo (vedi Tabella 3), le misure (eccetto la prima) sono risultate complessivamente più precise che nel caso del tubo aperto-aperto. Chiudendo una delle due estremità, infatti, il sistema è complessivamente disturbato più lievemente dai rumori esterni. Il motivo dell imprecisione della prima misura è la scelta di effettuarla sul secondo modo di vibrazione: in questa configurazione non sono presenti due zeri interni al tubo e non è possibile utilizzare la tecnica impiegata per tutte le altre misure per valutare la lunghezza d onda (trovare due zeri di pressione successivi con un approssimazione lineare e raddoppiare la distanza). Teoricamente la posizione di uno dei nodi di pressione dovrebbe coincidere con l apertura del tubo: in realtà questa approssimazione conduce ad un imprecisione. Il nodo di pressione infatti è spostato di qualche centimetro fuori dal tubo, come si osserva nel grafico del terzo modo di vibrazione. Tramite una previsione sulla retta di regressione degli ultimi due dati si è stimata questa distanza in 2.3 ±.1 cm. La prima misura è pertanto fortemente influenzata dall imprecisione nel determinare il nodo di pressione e non è affidabile per il calcolo della velocità del suono, ma risulta comunque molto significativa poiché fornisce un indicazione sul comportamento dell onda al di fuori del tubo. MISURA DI GAMMA TABELLA 3: VALORI RISULTANTI DALLA CONFIGURAZIONE CHIUSO-APERTO E CONFRONTO GRAFICO Per verificare le misure di velocità ottenute sulle due serie, ricaviamo la costante dei gas perfetti che la teoria ci dice essere uguale a 7/5. A fronte della compatibilità fra le misure di velocità, abbiamo eseguito una media pesata all interno di ciascun set per ottenere il valor medio della velocità del suono e abbiamo calcolato invertendo la formula della velocità sopra descritta. Velocità del suono, aperto-aperto 345.76 ±.86 Hz Velocità del suono, aperto-chiuso 345.35 ± 1.1 Hz Gamma, aperto-aperto 1.456 ±.32 Gamma, aperto-chiuso 1.452 ±.64 TABELLA 4: MISURA DELLA COSTANTE DI GAS PERFETTO Entrambi i valori di sono compatibili con un livello di confidenza del 95% con il valore teorico 7/5. Questo conclude l analisi dei profili di onda stazionaria e delle velocità di propagazione del suono. RISONANZA L ultima fase dell esperienza consiste nel tracciare la curva di risonanza propria del tubo, cioè l andamento dell ampiezza delle oscillazioni al variare della frequenza del generatore, mantenendo invariata la posizione del microfono nel tubo e la potenza del generatore. Posizionando il microfono in un punto qualunque del
Ampiezza rilevata (mv) 5 Onde acustiche in un tubo di Kundt [Caravita Ruggero, 727965, ruggero.caravita@rcm.inet.it] tubo, ci aspettiamo di osservare un massimo quando in quel punto viene a coincidere un ventre di pressione e uno zero quando in quel punto cade un nodo di pressione. Al fine di ridurre il più possibile i disturbi dei rumori esterni, il grafico di risonanza è stato tracciato in una configurazione non trattata del tubo: chiuso ad entrambi i capi. Tale configurazione dal punto di vista armonico è del tutto analoga alla configurazione aperto-aperto, con l unica differenza che nodi e ventri risultano invertiti. Nel tubo chiuso-chiuso, pertanto, si formano esclusivamente armonici con frequenza multipla pari della fondamentale, proprio come nel tubo aperto-aperto. Grafico di risonanza del tubo 4 35 25 15 1 5 68 78 88 98 18 118 Frequenza generatore (Hz) GRAFICO 3: ANDAMENTO DELL'AMPIEZZA RILEVATA IN FUNZIONE DELLA FREQUENZA È evidente (vedi Grafico 3) un picco centrato su x = 867 ± 4 Hz: a tale frequenza un ventre di pressione coincide con il microfono, che rileva la massima ampiezza. La curva degrada quindi rapidamente fino a x = 954 ± 4 Hz dove il microfono rileva un minimo: un nodo di pressione è arrivato a coincidere con il microfono che rileva variazioni di pressione prossime allo zero. Aumentando ulteriormente della frequenza si osserva un secondo massimo (di ampiezza inferiore rispetto al principale) in corrispondenza di x = 114 ± 4 Hz e un terzo picco (più spiccato del precedente) in corrispondenza di x = 1182 ± 4 Hz. Tali picchi corrispondono ai modi di oscillazione successivi: anche in questi casi un ventre di pressione è prossimo al microfono, ma l ampiezza di onda è inferiore. Come nella maggior parte dei fenomeni di risonanza, l andamento della curva nel tratto relativo al primo picco è lorentziano e segue l andamento Si noti che il grafico non è normalizzato: l asse delle ordinate è espresso in millivolt (la differenza di potenziale ai capi del microfono misurata dall oscilloscopio); tuttavia la corrispondenza con l ampiezza di oscillazione è lineare, quindi il plot sulla tensione non varia dal grafico effettivo che per un fattore di normalizzazione. Come noto in teoria, dal grafico di risonanza è possibile estrarre il tempo di decadimento di un oscillazione libera non forzata relativamente a quel gas in quelle particolari condizioni di temperatura e pressione. Tale valore è ricavabile direttamente dal grafico tramite la funzione ed è in linea con il valore teorico normalmente compreso fra 2 e 5 ms in condizioni di temperatura e pressione standard (fonte La Fisica di Berkeley Onde e oscillazioni)