CONTROLLI AUTOMATICI L-B ESERCIZI SUL CONTROLLO IN RETROAZIONE

CONTROLLI AUTOMATICI L-B ESERCIZI SUL CONTROLLO IN RETROAZIONE Ing. Nicola Diolaiti DEIS-Univerità di Bologna Tel. 5 29379 / 68 e-mail: ndiolaiti@dei.unibo.it http://www-lar.dei.unibo.it/people/ndiolaiti

Decrizione del plant γ m u m =. kg β γ = 2.5 N/m y β =.7 N/m Sotto l azione della forza eterna u, il moto della maa m, collegata ad una molla di cotante elatica γ e ad un damper il cui coeff. di attrito vicoo è β, è decritto dall equazione differenziale del 2 o ordine: mÿ = u γy βẏ () Nell ipotei di condizioni iniziali nulle, la L-traformata riulta: [ m 2 + β + γ ] Y () = U() (2) quindi la fdt tra l ingreo u e l ucita y è: G() = Y () U() = m 2 + β + γ = m 2 + β m + γ m (3) Nicola Diolaiti Eercizi ul Controllo in Retroazione p. 2/22

Decrizione del plant Per individuare preliminarmente i parametri di queta fdt poiamo ricriverla nella forma: G() = m 2 + β m + γ m ω 2 n = µ 2 + 2δω n + ωn 2 (4) da cui i ottiene: ω 2 n = γ m 2δω n = β m = ω n = = δ = β 2 γm γ m = 5 (5) =.7 (6) µω 2 n = m = µ = γ =.4 (7) Con i valori aunti, la funzione di traferimento che decrive la dinamica del itema da controllare riulta: G() = 2 + 7 + 25 (8) Si vuole progettare un itema di controllo che aicuri errore a regime inferiore al 2% in ripota ad ingrei a gradino Nicola Diolaiti Eercizi ul Controllo in Retroazione p. 3/22

Soluzione in Catena Aperta Y p U C() G() Y La dinamica compleiva tra ingreo e ucita è G c () = C()G() e l errore e(t) ripetto al et-point è dato da: E() = Y p () Y () = [ G c ()] Y p () (9) Ricordando che l errore a regime in ripota al gradino unitario riulta: e = lim [ G c ()] = G c() () Si ceglie C() = K ottenendo: e = K µω2 n ω 2 n = Kµ () Quindi la celta di K: K = µ = 2.5 (2) garantice errore a regime nullo in condizioni nominali Nicola Diolaiti Eercizi ul Controllo in Retroazione p. 4/22

Soluzione in Catena Aperta Le funzioni di traferimento di plant e itema controllato ono: G() = 2 + 7 + 25 G c () = 2.5 2 + 7 + 25 (3) I poli ono invariati e quindi la dinamica (tempo di aetamento, maimo orpao percentuale, ecc.) non viene modificata (migliorata) dal controllore Matlab:» NG=[], DG=[ 7 25], G=tf(NG,DG)» K=2.5, Gc=K*G» %analii della ripota al gradino dei due it.» tep(g,gc) Step Repone.8 Amplitude.6.4.2.2.4.6.8.2.4.6 Time (ec) Nicola Diolaiti Eercizi ul Controllo in Retroazione p. 5/22

Catena Aperta e Diturbi ull Ucita Y p U K G() D Y L ucita y(t) riulta dalla ovrappoizione degli effetti di ingreo y p (t) e diturbo d(t): Y () = KG()Y p () + D() (4)» plot(t,y).8.6.4.2 2 4 6 8 2 4 6 8 2 Nicola Diolaiti Eercizi ul Controllo in Retroazione p. 6/22

Catena Aperta e Variazioni Parametriche Poiché ωn 2 = γ, una variazione della cotante elatica γ della molla, provoca una variazione m della pulazione naturale ω n dei poli La variazione del % di γ = γ nom + γ = 2.75 (N/m) fa ì che la fdt vera del plant da controllare ia: G v () = 2 + 7 + 27.5 G v,c = 2.5 2 + 7 + 27.5 (5) Si vede immediatamente che: lim G v,c() =.9 = e =.9 = 9% (6) e la pecifica di errore a regime inferiore al 2% non è più oddifatta.» NV=; DV=[ 7 27.5];» GV=tf(NV, DV)» GVc=K*GV;» dcgain(gc)» dcgain(gvc)» tep(gc, GVc);» ltiview(gc,gvc); Amplitude.8.6.4.2 Step Repone.2.4.6.8.2.4.6 Time (ec) Nicola Diolaiti Eercizi ul Controllo in Retroazione p. 7/22

Controllo Proporzionale in Retroazione Y p + E U R() G() Y Guadagno di anello: L() = R()G() Funzione di traferimento ingreo-ucita: F() = L() + L() = R()G() + R()G() (7) come nel cao precedente, cegliamo R() = K P, da cui: F() = K P + K P 2 +7+25 = K P 2 + 7 + (25 + K P ) (8) IN QUESTO CASO, la tabilità del itema in retroazione riulta garantita per qualiai valore di K P. Si può verificare applicando il criterio di Routh, oppure oervando che la parte reale dei poli riulta cotante al variare di K P : Re{p} = δω n = 3.5 K P R (9) Nicola Diolaiti Eercizi ul Controllo in Retroazione p. 8/22

Controllo Proporzionale in Retroazione Y p + E U K P G() Y Valori elevati di K P conentono di rendere piccolo l errore a regime: e = lim + L() = lim 2 + 7 + 25 2 + 7 + (25 + K P ) = 25 25 + K P K P (2) Calcoliamo il valore di K P neceario per ottenere un errore inferiore al 2%: 25 25 + K P <.2 = K P > K P,min = 22.5 (2) Per garantire il oddifacimento della pecifica anche a fronte di diturbi e variazioni parametriche, cegliamo K P = 5 Si oervi inoltre che, al crecere di K P, il coefficiente di morzamento dei poli complei coniugati diminuice e, pertanto, la natura ocillatoria della ripota tende ad accentuari. Nicola Diolaiti Eercizi ul Controllo in Retroazione p. 9/22

Controllo Proporzionale in Retroazione 2 Step Repone» KP=5;» F=feedback(KP*G,)» dcgain(f)» KP=5;» F=feedback(KP*G,)» dcgain(f)» tep(g, F, F)» pzmap(f,f) Amplitude.8.6.4.2.8.6.4.2.2.4.6.8.2.4.6 Time (ec) Nicola Diolaiti Eercizi ul Controllo in Retroazione p. /22

Controllo Proporzionale in Retroazione Y p + E U K P G() Y La fdt tra ingreo y p ed azione di controllo u è: Q() = R() + L() = K P 2 + 7 + 25 2 + 7 + (25 + K P ) (22) Poiché i poli di Q() e F() ono gli tei, anche u u ci apetteremo un andamento ocillatorio per K P elevato Per calcolare Q(), i puó penare che R() ia ul ramo diretto e G() u quello di retroazione» Q=feedback(KP,G)» tep(q) Amplitude 5 5 5 Step Repone 5.2.4.6.8.2.4.6 Time (ec) Nicola Diolaiti Eercizi ul Controllo in Retroazione p. /22

Controllo Proporzionale e Diturbi Y p + E U K P G() D Y La funzione di enitività S() oltre a rappreentare la fdt tra ingreo y p ed errore e, rappreenta anche la relazione tra diturbo d ed ucita controllata y: S() = E Y p = Y D = + L() (23) S() deve oddifare ia alle pecifiche ull errore, ia ai requiiti di attenuazione dei diturbi In particolare vengono attenuati dalla retroazione tutti i diturbi collocati a frequenze tali che L(jω) ia elevato Ad eempio, calcoliamo il valore a regime dell ucita provocato da un diturbo a gradino di ampiezza.2: K P = 5 = lim S().2 =.2 25 25 + 5 =.33 (24) Nicola Diolaiti Eercizi ul Controllo in Retroazione p. 2/22

Controllo Proporzionale e Diturbi Supponiamo, come nel cao precedente, un diturbo inuoidale ovrappoto al riferimento.8.6.4.2.8.6.4.2.2.5.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 Si valuti il comportamento del itema al variare di K P e delle caratteritiche del diturbo (ad e. ampiezza e frequenza della inuoide, diturbi a gradino, ecc.) In concluione, il valore di K P cotituice un compromeo tra le neceità, contratanti, di preciione a regime, attenuazione dei diturbi, rapidità di aetamento della ripota e moderazione dell azione di controllo u. Nicola Diolaiti Eercizi ul Controllo in Retroazione p. 3/22

Contr. Proporzionale e Variazioni Parametriche Se, ancora una volta, il valore della cotante elatica della molla differice del % ripetto a quello nominale: G v () = 2 + 7 + 27.5 = F v () = 5 2 + 7 + (27.5 + 5) (25) L errore a regime per ingreo a gradino unitario riulta: e = lim S v () = 27.5 527.5 =.8 (26) e la pecifica continua ad eere oddifatta Volendo calcolare il minimo valore di K P che oddifi il requiito ull errore a regime, i oervi che: e = lim + K P m 2 + β m + γ m = + K P γ < 2% = K P > 49γ = 49(γ nom + γ) (27) upponendo nota la variazione maima del parametro γ MAX i ottiene il valore di K P richieto (K P > 49 2.75 = 34.75). Nicola Diolaiti Eercizi ul Controllo in Retroazione p. 4/22

Controllo Integrale in Retroazione Y p + E K I U G() D Y Le funzioni di traferimento caratteritiche del itema ono: F() = S() = Q() = K I G() + K I G() = + K I G() = K I L() = K I G() guadagno di anello (28) K I 3 + 7 2 + 25 + K I enitività complementare (29) 3 + 72 + 25 3 + 7 2 + 25 + K I enitività (3) + K I G() = K I (2 + 7 + 25) 3 + 7 2 enitività del controllo (3) + 25 + K I La preenza del polo nell origine rende il itema di tipo e pertanto l errore a regime per egnali di riferimento y p (o diturbi d) a gradino, è NULLO per qualiai valore di K I (i vede calcolando il limite per di S()). Nicola Diolaiti Eercizi ul Controllo in Retroazione p. 5/22

Controllo Integrale e Stabilità La preenza del polo nell origine può rendere, per certi valori di K I, intabile il itema compleivo L applicazione del criterio di Routh conente di determinare il range di valori di K I che preervano la tabilità: 3 + 7 2 + 25 + K I = (32) 3 25 2 7 K I 25 7 K I = < K I < 7.5 K I Con Matlab, i traccino le ripote al gradino per K I =,, 2 Si oervi che, per K I =, il polo reale riulta molto più a detra (dominante) della coppia di poli complei coniugati e pertanto la ripota al gradino riulta imile a quella di un itema del primo ordine Per K I = invece ono i poli complei coniugati ad eere più lenti (dominanti) del polo reale e quindi la ripota è imile a quella di un itema del econdo ordine. Nicola Diolaiti Eercizi ul Controllo in Retroazione p. 6/22

Controllo Integrale e Pretazioni La preenza dell integratore rende oddifatta, per qualunque valore di K I, la pecifica ull errore a regime: e = lim S() = lim 3 + 7 2 + 25 3 + 7 2 + 25 + K I = (33) Il valore di K I può eere celto per migliorare le pretazioni in tranitorio.» KI=, KI2= Step Repone.5» R=tf(KI,[ ])» R2=tf(KI2,[ ])» L=R*G, L2=R2*G» F=feedback(L,).5» F2=feedback(L2,)» tep(f,f2) Amplitude 5 5 Time (ec) 5 Pole Zero Map» pzmap(f,f2) Imaginary Axi 4 3 2 2 3 4 5 6 5 4 3 2 Real Axi» Q=feedback(R,G)» Q2=feedback(R2,G)» tep(q,q2) Amplitude 4 3.5 3 2.5 2.5.5 Step Repone 5 5 Time (ec) Nicola Diolaiti Eercizi ul Controllo in Retroazione p. 7/22

Controllo Integrale e Pretazioni Coniderazioni ulla larghezza di banda del itema retroazionato poono eere volte agevolmente ui diagrammi di Bode. Ad e. il paaggio di K I da a allarga la banda del itema e quindi ne aumenta la prontezza. Tutto queto però avviene a pee di un comportamento più ocillatorio (per via di un ridotto margine di fae del guadagno di anello). Bode Diagram» bode(l,f)» hold on;» bode(l2,f2) Magnitude (db) 5 5 5 2 2 3 Frequency (rad/ec) 8 Bode Diagram 6» bode(l,q)» hold on;» bode(l2,q2) Magnitude (db) 4 2 2 4 6 8 2 2 Frequency (rad/ec) Nicola Diolaiti Eercizi ul Controllo in Retroazione p. 8/22

Controllo Integrale e Diturbi Y p + E K I U G() D Y Come già vito nel cao del controllo proporzionale, la funzione di enitività S() eprime la relazione tra diturbo d ed ucita y: S() = Y () D() = + L() = 3 + 7 2 + 25 3 + 7 2 + 25 + K I (34) È del tutto evidente che, in cao di diturbi a gradino di qualunque ampiezza A: y = lim S() A = (35) Queta proprietà di robutezza a fronte di diturbi cotanti deriva dalla preenza dell integratore nella funzione di anello. A fronte di diturbi che variano nel tempo, il comportamento del itema può variare. Nicola Diolaiti Eercizi ul Controllo in Retroazione p. 9/22

Controllo Integrale e Diturbi Vengono attenuati dalla retroazione tutti i diturbi collocati a frequenze tali che L(jω) ia elevato, al contrario, quando L(jω) è piccolo, i diturbi d influenzano peantemente l ucita.» KI=» R=tf(KI,[ ])» L=R*G» S=feedback(,L)» bode(l,s) Magnitude (db) 4 2 2 4 6 Bode Diagram 8 2 Frequency (rad/ec)» t=(:.:);» d=.2*in(.25*t);» lim(s,d,t) Amplitude.2.5..5 Linear Simulation Reult.5 2 3 4 5 6 7 8 9 Time (ec)» t=(:.:);» d=.2*in(5*t);» lim(s,d,t) Amplitude.6.4.2.2.4 Linear Simulation Reult.6.8 2 3 4 5 6 7 8 9 Time (ec) Nicola Diolaiti Eercizi ul Controllo in Retroazione p. 2/22

Controllo Integrale e Variazioni Parametriche Ancora una volta, upponiamo una variazione di γ = γ nom + γ tale che la fdt vera del plant ia: G v () = 2 + 7 + 27.5 Le fdt caratteritiche del itema riultano quindi: (36) F v () = S v () = Q v () = K I G v () + K I G v () = L v () = K I G v() guadagno di anello (37) K I 3 + 7 2 + 27.5 + K I enitività complementare (38) + K I G v () = 3 + 72 + 27.5 3 + 7 2 enitività (39) + 27.5 + K I K I + K I G v () = K I (2 + 7 + 27.5) 3 + 7 2 enitività del controllo (4) + 27.5 + K I Si nota immediatamente che: e = lim S v () = (4) e l errore a regime rimane nullo nonotante la variazione della cotante elatica della molla. Nicola Diolaiti Eercizi ul Controllo in Retroazione p. 2/22

Controllo Integrale - Schema Simulink Per eercizio, i calcoli l errore a regime del itema in ripota ad una rampa di pendenza 5. Da che coa dipende l entità di tale errore? Si provi a otituire al blocco tep il blocco ramp e, impotando la pendenza a 5, i verifichi il riultato ottenuto precedentemente Si otituica al diturbo inuoidale un diturbo a gradino e i verifichi che la ua influenza ull ucita è nulla aintoticamente. Si ripeta tale prova variando l ampiezza del gradino. Nicola Diolaiti Eercizi ul Controllo in Retroazione p. 22/22

CONTROLLI AUTOMATICI L-B ESERCIZI SUL CONTROLLO IN RETROAZIONE - FINE Ing. Nicola Diolaiti DEIS-Univerità di Bologna Tel. 5 29379 / 68 e-mail: ndiolaiti@dei.unibo.it http://www-lar.dei.unibo.it/people/ndiolaiti