Proprieà razionali per il prezzo delle opzioni call 8/09/0 Corso di Finanza quaniaiva L aricolo di Rober Meronpubblicao nel 973, heoryofraionalopionpricing idenifica una serie di proprieà che devono valere per le opzioni calleuropee e americane in un mercao in cui non si creino opporunià di arbiraggio e con invesiori razionali. τ 0 Consideriamo un mercao sul quale è disponibile un iolo azionario, il cui andameno di prezzo nel empo è indicao con S, e le opzioni calleuropee e americane che hanno ale iolo come soosane. Sia l epoca di scadenza delle opzioni. Indichiamo con (, τ, ) c S Il prezzo all epoca di una calleuropea con prezzo di esercizio e valore del soosane e con imeomauriy τ, menre il prezzo con lo sesso soosane ed alla sessa epoca per una opzione callamericana è indicao con (, τ, ) C S 8/09/0 Corso di Finanza quaniaiva S
Alla scadenza il valore dell opzione calleuropea e dell opzione americana (ovviamene se non ancora eserciaa) coincidono e sono dai dal payoffrealizzabile. In paricolare l opzione call sarà eserciaa in se il prezzo del iolo soosane S risulerà superiore al prezzo di esercizio, menre non verrà eserciaa in caso conrario. Il valore delle opzioni a scadenza è quindi: c S,, = C S,, = max[0, S ] S [ S ] max 0; S S 8/09/0 Corso di Finanza quaniaiva 3 Consideriamo un iolo a cedola nulla, con valore facciale pari ad, ed indichiamo con B ( τ ) Il suo prezzo quando il suo imeomauriyè τ Il prezzo del iolo sarà ovviamene sempre posiivo e minore di, e assumerà il valore alla scadenza del iolo. 0 < B τ < B ( 0) = Supponiamo che gli operaori possano prendere in presio e presare denaro al asso privo di rischio rispeivamene vendendo allo scopero e acquisando ioli a cedola nulla. Supponiamo inolre che il sisema dei prezzi sia ale da impedire ogni possibilià di arbiraggio, cioè la messa in opera in sraegie di acquiso e vendia che porino ad avere sempre degli incassi (almeno uno cero) e mai delle uscie. 8/09/0 Corso di Finanza quaniaiva 4
Dae quese ipoesi di mercao, vediamo una serie di relazioni che devono valere per i prezzi delle opzioni callamericane ed europee. Il prezzo di una opzione non può essere negaivo e superare il valore dell azione soosane. ( τ ) 0 c S,, S ( τ ) 0 C S,, S Se il prezzo della callnon fosse inferiore al valore dell azione, si aprirebbero opporunià di arbiraggio. 8/09/0 Corso di Finanza quaniaiva 5 Esempio:supponiamo non valga la proprieà appena enunciaa e dimosriamo come sia possibile cosruire un arbiraggio. Se fosse (,, ) c S τ > S sarebbe possibile vendere la calleuropea e acquisare il iolo soosane oenendo un flusso posiivo in enrambe le scadenze Vendo Acquiso (, τ, ) c ( S, τ, ) c S S S se S < : 0 se S : S +S Flussi di cassa c S, τ, S > 0 > 0 8/09/0 Corso di Finanza quaniaiva 6
Dao che l opzione americana presena ui i vanaggi di una opzione europea ed inolre può essere eserciaa prima della scadenza, il valore della callamericana deve essere superiore rispeo al valore della calla europea: c S C S Inolre, come già deo, il valore dell opzione callamericana ed europea alla scadenza devono coincidere. ( τ ) ( τ ) c S,, = C S,, = max[0, S ] Il prezzo di una opzione callal empo (sia europea che americana) ha due componeni: Prezzo dell opzione call al empo = Valore inrinseco + Valore emporale 8/09/0 Corso di Finanza quaniaiva 7 a) Il valore inrinseco (valore in he money ) è il valore che avrebbe l opzione se venisse eserciaa in quel momeno (). V.I.= max[0, S ] b) Il valore emporale (imevalue) è la differenza ra il prezzo dell opzione e il suo valore inrinseco ime value = c S, τ, max[0, S ] ime value = C S, τ, max[0, S ] Il valore emporale è il valore aribuibile al fao che l opzione deve ancora scadere. Può quindi ancora beneficiare di aumeni di prezzo del soosane. Per queso moivo, prima della scadenza l opzione calldeve avere un prezzo ceramene superiore al suo valore inrinseco, cioè deve avere un valore emporale posiivo. c S, τ, max[0, S ] C S, τ, max[0, S ] (Vedremo ra poco che, esaminando le proprieà, è possibile sabilire un limie inferiore 8/09/0 Corso di Finanza quaniaiva maggiore. ) 8
Vediamo ora le relazioni con le 3 variabili espliciae: 3 Relazione con la maurià (solo per le americane) L opzione con scadenza più lonana presena ui i vanaggi dell opzione con scadenza più ravvicinaa ed inolre può essere eserciaa anche dopo la scadenza dell opzione con duraa più breve. Il prezzo quindi di due opzioni callsullo sesso iolo e con lo sesso presso di esercizio deve essere: τ > τ se C S C S Per le europee non avviene lo sesso, dao che possono essere eserciae solo a scadenza. Si può verificare che se vale la disuguaglianza opposa si creano possibilià di arbiraggio. 8/09/0 Corso di Finanza quaniaiva 9 Esempio:supponiamo non valga la proprieà appena enunciaa e dimosriamo come sia possibile cosruire un arbiraggio. Se fosse C ( S, τ, ) C ( S, τ, ) < τ > τ Vendendo la callamericana con scadenza più prossima ed acquisando quella con scadenza più lonana, si oerrebbero flussi mai negaivi. + τ (O nel momeno in cui la callvendua viene eserciaa, se l esercizio avviene prima della scadenza) Vendo Acquiso Flussi di cassa + τ (, τ, ) + C ( S, τ, ) se S+ τ : ( S+ τ ) C S C S C S + C S,, C S,, > 0 8/09/0 Corso di Finanza quaniaiva Se viene eserciaa: Se non viene eserciaa vale almeno il Valore Imp: = 0 se S < : 0 ( S +τ ) + max[0, S ] + τ oppure 0 0
4 Relazione con il prezzo di esercizio (per europee e per americane) Al crescere del prezzo di esercizio diminuisce il payofffinale [ S ] max 0; Per cui deve diminuire anche il prezzo dell opzione. > se (, τ, ) (, τ, ) C S C S c S c S Anche in queso caso la proprieà è verificabile con l applicazione del principio di non arbiraggio. 8/09/0 Corso di Finanza quaniaiva Esempio:supponiamo non valga la proprieà appena enunciaa e dimosriamo come sia possibile cosruire un arbiraggio. Se fosse c S c S > Vendendo la callcon prezzo di esercizio più basso ed acquisando quella con prezzo di esercizio più alo, si oerrebbero flussi mai negaivi, ed una enraa cera. Vendo c S Acquiso Flussi di cassa c S + c S τ + = c S + c S,, c S,, > 0 8/09/0 Corso di Finanza quaniaiva se S < : 0 se S < : 0 se S : S se S < : 0 se S < : S se S : S se S < : 0 se S < : S > 0 se S : > 0
5 Relazione con il valore del soosane (per europee e per americane) Il prezzo della call è una funzione crescene del valore del soosane perché il payoff aumena al crescere del valore del soosane, quindi aumena il suo valore inrinseco. (, τ, ) S c S S C S 8/09/0 Corso di Finanza quaniaiva 3 6 Limie inferiore al prezzo dell opzione (vale per le europee e di conseguenza per le americane) Il prezzo dell opzione call europea ad un qualunque empo con ime o mauriy deve essere superiore al prezzo di un porafoglio composo da un azione e zero coupon bond con imeomauriy (vendui allo scopero). Supponiamo che (dao che se fosse la relazione divenerebbe τ ( τ ) ( τ ) c S,, max[0, S B ] max[0, S B ] = S B ( τ ) c S,, 0 max[0, S B τ ] = 0, ovviamene valida.) Anche in queso caso la proprieà è verificabile con l applicazione del principio di non arbiraggio. 8/09/0 Corso di Finanza quaniaiva 4 τ
Esempio:supponiamo non valga la proprieà appena enunciaa e dimosriamo come sia possibile cosruire un arbiraggio. Se fosse < ( τ ) c S S B Vendendo il porafoglio indicao nella pare desra della relazione (cioè vendendo allo scopero un azione e acquisando ioli zero coupon bond) ed acquisando l opzione call si oerrebbero flussi mai negaivi, ed una enraa cera. Vendo Acquiso Compro S B ( τ ) c S + τ = + S S B ( τ ) c S + se S < : 0 se S : S Flussi di cassa S B c S,, > 0 8/09/0 Corso di Finanza quaniaiva se S < : - S + > 0 se S : - S + + S = 0 5 La relazione deve valere anche per il prezzo dell opzione americana dao che Per cui: c S C S ( τ ) ( τ ) ( τ ) C S,, c S,, max[0, S B ] Da ques ulima relazione risula evidene come varia il prezzo della callall aumenare del asso privo di rischio: r B max[0, S B ] C, c Ed inolre risula chiaro che in assenza di dividendi una callamericana non verrà mai eserciaa prima della scadenza perché vale di più del payoffche si oerrebbe eserciandola: C S,, max[0, S B ] > max[0, S ] Nel caso di dividendi può risulare vanaggioso eserciare l opzione prima della scadenza per poere reinvesire i dividendi. 8/09/0 Corso di Finanza quaniaiva 6
7 Convessià del valore della callal empo rispeo al prezzo di esercizio (sia per europee che americane) Il grafico del payoffa scadenza in funzione del prezzo di esercizio (NB: prima avevamo viso il grafico del payoff in funzione del valore del soosane!) c S,, = C S,, = max[0, S ] S S max[0, S ] S 8/09/0 Corso di Finanza quaniaiva 7 La funzione è convessa, quindi dai due prezzi di esercizio e e 0 < λ <,vale la relazione: ( λ ( λ) ) λ [ ] ( λ ) [ ] max 0, S + max 0, S + max 0, S Quindi anche per i valori al empo deve avere la sessa relazione: (, τ, λ + ( λ) ) λ (, τ, ) + ( λ ) (, τ, ) c S c S c S In definiiva: la convessià rispeo al prezzo di esercizio della funzione payoffa scadenza fa discendere la convessià rispeo al prezzo di esercizio della funzione valore al empo. 8/09/0 Corso di Finanza quaniaiva 8
8 Convessià del valore della callal empo rispeo al prezzo del soosane (sia per europee che americane) Dobbiamo dimosrare che la funzione prezzo: c S È convessa rispeo al prezzo del soosane. ralasciamo per semplicià di noazione l indicazione emporale S : = S : = c S c S Consideriamo due prezzi dell azione e la loro combinazione lineare convessa S S S = γ S + γ S 0 γ 3 8/09/0 Corso di Finanza quaniaiva 9 Abbiamo appena verificao la relazione di convessià rispeo al prezzo di esercizio (pag 8): c S, τ, λ + λ λc S, τ, + λ c S, τ, 44443 3 ale relazione vale comunque si scelgano i prezzi dei soosani, e. Poniamo allora si ha dao che. 0 λ S < S3 S = = λ = γ S S S 3 0 λ Poniamo pari ad il soosane e moliplichiamo enrambi i membri ella disuguaglianza per S 3 { + ( ) ( γ ) S c, τ, λs c, τ, λ S c, τ, 443 3 3 3 3 γ S ( ) λ S = S λs = S γ S 3 3 3 3 ( ) ( ) S = γ S + γ S S γ S = γ S 3 3 8/09/0 Corso di Finanza quaniaiva S 0
(, τ, ) γ (, τ, ) + ( γ ) (, τ, ) S c S c S c 3 3 Ipoizzando che la disribuzione dei rendimeni del iolo azionario sia indipendene dal livello del prezzo azionario, le funzioni di prezzo dell opzione sono omogenee di grado in S e, per cui: { c S3, τ, S3 3 γ c S, τ, S + γ c S, τ, S { λ λ }} } } S S S3 3 = S3 λ + ( λ ) = S3 γ + γ = S3 S S 3 S S S S S γ γ S S γ γ S S 3 3 = + = + = S3 6447448 γ S + γ S + ( γ ) S γ S γ S + ( γ ) S = = = S S 8/09/0 Corso di Finanza quaniaiva S = 3 3 γ ( γ ) c S c S + c S 3 γ è sao scelo arbirariamene, per cui la relazione vale per qualunque. 0 γ Si può adesso rappresenare la forma generale del prezzo della callal empo in funzione del prezzo azionario osservao al empo sesso. 8/09/0 Corso di Finanza quaniaiva
Riassumeno, abbiamo viso che: ( τ ) S = 0 c S,, = 0 S c S c S è convessa (,, ) c S τ < S S ( τ ) c S S B c S S S B τ B τ 8/09/0 Corso di Finanza quaniaiva S 3 Se il imeomauriyaumena, la rea che rappresena il limie inferiore della zona in cui si rova la funzione prezzo, si sposa verso sinisra. B τ B τ τ c S S S B τ 3 S B τ S B τ τ < τ < τ 3 B ( τ ) B ( τ ) 8/09/0 3 Corso di Finanza quaniaiva B τ S 4