ERRORE DI PARALLASSE. SENSIBILITÀ, PRECISIONE, PRONTEZZA E PORTATA DI UNO STRUMENTO DI MISURAZIONE Strumento di misurazione non digitale Visualizzazione in forma numerica della grandezza misurata lettura della posizione di un indice mobile su di una scala graduata Risultato della lettura dipende dalla direzione secondo cui l'occhio dell'osservatore proietta l'indice sulla scala, dalla direzione di osservazione che individua la retta di mira o di collimazione L'errore di lettura dovuto ad una non corretta orientazione della retta di mira si dice errore di parallasse immagine dell'indice data dallo specchio specchio
In taluni metodi di misurazione la scala graduata osservata per mezzo di uno strumento ottico (microscopio o cannocchiale) internamente munito di un reticolo oculare Costituito da due fili sottilissimi fra loro perpendicolari in un piano ortogonale all'asse ottico dello strumento. L'immagine della scala si forma nel piano che contiene il reticolo. Si vede nitidamente sia l'immagine della scala graduata (prodotta dall'obiettivo) sia i fili del reticolo nelle condizioni ottimali. In tali condizioni non v'è errore di parallasse e, anche muovendo il capo, l'osservatore non vede l'immagine della scala graduata spostarsi rispetto ai fili del retìcolo
Sensibilità; Precisione; Prontezza; Portata. Ø Sensibilità : più piccola variazione della grandezza misurabile dallo strumento - Bilance, apparecchi destinati alla misurazione delle masse. Una bilancia analitica apprezza variazioni del mg; Non rilevate da una bilancia per orefici che apprezza variazione del dg o, al più, del cg.la bilancia analitica ha una sensibilità 10 o 100 volte più elevata; Ø Precisione: legato all'errore relativo che il suo uso comporta; quanto più piccolo è questo errore tanto più preciso è lo strumento. L'errore relativo indica di quanto, percentualmente, il valore segnalato dall'apparecchio si discosta dal valore effettivo della grandezza misurata; Ø Prontezza: Rapidità con cui lo strumento è in grado di misurare la grandezza in esame o di seguirne le variazioni; Ø Portata: Massimo valore della grandezza che l'apparecchio è in grado di misurare.
GRANDEZZE SCALARI E VETTORIALI Grandezze come massa, tempo sono caratterizzati completamente da un valore numerico. Si dicono scalari Spostamento da A a B in linea retta richiede: una direzione, un verso di percorrenza e un valore numerico che precisa di quanto. Si dice che lo spostamento è una grandezza vettoriale ovvero un vettore, rappresentato mediante un segmento orientato di lunghezza proporzionale alla distanza da A a B e direzione e verso corrispondenti a quelli effettivi dello spostamento. La retta su cui giace il segmento orientato che indica il vettore si dice retta di applicazione o retta d'azione del vettore; la lunghezza del segmento orientato è proporzionale alla grandezza o modulo o intensità; In molti casi si può anche precisare il punto di applicazione del vettore; in questi casi esso corrisponde all'origine del segmento.
Una lettera scritta in carattere "grassetto a indica una grandezza vettoriale con tutte le sue caratteristiche (modulo, direzione e verso); la stessa lettera scritta in carattere normale, a, indica solo il modulo del vettore. Somma di due o più vettori c = a + b proprietà commutativa. c = b + a
vettori mostrati in fig. 1.8 rappresentano gli spostamenti s 1, s 2, s 3, s 4, s 5 compiuti successivamente Figura 1.8 Effetto complessivo degli spostamenti s1, s2, s3, s4, s5 è lo stesso dello spostamento diretto s da A a F; s: spostamento risultante dei singoli spostamenti parziali Decomposizione di un vettore Siano dunque c un vettore qualsiasi ed r, r due semirette uscenti dall'origine di c Si conducano dalla punta di c le parallele alle semirette; i punti d'intersezione con queste individuano le estremità delle componenti a e b di c lungo r ed r.
Prodotto di uno scalare per un vettore Si definisce prodotto dello scalare m per il vettore a il vettore w avente modulo pari al prodotto del valore assoluto m dello scalare per il modulo a del vettore, direzione eguale a quella del vettore a e verso concorde o discorde con quello di a a seconda che m è una quantità positiva o negativa; con tali convenzioni si scrive: w = ma. Prodotto scalare di due vettori Si definisce prodotto scalare di due vettori a e b la grandezza scalare espressa dal prodotto dei moduli a e b dei due vettori per il coseno dell'angolo θ compreso fra le direzioni orientate dei vettori stessi Il prodotto scalare di due vettori a e b verrà indicato con la notazione a b, che si proprietà commutativa legge «a scalare b». a b = b a a b = ab cosθ
Prodotto vettoriale di due vettori Tale prodotto definisce un terzo vettore c avente le caratteristiche seguenti: 1) il modulo c = a b sen θ; 2) la direzione del vettore è perpendicolare al piano contenente i due vettori a e b; 3) il verso del vettore è individuato dalla regola della mano destra; c = a x b. Non gode della proprietà commutativa c = a x b non è equivalente c = b x a. direzione ortogonale al piano
Il movimento LA VELOCITA E L'ACCELERAZIONE COME GRANDEZZE SCALARI Moto del vagone caratterizzato da: spazio percorso, intervallo di tempo, velocità e accelerazione Il concetto fisico di velocità è legato alla minore o maggiore rapidità con cui un oggetto in movimento si sposta lungo la traiettoria Un corpo descriva, nel senso indicato dalla freccia, la traiettoria e sia s la lunghezza dell'arco AB di traiettoria percorso nell'intervallo di tempo t. II rapporto velocità scalare media
Indichiamo con C la posizione assunta dal punto mobile in un dato istante (fig. 2.2). Sia Δt un intervallo di tempo, mollo piccolo, nell'intorno dell'istante considerato e, nell'intorno della posizione C, sia Δs il percorso compiuto dall'oggetto in movimento nell'intervallo di tempo Δt. assume valori diversi fra loro, sia pure di poco, a seconda che l'intervallo di tempo preso in considerazione sia un po' più grande o un po' più piccolo tuttavia, se Δt è sufficientemente piccolo, il rapporto Δs/Δt non dipende più in modo sensibile dall'intervallo di tempo e definisce la velocità scalare istantanea dell'oggetto in corrispondenza dell'istante considerato. La velocità, sia media che istantanea: rapporto fra una lunghezza (lo spazio percorso) e un intervallo di tempo. Poiché le lunghezze sono espresse in metri al secondo (m/s) nel sistema SI e in centimetri al secondo (cm/s) nel sistema CGS. In pratica la velocità è frequentemente indicata in chilometri all'ora (km/h); e, dal momento che è 1 km = 1000 m e 1 ora (h) = 60 60 s = 3600 s, si ha:
Definizione rigorosa di velocità scalare istantanea. Operazione di derivazione Essa richiede che venga introdotta la grandezza ascissa curvilinea che definisce la lunghezza s dell'arco di traiettoria che unisce la posizione P del punto mobile a un punto O di riferimento od origine (fig. a). Al variare del tempo varia la posizione del punto mobile sulla traiettoria e quindi si modifica il valore dell'ascissa curvilinea; si dice che la grandezza s è funzione del tempo e si scrive definisce la velocità scalare media nell'intervallo di tempo (t 2 t 1 ). Se, a partire dall'istante t 1, assumiamo un intervallo di tempo (t 2 t 1 ) via via più piccolo, considerando un valore di t 2 sempre più prossimo a t 1, la grandezza v m
definita dalla (1) tende verso un valore limite che definisce la velocità scalare v all'istante t 1. Si scrive e si legge: il limite, per t 2 che tende a t 1, del rapporto fra la variazione di ascissa curvilinea e l'intervallo di tempo in cui tale variazione si determina, è eguale alla velocità v all'istante t 1. L'operazione ora descritta definisce, dal punto di vista matematico, la derivata della grandezza s rispetto al tempo; Q
Accelerazione: maggiore o minore rapidità con cui il valore della velocità varia al variare del tempo. Un oggetto in movimento descriva, nel senso indicato dalla freccia, la traiettoria mostrata in fig. 2.3. Siano v 1 e v 2, rispettivamente, le velocità istantanee del punto mobile in A e in B, e t l'intervallo di tempo impiegato per percorrere l'arco di traiettoria AB. La differenza v 2 v 1 esprime la variazione di velocità determinatasi nell'intervallo di tempo t. è Accelerazione media e istantanea
Se il valore della velocità aumenta progressivamente, il moto si dice accelerato. In tal caso, è v 2 > v 1 e, per qualsiasi intervallo di tempo Δt piccolissimo, Δv > 0. Nel moto accelerato, dunque, l'accelerazione scalare, sia essa media o istantanea, è sempre positiva. Se il valore della velocità diminuisce progressivamente, il moto si dice ritardato; in tali condizioni è sempre v 2 < v 1 e Δv < 0: l'accelerazione, media o istantanea, è costantemente negativa ANALISI DEL MOTO. DIPENDENZA FUNZIONALE E RAPPRESENTAZIONE GRAFICA. TABELLE E DIAGRAMMI. PENDENZA DI UNA CURVA. RAPIDITÀ DI VARIAZIONE DI UNA GRANDEZZA Supponiamo che la distanza x da un'origine O fissa di una particella P che si muova su di una retta (fig. 2.4) varii nel tempo secondo l'equazione equazione oraria x = x(t)
Valori di t (s) Valori corrispondenti di x (m) Valori di t (s) 0 5,000 1,1 17,386 0,1 5,406 1,2 20,168 0,2 5,848 1,3 23,382 0,3 6,362 1,4 27,064 0,4 6,984 1,5 31,250 0,5 7,750 1,6 35,976 0,6 8,696 1,7 41,278 0,7 9,858 1,8 47,192 0,8 11,272 1,9 53,754 0,9 12,974 2,0 61,000 1,0 15,000 Valori corrispondenti di x (m) X (t) (m) tempo t (s)
Valore di t considera to (s) Intervallo di tempo Δt assunto nell'intorno dif(s) Spazio Δs (m) percorso nell'intervallo di tempo At e calcolabile sulla base dei valori riportati nella tabella 2.1 Valore calcolato per la velocità istantanea Δs/Αt (m/s) 0,1 0,2-0 5,848-5,000 4,24 0,2 0,3-0,1 6,362-5,406 4,78 0,3 0,4-0,2 6,984-5,848 5,68 0,4 0,5-0,3 7,750-6,362 6,94 0,5 0,6-0,4 8,696-6,984 8,56 0,6 0,7-0,5 9,858-7,750 10,54 0,7 0,8-0,6 11,272-8,696 12,88 0,8 0,9-0,7 12,974-9,858 15,58 0,9 1,0-0,8 15,000-11,272 18,64 1,0 1,1-0,9 17,386-12,974 22,06 1,1 1,2-1,0 20,168-15,000 25,84 1,2 1,3-1,1 23,382-17,386 29,98 1,3 1,4-1,2 27,064-20,168 34,48 1,4 1,5-1,3 31,250-23,382 39,34 1,5 1,6-1,4 35,976-27,064 44,56 1,6 1,7-1,5 41,278-31,250 50,14 1,7 1,8-1,6 47,192-35,976 56,08 1,8 1,9-1,7 53,754-41,278 62,38 1,9 2,0-1,8 61,000-47,192 69,04
Valori di t considerato (s) Valore calcolato per l'accelerazione (m/s 2 ) 0,2 7,2 0,3 10,8 0,4 14,4 0,5 18,9 0,6 21,6 0,7 25,2 0,8 28,8 0,9 32,4 1,0 36,0 1,1 39,6 1,2 43,2 1,3 46,8 1,4 50,4 1,5 54,0 1,6 57,6 1,7 61,2 1,8 64,8
Equazione oraria Analisi del moto x = x(t) X (t)(m) tempo t (s) Dalla Figura 2.13 Dalla Figura 2.12 v = m t 2 + 4 m = (v-4)/t 2 = 18 m/s 2
MOTO UNIFORME E MOTO UNIFORMEMENTE VARIO Si dice «uniforme» il moto di un oggetto la cui velocità abbia un valore numerico invariabile nel tempo. Se s', s", s'",... sono i percorsi compiuti negli intervalli di tempo t', t", t'",... a = 0. Essendo v una costante, vi è proporzionalità diretta fra spazio percorso e intervallo di tempo Siano vi, v2, v3, v4,... le velocità agli istanti t1, t2, t3, t4, v - v 0 = a t
Lo spazio percorso al tempo t sarà la velocità media tra v(0) e v(t) per il tempo totale t è
Un'autovettura, partita dalla quiete, si muove di moto uniformemente accelerato e nell'intervallo di tempo compreso fra il 3 e il 10 secondo successivi all'istante di partenza percorre 90 m. Calcolare: (a) l'accelerazione scalare costante del moto; (b) la velocità che il veicolo ha 10 s dopo la partenza. [R.: (a) 1,98 m/s2; (b) 19,8 m/ s = 71,3 km/h]. (a) La traiettoria seguita dall'autovettura sia quella mostrata in fig.; O è la posizione che la macchina ha nell'istante in cui parte (t = 0), P 1 e P 2 sono le posizioni assunte, rispettivamente, al tempo t 1 e al tempo t 2 > t 1. I percorsi s 1 ed s 2 compiuti negli intervalli di tempo t 1 e t 2, e misurati dalle lunghezze degli archi di traiettoria OP 1 e OP 2, si possono esprimere mediante la legge oraria del moto uniformemente accelerato ponendo v 0 = O dal momento che la vettura parte da ferma:
La differenza s 2 - s 1 esprime evidentemente il percorso s compiuto nell'inter-vallo di tempo t 2 t 1 ], percorso misurato dalla lunghezza dell'arco P 1 P 2 ; per le (1) e (2) è Poiché è s = 90m, t1 = 3s e t2=10s otteniamo:
Moto circolare uniforme Supponiamo che il corpo descriva, con velocità costante in modulo, ovvero con velocità scalare costante, una circonferenza o un arco di circonferenza (moto circolare uniforme). Il vettore velocità v è rappresentato con un segmento orientato avente la direzione della tangente alla curva in quel punto, il verso del moto e lunghezza proporzionale al valore (costante) della velocità scalare. In questo tipo di moto vi è variazione della velocità solo in direzione e verso. a c, in ciascun punto della traiettoria, ha le caratteristiche seguenti: (a) ha direzione radiale; (b) è volta verso il centro di curvatura ; (c) ha modulo Se si ha variazione del modulo
Per un moto vario Nelle condizioni più generali l'accelerazione vettoriale istantanea è la risultante di due vettori, dei quali uno tiene conto della variazione della velocità in modulo, l altro della variaione in direzione e verso.
Si definisce la velocità angolare dell'oggetto in corrispondenza dell'istante considerato la velocità angolare è espressa in radianti al secondo (rad/s). Sussiste la relazione Δs = α R, essendo R il raggio di curvatura della traiettoria in P
Si chiama «periodico» un moto le cui caratteristiche si ripresentino identiche a intervalli eguali di tempo. Il valore di ciascuno di questi intervalli di tempo definisce il periodo del moto periodico; mentre si da il nome di frequenza alla grandezza che indica quante volte nell'unità di tempo le caratteristiche del moto si ripresentano identiche.